2022-2023学年人教版八年级数学上册《第11章三角形》期末复习解答培优训练题(附答案)

2022-2023学年人教版八年级数学上册《第11章三角形》期末复习解答培优训练题（附答案）1．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠B＝32°，∠ACD＝54°，求∠EAD的度数．2．如图，BD⊥AC，∠1＝∠2，∠C＝66°，求∠1和∠ABC的度数．3．如图，在△ABC中，∠B＝44°，△ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，求∠AEC的大小．4．如图，在△ABC中，∠B＝35°，∠ACB＝85°，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一点，PE⊥AD交直线BC于点E，求∠E的度数．5．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC交AB于点E．∠A＝55°，∠BDC＝95°，求∠BED的度数．6．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD是角平分线，AE是高．（1）求∠DAC的度数；（2）求∠DAE的度数．7．（1）如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线BO与∠ACB的平分线CO交于点O，求证：∠BOC＝90°+∠A；（2）如图②，在△ABC中，E是边BC延长线上一点，∠ABC的平分线BO与∠ACE的平分线CO交于点O，求证：∠BOC＝∠A；（3）如图③，在△ABC中，D是边AB延长线上一点，E是边AC延长线上一点，∠CBD的平分线BO与∠BCE的平分线CO交于点O．①试探求∠A与∠BOC的数量关系并证明你的结论；②按角的大小来判断△BOC的形状．8．如图在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝100°，求∠DAE的度数；（2）若∠ACB﹣∠B＝80°，求∠DAE的度数；（3）若∠B＝α，∠ACB＝β（α＜β），∠DAE与α和β之间有怎样的关系？请说明理由．9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB的平分线交BC的延长线于点E，BG⊥AE，垂足为点F，交CD于点G．（1）求证：BG平分∠ABE；（2）若∠DCB＝100°，∠DAB＝60°，求∠BGC的度数．10．如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于D，DE∥AB交BC于E，求∠CBD和∠BDE的度数．11．【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”．【理解】（1）若△ABC为开心三角形，∠A＝132°，则这个三角形中最小的内角为°；（2）若△ABC为开心三角形，∠A＝60°，则这个三角形中最小的内角为°；（3）已知∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定∠A的取值范围，并说明理由；【应用】如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延长BA和DC交于点P，已知∠P＝30°，若∠B是开心△ABE中的一个开心角，设∠B＝∠α，求∠α的度数．12．数学课上，胡老师带领班上的同学探索三角形内角和定理的证明方法．已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°，机智的同学们想出了如下两种思路：方法一：如图，过点A作DE∥BC：方法二：如图，过点C作CD∥AB，请你选择其中一种思路，完成证明．13．如图，已知∠AOB，点C，D分别在射线OA，OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．（1）如图1，若∠AOB＝90°，当∠OCD＝40°时，直接写出∠F的度数；（2）如图2，若∠AOB＝90°，当点C，D在射线OA，OB上任意移动时（不与点O重合），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F的度数；（3）如图3，设∠AOB的度数为m，当点C，D在射线OA，OB上任意移动时（不与点O重合），你能求出∠F的度数吗？请用含m的代数式表示，写出你的解答过程．14．如图1，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE，CE相交于点E．（1）求证：∠E＝∠A；（2）如图2，若BE，CE是△ABC两外角平分线且交于点E，则∠E与∠A又有什么关系？15．△ABC中，∠C＝45°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是直线AB上一动点，连接PD，PE，设∠DPE＝α．（1）如图1，若点P在线段BA上，且α＝30°，则∠PEB+∠PDA＝°；（2）当点P在线段BA上运动时，依题意补全图2，用等式表示∠PEB与∠PDA的数量关系（用含α的式子表示），并证明；（3）当点P在线段BA的延长线上运动时，请直接用等式表示∠PEB与∠PDA的数量关系（用含α的式子表示）．16．如图，在三角形ABC中，BF⊥AC于F，点H在AB的延长线上，过点H作HE⊥AC交BC于点D，垂足为E．若∠3＝∠2．（1）求证：FG∥BC；（2）若∠2＝20°，∠H＝25°，求∠1的度数．17．[概念认识]如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻BA三分线”，BE是“邻BC三分线”．