高考数学复习第八章立体几何第3讲点直线平面之间的位置关系配套理市赛课公开课一等奖省名师获奖PP

第3讲点、直线、平面之间位置关系1/39考纲要求考点分布考情风向标1.了解空间直线、平面位置关系定义，并了解以下能够作为推理依据公理和定理.◆公理1：假如一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上全部点在此平面内.◆公理2：过不在同一条直线上三点，有且只有一个平面.◆公理3：假如两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点公共直线.◆公理4：平行于同一条直线两条直线相互平行.◆定理：空间中假如两个角两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.2.以立体几何上述定义、公理和定理为出发点，认识和了解空间中线面平行、垂直相关性质与判定定理纲领第15题考查异面直线所成角；纲领第16题考查异面直线所成角；新课标Ⅰ第19题(1)以三棱柱为背景，证实线线垂直；(2)考查线面位置判定定理及求三棱柱体积；纲领第4题考查异面直线所成角；新课标Ⅰ第19题(1)以三棱柱为背景，证实线线垂直；(2)考查线面位置判定定理、性质定理及求三棱柱高；新课标Ⅰ第11题考查异面直线所成角；新课标Ⅱ第10题考查异面直线所成角平面基本性质是研究立体几何基础，是高考主要考点之一，考查内容有以平面基本性质、推论为基础共线、共面问题，也有以平行、异面为主两直线位置关系，求异面直线所成角是本节重点2/39项目公理1公理2公理3公理4图形语言1.平面基本性质即四条公理“图形语言”“文字语言”“符号语言”列表3/39(续表)4/39推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面等角定理空间中假如两个角两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补5/39两直线位置关系共面直线平行没有交点相交一个交点异面直线没有交点直线与平面位置关系平行没有交点相交一个交点在平面内无数个交点两平面位 置关系平行没有交点相交无数个交点2.空间线、面之间位置关系6/393.异面直线所成角锐角或直角(0°，90°]

过空间任一点O分别作异面直线a与b平行线a′与b′.那么直线a′与b′所成____________，叫做异面直线a与b所成角(或夹角)，其范围是____________.7/391.在以下命题中，不是公理是()A

A.平行于同一个平面两个平面相互平行

B.过不在同一条直线上三点，有且只有一个平面

C.假如一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

D.假如两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点公共直线

解析：选项B，C，D说法均不需证实，也无法证实，是公理；选项A能够推导证实，故是定理.故选A.8/392.以下命题正确是()C

A.若两条直线和同一个平面所成角相等，则这两条直线平行

B.若一个平面内有三个点到另一个平面距离相等，则这两个平面平行

C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线平行

D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行9/39

3.如图8-3-1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1

是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1

是异面直线.其中正确结论为_________.图8-3-110/39

解析：A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C平面AD1C1B，所以直线

AM与

CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，AM与DD1

也是异面直线，①②错，④正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但

N

平面

MBB1，因此直线BN与MB1

是异面直线，③正确.答案：③④11/39)D4.若A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，P∈l，则(A.P⊂α

B.Pα

D.P∈αC.lα12/39考点1平面基本性质)例1：若直线l不平行于平面α，且lα，则(A.α内全部直线与l异面B.α内不存在与l平行直线C.α内存在唯一直线与l平行D.α内直线与l都相交13/39

解析：不妨设直线l∩α＝M，过点Mα内直线与l不异面，故A错误；假设存在与l平行直线m，则由m∥l，得l∥α，这与l∩α＝M矛盾，故B正确；C显然错误；α内存在与l异面直线，故D错误.故选B.答案：B

【规律方法】直线在平面内也叫平面经过直线，假如直线不在平面内，记作lα，包含直线与平面相交及直线与平面平行两种情形.反应平面基本性质三个公理是研究空间图形和研究点、线、面位置关系基础，三个公理也是立体几何作图和逻辑推理依据.公理1是判断直线在平面内依据；公理2作用是确定平面，这是把立体几何转化成平面几何依据；公理3是证实三(多)点共线或三线共点依据.14/39【互动探究】1.以下推断中，错误是()C

A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α

B.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB

C.lα，A∈l⇒Aα

D.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合15/39考点2空间内两直线位置关系例2：(1)如图8-3-2，在正方体ABCD-A1B1C1D1

中，M，N)分别是BC1，CD1中点，则以下判断错误是(

图8-3-2A.MN与CC1

垂直C.MN与BD平行

B.MN与AC垂直D.MN与A1B1

平行16/39

答案：D17/39

(2)(年上海)如图

8-3-3，在正方体ABCD-A1B1C1D1

中，E，F分别为BC，BB1

中点，则以下直线中与直线EF相交是()图8-3-3A.直线AA1B.直线A1B1C.直线A1D1D.直线B1C1

解析：只有B1C1与EF在同一平面内，是相交，A，B，C中直线与EF都是异面直线.故选D.

