第06讲 与圆有关的计算（3大考点）（原卷版）

第06讲与圆有关的计算（3大考点）考点考点考向一、正多边形的相关计算1.正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心．外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应正多边形．2.每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，正多边形的边心距就是内切圆的半径．研究正多边形往往构造等腰三角形，并结合勾股定理、三角函数等解决．二、弧长的计算在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l＝eq\f(nπR,180)．三、与扇形有关的面积计算在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形(弧长为l)面积的计算公式为：S扇形＝eq\f(nπR2,360)＝eq\f(1,2)lR.考点精讲考点精讲一．正多边形和圆（共5小题）1．（2022•鄞州区一模）如图，正六边形ABCDEF中，点P是边AF上的点，记图中各三角形的面积依次为S1，S2，S3，S4，S5，则下列判断正确的是（）A．S1+S2＝2S3 B．S1+S4＝S3 C．S2+S4＝2S3 D．S1+S5＝S32．（2021秋•新昌县期末）如图，圆的半径为4，则图中阴影部分的周长是（）A． B． C．24 D．3．（2022•金东区三模）如图，正五边形ABCDE和正方形AFGH内接于圆O，连结EF交AH于点M，则∠AME的度数为．4．（2022•金东区一模）蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，当△ABC是直角三角形时，点C的个数为．5．（2020秋•武汉期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE．（1）求证：AE＝DE；（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．二．弧长的计算（共11小题）6．（2022•丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（）A．m B．m C．m D．（+2）m7．（2022•西湖区校级二模）已知扇形的半径为6，圆心角为120°，则它的弧长是（）A．2π B．4π C．6π D．8π8．（2022•鄞州区校级开学）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点C，D的连线交于点E，则的长为．9．（2022•金华模拟）已知扇形的圆心角为60°，半径为18cm，则此扇形的弧长为cm．10．（2022•柯城区二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，那么点A5的坐标是，点A2022的坐标是．11．（2021秋•鹿城区校级月考）如图，△ABC中，CA＝CB，以AB为直径的⊙O分别交CA，CB于点D，E．（1）求证：＝；（2）若∠C＝50°，半径OA＝3，求的长．12．（2021秋•长兴县月考）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，∠E＝∠F．（1）求证：AC是直径；（2）若⊙O的半径为1，∠E＝40°，求的长度．13．（2021秋•淳安县期中）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D、E．（1）求证：BD＝DC；（2）若∠BAC＝40°，AB＝AC＝8，求弧BE的长．14．（2021秋•鹿城区校级期中）如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点E，连结AD，已知AC＝BD．（1）求证：∠A＝∠D；（2）若AC⊥BD，⊙O的半径为6，求的长．15．（2021秋•鄞州区期中）如图，已知AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E，∠D＝65°．（1）求∠CAD的度数；（2）若AB＝4，求的长．16．（2021秋•上城区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC交⊙O于点F．（1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；（2）若AB＝8，∠BAC＝45°，求：图中的长．三．扇形面积的计算（共13小题）17．（2022•台州）一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长80m，宽60m的矩形，有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（）A．（840+6π）m2 B．（840+9π）m2 C．840m2 D．876m218．（2022•上城区二模）已知半径为6的扇形的面积为12π，则扇形的弧长为（）A．4 B．2 C．4π D．2π19．（2022•鄞州区一模）如图，⊙O的半径为6，直径AB垂直平分圆内的线段CD，∠CAO＝30°，OC＝3，以点O为圆心OC为半径画扇形，则以下说法正确的是（）A．∠COD是120° B．线段AD的长为6+ C．的长是5π D．阴影部分的面积是7.5π20．（2022•上城区一模）如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，则阴影部分面积为（）A．14π B．7π C． D．2π21．（2022•鹿城区校级三模）已知一个扇形的半径为2cm，弧长是，则它的面积为cm2．22．