培训教案LINGO省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

LINGO实用简易教程

1/77培训内容早晨（8：30——11：30）下午（13：30——16：30）LINGO基本功效介绍利用LINGO求解整数规划问题LINGO惯用函数定义及其分类利用LINGO求解非线性规划问题利用LINGO求解线性规划问题在编程中对LINGO调用利用LINGO进行敏感度分析2/77LINGO介绍LINGO是一个专门用于求解数学规划问题软件包。因为LINGO执行速度快，易于方便地输入、求解和分析数学规划问题，所以在教学、科研和工业界得到广泛应用。LINGO主要用于求解线性规划、非线性规划、二次规划和整数规划等问题，也能够用于求解一些线性和非线性方程组及代数方程求根等。3/77使用入门——界面4/77使用入门——菜单命令“File”“Edit”：——matchparenthesis：括号匹配，选定某括号一边，然后点击此选项，程序会自动寻找与之相匹配括号，假如未找到，会有弹窗提醒。——pastefunction：用来进行函数插入。“lingo”：——solution：主要是考查结果，能够指定某一行或者某一个项目来考查结果，有文字形式也有图表形式。——range：主要是用于灵敏度分析，在这里要先更改默认设置，将price改为priceandrange，然后才能运行range。——generate：能够产生相对应程序。——debug：用于调试程序，只能在程序犯错时才能用。示例：model:sets:number/1..6/:x;endsetsdata:x=5134610;enddataendwindows：——commandwindow：生成命令窗口，用于在非windows系统下以命令方式编写和运行程序。——tile：排列窗口方式/横排或竖排——cascade：以瀑布方式排列窗口——arrangeicons：当窗口最小化之后用来排列图标。5/77程序结构——集LINGO程序普通是一“MODEL：”开头，以“end”结束，内容包含四部分：集部分，数据部分，初始部分，目标函数、约束函数部分。集部分是LINGO模型一个可选部分。在LINGO模型中使用集之前，必须在集部分事先定义。集部分以关键字“sets:”开始，以“endsets”结束。一个模型能够没有集部分，或有一个简单集部分，或有多个集部分。一个集部分能够放置于模型任何地方，不过一个集及其属性在模型约束中被引用之前必须被定义。6/77程序结构——原始集集包含原始集和派生集两种。定义原始集为了定义一个原始集，必须详细申明：·集名字·可选，集组员·可选，集组员属性定义一个原始集，用下面语法：setname[/member_list/][:attribute_list];注意：用“[]”表示该部分内容可选。示例1：model:sets:students/John,Linda,Tom/:age,gender;endsetsEnd示例2：Model:Sets:Month/Jan..Dec/:temperature;Endsetsend7/77程序结构——原始集集组员列表罗列能够有显式罗列和隐式罗列两种，显示罗列如上页所表示，即将集组员全部罗列出来。隐式罗列无须罗列出每个集组员。可采取以下语法：setname/member1..memberN/[:attribute_list];这里member1是集第一个组员名，memberN是集最末一个组员名。LINGO将自动产生中间全部组员名。LINGO也接收一些特定首组员名和末组员名，用于创建一些特殊集。列表以下：隐式组员列表格式示例所产生集组员隐式组员列表格式示例所产生集组员1..n1..51,2,3,4,5StringM..stringNCard2..Card10Card2,Card3,Card4…Card10DayM..DayNMon..FriMon,Tue,Wen,Thu,FriMonthM..MonthNOct..JanOct,Nov,Dec,JanMonthYearM..MonthYearNOct..JanOct,Nov,Dec,Jan8/77程序结构——原始集也能够讲集组员在数据部分定义。示例：!集部分;sets:students:sex,age;endsets!数据部分;data:students,sex,age= John116Jill014Rose017Mike113;Enddata注意：开头用感叹号（!），末尾用分号（;）表示注释，可跨多行。请注意：数据部分数据之间能够用空格隔开，也能够用逗号隔开。程序默认数据是从索引1开始分配，即将“students，sex，age”第一个数据分配完了之后再分配其第二个数据。再以下例：model:sets:students/John,Linda,Tom/:age,gender;EndsetsData:Age,gender=10,1,11,0,12,1;enddataEnd运行之后便可看出数据分配结果。9/77程序结构——派生集定义派生集为了定义一个派生集，必须详细申明：·集名字·父集名字·可选，集组员·可选，集组员属性可用下面语法定义一个派生集：setname(parent_set_list)[/member_list/][:attribute_list];setname是集名字。parent_set_list是已定义集列表，多个时必须用逗号隔开。假如没有指定组员列表，那么LINGO会自动创建父集组员全部组合作为派生集组员。派生集父集既能够是原始集，也能够是其它派生集。friendsStudentsHarryGreenJohn84Linda96Tom68示例：model:sets:students/John,Linda,Tom/:age,gender;friends/Harry,Green/;Links(students,friends):relationship;EndsetsData:Relationship=8,4,9,6,6,8;enddataEnd运行结果以下列图：10/77程序结构——派生集稀疏集能够用显式表示也能够用组员资格过滤器表示。显式表示能够下示例：Links(students,friends)/John,Harry,Linda,Green/:relationship;（1）组员资格过滤器表示能够下示例：Links(students,friends)|&1#eq#1#and#&2#eq#2:relationship;（2）将分别插入程序中，并修改数据，可得到以下结果：（1）RELATIONSHIP(JOHN,HARRY)8.000000RELATIONSHIP(LINDA,GREEN)6.000000（2）RELATIONSHIP(JOHN,GREEN)8.00000011/77程序结构——数据数据部分以关键字“data:”开始，以关键字“enddata”结束。在这里，能够指定集组员、集属性。其语法以下：object_list=value_list;对象列（object_list）包含要指定值属性名、要设置集组员集名，用逗号或空格隔开。一个对象列中至多有一个集名，而属性名能够有任意多。假如对象列中有多个属性名，那么它们类型必须一致。假如对象列中有一个集名，那么对象列中全部属性类型就是这个集。数值列（value_list）包含要分配给对象列中对象值，用逗号或空格隔开。注意属性值个数必须等于集组员个数。看下面例子。示例：sets:set1/A,B,C/:X,Y;endsetsdata:X=1,2,3;Y=4,5,6;Enddata数据部分也能够如此表示，其本质是一样：data:X,Y=142536;enddata12/77程序结构——数据Data部分也能够用来定义标量变量，以下所表示:data:interest_rate=.085;enddata也能够同时指定多个参数。data:interest_rate,inflation_rate=.085.03;enddata在一些情况，对于模型中一些数据并不是定值。譬如模型中有一个通货膨胀率参数，我们想在2%至6%范围内，对不一样值求解模型，来观察模型结果对通货膨胀依赖有多么敏感。我们把这种情况称为实时数据处理（whatifanalysis）。LINGO有一个特征可方便地做到这件事：在本该放数地方输入一个问号（?）。以下所表示：data:interest_rate,inflation_rate=.085?;enddata每一次求解模型时，LINGO都会提醒为参数inflation_rate输入一个值。在WINDOWS操作系统下，将会接收到一个类似右上角所表示对话框：