[问题解决]（1）如图②，在△ABC中，∠A＝65°，∠ABC＝45°，若∠ABC的邻BA三分线BD交AC于点D，则∠BDC的度数为；（2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻CB三分线，且∠BPC＝135°，求∠A的度数；[延伸推广]（3）如图④，在∠ABC中，∠ACD是∠ABC的外角，∠ABC的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（0＜m＜60），∠ABC＝60°；则∠BPC的度数为（用含m的代数式表示）．18．（1）如图1所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝°；（2）如果把图1称为二环三角形，它的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F；图2称为二环四边形，它的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H，求二环四边形的内角和；二环五边形的内角和；二环n边形的内角和．19．如图，∠CAD与∠CBD的角平分线交于点P，AD与BC相交于点O，AP交BC于点F、BP交AD于E．（1）若∠C＝35°，∠D＝29°，求∠P的度数；（2）猜想∠D，∠C，∠P的等量关系，直接写出结果．20．【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则射线BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，射线BD是“邻AB三分线”，射线BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝73°，∠B＝43°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝°；（2）如图③，在△ABC中，BP、CP别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；【拓展延伸】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线与∠ACD的三分线交于点P．若∠A＝α°，∠B＝β°，直接写出∠BPC的度数．（用含α、β的代数式表示）

参考答案1．解：∵AD为高，∠B＝32°，∴∠BAD＝58°，∵∠ACD＝54°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝22°，∵AE是角平分线，∴∠BAE＝∠BAC＝11°，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝58°﹣11°＝47°．2．解：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝∠BDC＝90°．∵∠1＝∠2，∠C＝66°，∴∠1＝∠2＝∠ADB＝45°，∵∠CBD＝∠ADB﹣∠C＝90°﹣66°＝24°．∴∠ABC＝∠2+∠CBD＝45°+24°＝69°．3．解：∵∠DAC＝∠B+∠BCA，∠FCA＝∠B+∠BAC，∴∠DAC+∠FCA＝∠B+∠BCA+∠B+∠BAC，∵∠B＝44°，∠B+∠BAC+∠BCA＝180°，∴∠DAC+∠FCA＝180°+44°＝224°，∵△ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，∴∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝×224°＝112°，∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣112°＝68°．4．解：∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°，∴∠PDE＝∠B+∠BAD＝65°，∵PE⊥AD，∴∠E＝90°﹣∠PDE＝25°．5．解：∵∠A+∠ABD＝∠BDC，∠A＝55°，∠BDC＝95°，∴∠ABD＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，又∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠BDE，∴∠BDE＝∠ABD＝40°，∴∠BED＝180°﹣∠ABD﹣∠BDE＝100°．6．解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵AD是角平分线，∴∠DAC＝∠BAC＝40°；（2）∵AE是BC边上的高，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝30°﹣20°＝10．7．（1）证明：∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A．（2）证明：∵∠ABC的平分线BO与∠ACD的平分线CO相交于点O，∴∠ABO＝∠CBO＝∠ABC，∠ECO＝∠ACO＝∠ACD，∵∠BOC＝∠ECO﹣∠OBC＝∠ACD﹣∠ABC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A．（3）解：①∠BOC＝90°﹣∠A，理由如下：如图，∵BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线，∴∠DBC＝2∠1＝∠ACB+∠A，∠ECB＝2∠2＝∠ABC+∠A，∴2∠1+2∠2＝2∠A+∠ABC+∠ACB＝∠A+180°，又∵∠1+∠2+∠BOC＝180°，∴2∠BOC＝180°﹣∠A，∴∠BOC＝90°﹣∠A．②△BOC为锐角三角形，理由如下：∵∠DBC＜180°，∠BCE＜180°，BO平分∠CBD，CO平分∠BCE，∴∠OBC＜90°，∠OCB＜90°，∵∠BOC＝90°﹣∠A＜90°，∴△BOC为锐角三角形．8．