第01讲圆（10类题型）

第01讲圆（10类题型）课程标准学习目标1.圆的基础概念；2.确定圆的条件；3.点与圆的位置关系；1.掌握的圆的基本概念；2.掌握点与圆的位置关系；3、掌握确定圆的条件；知识点01：圆（1）圆的定义1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．点拨：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。（2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。（3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。【即学即练1】1．（2022秋·浙江温州·九年级校联考阶段练习）已知的直径长为4，点A，B在上，则的长不可能是（）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】D【分析】根据圆上任意两点之间的距离一定小于等于圆的直径进行解答即可．【详解】解：∵的直径长为4，点A，B在上，∴，∴的长不可能是8，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了圆的基本知识，解题的关键是熟练掌握直径是圆中最长的弦．【即学即练2】2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）下列说法中，不正确的是（

）A．同圆中，直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的弧是等弧【答案】D【分析】根据圆的有关概念进行判断可得答案．【详解】解：A、同圆中，直径是最长的弦，说法正确，不符合题意；B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确，不符合题意；C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确，不符合题意；D、长度相等的弧是等弧，说法错误，符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了圆的认识，关键是掌握能重合的弧叫等弧．（2）点和圆的位置关系点和圆的位置关系点到圆心的距离与半径的关系图示文字语言符号语言点在圆内圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内点在圆内点在圆上圆内各点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上点在圆上点在圆外圆内各点到圆心的距离都大于半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆外点在圆外点拨：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。（2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。（3）弦、弧、圆心角1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作EQ\O(\s\up6(⌒),AB)，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．6．顶点在圆心的角叫做圆心角．名称概念注意图示弦连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦”直径是圆中最长的弦不一定是直径直径经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径”但弦不一定是直径弧、半圆、劣孤、优弧圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中半圆是弧，但弧不一定是半圆等圆能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤长度相等的孤不一定是等孤【即学即练3】3．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图所示，点M是⊙O上的任意一点，下列结论：①以M为端点的弦只有一条；②以M为端点的直径只有一条；③以M为端点的弧只有一条．则（）A．①、②错误，③正确 B．②、③错误，①正确C．①、③错误，②正确 D．①、②、③错误【答案】C【分析】根据弦的定义对①进行判断；根据直径的定义对②进行判断；根据弧的定义对③进行判断．【详解】解：以M为端点的弦有无数条，所以①错误；以M为端点的直径只有一条，所以②正确；以M为端点的弧有无数条，所以③错误．故选：C．【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．【即学即练4】4．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先利用勾股定理可得，再根据“点在内且点在外”可得，由此即可得出答案．【详解】解：在中，，，，，点在内且点在外，，即，观察四个选项可知，只有选项C符合，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．三、确定圆的条件1．过已知点作圆条件类别过一点作圆过两点作圆过不在同一条直线上的三点作圆理论依据经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个圆形结论不在同一条直线上的三个点确定一个圆2．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．3．三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.【即学即练5】5．（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，，，．则△ABC的外心坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由BC两点的坐标可以得到直线BC∥y轴，则直线BC的垂直平分线为直线y=1，再由外心的定义可知△ABC外心的纵坐标为1，则设△ABC的外心为P（a，1），利用两点距离公式和外心的性质得到，由此求解即可．【详解】解：∵B点坐标为（2，1），C点坐标为（2，3），∴直线BC∥y轴，∴直线BC的垂直平分线为直线y=1，∵外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，∴△ABC外心的纵坐标为1，设△ABC的外心为P（a，1），∴，∴，解得，∴△ABC外心的坐标为（2，1），故选D．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，外心的性质与定义，两点距离公式，解题的关键在于能够熟知外心是三角形三边垂直平分线的交点．【即学即练6】6．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期中）已知在Rt中，，则Rt的外接圆的半径为（）A．4 B． C．5 D．【答案】D【分析】根据三角形外心的性质可知，直角三角形的外心为斜边中点，斜边为直径，先求斜边长，再求半径．【详解】在中，根据勾股定理得，，∵直角三角形的外心为斜边中点，∴的外接圆的半径为，故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形的外心的性质，勾股定理的运用，关键是明确直角三角形的斜边为三角形外接圆的直径．题型01圆的基本概念辨析1．（2022·广东湛江·岭师附中校联考一模）下列命题中，是真命题的个数有（