直接输入一个值再点击OK按钮，LINGO就会把输入值指定给inflation_rate，然后继续求解模型。13/77程序结构——数据指定属性为一个值能够在数据申明右边输入一个值来把全部组员该属性指定为一个值。看下面例子。数据部分未知数值有时只想为一个集部分组员某个属性指定值，而让其余组员该属性保持未知，方便让LINGO去求出它们最优值。在数据申明中输入两个相连逗号表示该位置对应集组员属性值未知。两个逗号间能够有空格。属性capacity第2个和第3个值分别为34和20，其余未知。示例1：sets:days/MO,TU,WE,TH,FR,SA,SU/:needs,cost;endsetsdata:needscost=20100;Enddata示例2：sets:years/1..5/:capacity;endsetsdata:capacity=,34,20,,;Enddata属性capacity第2个和第3个值分别为34和20，其余未知。14/77程序结构——初始部分初始部分是LINGO提供另一个可选部分。在初始部分中，能够输入初始申明（initializationstatement），和数据部分中数据申明相同。对实际问题建模时，初始部分并不起到描述模型作用，在初始部分输入值仅被LINGO求解器看成初始点来用，而且仅仅对非线性模型有用。和数据部分指定变量值不一样，LINGO求解器能够自由改变初始部分初始化变量值。一个初始部分以“init:”开始，以“endinit”结束。初始部分初始申明规则和数据部分数据申明规则相同。也就是说，我们能够在申明左边同时初始化多个集属性，能够把集属性初始化为一个值，能够用问号实现实时数据处理，还能够用逗号指定未知数值。示例： init: X,Y=0,.001; endinit Y=@log(X); X+Y<=1;注意：好初始点会降低模型求解时间。如左例中，若将x初始值改为0.9，则能够显著降低迭代次数。15/77程序结构——基本运算符一、基本运算符1、算术运算符算术运算符是针对数值进行操作。LINGO提供了5种二元运算符：＾乘方﹡乘／除﹢加﹣减LINGO唯一一元算术运算符是取反函数“﹣”。这些运算符优先级由高到底为：高﹣（取反）＾

