人教版初二上册压轴题模拟数学综合检测试卷解析(一)

人教版初二上册压轴题模拟数学综合检测试卷解析（一）1．在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(0，b)分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C与点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点．（1）当2a2+4ab+4b2+2a+1＝0时，求A，B的坐标；（2）当a+b＝0时，①如图1，若D与P关于y轴对称，PE⊥DB并交DB延长线于E，交AB的延长线于F，求证：PB＝PF；②如图2，把射线BP绕点B顺时针旋转45o，交x轴于点Q，当CP＝AQ时，求∠APB的大小．2．（1）模型：如图1，在中，平分，，，求证：．（2）模型应用：如图2，平分交的延长线于点，求证：．（3）类比应用：如图3，平分，，，求证：．3．如图，在平面直角坐标系中，点A(a，0)，B(0，b)，且a，b满足．（1）直接写出______，______；（2）连接AB，P为内一点，．①如图1，过点作，且，连接并延长，交于．求证：；②如图2，在的延长线上取点，连接．若，点P(2n，−n)，试求点的坐标．4．在平面直角坐标系中，点A(a，0)，点B(0，b)，已知a，b满足．（1）求点A和点B的坐标；（2）如图1，点E为线段OB的中点，连接AE，过点A在第二象限作，且，连接BF交x轴于点D，求点D和点F的坐标；：（3）在（2）的条件下，如图2，过点E作交AB于点P，M是EP延长线上一点，且，连接MO，作，ON交BA的延长线于点N，连接MN，求点N的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且|a+4|+b2﹣86+16＝0．（1）求a，b的值；（2）如图1，c为y轴负半轴上一点，连CA，过点C作CD⊥CA，使CD＝CA，连BD．求证：∠CBD＝45°；（3）如图2，若有一等腰Rt△BMN，∠BMN＝90°，连AN，取AN中点P，连PM、PO．试探究PM和PO的关系．6．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘、除运算与代数式的运算类似．例如：计算：（2﹣i）+（5+3i）＝（2+5）+（﹣1+3）i＝7+2i；（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i；根据以上信息，完成下列问题：（1）填空：i3＝，i4＝，i+i2+i3+…+i2021＝；（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）﹣（﹣2+3i）（﹣2﹣3i）；（3）已知a+bi＝（a，b为实数），求的最小值．7．已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC为边向外作等边ABD和等边BCE．(1)连接AE、CD，如图1，求证：AE=CD；(2)若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：CE=2AN(3)若AB⊥BC，延长AB交DE于M，DB=，如图3，则BM=_______（直接写出结果）8．△ABC、△DPC都是等边三角形．(1)如图1，求证：AP＝BD；(2)如图2，点P在△ABC内，M为AC的中点，连PM、PA、PB，若PA⊥PM，且PB＝2PM．①求证：BP⊥BD；②判断PC与PA的数量关系并证明．【参考答案】2．（1）；（2）①见解析；②∠APB＝22.5°【分析】（1）利用非负数的性质求解即可；（2）①想办法证明∠PBF＝∠F，可得结论；②如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴解析：（1）；（2）①见解析；②∠APB＝22.5°【分析】（1）利用非负数的性质求解即可；（2）①想办法证明∠PBF＝∠F，可得结论；②如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴于H，可得等腰直角△BQF，证明△FQH≌△QBO（AAS），再证明FQ＝FP即可解决问题．【详解】解：（1）∵2a2+4ab+4b2+2a+1＝0，∴（a+2b）2+（a+1）2＝0，∵（a+2b）2≥0，（a+1）2≥0，∴a+2b＝0，a+1＝0，∴a＝﹣1，b＝，∴A（﹣1，0），B(0，）．（2）①证明：如图1中，∵a+b＝0，∴a＝﹣b，∴OA＝OB，