解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝100°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝50°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAC＝25°，∵AD是高，∴∠D＝90°，∴∠CAD＝∠ACB﹣∠D＝10°，∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝35°；（2）∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，∠ACB﹣∠B＝80°，∴两式相加得：2∠ACB+∠BAC＝260°，则有∠BAC＝260°﹣2∠ACB，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAC＝130°﹣∠ACB，∵∠ACB是△ACD的外角，AD是高，∴∠CAD＝∠ACB﹣90°，∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝∠ACB﹣90°+130°﹣∠ACB＝40°；（3）∠DAE＝，理由如下：∵∠B＝α，∠ACB＝β，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAC＝90°﹣，∵AD是高，∴∠D＝90°，∴∠CAD＝β﹣90°，∴∠DAE＝β﹣90°+90°﹣＝．9．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠E，∵AE是∠DAB的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠E，∴BA＝BE．∵BG⊥AE，∴BG平分∠ABE；（2）解：∵AE是∠DAB的平分线，∴∠DAE＝∠BAE＝∠ADB，∵∠DAB＝60°，∴∠BAE＝30°．∵BG⊥AE，∴∠ABF＝90°﹣∠BAE＝60°．由（1）知：∠EBF＝∠ABF＝60°，∴∠BGC＝180°﹣∠BCG﹣∠EBF＝180°﹣100°﹣60°＝20°．10．解：∵∠A+∠C+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣80°﹣30°＝70°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝ABC＝35°．∵DE∥AB，∴∠BDE＝∠ABD＝35°．11．解：【理解】（1）设最小角为a，△ABC为开心三角形，∠A＝132°，a+2a＝180°﹣132°＝48，∵∠α＝16°，故答案为：16；（2）当∠A是“开心角”，则最小角为30°；当∠A不是“开心角”，设最小角为a，a+2a＝180°﹣60°＝120°，∴α＝40°，故答案为：30或40；（3）∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，另一个开心角是2∠A，∴第三个内角是180°﹣3∠A，∵∠A是最小内角，∴∠A≤180°﹣3∠A，∴∠A≤45°；【应用】①当∠BAE与∠ABE互为开心角时，∠BAE＝ABE或∠BAE＝2∠ABE，∵∠P+α＝（2∠α﹣60°）或∠P+α＝2（2∠α﹣60°），解得∠a＝40°；②当∠BAE与∠AEB互为开心角，∠BAE＝AEB或∠BAE＝2∠AEB，∴∠AEB＝∠EAC+∠ACE，∠EAC＝∠BAE，∴∠BAE＝2∠AEB（舍去），∴∠a＝（240°﹣3∠a），解得∠a＝48°，综上所述：40°或48°．12．证明：方法一：∵DE∥BC，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，∵∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°．∴∠B+∠BAC+∠C＝180°；方法二：∵CD∥AB，∴∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°．∴∠B+∠ACB+∠A＝180°．13．解：（1）∵∠AOB＝90°，∠OCD＝40°，∴∠CDO＝50°．∵CE是∠ACD的平分线DF是∠CDO的平分线，∴∠ECD＝70°，∠CDF＝25°．∵∠ECD＝∠F+∠CDF，∴∠F＝45°；（2）不变化，∠F＝45°．∵∠AOB＝90°，∴∠CDO＝90°﹣∠OCD，∠ACD＝180°﹣∠OCD．∵CE是∠ACD的平分线DF是∠CDO的平分线，∴∠ECD＝90°﹣∠OCD，∠CDF＝45°﹣∠OCD．∵∠ECD＝∠F+∠CDF，∴∠F＝45°；（3）∵∠AOB＝m，∴∠CDO＝180°﹣m﹣∠OCD，∠ACD＝180°﹣∠OCD．∵CE是∠ACD的平分线DF是∠CDO的平分线，∴∠ECD＝90°﹣∠OCD，∠CDF＝90°﹣﹣∠OCD．∵∠ECD＝∠F+∠CDF，∴∠F＝m°．14．（1）证明：∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠3＝（∠A+∠ABC）．又∵∠4＝∠E+∠2，∴∠E+∠2＝（∠A+∠ABC）．∵BE平分∠ABC，∴∠2＝∠ABC，∴∠ABC+∠E＝（∠A+∠ABC），∴∠E＝∠A；（2）∵BE、CE是两外角的平分线，∴∠2＝∠CBD，∠4＝∠BCF，而∠CBD＝∠A+∠ACB，∠BCF＝∠A+∠ABC，∴∠2＝（∠A+∠ACB），∠4＝（∠A+∠ABC）．∵∠E+∠2+∠4＝180°，∴∠E+（∠A+∠ACB）+（∠A+∠ABC）＝180°，即∠E+∠A+（∠A+∠ACB+∠ABC）＝180°．∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∴∠E+∠A＝90°．15．