﹡／低﹢﹣运算符运算次序为从左到右按优先级高低来执行。运算次序能够用圆括号“（）”来改变。16/77程序结构——逻辑运算符2、逻辑运算符在LINGO中，逻辑运算符主要用于集循环函数条件表示式中，来控制在函数中哪些集组员被包含，哪些被排斥。在创建稀疏集时用在组员资格过滤器中。LINGO含有９种逻辑运算符：#not#否定该操作数逻辑值，＃not＃是一个一元运算符#eq#若两个运算数相等，则为true；不然为flase#ne#若两个运算符不相等，则为true；不然为flase#gt#若左边运算符严格大于右边运算符，则为true；不然为flase#ge#若左边运算符大于或等于右边运算符，则为true；不然为flase#lt#若左边运算符严格小于右边运算符，则为true；不然为flase#le#若左边运算符小于或等于右边运算符，则为true；不然为flase#and#仅当两个参数都为true时，结果为true；不然为flase#or#仅当两个参数都为false时，结果为false；不然为true这些运算符优先级由高到低为：高#not##eq##ne##gt##ge##lt##le#低#and##or#17/77程序结构——数学算符二、数学函数LINGO提供了大量标准数学函数：@abs(x)返回x绝对值@sin(x)返回x正弦值，x采取弧度制@cos(x)返回x余弦值@tan(x)返回x正切值@exp(x)返回常数ex次方@log(x)返回x自然对数@lgm(x)返回xgamma函数自然对数@sign(x)假如x<0返回-1；不然，返回1@floor(x)返回x整数部分。当x>=0时，返回不超出x最大整数；当x<0时，返回不低于x最小整数。@smax(x1,x2,…,xn)返回x1，x2，…，xn中最大值@smin(x1,x2,…,xn)返回x1，x2，…，xn中最小值18/77程序结构——应用实例应用示例：给定一个直角三角形，求包含该三角形最小正方形。解：如图所表示。求最小正方形就相当于求以下最优化问题：LINGO代码以下：model:sets:object/1..3/:f;endsetsdata:a,b=3,4;!两个直角边长，修改很方便;enddataf(1)=a*@sin(x);f(2)=b*@cos(x);f(3)=a*@cos(x)+b*@sin(x);min=@smax(f(1),f(2),f(3));@bnd(0,x,1.57);endA

B

C

D

E

a

b

x

19/77程序结构——概率函数三、概率函数1．@pbn(p,n,x)：二项分布累积分布函数。当n和（或）x不是整数时，用线性插值法进行计算。2．@pcx(n,x)：自由度为nχ2分布累积分布函数。3．@peb(a,x)：当抵达负荷为a，服务系统有x个服务器且允许无穷排队时Erlang繁忙概率。4．@pel(a,x)：当抵达负荷为a，服务系统有x个服务器且不允许排队时Erlang繁忙概率。5．@pfd(n,d,x)：自由度为n和dF分布累积分布函数。6．@pfs(a,x,c)：当负荷上限为a，用户数为c，平行服务器数量为x时，有限源Poisson服务系统等候或返修用户数期望值。a是用户数乘以平均服务时间，再除以平均返修时间。当c和（或）x不是整数时，采取线性插值进行计算。7．@phg(pop,g,n,x)：超几何（Hypergeometric）分布累积分布函数。pop表示产品总数，g是正品数。从全部产品中任意取出n（n≤pop）件。pop，g，n和x都能够是非整数，这时采取线性插值进行计算。8．@ppl(a,x)Poisson：分布线性损失函数，即返回max(0,z-x)期望值，其中随机变量z服从均值为aPoisson分布。9．@pps(a,x)：均值为aPoisson分布累积分布函数。当x不是整数时，采取线性插值进行计算。10．@psl(x)：单位正态线性损失函数，即返回max(0,z-x)期望值，其中随机变量z服从标准正态分布。11．@psn(x)：标准正态分布累积分布函数12．@ptd(n,x)：自由度为nt分布累积分布函数。20/77程序结构——@qrand13．@qrand(seed)：产生服从(0,1)区间拟随机数。@qrand只允许在模型数据部分使用，它将用拟随机数填满集属性。通常，申明一个m×n二维表，m表示运行试验次数，n表示每次试验所需随机数个数。在行内，随机数是独立分布；在行间，随机数是非常均匀。这些随机数是用“分层取样”方法产生。model:data:M=4;N=2;seed=1234567;enddatasets:rows/1..M/;cols/1..N/;table(rows,cols):x;endsetsdata:X=@qrand(seed);enddataend假如没有为函数指定种子，那么LINGO将用系统时间结构种子。21/77程序结构——@rand14．@rand(seed)返回0和1间伪随机数，依赖于指定种子。经典使用方法是U(I+1)=@rand(U(I))。注意假如seed不变，那么产生随机数也不变。示例：利用@rand产生15个标准正态分布随机数和自由度为2t分布随机数。model:!产生一列正态分布和t分布随机数;sets:series/1..15/:u,znorm,zt;endsets

!第一个均匀分布随机数是任意;u(1)=@rand(.1234);

!产生其余均匀分布随机数;@for(series(I)|I#GT#1:u(I)=@rand(u(I-1)));