又∵∠AOB＝90°，∴∠BAO＝∠ABO＝45°，∵D与P关于y轴对称，∴BD＝BP，∴∠BDP＝∠BPD，设∠BDP＝∠BPD＝α，则∠PBF＝∠BAP+∠BPA＝45°+α，∵PE⊥DB，∴∠BEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EBF，又∠EBF＝∠ABD＝∠BAO﹣∠BDP＝45°﹣α，∴∠F＝45°+α，∴∠PBF＝∠F，∴PB＝PF．②解：如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴于H．可得等腰直角△BQF，∵∠BOQ＝∠BQF＝∠FHQ＝90°，∴∠BQO+∠FQH＝90°，∠FQH+∠QFH＝90°，∴∠BQO＝∠QFH，∵QB＝QF，∴△FQH≌△QBO（AAS），∴HQ＝OB＝OA，∴HO＝AQ＝PC，∴PH＝OC＝OB＝QH，∴FQ＝FP，又∠BFQ＝45°，∴∠APB＝22.5°．【点睛】本题考查完全平方公式、实数的非负性、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用相关知识解题．3．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；【分析】（1）由题意得DE=DF，，，即可得出：=AB：AC；（2）在AB上取点E，使得AE=AC，根据题意可证△ACD≌△AED，从而解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；【分析】（1）由题意得DE=DF，，，即可得出：=AB：AC；（2）在AB上取点E，使得AE=AC，根据题意可证△ACD≌△AED，从而可求出，，即可求解；（3）延长BE至M，使EM=DC，连接AM，根据题意可证△ADC≌△AEM，故而得出AE为∠BAM的角平分线，即，即可得出答案；【详解】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，∴DE=DF，∵，，∴：=AB：AC；（2）如图，在AB上取点E，使得AE=AC，连接DE又∵AD平分∠CAE，∴∠CAD=∠DAE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SAS），∴CD=DE且∠ADC=∠ADE，∴，∴，∴AB：AC=BD：CD；（3）如图延长BE至M，使EM=DC，连接AM，∵∠D+∠AEB=180°，又∵∠AEB+∠AEM=180°，∴∠D=∠AEM，在△ADC与△AEM中，，∴△ADC≌△AEM（SAS），∴∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM，∴AE为∠BAM的角平分线，故，∴BE：CD=AB：AC；【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、以及三角形的面积的应用，正确掌握知识点是解题的关键；4．（1）3，；（2）①见解析；②的坐标为(，)【分析】（1）先利用幂的乘方和积的乘方化简，再利用单项式的性质求解即可；（2）①连接AC，过点B作BN⊥BP，交CP的延长线于点N，利用SAS证明解析：（1）3，；（2）①见解析；②的坐标为(，)【分析】（1）先利用幂的乘方和积的乘方化简，再利用单项式的性质求解即可；（2）①连接AC，过点B作BN⊥BP，交CP的延长线于点N，利用SAS证明△OPB≌△OCA，再证明△BNP为等腰直角三角形，利用AAS证明△ACD≌△BND，即可证明AD=DB；②作出如图所示的辅助线，证明△BMP为等腰直角三角形，利用AAS证明△PBF≌△MPE，求得E(2n，n)，M(3n−3，n)，证明点M，E关于y轴对称，得到3n−3+2n=0，即可求解．