解；（1）∠PEB+∠PDA＝90°；理由如下；连接PC，如图1所示∵∠PEB是△PEC的外角，∴∠PEB＝∠3+∠4，∵∠PDA是△PDC的外角，∴∠PDA＝∠1+∠2，∴∠PEB+∠PDA＝∠1+∠2+∠3+∠4＝∠ACB+∠DPE＝45°+30°＝75°；故答案为：75；（2）补全图形如图2所示；∠PEB+∠PDA＝45°+α，证明如下：连接PC，如图3所示：∵∠PEB是△PEC的外角，∴∠PEB＝∠3+∠4，∵∠PDA是△PDC的外角，∴∠PDA＝∠1+∠2，∴∠PEB+∠PDA＝∠1+∠2+∠3+∠4＝∠ACB+∠DPE＝45°+α；∴∠PEB+∠PDA＝45°+α；（3）分三种情况：①如图4所示：连接PC，由三角形的外角性质得：∠PEB＝∠ACB+∠PCA+∠CPD+∠DPE，∠PDA＝∠PCA+∠CPD，∴∠PEB﹣∠PDA＝∠ACB+∠DPE＝45°+α，即∠PEB﹣∠PDA＝45°+α；②如图5所示：连接PC，由三角形的外角性质得：∠PEB＝∠ACB+∠PCA+∠CPE，∠PDA＝∠PCA+∠CPE+∠DPE，∴∠PEB﹣∠PDA＝∠ACB﹣∠DPE＝45°﹣α，即∠PEB﹣∠PDA＝45°﹣α；③如图6所示：P、D、E在同一条直线上，连接PC，由三角形的外角性质得：∠PEB＝∠ACB+∠PCA+∠CPE，∠PDA＝∠PCA+∠CPE，∴∠PEB﹣∠PDA＝∠ACB＝45°；综上所述：如果点P在线段BA的延长线上运动，∠PEB与∠PDA之间的数量关系是45°+α或45°﹣α或45°．16．（1）证明：∵BF⊥AC，HE⊥AC，∴BF//HE∴∠2＝∠FBC，∵∠2＝∠3，∴∠FBC＝∠3，∴GF//BC．（2）解：∵∠2＝∠BDH＝20°，∠H＝25°，∴∠HBC＝180°﹣∠H﹣∠BDH＝135°，∴∠GBC＝180°﹣∠HBC＝45°，又∵GF//BC，∴∠1＝∠GBC＝45°．17．解：（1）∵∠ABC的邻BA三分线BD交AC于点D，∠ABC＝45°，∴∠ABD＝15°，∵∠A＝65°，∴∠BDC＝65°+15°＝80°，故答案为：80°；（2）∵BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∵∠BPC＝135°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣135°＝45°，∴∠ABC+∠ACB＝135°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝45°；（3）如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，∵∠CBP＝ABC，∠PCD＝∠ACD，∠PCD＝∠P+∠CBP，∴∠ACD＝∠P+∠ABC，即∠ACD＝3∠P+∠ABC，∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A＝m°，∴∠BPC＝∠A＝m°；如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，∵∠CBP＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，∠PCD＝∠P+∠CBP，∴∠ACD＝∠P+∠ABC，即2∠ACD＝3∠P+∠ABC，∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A＝m°，∴∠BPC＝∠A+∠ABC＝m°+20°．综上所述：∠BPC的度数为：m°或m°+20°．故答案为：m°或m°+20°．18．解：（1）如图所示，连接AD，AF交DE于点M，∵∠AMD＝∠EMF，∠AMD+∠FAD+∠ADE＝180°，∠E+∠F+∠EMF＝180°，∴∠E+∠F＝∠ADE+∠FAD，∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝∠BAD+∠ADC+∠B+∠C＝360°；故答案为：360；（2）如图，连接AE，FE交AH于点M，∴∠F+∠G+∠H+∠FMH＝360°，∠AME+∠MAE+∠MEA＝180°，∵∠AME＝∠FMH，∴∠F+∠G+∠H+（180°﹣∠MAE﹣∠MEA）＝360°，∴∠MAE+∠MEA＝∠F+∠G+∠H﹣180°，∵∠BAM+∠B+∠C+∠D+∠MED+∠MEA+∠MAE＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠BAM+∠B+∠C+∠D+∠MED+（∠F+∠G+∠H﹣180°）＝540°，∴∠BAM+∠B+∠C+∠D+∠MED+∠F+∠G+∠H＝540+180°＝720°∴二环四边形的内角和为：720°；∵二环三角形的内角和为：360°＝360°×（3﹣2），二环四边形的内角和为：720°＝360°×2＝360°×（4﹣2），∴二环五边形的内角和为：360°×（5﹣2）＝1080°，∴二环n边形的内角和为：360（n﹣2）．故答案为：720°，1080°，360（n﹣2）．19．解：（1）设∠CAD＝2x，∠CBD＝2y，根据∠CAD和∠CBD的角平分线相交于点P可知：∠CAP＝∠PAD＝x，∠CBP＝∠DBP＝y，∵三角形的内角和等于180°，∠C＝35°，∠D＝29°，∴∠C+∠CAD＝∠D+∠CBD，即35°+2x＝29°+2y①．∵∠AEB是△APE与△DBE的外角，∴∠P+∠EAP＝∠D+∠DBP，即∠P+x＝29°+y②．同理，∵∠AFB是△ACF与△BFP的外角，∴∠C+∠CAP＝∠P+∠CBP，即35°+x＝∠P+y③，①﹣②得，y＝x+35°﹣∠P④，①﹣③得，x＝y+29°﹣∠P⑤，④代入⑤得，x＝x+35°﹣∠P+29°﹣∠P，2∠P＝35°+29°，解得∠P＝32°；（2）∠P＝（∠C+∠D），理由如下：由（1）同理可知：2∠P＝∠C+∠D，解得∠P＝（∠C+∠D）．20．解：（1）在△ABC中，∠A＝73°，∠B＝43°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣73°﹣43°＝64°．射线BD