@for(series(I):!正态分布随机数;@psn(znorm(I))=u(I);!和自由度为2t分布随机数;@ptd(2,zt(I))=u(I);!ZNORM和ZT能够是负数;@free(znorm(I));@free(zt(I)););end22/77程序结构——变量界定函数四、变量界定函数变量界定函数实现对变量取值范围附加限制，共4种：@bin(x)：限制x为0或1@bnd(L,x,U)：限制L≤x≤U@free(x)：取消对变量x默认下界为0限制，即x能够取任意实数@gin(x)：限制x为整数在默认情况下，LINGO要求变量是非负，也就是说下界为0，上界为+∞。@free取消了默认下界为0限制，使变量也能够取负值。@bnd用于设定一个变量上下界,它也能够取消默认下界为0约束。应用示例：（1）min=x1+x2;x1-x2<=2;x1+2*x2<=3;结果显示：x1=0,x2=0。（2）若添加@free函数：@free(x1);@free(x2);则结果显示为：“UnboundedSolution”，即为无界解。（3）若将添加@gin函数：@gin(x1);@gin(x2);则结果显示：x1=0,x2=0，说明@gin函数限制x为整数同时也限定x>0。（4）若将程序修改为：max=x1+x2;x1-x2<=2;x1+2*x2<=3;则结果显示为x1=2.333333,x2=0.333333，为全局最优解。（5）若将添加@gin函数：@gin(x1);@gin(x2);则结果显示为：x1=1，x2=1，即为整数最优解。23/77程序结构——集操作函数五、集操作函数LINGO提供了几个函数帮助处理集。1．@in(set_name,primitive_index_1[,primitive_index_2,…])假如元素在指定集中，返回1；不然返回0。示例：

全集为I，B是I一个子集，C是B补集。sets:I/x1..x4/;B(I)/x2/;C(I)|#not#@in(B,&1);endsets

此例C(I)中元素为x1,x3,x4。另见此例：model:sets:series/x1..x5/;endsetsy=@in(series,8);End返回结果为y=0，说明集series中不包含第8个元素；若程序为：model:sets:series/x1..x5/;series1/z1..z4/;links(series,series1);endsetsy=@in(links,1,4);End返回结果为y=1，说明在集links中存在第一行第四列元素。24/77程序结构——集操作函数2．@index([set_name,]primitive_set_element)该函数返回在集set_name中原始集组员primitive_set_element索引。假如set_name被忽略，那么LINGO将返回与primitive_set_element匹配第一个原始集组员索引。假如找不到，则产生一个错误。示例1：

怎样确定集组员(B,Y)属于派生集S3。sets:S1/ABC/;S2/XYZ/;S3(S1,S2)/AX,AZ,BY,CX/;endsetsX=@in(S3,@index(S1,B),@index(S2,Y));看下面例子，表明有时为@index指定集是必要。示例2：sets:girls/debble,sue,alice/;boys/bob,joe,sue,fred/;endsetsI1=@index(sue);I2=@index(boys,sue);I1值是2，I2值是3-=。我们提议在使用@index函数时最好指定集。25/77程序结构——集操作函数3．@wrap(index,limit) 该函数返回j=index-k*limit，其中k是一个整数，取适当值确保j落在区间[1，limit]内。该函数相当于index模limit再加1。该函数在循环、多阶段计划编制中尤其有用。4．@size(set_name) 该函数返回集set_name组员个数。在模型中明确给出集大小时最好使用该函数。它使用使模型愈加数据中立，集大小改变时也更易维护。26/77程序结构——集循环函数六、集循环函数集循环函数遍历整个集进行操作。其语法为@function(setname[(set_index_list)[|conditional_qualifier]]:expression_list); @function对应于下面罗列四个集循环函数之一；setname是要遍历集；set_index_list是集索引列表；conditional_qualifier是用来限制集循环函数范围，当集循环函数遍历集每个组员时，LINGO都要对conditional_qualifier进行评价，若结果为真，则对该组员执行@function操作，不然跳过，继续执行下一次循环。expression_list是被应用到每个集组员表示式列表，当用是@for函数时，expression_list能够包含多个表示式，其间用分号隔开。这些表示式将被作为约束加到模型中。当使用其余三个集循环函数时，expression_list只能有一个表示式。假如省略set_index_list，那么在expression_list中引用全部属性类型都是setname集。1．@for 该函数用来产生对集组员约束。基于建模语言标量需要显式输入每个约束，不过@for函数允许只输入一个约束，然后LINGO自动产生每个集组员约束。示例：

产生序列{1,4,9,16,25}sets:number/1..5/:x;endsets@for(number(I):x(I)=I^2);27/77程序结构——集循环函数2．@sum该函数返回遍历指定集组员一个表示式和。示例1：