【详解】（1）∵，∴，∴，，解得：，，故答案为：3，；（2）①连接AC，∵∠COP=∠AOB=90°，∴∠COP-∠AOP=∠AOB-∠AOP，∴，在△OPB和△OCA中，，∴△OPB≌△OCA(SAS)，∴AC=BP，∠OCA=∠OPB=90°，过点B作BN⊥BP，交CP的延长线于点N，∵∠COP=90°，OP=OC，∴∠OCP=∠OPC=∠ACP=45°，∵∠OPB=90°，∴∠BPN=45°，∴△BNP为等腰直角三角形，∴∠BPN=∠N=45°，∴BN=BP=AC，在△ACD和△BND中，，∴△ACD≌△BND(AAS)，∴AD=DB；②∵∠AOB=90°，AO=OB，∴△AOB为等腰直角三角形，∴∠OBA=45°，∵∠MBO=∠ABP，∴∠MBO+∠OBP=∠ABP+∠OBP=∠OBA=45°，∴∠MBP=45°，∵OP⊥BP，∴△BMP为等腰直角三角形，∴MP=BP，过点P作y轴的平行线EF，分别过M，B作ME⊥EF于E，BF⊥EF于F，EF交x轴于G，ME交y轴于H，连接OE，∴∠MPE+∠EMP=∠MPE+∠FPB=90°，∴∠EMP=∠FPB，在△PBF和△MPE中，，∴△PBF≌△MPE(AAS)，∴BF=EP，PF=ME，∵P(2n，−n)，∴BF=EP=EH=2n，PG=EG=n，PF=ME=3−n，∴MH=ME-EH=3−n−2n=3−3n，∴E(2n，n)，M(3n−3，n)，∴点P，E关于x轴对称，∴OE=OP，∠OEP=∠OPE，同理OM=OE，点M，E关于y轴对称，∴3n−3+2n=0，解得，即点M的坐标为(，)．【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，利用全等三角形的性质解决问题．5．（1），；（2）D(-1，0)，F(-2，4)；（3）N(-6，2)【分析】（1）结合题意，根据绝对值和乘方的性质，得，，通过求解一元一次方程，得，；结合坐标的性质分析，即可得到答案；（2）解析：（1），；（2）D(-1，0)，F(-2，4)；（3）N(-6，2)【分析】（1）结合题意，根据绝对值和乘方的性质，得，，通过求解一元一次方程，得，；结合坐标的性质分析，即可得到答案；（2）如图，过点F作FH⊥AO于点H，根据全等三角形的性质，通过证明，得AH=EO=2，FH=AO=4，从而得OH=2，即可得点F坐标；通过证明，推导得HD=OD=1，即可得到答案；（3）过点N分别作NQ⊥ON交OM的延长线于点Q，NG⊥PN交EM的延长线于点G，再分别过点Q和点N作QR⊥EG于点R，NS⊥EG于点S，根据余角和等腰三角形的性质，通过证明等腰和等腰，推导得，再根据全等三角形的性质，通过证明，得等腰，再通过证明，得NS=EM=4，MS=OE=2，即可完成求解．【详解】（1）∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，．（2）如图，过点F作FH⊥AO于点H∵AF⊥AE∴∠FHA=∠AOE=90°，∵∴∠AFH=∠EAO又∵AF=AE，在和中∴∴AH=EO=2，FH=AO=4∴OH=AO-AH=2∴F(-2，4)∵OA=BO，∴FH=BO在和中∴∴HD=OD∵∴HD=OD=1∴D(-1，0)∴D(-1，0)，F(-2，4)；（3）如图，过点N分别作NQ⊥ON交OM的延长线于点Q，NG⊥PN交EM的延长线于点G，再分别过点Q和点N作QR⊥EG于点R，NS⊥EG于点S∴∴，∴∴∴∴等腰∴NQ=NO，∵NG⊥PN,NS⊥EG∴∴，∴∵，∴∵点E为线段OB的中点∴∴∴∴∴∴∴∴等腰∴NG=NP，∵∴∴∠QNG=∠ONP在和中∴∴∠NGQ=∠NPO，GQ=PO∵，∴PO=PB∴∠POE=∠PBE=45°∴∠NPO=90°∴∠NGQ=90°∴∠QGR=45°.在和中∴．∴QR=OE在和中∴∴QM=OM.∵NQ=NO，∴NM⊥OQ∵∴等腰∴∵∴在和中∴∴NS=EM=4，MS=OE=2∴N(-6，2)．【点睛】本题考查了直角坐标系、全等三角形、直角三角形、等腰三角形、绝对值、乘方的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、全等三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解．6．（1）a＝﹣4，b＝4；（2）见解析；（3）MP＝OP，MP⊥OP，理由见解析【分析】（1）先利用完全平方公式将a和b的式子化成绝对值与平方数之和的形式，再利用绝对值的非负数和平方数的非负性即可解析：（1）a＝﹣4，b＝4；（2）见解析；（3）MP＝OP，MP⊥OP，理由见解析【分析】（1）先利用完全平方公式将a和b的式子化成绝对值与平方数之和的形式，再利用绝对值的非负数和平方数的非负性即可；（2）如图1（见解析），作于E．易证，由三角形全等的性质得，再证明是等腰直角三角形即可；（3）如图2（见解析），延长MP至Q，使得，连接AQ，OQ，OM，延长MN交AO于C．证出和，再利用全等三角形的性质证明是等腰直角三角形即可.