梁的弯扭失稳

第四章梁的弯扭失稳在最大刚度平面内承受弯曲作用的理想弹性梁，如图4.1所示，在侧向没有足够的支撑，且侧向刚度很差，当弯矩到达某一限值时，梁产生突然侧向弯曲变形u和扭转角，此现象称为弯扭失稳。属于第一类稳定问题，即分岔失稳或分支点失稳。图4.1受弯构件的弯矩与侧扭变形图4.1中，在分岔点A之前，梁处在平面内稳定的弯曲平衡状态；从分岔点A开始出现了不稳定的平面弯曲加侧扭变形的中性平衡状态，图中水平线a。实际受弯构件在弯曲平面内和平面外都存在几何缺陷，构件一受弯就会产生侧扭变形，其应属于第二类稳定问题，即极值点失稳。图中b是弹性弯矩—变形曲线，实际弯矩一变形曲线应为c，是截面边缘纤维开始屈服时对应的弯矩，是极限弯矩。4.1梁的弹性弯扭失稳对图4.2a所示单轴对称截面纯弯梁，采用固定坐标xyz的移动坐标系ξζ，截面的形心o和剪心s在弱轴y上，剪心矩为。在yz平面内作用着绕强轴x的均匀弯矩，当产生平面外微小的侧扭变形时，任意截面的受力和变形如图4.2b、c所示。分析时采用如下假定：构件为弹性体；弯曲和扭转时，构件截面的形状不变；构件的侧扭变形是微小的；构件为等截面且无缺陷；在弯矩作用平面内的刚度很大，屈曲前变形对弯扭屈曲的影响忽略不计。用平衡法求解纯弯构件弯扭屈曲临界弯矩时可以直接利用第三章所建立的单轴对称截面压弯构件的平衡方程，只需令方程〔3.46〕，〔3.47〕，〔3.50〕中的P=0即可得到三个平衡方程：〔4.1〕〔4.2〕〔4.3〕方程〔4.1〕是解耦的，方程〔4.2〕与方程〔4.3〕是耦联的，对方程〔4.2〕微分两次，对方程〔4.3〕微分一次后可得到一般受力条件下的单轴对称截面受弯构件弹性弯扭屈曲的微分方程。即〔4.4〕〔4.5〕图4.2纯弯梁的受力与弯扭变形4.1.1支撑条件对梁弯扭失稳临界弯矩的影响1.两端简支的纯弯构件对方程〔4.4〕积分两次后得〔4.6〕引入边界条件,有A＝B＝0，那么由式〔4.6〕得〔4.7〕将式〔4.7〕代入式〔4.5〕后〔4.8〕令，，那么式〔4.8〕可写作〔4.9〕方程〔4.9〕的通解为〔4.10〕式中〔4.11〕〔4.12〕由边界条件，得到〔4.13〕〔4.14〕〔4.15〕〔4.16〕由,,和有非零解条件，得到稳定方程000100=0〔4.17〕展开后〔4.18〕由于,那么有可能或。假设那么，这样四个常数全为零，因此只有，即可以得到最小值，将中、的表达式代入，那么得到的最小值，也即是纯弯构件的弯扭屈曲临界弯矩〔4.19〕将代入式〔4.13〕～〔4.16〕中可得，这样构件的扭转角为〔4.20〕把式〔4.20〕代入式〔4.2〕且积分两次后，引入边界条件可得〔4.21〕可见按照小变形理论求解时，只能了解构件屈曲时变形曲线为正弦半波曲线，与轴心受压构件分支点屈曲问题一样不能具体确定变形幅值。两端固定的纯弯梁两端绕强轴x弯曲为简支，绕弱轴y弯曲和绕z轴的扭转均为固定的边界条件是,,符合这些边界条件的变形函数为，代入耦联方程〔4.4〕和方程〔4.5〕后，得到临界弯矩〔4.22〕悬臂纯弯梁悬臂梁固定端的边界条件为,；自由端的边界条件为。满足这些边界条件的变形函数为，将上式代入方程〔4.4〕和方程〔4.5〕后，得到临界弯矩〔4.23〕当构件端部约束条件不同或在跨中设置侧向支撑以限制构件侧移和扭转时，引进计算长度系数和后，式〔4.19〕、式〔4.22〕、式〔4.23〕可以写成临界弯矩通式〔4.24〕双轴对称截面梁〔如工形和箱形截面〕，点对称Z形截面以及绕对称轴弯曲的单轴对称截面〔如槽形截面〕，它们的不对称截面常数，如不计剩余应力影响〔〕，那么临界弯矩表达式变为〔4.25〕当两端简支时，进一步简化为〔4.26〕荷载作用类型对梁弯扭失稳临界弯矩的影响1.