求向量[5，1，3，4，6，10]前5个数和。model:data:N=6;enddatasets:number/1..N/:x;endsetsdata:x=5134610;enddatas=@sum(number(I)|I#le#5:x);End注意：此时假如将集部分和第一个数据部分调换话，程序无法运行，因为此时N还未被定义。3．@min和@max返回指定集组员一个表示式最小值或最大值。示例2：求向量[5，1，3，4，6，10]前5个数最小值，后3个数最大值。model:data:N=6;enddatasets:number/1..N/:x;endsetsdata:x=5134610;enddataminv=@min(number(I)|I#le#5:x);maxv=@max(number(I)|I#ge#N-2:x);end28/77程序结构——应用实例示例：职员时序安排模型一项工作一周7天都需要有些人（比如护士工作），天天（周一至周日）所需最少职员数为20、16、13、16、19、14和12，并要求每个职员一周连续工作5天，试求每七天所需最少职员数，并给出安排。注意这里我们考虑稳定后情况。model:sets:days/mon..sun/:required,start;endsetsdata:!天天所需最少职员数;required=20161316191412;enddata!最小化每七天所需职员数;min=@sum(days:start);@for(days(J):@sum(days(I)|I#le#5:start(@wrap(J+I+2,7)))>=required(J));end29/77程序结构——应用实例计算部分结果为Globaloptimalsolutionfoundatiteration:0Objectivevalue:22.00000VariableValueReducedCostREQUIRED(MON)20.000000.000000REQUIRED(TUE)16.000000.000000REQUIRED(WED)13.000000.000000REQUIRED(THU)16.000000.000000REQUIRED(FRI)19.000000.000000REQUIRED(SAT)14.000000.000000REQUIRED(SUN)12.000000.000000START(MON)8.0000000.000000START(TUE)2.0000000.000000START(WED)0.0000000.3333333START(THU)6.0000000.000000START(FRI)3.0000000.000000START(SAT)3.0000000.000000START(SUN)0.0000000.000000从而处理方案是：每七天最少需要22个职员，周一安排8人，周二安排2人，周三无需安排人，周四安排6人，周五和周六都安排3人，周日无需安排人。30/77程序结构——集循环函数3.@prod函数：用于获取集中全部元素乘积。示例：MODEL:SETS:COMPONENTS:P;ENDSETSDATA:P=.95.99.98;ENDDATAP_FAIL=1-@PROD(COMPONENTS(I):P(I));END本例中P_FAIL表示是一个串联络统失效概率。31/77程序结构——辅助函数七、辅助函数1．@if(logical_condition,true_result,false_result)@if函数将评价一个逻辑表示式logical_condition，假如为真，返回true_result，不然返回false_result。示例1：求解最优化问题其LINGO代码以下：model:min=fx+fy;fx=@if(x#gt#0,100,0)+2*x;fy=@if(y#gt#0,60,0)+3*y;x+y>=30;end2．@warn(’text’,logical_condition)假如逻辑条件logical_condition为真，则产生一个内容为’text’信息框。示例2：model:x=1;@warn('x是正数',x#gt#0);end32/77简单命令行命令及应用

命令行命令普通用于非windows系统计算机中，我们能够经过菜单行中找到“commandwindow”或者按组合键“CTRL+1”来开启命令窗口。在这里仅仅对简单命令作一下介绍。 cat——显示全部命令类型； com——按类型显示全部命令； model——开始以命令行方式输入一个模型； go——求解当前模型； solu——显示当前模型求解结果； quit——退出lingo系统。33/77LINGO实战——线性规划

某家俱企业制造书桌、餐桌和椅子，所用资源有三种：木料、木工和漆工。生产数据以下表所表示：

若要求桌子生产量不超出5件，怎样安排三种产品生产可使利润最大？

每个书桌每个餐桌每个椅子现有资源总数木料8单位6单位1单位48单位漆工4单位2单位1.5单位20单位木工2单位1.5单位0.5单位8单位成本单价60单位30单位20单位

34/77LINGO实战——线性规划

分析：这是一个经典线性规划问题。我们用DESKS、TABLES和CHAIRS分别表示三种产品生产量，建立LP模型。

程序以下所表示：

max=60*desks+30*tables+20*chairs; 8*desks+6*tables+chairs<=48; 4*desks+2*tables+1.5*chairs<=20; 2*desks+1.5*tables+.5*chairs<=8; tables<=5;

在变量较少情况下，用这种格式是比较方便，不过当变量增多时，这么写法就会耗时耗力了。所以，我们提倡用lingo提供函数来简化模型结构，使之愈加易写与易读。

首先，我们要定义集合： sets: products/desks,tables,chairs/:interest,volume; materials/a..c/:capacity; links(products,materials):x; endsets35/77LINGO实战——线性规划

现在我们来定义数据部分： data: interest=60,30,20; capacity=48,20,8; x=8,4,2 6,2,1.5 1,1.5,0.5; enddata

然后我们写出目标函数与约束条件： max=@sum(products(i):interest(i)*volume(i)); @for(materials(j):@sum(products(i):x(i,j)*volume(i))<=capacity(j)); volume(2)<=5;

最终，我们只需要将这几部分组合起来即可。

36/77LINGO实战——线性规划 model: sets: products/desks,tables,chairs/:interest,volume; materials/a..c/:capacity; links(products,materials):x; endsets data: interest=60,30,20; capacity=48,20,8; x=8,4,2 6,2,1.5 1,1.5,0.5; enddata max=@sum(products(i):interest(i)*volume(i)); @for(materials(j):@sum(products(i):x(i,j)*volume(i))<=capacity(j)); volume(2)<=5; end37/77LINGO实战——线性规划Objectivevalue:280.0000Totalsolveriterations:2 Variable ValueReducedCost VOLUME(DESKS)2.0000000.000000

