奥数-因式分解-(七)

第七讲因式分解

一、基础知识

把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这

个多项式分解因式。分解因式最基本方法有：

(1)提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面。

(2)运用公式法：

平方差：a2-b1-(a+b)(a-h)

完全平方：a2+2ab+b2=(a±b)2

立方和：a3+Z?3=(a+b)(a2-ab+b2)

立方差：a3-=(a-b)(a2+ah+b2)

ci~+h~+c-+2ab+2ac+2bc—(a+Z?+c)-

ci+/>+c—3abe——(a+6+c)(a~+h~+c~-cib—be一ac)

(3)分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或

者可以用公式，这就是分组分解法。

(4)十字相乘法：一个二次三项式af+8x+c,若可以分解，则一定可以写成

(qx+q)(a,科G)的形式，它的系数可以写成"X"，十字相乘法就是用试验的方法找

C

«22

出十字线两端的数，其实就是分解系数a,b,c,使得：

4a,=ci

c}c2=c

4c2+%q=b

(5)双十字相乘法：对于某些二元二次六项式ax?+3+0?+公+ey+/可以看作

22

关于X的多项式ax+(by+d)x+(cy2+ey+/),先用十字相乘法将“常数项>'Cy+ey+f

分解，再次利用十字相乘法将关于x的二次三项式分解。

(6)换元法：将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母代替

它，从而简化运算过程，分解以后要注意将新字母还原。

(7)待定系数法：若能断定多项式可分解为某几个因式，而这几个因式中的某些系数

尚未确定，就可以用一些字母来表示待定的系数。将这几个因式相乘以后，与多项式的系数

进行比较，就可以求出待定的系数

分解因式的步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式,

再看能否直接运用公式或十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其他方法。

注意事项：分解因式时，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，结果一定是

乘积的形式，每一个因式都是整式，相同的因式的积要写成幕的形式。

二、典型例题

基础题(提公因式、十字相乘、基本公式)

例1.a%-4cMe+4。。,

--ac(a-2b)2

例7.(x+y)(x-y)+4(y-l)

例2.9a2-4/?2+4bc-c2

=(x+y-2)(x-y+2)

=(3a+2b-c)(3a-2b+c)

例3.(o—人)2+4。/?-c?

=(a+b+c)(a+b-c)

例8.3a~—7。一6

=(3a+2)(a-3)

例9.3x2-8x-3

例4.6ax2-9a2xy+2xy-3ay

=(3x+l)(x-3)

前后分组

=(2x-3ay)(3ax+y)

例10.5X2+12X-9

例5.a2(x-y)+b2(y-x)

=(x+3)(5x-3)

=(x-y)(a+b)(a-b)

例11.X4+7X2-30

例6.x2+4y2-4xy-l

=(X2-3)(X2+10)

=(x-2y+l)(x-2y-l)

(3x+7y)(5x+4y)=0

/.3x+7y=0或5x+4y=0

例12.已知15——47孙+28：/=0,求

x由题意可知：°

y的值

.,,_x=——7_x=——4

15x-47xy+28y2=0

y3或5

包加2或］5c7M2

长方形面积为4

提高题：(双十字相乘、换元法、待定系数

法)

例13.分解因式(x2+5x+2)C?+5x+3)-12

希望杯初二，P9.例3

例14.分解因式(X+1)(X+2)(X+3)(X+4)+Y

《初中数学竞赛同步辅导》初二，P1,例1

例15.分解因式(。一。)4+(。+。)4一(/一斤)2

双十字相乘法例题：

例16.分解因式3/+4孙一4)，+8x-8y-3

《希望杯数学竞赛培训教程》初二，P10,例4

例17.分解因式f-y2_2x-4y-3

《华罗庚数学奥林匹克教材》初二，P10,例7

例18.分解因式2/—7孙+6/+2x-y-12

《华罗庚数学奥林匹克教材》初二，PU,例8解一

例19.待定系数法分解因式2/一7町+6;/+2%-）「12

《华罗庚数学奥林匹克教材》初二，P11,例8解二

例20.多项式x（x+l）（x+2）（x+3）+〃恰好能够分解成两个二次整式的乘积（其中二次项

系数均为1,且一次项系数相同），则p的最大值是多少？

《希望杯数学竞赛培训教程》初二，P11,例7

例21.多项式12/一10孙+2y2+Ux—5y+m可以分解成两个一次因式的乘积，求m的

值。

《华罗庚数学奥林匹克教材》初二，P15,例3

三、课后练习题

1、如果多项式/+依+」是一个完全平方式，那么k的值是；

9

奥数教程，初二，P5,A组（1）

2、已知f+Gt—6可分解为两个一次因式的积，且a<0,则a的值为；

奥数教程，初二，P5,A组（3）

3、如果100产-依y+49y2是一个完全平方式，那么卜等于

奥数教程，初二，P6,测试题（1）

4、将下列各式分解因式:

=(x+2y+3z)(x-2y-3z)

(1)2x2y-(xy+3y)

=y(2x-3)(x+1)

(3)x5+x44-x3+x2+x+1

希望杯初二，P3,例6

(2)x2-4y2-9z2-I2yz

(4)27x?—33x-20

希望杯初二，P6,二6

5.用双十字相乘法分解：

x2-3xy-Wy2+x+9y-2

(x+5y+2)(x+2y-l)

6.用双十字相乘法分解：

4x2+2xy-2y+4x+7y-3

(2x+2yT)(2x-y+3)

7.用待定系数法分解：

2x2+3xy-9y2+14x-3y+20

(2x-3y+4)(x+3y+5)

8、要使(*一1)(%+3)(%-4*%-8)+〃2为

完全平方式，则m的值为—

9、若x.y是整数，求证：

(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y4

是一个完全平方数。

5、要使(％-1)(犬+3*》-41%—8)+机为完全平方式，则m的值为-

(x—l)(x+3)(x-4)(x—8)+加

——(x~—5x+4)(x~—5x—24)+m

2

=(j?_5x>_20(x_5x)+m

则m=100

6、若x,y是整数，求证：(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y4是一个完全平方数。

(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y4

=[(x+y)(x+4y)][(x+2y)(x+3y)]+y4=(x2+5xy+4y2)(x2+5xy+6y2)+y'

令x2=5xy+4y2=u

上式=u•(u+2y2)+y4=u2+2y2u+y4=(u+y2)