不等端弯矩作用的梁如图4.3所示两端简支的双轴对称工字形截面梁，在两端作用有不相等的弯矩和，且，那么在任意截面的弯矩为，代入式〔4.4〕、式〔4.5〕后得到〔4.27〕〔4.28〕式〔4.27〕、式〔4.28〕是藕联的变系数微分方程，可用数值法或能量法求解。用Ritz法可以得到目前通用的不等端弯矩作用双轴对称截面梁的临界弯矩计算公式〔4.29〕式中为临界弯矩修正系数，或称为受弯构件的等效弯矩系数，对图4.3所示受力条件，可以推导出〔4.30〕式中、使梁在弯矩作用平面内产生同向曲率变形的取同号，且；使梁产生异向曲率变形的取异号，且要求。图4.3不等端弯矩作用的梁2.横向荷载作用的梁对于图4.4所示的两端简支的单轴对称截面梁，在横向均布荷载和跨中集中荷载作用下，总势能的表达式为〔4.31〕图4.4横向荷载作用的梁横向均布荷载作用的梁用Ritz法求解临界弯矩时，假定符合几何边界条件的变形函数为，，而，代入式〔4.31〕，如不计剩余应力，经积分后得到〔4.32〕由，可得〔4.33〕式中，那么梁的稳定方程为=0解之可得梁的临界弯矩〔4.34〕〔2〕横向集中荷载作用的梁将方程〔4.4〕积分两次后得到，根据两端简支的边界条，，可得，那么有，代入式〔4.31〕后，总势能表达式变为〔4.35〕用Ritz法求解时，假定符合几何边界条件的变形函数为，如不计剩余应力，那么代入式〔4.35〕，经积分后得〔4.36〕由势能驻值原理，并令，那么梁的稳定方程为〔4.37〕解之得临界弯矩〔4.38〕考虑不同边界条件，不同荷载情况后得到受弯构件弯扭屈曲临界弯矩的通式〔4.39〕式中：——临界弯矩修正系数，取决于作用于受弯构件上荷载的形式；——荷载作用点位置影响系数；——荷载形式不同时对单轴对称截面的修正系数。具体取值见表4.1。将上式与纯弯构件的的比值记为，那么上式可以写成另一个通时〔不计〕〔4.40〕式中等效弯矩系数的取值见表4.2。表4.1梁临界弯矩计算公式中的系数表4.2等效弯矩系数注：1〕截面为双轴对称截面，荷载作用于截面的剪心2〕表4.2〔b〕中，为无支承梁段内的最大弯矩的绝对值；MA为无支承梁段内1/4点处弯矩的绝对值；MB为无支承梁段中点弯矩的绝对值；MC无支承梁段内3/4点处弯矩的绝对值。【例题4.1】计算图4.5(a)所示两端简支的双轴对称的焊接工形截面受弯构件临界弯矩和等效弯矩系数。截面尺寸见图4.5(b)，不计剩余应力影响，屈服强度，比例极限，弹性模量，剪切模量。跨中的集中荷载分别作用于截面的上翼缘、剪心和下翼缘。[解]截面的几何性质：，，，，，。临界弯矩修正系数，荷载作用点位置影响系数，临界弯矩计算公式为图4.5跨中集中荷载作用的梁1〕当荷载作用于截面的上翼缘时，纯弯构件的临界弯矩那么等效弯矩系数2〕当荷载作用于截面剪心时，3〕当荷载作用于截面的下翼缘时，从上面计算中可以看出，三种荷载作用点不同时，等效弯矩系数的比值是1:1.66:2.74，说明荷载作用点位置不同时临界弯矩的差异很大。除了荷载作用于截面上翼缘的临界应力，即在弹性状态屈曲外，其他两种情况的临界应力都超过了比例极限，均在弹塑性状态屈曲。4.2梁的弹塑性弯扭失稳如果梁的侧向弯曲长细比不是很大，梁在失稳时截面应力超出弹性范围，会发生弹塑性弯扭失稳。对焊接组合的截面梁，在焊缝近旁处的剩余应力有时高达材料的屈服强度，当梁一开始受载时，截面就会出现局部范围的屈服，特别是受压翼缘局部进入塑性对梁整体稳定会产生不容无视的影响。