VOLUME(TABLES)0.0000005.000000

VOLUME(CHAIRS)8.0000000.000000

RowSlackorSurplusDualPrice

1280.00001.000000

224.000000.000000

30.00000010.00000

40.00000010.00000

55.0000000.000000“Globaloptimalsolutionfoundatiteration:2”表示2次迭代后得到全局最优解。“Objectivevalue:280.0000”表示最优目标值为280。38/77LINGO实战——线性规划

“ReducedCost”列出最优单纯形表中判别数所在行变量系数，表示当变量有微小变动时,目标函数改变率。其中基变量reducedcost值应为0，对于非基变量

Xj,对应

reducedcost值表示当某个变量Xj增加一个单位时目标函数降低量(max型问题)。本例中：变量tables对应reducedcost值为5，表示当非基变量tables值从0变为

1时（此时假定其它非基变量保持不变,但为了满足约束条件，基变量显然会发生改变），最优目标函数值

=280-5=275。

“DUALPRICE”（对偶价格）表示当对应约束有微小变动时,目标函数改变率。输出结果中对应于每一个约束有一个对偶价格。若其数值为p，表示对应约束中不等式右端项若增加1个单位，目标函数将增加p个单位（max型问题）。显然，假如在最优解处约束恰好取等号（也就是“紧约束”，也称为有效约束或起作用约束），对偶价格值才可能不是0。本例中：第3、4行是紧约束，对应对偶价格值为10，表示当紧约束

3)4DESKS+2TABLES+1.5CHAIRS<=20

变为

3)4DESKS+2TABLES+1.5CHAIRS<=21

时，目标函数值

=280+10=290。对第4行也类似。

对于非紧约束（如本例中第2、5行是非紧约束），DUALPRICE值为0,表示对应约束中不等式右端项微小扰动不影响目标函数。有时,经过分析DUALPRICE,也可对产生不可行问题原因有所了解。39/77LINGO实战——灵敏度分析

下面我们来做灵敏度分析：

首先，我们要开启灵敏度分析，即将“GeneralSolver”选项卡中“DualComputation”下拉项修改为“Prices&Ranges”。

然后，我们点“Solve”运行程序，运行完之后，回到模型界面，点击“lingo”菜单下“range”选项即可得到结果。

结果显示以下：

Rangesinwhichthebasisisunchanged:

ObjectiveCoefficientRanges

CurrentAllowableAllowable

Variable CoefficientIncreaseDecrease

VOLUME(DESKS)60.0000020.000004.000000

VOLUME(TABLES)30.000005.000000INFINITY

VOLUME(CHAIRS)20.000002.5000005.00000040/77LINGO实战——灵敏度分析

RighthandSideRanges

RowCurrentAllowableAllowable

RHSIncreaseDecrease

248.00000INFINITY24.00000

320.000004.0000004.000000

48.0000002.0000001.333333

55.000000INFINITY5.00000041/77LINGO实战——灵敏度分析

目标函数中DESKS变量原来费用系数为60，允许增加（AllowableIncrease）=4、允许降低（AllowableDecrease）=2，说明当它在[60-4，60+20]=[56，80]范围改变时，最优基保持不变。对TABLES、CHAIRS变量，能够类似解释。因为此时约束没有改变（只是目标函数中某个费用系数发生改变），所以最优基保持不变意思也就是最优解不变（当然，因为目标函数中费用系数发生了改变，所以最优值会改变）。

第2行约束中右端项（RightHandSide，简写为RHS）原来为48，当它在[48-24，48+∞]=[24，∞]范围改变时，最优基保持不变。第3、4、5行能够类似解释。不过因为此时约束发生改变，最优基即使不变，最优解、最优值也会发生改变。

灵敏性分析结果表示是最优基保持不变系数范围。由此，也能够深入确定当目标函数费用系数和约束右端项发生小改变时，最优基和最优解、最优值怎样改变。下面我们经过求解一个实际问题来进行说明。42/77LINGO实战——灵敏度分析

一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品，1桶牛奶能够在甲车间用12小时加工成3千克A1，或者在乙车间用8小时加工成4千克A2。依据市场需求，生产A1,A2全部能售出，且每千克A1赢利24元，每千克A2赢利16元。现在加工厂天天能得到50桶牛奶供给，天天正式工人总劳动时间480小时，而且甲车间天天至多能加工100千克A1，乙车间加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使天天赢利最大，并深入讨论以下3个附加问题：

1）若用35元能够买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，天天最多购置多少桶牛奶？

2）若能够聘用暂时工人以增加劳动时间，付给暂时工人工资最多是每小时几元？

3）因为市场需求改变，每千克A1赢利增加到30元，应否改变生产计划？

模型很简单，设生产A1数量为x1，生产A2数量为x2，代码以下：

max=72*x1+64*x2; x1+x2<=50; 12*x1+8*x2<=480; 3*x1<=100;43/77LINGO实战——灵敏度分析求解这个模型并做灵敏性分析，结果以下。Globaloptimalsolutionfoundatiteration:0Objectivevalue:3360.000