）直径是弦；弦是直径；半圆是弧；弧是半圆．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】根据圆的弦、弧的概念判断即可．【详解】解：直径是弦，是真命题；弦是直径，是假命题；半圆是弧，是真命题；弧是半圆，是假命题；故选：．【点睛】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解题的关键是要熟悉圆的有关概念．2．（2022秋·山东临沂·九年级统考期中）下列说法中正确的有（填序号）．（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．【答案】（1）（3）（4）【分析】根据弦、等圆、等弧的定义分别分析即可．【详解】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确；（2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同；（3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确；（4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦是直径．故答案为：（1）（3）（4）．【点睛】本题考查了圆的有关概念，熟练掌握弦、等圆、等弧的定义是解题的关键．3．（2022秋·九年级单元测试）已知：如图，矩形中交于点，求证：、、、个点在以为圆心，为半径的圆上．【答案】证明见详解【分析】根据矩形的性质，证明、、、到的距离相等即可．【详解】证明：四边形是矩形∴、且、，，、、、个点在以为圆心，为半径的圆上．【点睛】本题考查了矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分．题型02求圆中弦的条数1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（

）A．条 B．条 C．条 D．条【答案】A【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．【详解】解：图中的弦有，共2条．故选：A．【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键．2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，⊙O中，点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上，图中弦的条数有条．【答案】三/3【分析】根据弦的定义（连接圆上任意两点的线段叫做弦）进行分析，即可得出结论．【详解】解：根据弦的定义可得：图中的弦有AB，BC，CE共三条，故答案为：三．【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，充分理解其定义是解题关键．3．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．（1）在图1中，画山一条与相等的弦；（2）在图2中，画出一个与全等的三角形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，再证△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE；（2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应相等判定方法可证△ABC≌△A′B′C′（SSS）．【详解】解：（1）如图1，DE为所作；连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，∵OB=OD=OE=OC，在△BOC和△DOE中，，∴△BOC≌△DOE（SAS），∴BC=DE；（2）如图2，△A′B′C′为所作．连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，在△BOC和△B′OC′中，，∴△BOC≌△B′OC′（SAS），∴BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），∴AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），∴AC=A′C′，在△ABC和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性质与三角形全等判定与性质是解题关键．题型03求过圆内一点最长的弦1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆的基本性质可直接进行求解．【详解】∵圆中最长的弦为直径，∴．∴故选D．【点睛】本题主要考查弦的概念，正确理解圆的弦长概念是解题的关键．2．（2021秋·江苏镇江·九年级统考期中）小明同学非常喜欢数学，他在课外书上看到了一个有趣的定理“中线长定理”：在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则的最小值为．【答案】10【分析】根据矩形的性质得，，即，，即可得．【详解】解：如图，设点M为DE的中点，点N为FC的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值，∵DE=4，四边形DEFG为矩形，∴，，∴，∴，∴，故答案为：10．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形三条边的关系，中线长定理，解题的关键是掌握中线长定理．3．（2022春·九年级课时练习）如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图：(1)过点A作⊙O的直径AD；(2)过点B作⊙O的半径；(3)过点C作⊙O的弦．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）作射线，交于点，则线段即为的直径；（2）连接，线段即为所求；（3）连接，线段即为所求（答案不唯一）．【详解】（1）如图所示，作射线，交于点，则线段即为的直径；（2）如图所示，连接，线段即为所求；（3）如图所示，连接，线段即为所求的一条弦（答案不唯一）．【点睛】本题考查了圆的基本概念，连接圆上任意两点是圆的弦，直径是经过圆心的弦，半径是圆上一点与圆心的连线，掌握以上知识是解题的关键．题型04圆的周长和面积问题1．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为（