求解梁弹塑性弯扭失稳问题，可以采取一个典型的截面和典型的剩余应力分布模式，考虑几何缺陷，用数值方法得到梁的临界弯矩。图4.6为两端简支的双轴对称工型截面纯弯梁，剩余应力分布如图4.6〔a〕，且<，在弯矩作用下，上翼缘外侧首先屈服。假定材料为理想弹塑性体，应力屈服后，，而。在弹塑性状态，截面将形成单轴对称截面，截面弹性区为图4.6(d)的非阴影局部，中和轴向下移动，剪心下移，图4.6(b)中的虚线即为剪心线。将截面的翼缘，腹板划分为许多单元，单位面积为；中心坐标为。图4.6弹塑性状态的纯弯梁求解梁弹塑性弯扭失稳临界弯矩的数值方法计算步骤如下：〔1〕建立截面的关系先给定曲率，那么有对应的弯曲轴坐标，截面任一点的应力、应变满足,,当时，当时，当时由重新确定弯曲轴的位置，假设与前面相差较大，那么应调整，直到满足精度要求，那么与对应的弯矩再给定另一个曲率，又可得到与其对应的，从而建立关系。〔2〕计算截面几何性质参数将梁沿纵向划分为许多单元，确定了分级弯矩对应的每个单元中点截面弹性分布范围后，就可以求出单元中点截面弹性区的，，，以及剪心矩和Wagner效应系数。(3)建立单元平衡方程，形成各单元线形方程组的系数矩阵参照方程〔4.4〕、〔4.5〕的推导，可以得到单元的平衡方程式中为Wagner效应系数，且引入变形函数，代入方程组后可以形成单元的线性代数方程组，得到系数矩阵。(4)求解临界弯矩将各单元系数矩阵组合，形成总系数矩阵，屈曲条件是与矩阵对应的行列式。实际的判别准那么为：当前后两轮迭代得到的系数矩阵对应的行列式满足，且对应的M满足，那么解得的弯矩M即为临界弯矩。图4.7为电算框图。图4.7梁临界弯矩的电算框图4.3梁的弯扭失稳理论在设计中的应用钢结构设计中，为了保证梁不发生弯扭失稳，要求或写成标准采用的形式(4.41)式中为绕强轴作用的最大弯矩，为按受压纤维确定的梁毛截面的抵抗矩，为抗力分项系数，为临界应力，为梁的整体稳定系数。对图4.8所示单轴对称截面梁，结合式〔4.40〕，那么(4.42)引入两个系数、，其中是图4.8中受压上翼缘结轴的惯性矩与全截面的惯性矩的比值，即；为截面的不对称影响系数:对双轴对称的工形截面对单轴对称的工形截面加强受压翼缘〔图4.8〔a〕〕加强受拉翼缘〔图4.8(b)〕截面的自由扭转惯性矩简化为，翅曲惯性矩，，，，，代入式〔4.42〕后可得到焊接工形等截面简支梁的整体稳定系数计算公式(4.43)当由式〔4.43〕算得时，应用代替值：(4.44)图4.8单轴对称截面【例题4.2】图4.9a为两端简支的受弯构件，在其中点有一侧向支撑并作用有集中荷载Q。构件的截面有如图4.9b、c和d三种尺寸，翼缘均具有火焰切割边。构件长度10m，钢材Q235，，强度设计值。确定屈曲荷载的设计值。图4.9等截面受弯构件[解]1〕按照图4.9b截面尺寸计算屈曲荷载截面几何性质参数：，，，，。由表4.2查出。由式(4.43)得到那么受弯构件的弹塑性弯扭屈曲的稳定系数为由，而，那么有2〕按照图4.9c截面尺寸计算屈曲荷载截面几何性质参数：，，，，，。由表4.2查出。3〕按照图4.9d截面尺寸计算屈曲荷载截面几何性质参数：，，，，，。由表4.2查出。从上面的计算可知，虽然三种受弯构件的受力和支承条件都是相同的，截面面积也一样，但是因为上翼缘的宽度不同，屈曲荷载的设计值存在较大差异，它们之间的比例关系是1:1.225:0.910，其中以加宽受压翼缘的焊接工形截面受弯构件的屈曲荷载最大。习题4.1用平衡法推出图4.10所示单轴对称工形截面悬臂梁受纯弯矩作用时的弹性弯扭屈曲临界弯矩。图4.10习题4.1图4.2用里兹法或迦辽金法推出图4.11所示两端简支的双轴