VariableValueReducedCostX120.000000.000000X230.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice13360.0001.00000020.00000048.0000030.0000002.000000440.000000.00000044/77LINGO实战——灵敏度分析 Rangesinwhichthebasisisunchanged:ObjectiveCoefficientRangesCurrentAllowableAllowable VariableCoefficientIncreaseDecreaseX172.0000024.000008.000000X264.000008.00000016.00000RighthandSideRangesRowCurrentAllowableAllowableRHSIncreaseDecrease250.0000010.000006.6666673480.000053.3333380.00000

4100.0000INFINITY40.0000045/77LINGO实战——灵敏度分析

目标函数能够看作“效益”，成为紧约束“资源”一旦增加，“效益”必定跟着增加。输出中DUALPRICES给出这3种资源在最优解下“资源”增加1个单位时“效益”增量：原料增加1个单位（1桶牛奶）时利润增加48（元），劳动时间增加1个单位（1小时）时利润增加2（元），而增加非紧约束车间甲能力显然不会使利润增加。这里，“效益”增量能够看作“资源”潜在价值，经济学上称为影子价格，即1桶牛奶影子价格为48元，1小时劳动影子价格为2元，车间甲影子价格为零。读者能够用直接求解方法验证上面结论，即将输入文件中原料约束milk）右端50改为51，看看得到最优值（利润）是否恰好增加48（元）。

用影子价格概念很轻易回答附加问题1）：用35元能够买到1桶牛奶，低于1桶牛奶影子价格48，当然应该作这项投资。

回答附加问题2）：聘用暂时工人以增加劳动时间，付给工资低于劳动时间影子价格才能够增加利润，所以工资最多是每小时2元。

目标函数系数发生改变时（假定约束条件不变），最优解和最优值会改变吗？这个问题不能简单地回答。上面输出给出了最优基不变条件下目标函数系数允许改变范围：x1系数为（72-8，72+24）=（64，96）；x2系数为（64-16，64+8）=（48，72）。注意：x1系数允许范围需要x2系数64不变，反之亦然。因为目标函数费用系数改变并不影响约束条件，所以此时最优基不变能够确保最优解也不变，但最优值改变。

用这个结果很轻易回答附加问题3）：若每千克A1赢利增加到30元，则x1系数变为30×3=90，在允许范围内，所以不应改变生产计划，但最优值变为90×20+64×30=3720。

46/77LINGO实战——灵敏度分析

下面对“资源”影子价格作深入分析。影子价格作用（即在最优解下“资源”增加1个单位时“效益”增量）是有限制。每增加1桶牛奶利润增加48元（影子价格），不过，上

面输出CURRENTRHSALLOWABLEINCREASE和

ALLOWABLEDECREASE给出了影子价格有意义条件下约束右端限制范围：

milk）原料最多增加10（桶牛奶），time）劳动时间最多增加53（小时）。

现在能够回答附加问题1）第2问：即使应该同意用35元买1桶牛奶投资，但天天最多购置10桶牛奶。顺便地说，能够用低于每小时2元工资聘用暂时工人以增加劳动时间，但最多增加53.3333小时。

需要注意是：灵敏性分析给出只是最优基保持不变充分条件，而不一定是必要条件。比如对于上面问题，“原料最多增加10（桶牛奶）”含义只能是“原料增加10（桶牛奶）”时最优基保持不变，所以影子价格有意义，即利润增加大于牛奶投资。反过来，原料增加超出10（桶牛奶），影子价格是否一定没有意义？最优基是否一定改变？普通来说，这是不能从灵敏性分析汇报中直接得到。此时，应该重新用新数据求解规划模型，才能做出判断。所以，从正常了解角度来看，我们上面回答“原料最多增加10（桶牛奶）”并不是完全科学。47/77LINGO实战——整数规划有四种资源被用于生产三种产品，资源量、产品单件可变费用、单件售价、资源单耗量及组织三种商品生产固定费用见下表。现要求制订一个生产计划，使总收益最大。产品IIIIII资源量A248500B234300C123100D357700单件可变费用4612固定费用100150200单件售价71020单耗量资源48/77LINGO实战——整数规划49/77LINGO实战——整数规划50/77LINGO实战——整数规划51/77LINGO实战——整数规划下面是LINGO程序。MODEL:DATA:M=150;ENDDATAmax=3*x1+4*x2+8*x3-100*y1-150*y2-200*y3;!目标函数;2*x1+4*x2+8*x3<=500;2*x1+3*x2+4*x3<=300;x1+2*x2+3*x3<=100;3*x1+5*x2+7*x3<=700;x1<=M*y1;x2<=M*y2;x3<=M*y3;@GIN(x1);@GIN(x2);@GIN(x3);!指定产品件数为整数;@BIN(y1);@BIN(y2);@BIN(y3);!指定0-1变量;end得到解为x1=100,x2=0,x3=0,y1=1,y2=0,y3=0。最大值为Z=200元。52/77LINGO——整数规划