）A．π B．2π C．3π D．4π【答案】C【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可．【详解】解：由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为以2为半径的圆与以1为半径的圆组成的圆环的面积，即，故选：C．【点睛】本题考查的是圆的认识、圆的面积的计算，掌握圆的面积公式是解题的关键．2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·六年级校联考期中）如图，阴影部分的面积为cm2．（π取）【答案】【分析】根据，列出算式即可求解．【详解】解：（cm2），故答案为：．【点睛】本题主要考查阴影部分面积计算，掌握割补法和圆面积公式是关键．3．（2022春·九年级课时练习）为了落实“二十大”报告精神，办人民满意教育，决定重新修建学校运动场，设计图如下：两端是半圆形，中间是长方形．（取）(1)求这个运动场的周长．(2)求这个运动场的面积．(3)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成，塑胶跑道和草坪的面积比是：，每平方米草坪的价格是元，比每平方米塑胶的价格低，则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪的总费用是多少元？【答案】(1)(2)(3)（元）【分析】（1）用长方形的两条长边加上一个圆的周长即可；（2）用长方形的面积加上圆的面积；（3）根据等量关系列方程求出塑胶的单价，然后按比例分配求出塑胶跑道的面积和草坪的面积，进而求得结果；【详解】（1）解：运动场的周长：答：这个运动场的周长为米．（2）解：运动场的面积：答：运动场的面积为：（3）解：设平方米塑胶的价格为元根据题意得：解得：该运动场塑胶跑道的面积为：该运动场草坪的面积为：故总费用为：（元）【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，圆的基本知识；熟练根据等量关系列方程式解题的关键．题型05判断点与圆的位置关系1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在（）A．的内部 B．的外部C．上或的内部 D．上或的外部【答案】A【分析】先解一元二次方程，得到d值，再比较d与半径8的大小，若，则点P在的外部，若，则点P在的内部，若，则点P在上，即可解答．【详解】解：解方程可得，，，∵点P到圆心O的距离d为方程的一个根，∴，∴点P在的内部，故选A【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、解一元二次方程，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解答的关键．2．（2023春·九年级单元测试）如图，在矩形中，，，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A和点B有且只有一个点在内，则x的取值范围是．【答案】【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．【详解】解：在直角中，，，，∵点A和点B有且只有一个点在内，故答案为．【点睛】此题考查点与圆的位置关系，解题关键在于确定点与圆的位置关系．3．（2022春·九年级课时练习）在矩形中，，．(1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？(2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是．【答案】(1)点在内，点在外，点在上(2)【分析】（1）根据点到圆的位置关系，比较与圆的半径之间的大小关系，即可得解；（2）根据题意，和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，即可得解．【详解】（1）解：连接，，，，的半径为8，点在内，点在外，点在上；（2）解：，，，又以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，的半径的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，判断点与圆的位置关系，是解题的关键．题型06确定圆心（尺规作图）1．（2023河北）如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（

）A．点P B．点Q C．点R D．点M【答案】B【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到答案．【详解】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为．【答案】（2，1）【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为（2，1）．【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．3．（2023·黑龙江绥化·统考二模）如图，在中，，平分，(1)在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）．(2)在（1）的条件下，若，求的半径．【答案】(1)见解析(2)的半径为2．【分析】（1）作的垂直平分线与的交点为圆心，为半径作圆即可；（2）设的半径为x，根据勾股定理列方程求解．【详解】（1）解：如图：即为所求；

；（2）解：连接，设的半径为x，即，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即：，解得：，∴的半径为2．【点睛】本题考查了复杂作图，勾股定理．解题的关键是注意数形结合思想的应用．题型07求能确定的圆的个数1．（2023·江西·统考中考真题）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解．【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆，∴共有6个，故选：D．【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．2．（2023·全国·九年级专题练习）如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作个．【答案】3【分析】根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”确定圆的个数即可．【详解】过A、B、M；A、C、M；B、C、M共能确定3个圆，故答案为3．【点睛】本题考查了确定圆的条件，注：过三点作圆，分两种情况：①三点共线；②三点不共线．3．（2021春·九年级课时练习）已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上．（1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？（2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？（3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？【答案】（1）1个；（2）0个；（3）无数个．【分析】（1）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点，据此可得答案；（2）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点；（3）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心．【详解】解：（1）如图1，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点，∴当直线l与直线AB不垂直时，只能作1个圆；（2）如图2，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点，∴当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时，不能作圆；

（3）如图3，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心，∴当直线l是线段AB的垂直平分线时，能作无数个圆．【点睛】本题主要考查确定圆的条件，不在同一直线上的三点确定一个圆．即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．题型08求一点到圆上点距离的最值1．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为（