答案：D18/39

【规律方法】判断直线是否平行比较简单直观，能够利用公理4；判断直线是否异面则比较困难，掌握异面直线两种判断方法：①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，再由假设条件出发，经过严格推理，导出矛盾，从而否定假设，必定两条直线异面；②在客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点直线，与平面内不过该点直线是异面直线.19/39

【互动探究】

2.如图8-3-4所表示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱中点，则四个点共面图形是_________(填上所有正确答案序号).

图8-3-4①②③20/39

3.如图8-3-5，G，H，M，N分别是正三棱柱顶点或所在棱中点，则使直线GH，MN是异面直线图形有_______(填上全部正确答案序号).图8-3-521/39

解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点在三棱柱侧面上，MG与这个侧面相交于点G，∴M平面GHN，所以直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H平面GMN，所以GH与MN异面.答案：②④22/39考点3异面直线所成角

例3：在正方体ABCD-A1B1C1D1中. (1)求AC与A1D所成角大小；

(2)若E，F分别为AB，AD中点，求A1C1与EF所成角大小.

解：(1)如图8-3-6，连接AB1，B1C.由ABCD-A1B1C1D1

是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成角就是AC与A1D所成角.

图8-3-623/39∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成角为60°.(2)如图8-3-7，连接AC，BD.图8-3-7在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1.∵E，F分别为AB，AD中点，∴EF∥BD.∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成角为90°.24/39

【规律方法】求异面直线所成角基本方法就是平移，有时候平移两条直线，有时候只需要平移一条直线，直到得到两条相交直线，最终在三角形或四边形中处理问题.25/39【互动探究】

4.如图8-3-8，已知圆柱轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB中点，C1

是圆柱上底面弧A1B1

中点，那么异面直线AC1与BC所成角正切值为________.图8-3-826/39

解析：如图D56，取圆柱下底面弧AB另一中点D，连接C1D，AD，则因为C是圆柱下底面弧AB中点，所以AD∥BC.图D5627/39所以直线AC1

与AD所成角等于异面直线AC1

与BC所成角.因为C1

是圆柱上底面弧A1B1中点，所以C1D垂直于圆柱下底面.所以C1D⊥AD.因为圆柱轴截面ABB1A1

是正方形，28/39考点4三点共线、三线共点证实

例4：如图8­3­9，在正方体

ABCD­A1B1C1D1

中，E，F分别是AB和AA1

中点.求证： 图8-3-9 (1)E，C，D1，F四点共面；

(2)CE，D1F，DA三线共点.29/39证实：(1)如图8-3-10，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1

中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1.∴E，C，D1，F四点共面.图8-3-1030/39∴CE与D1F必相交.设交点为点P，如图8-3-10，则由点P∈CE，CE⊂平面ABCD，得点P∈平面ABCD.同理点P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴点P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点.31/39

【规律方法】证实三线共点步骤就是先说明两线交于一点，再证实此交点在另一条线上，把三线共点证实转化为三点共线证实，要证实D，A，P三点共线，由公理3知，只要证实D，A，P都在两个平面交线上即可.

证实多点共线问题：①可由两点连一条直线，再验证其它各点均在这条直线上；②可直接验证这些点都在同一条特定直线上——相交两平面唯一交线，关键是经过绘出图形，作出两个适当平面或辅助平面，证实这些点是这两个平面公共点.32/39【互动探究】5.在空间四边形ABCD边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF与GH交于点M，则()A

A.点M一定在AC上

B.点M一定在BD上

C.点M可能在AC上，也可能在BD上

D.点M既不在AC上，也不在BD上

解析：点M

在平面ABC内，又在平面ADC内，故必在交线AC上.33/396.如图8-3-11，ABCD-A1B1C1D1

是正方体，O是B1D1

中)点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则以下结论错误是(

图8-3-11DA.A，M，O三点共线B.A，M，O，A1

四点共面C.A，O，C，M四点共面D.B，B1，O，M四点共面34/39

难点突破