企业在各地有4项业务，选定了4位业务员去处理。因为业务能力、经验和其它情况不一样，4业务员去处理4项业务费用（单位：元）各不相同，见下表：业务业务员1234111008001000700260050030080034008001000900411001000500700应该怎样分配任务，才能使总费用最小？53/77LINGO实战——整数规划54/77LINGO实战——整数规划LINGO程序以下：MODEL:SETS:person/1..4/;task/1..4/;assign(person,task):a,x;ENDSETSDATA:a=1100,800,1000,700,600,500,300,800,400,800,1000,900,1100,1000,500,700;ENDDATAmin=@sum(assign:a*x);@for(person(i):@sum(task(j):x(i,j))=1);@for(task(j):@sum(person(i):x(i,j))=1);@for(assign(i,j):@bin(x(i,j)));END55/77LINGO实战——整数规划得到结果以下：x(1,1)=0,x(1,2)=0,x(1,3)=0,x(1,4)=1;x(2,1)=0,x(2,2)=1,x(2,3)=0,x(2,4)=0;x(3,1)=1,x(3,2)=0,x(3,3)=0,x(3,4)=0;x(4,1)=0,x(4,2)=0,x(4,3)=1,x(4,4)=0;最小费用为2100元。即第1个业余员做第4项业务，第2个业余员做第2项业务，即第3个业余员做第1项业务，第4业余员做第3项业务。总费用到达最小，为2100元。56/77LINGO实战——TSP问题设有一个售货员从10个城市中某一个城市出发，去其它9个城市推销产品。10个城市相互距离以下表。要求每个城市抵达一次仅一次后，回到原出发城市。问他应怎样选择旅行路线，使总旅程最短。城市123456789101074586121311182703109145141717343059102182712451050149109231658991407872019661410970135251371252110813023211881314897523018129111727232025211801610181712161913181216057/77LINGO实战——TSP问题58/77LINGO实战——TSP问题LINGO程序以下：!TSPquesion;MODEL:SETS:city/1..10/;link(city,city)|&1#GT#&2:d,s;ENDSETSDATA:d=7435105899146141097125211081313148975231117272320252118181712161913181216;

59/77LINGO实战——TSP问题ENDDATAMIN=@SUM(link:d*s);@SUM(city(j)|j#GT#1:S(j,1))=2;!与第1个城市相连有两个城市;!与第i个城市相连有两个城市;@FOR(city(i)|i#GT#1:@SUM(city(j)|j#GT#i:s(j,i))+@SUM(city(k)|k#LT#i:s(i,k))=2);@FOR(link:@BIN(s));得到结果以下：

S(3,2)=1,S(4,1)=1,S(4,3)=1,S(6,5)=1,S(7,2)=1,S(7,5)=1,S(8,6)=1,S(9,1)=1,S(10,8)=1,S(10,9)=1。其它全为0。

其最短路线为1—4—3—2—7—5—6—8—10—9—1，最短距离为77公里。60/77LINGO实战——非线性规划使用LINGO软件计算6个发点8个收点最小费用运输问题。产销单位运价以下表。

单销地位运价产地B1B2B3B4B5B6B7B8产量A16267425960A24953858255A35219743351A47673927143A52395726541A65522814352销量3537223241324338

61/77LINGO实战——非线性规划Sets部分：SETS:

WAREHOUSES/WH1..WH6/:CAPACITY;

VENDORS/V1..V8/:DEMAND;

LINKS(WAREHOUSES,VENDORS):COST,VOLUME;ENDSETSData部分：DATA:

CAPACITY=605551434152;

DEMAND=3537223241324338;

COST=62674259

49538582

52197433

76739271

23957265

55228143;ENDDATA

62/77LINGO实战——非线性规划目标函数： MinimizeΣijCOSTij•VOLUMEij翻译成lingo语言即为：MIN=@SUM(LINKS(I,J):COST(I,J)*VOLUME(I,J));约束条件：

Σi

VOLUMEij=DEMANDj,foralljinVENDORS

翻译成lingo语言即为：@FOR(VENDORS(J):@SUM(WAREHOUSES(I):VOLUME(I,J))=DEMAND(J));

ΣjVOLUMEij<=CAPi,foralliinWAREHOUSES翻译成lingo语言即为：@FOR(WAREHOUSES(I):@SUM(VENDORS(J):VOLUME(I,J))<=CAPACITY(I));63/77LINGO实战——非线性规划MODEL:TITLEWIDGETS;!A6Warehouse8VendorTransportationProblem;SETS:WAREHOUSES/WH1..WH6/:CAPACITY;VENDORS/V1..V8/:DEMAND;LINKS(WAREHOUSES,VENDORS):COST,VOLUME;ENDSETS!Hereisthedata;DATA:!attributevalues;CAPACITY=605551434152;DEMAND=3537223241324338;COST=626742594953858252197433767392712395726555228143;ENDDATA!Theobjective;MIN=@SUM(LINKS(I,J):COST(I,J)*VOLUME(I,J));!Thedemandconstraints;@FOR(VENDORS(J):@SUM(WAREHOUSES(I):VOLUME(I,J))=DEMAND(J));!Thecapacityconstraints;@FOR(WAREHOUSES(I):@SUM(VENDORS(J):VOLUME(I,J))<=CAPACI