【详解】（1）由绝对值的非负性和平方数的非负性得：解得：；（2）如图1，作于E是等腰直角三角形，；（3）如图2，延长MP至Q，使得，连接AQ，OQ，OM，延长MN交AO于C∴∵在四边形MCOB中，是等腰直角三角形∴是等腰直角三角形.【点睛】本题考查了绝对值的非负数和平方数的非负性、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握这些定理与性质是解题关键.7．（1）﹣i，1，；（2）﹣i﹣6；（3）的最小值为25．【分析】（1）根据题目所给条件可得i3=i2•i，i4=i2•i2计算即可得出答案；（2）根据多项式乘法法则进行计算，及题目所给已知条解析：（1）﹣i，1，；（2）﹣i﹣6；（3）的最小值为25．【分析】（1）根据题目所给条件可得i3=i2•i，i4=i2•i2计算即可得出答案；（2）根据多项式乘法法则进行计算，及题目所给已知条件即可得出答案；（3）根据题目已知条件，a+bi＝4+3i，求出a、b，即可得出答案．【详解】（1）i3＝i2•i＝﹣1×i＝﹣i，i4＝i2•i2＝﹣1×（﹣1）＝1，设S＝i+i2+i3+…+i2021，iS＝i2+i3+…+i2021+i2022，∴（1﹣i）S＝i﹣i2022，∴S＝，故答案为﹣i，1，；（2）（1+i）×（3﹣4i）﹣（﹣2+3i）（﹣2﹣3i）＝3﹣4i+3i﹣4i2﹣（4﹣9i2）＝3﹣i+4﹣4﹣9＝﹣i﹣6；（3）a+bi＝＝＝＝4+3i，∴a＝4，b＝3，∴＝，∴的最小值可以看作点（x，0）到点A（0，4），B（24，3）的最小距离，∵点A（0，4）关于x轴对称的点为A'（0，﹣4），连接A'B即为最短距离，∴A'B＝＝25，∴的最小值为25．【点睛】此题考查了实数的运算，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的新定义是解本题的关键．8．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）先判断出∠DBC=∠ABE，进而判断出△DBC≌△ABE，即可得出结论；（2）先判断出△ADN≌△FCN，得出CF=AD，∠NCF=∠AN解析：(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）先判断出∠DBC=∠ABE，进而判断出△DBC≌△ABE，即可得出结论；（2）先判断出△ADN≌△FCN，得出CF=AD，∠NCF=∠AND，进而判断出∠BAC=∠ACF，即可判断出△ABC≌△CFA，即可得出结论；（3）先判断出△ABC≌△HEB(ASA)，得出，，再判断出△ADM≌△HEM(AAS)，得出AM=HM，即可得出结论．(1)解：∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴BD=AB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，∴∠DBC=∠ABE，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE=CD；(2)解：如图，延长AN使NF=AN，连接FC，∵N为CD中点，∴DN=CN，∵∠AND=∠FNC，∴△ADN≌△FCN(SAS)，∴CF=AD，∠NCF=∠AND，∵∠DAB=∠BAC=60°∴∠ACD+∠ADN=60°∴∠ACF=∠ACD+∠NCF=60°，∴∠BAC=∠ACF，∵△ABD是等边三角形，∴AB=AD，∴AB=CF，∵AC=CA，∴△ABC≌△CFA(SAS)，∴BC=AF，∵△BCE是等边三角形，∴CE=BC=AF=2AN；(3)解：∵△ABD是等边三角形，∴，∠BAD=60°，在Rt△ABC中，∠ACB=90°－∠BAC=30°，∴，如图，过点E作EH//AD交AM的延长线于H，∴∠H=∠BAD=60°，∵△BCE是等边三角形，∴BC=BE，∠CBE=60°，∵∠ABC=90°，∴∠EBH=90°－∠CBE=30°=∠ACB，∴∠BEH=180°－∠EBH－∠H=90°=∠ABC，∴△ABC≌△HEB(ASA)，∴，，∴AD=EH，∵∠AMD=∠HME，∴△ADM≌△HEM(AAS)，∴AM=HM，∴∵，，∴．故答案为：．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．9．(1)证明过程见解析；(2)①证明过程见解析；②PC