（2022•嘉兴一模）弧度是表示角度大小的一种单位，我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度角，记作1rad．若圆半径r＝2，圆心角α＝2rad，则圆心角为α的扇形面积是．23．（2022•温州模拟）若扇形的圆心角为100°，半径为6，则该扇形的面积为．24．（2022•瑞安市一模）已知扇形的面积为4π，圆心角为90°，则它的半径为．25．（2022•衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．（1）求证：CD∥AB．（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．26．（2021秋•开化县期末）如图，已知AB是⊙O直径，且AB＝8．C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC，∠CBD＝30°．（1）求∠COA的度数．（2）求出CE的长度．（3）求出图中阴影部分的面积（结果保留π）．27．（2021秋•余姚市期末）如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行．（1）求证：点D是的中点．（2）若AC＝OD＝6，求阴影部分（弓形AC）的面积．28．（2022•南安市一模）如图：在平面直角坐标系中，已知⊙M经过坐标原点，与x轴，y轴分别交于A、B两点，点B的坐标为（0，2），OC与⊙M相交于点C，且∠OCA＝30°，求图中阴影部分的面积．29．（2021•婺城区校级开学）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，若AB＝4，AC＝2，求：（1）弦CD的长度；（2）弧BC的长；（3）弓形CBD的面积．巩固巩固提升一、单选题1．（2021·浙江杭州·九年级期中）半径为6，圆心角为的扇形面积为（）A． B． C． D．2．（2021·浙江温州市·九年级期末）已知一个扇形的半径长是，圆心角为，则这个扇形的面积为（）A． B．C． D．3．（2020·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）九年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为（）A．2 B．2π C．4 D．4π4．（2020·浙江杭州市·九年级期末）下列说法错误的是（）A．平分弦的直径垂直于弦 B．圆内接四边形的对角互补C．任意三角形都有一个外接圆 D．正n边形的中心角等于5．（2021·浙江九年级期末）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．66．（2021·浙江金华市·）将正方形纸片按图①方式依次对折得图②的，点D是边上一点，沿线段剪开，展开后得到一个正八边形，则点D应满足（）A． B． C． D．7．（2021·浙江九年级期末）已知，正六边形的边长为2，则的长为（）A． B． C．4 D．58．（2021·浙江浙江省·九年级期末）如图，六边形是正六边形，点是边的中点，，分别与交于点，，则的值为（）．A． B． C． D．二、填空题9．（2021·浙江）圆心角为120°，半径为4的扇形的面积是__________________．10．（2021·浙江温州市·九年级期末）如图，在的内接正六边形中，______°．11．（2021·浙江九年级）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为____________cm2．12．（2020·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）九年级期末）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，则弧BC的长为___cm．13．（2021·浙江九年级期末）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E，且AE经过圆心O．若OA＝3．则图中阴影部分的面积为___．14．（2020·浙江杭州·）请判断：①任意三点可以确定一个圆：②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等；④同弧或等弧所对的圆周角相等；⑤每个内角都是的六边形是正六边形，⑥圆内接平行四边形是矩形；以上其中正确的结论是_______．15．（2020·浙江温州·九年级期末）如图，已知点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为________．16．（2021·浙江九年级）如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝2，长为2的线段CD的两个端点分别在线段OA、OB上滑动，E为CD的中点，点F在弧AB上，连接EF、BE．若AF的长是，当线段EF的值最小时图中阴影部分的面积是___．17．（2021·浙江杭州·）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均在格点上，点P是边上任意一点，以点C为旋转中心．把按逆时针方向旋转，则在旋转过程中，点P运动的最短路径长为_________．三、解答题18．（2021·浙江杭州·九年级期末）根据题意求各图中阴影部分的面积．（1）如图1，在中，，，以A为顶点，为半径画弧，交于D点．（2）如图2，已知扇形的圆心角为，半径为2．（3）如图3，是的直径，弦，，．（4）如图4，半径为，圆心角为的扇形中、分别以、为直径作半圆．19．（2021·浙江杭州·九年级期中）已知：如图，D是外接圆上一点，且满足，连接．（1）求证：是的外角的平分线．（2）若，求劣弧的长度．20．（2021·浙江九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，点E是BC的中点