）A．3 B．14 C．6 D．8【答案】B【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P＇位置时，OP＇取得最小值，据此即可求解AB的最大值．【详解】解：∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°．∵点A与点B关于原点O对称，∴AO＝BO．∴AB＝2OP．若要使AB取得最大值，则OP需取得最大值，连接OM，交⊙M于点P＇，当点P位于P＇位置时，OP取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ＝3，MQ＝4，由勾股定理得：OM＝5．∵MP＇＝2，∴OP＇＝3．∵P在OP＇的延长线与⊙M的交点上时，OP取最大值，∴OP的最大值为3＋2×2＝7．则AB的最大值为7×2＝14．故选：B．【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最大值时点P的位置．2．（2023春·江苏连云港·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，，为上一个动点，连接，线段与线段关于直线对称，连接，当点从点运动到点时，点与点的最近距离为．【答案】【分析】由矩形的性质由勾股定理求出，即可求出答案．【详解】解：当点从点运动到点时，，点运动轨迹是圆弧，如图，矩形中，，，，点与点的最近距离为，故答案为：1．【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．3．（2022春·九年级课时练习）如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点，求PE＋PF的最小值．【答案】3【分析】由题意易得，BE＝1，AF＝2，进而把问题转化为求PB＋PA－3的最小值，即为求PB＋PA的最小值，过点B作BP⊥CD，并延长，交AD的延长线于点，进而问题可求解．【详解】解：由题意得BE＝1，AF＝2，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∴，，欲求PE＋PF的最小值，需先求PB＋PA－3的最小值，即求PB＋PA的最小值（如图52），过点B作BP⊥CD，并延长，交AD的延长线于点，如图53，∴，∵，，BC∥AD，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，即点B与关于DC对称，∴PB＋PA的最小值为，，∴PE＋PF的最小值等于3．【点睛】本题主要考查菱形的性质及圆的基本性质，熟练掌握菱形的性质及圆的基本性质是解题的关键．题型09求圆内的角度1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，的直径的延长线与弦的延长线交于点，且，已知，则等于（）A．36° B．30° C．18° D．24°【答案】D【分析】连接，如图所示，由圆中半径相等及已知，由等腰三角形的判定与性质，结合三角形外角性质得到，解方程即可得到答案．【详解】解：连接，如图所示：，在等腰中，，是的一个外角，，，，是的一个外角，，，，故选：D．【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆的性质、三角形外角性质、等腰三角形的判定与性质，数形结合，找准各个角度之间的和差倍分关系是解决问题的关键．2．（2023·安徽·统考一模）如图，为半圆O的直径，点C、D在半圆上，沿、折叠半圆，若点A、B的对应点落在同一点E处，则的度数为．【答案】/度【分析】根据折叠的性质得到，再根据平角的定义得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出，，再根据进行求解即可．【详解】解：由折叠的性质可知，∵，∴，∵，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等边对等角，折叠的性质，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．3．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，为的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E，若，试求的度数．【答案】．【分析】利用半径相等和等腰三角形的性质求得，从而利用三角形的外角的性质即可得答案．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了圆的认识、等腰三角形的性质及三角形外角性质，属于基础题，熟练掌握相关性质是解题关键．题型10求圆内的线段长1．（2023秋·九年级单元测试）如图，⊙O的直径CD垂直弦于点E，且，则（）A．4 B．2 C． D．【答案】C【分析】连接，根据题意先求出半径，在中，利用勾股定理求解．【详解】解：连接，如图所示．，，，，在中，．故选：C．【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，熟练运用相关定理是解题的关键．2．（2022秋·九年级单元测试）如图，等腰直角中，，，为线段上一动点，连接，过点作于，连接，则的最小值为．【答案】【分析】根据，是定值，可知点是在以为直径的半圆上运动，当、、三点共线时，最短，借助勾股定理求解．【详解】解：，是定值，点是在以为直径的半圆上运动（不包括点和点），连接，则．，当、、三点共线时，最短，此时．故答案为．【点睛】本题主要考查勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是找准点运动的轨迹．3．（2023·湖北武汉·校考一模）如图，在中，，点D，E在上，．过A，D，E三点作，连接并延长，交于点F．(1)求证；(2)若，求的半径长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）如图所示，连接，先证明．得到，再由得到垂直平分，即可证明；（2）利用三线合一定理得到．则．求出．设半径为r，则．在中，利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】（1）证明：如图所示，连接，∵．∴．又∵．∴．∴，又∵．∴垂直平分，∴．（2）解：∵．∴．∵．∴．∵．∴．设半径为r，则．在中，，∴，解得．∴的半径长为5．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质和判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．A夯实基础1．（2023春·山东潍坊·七年级校考阶段练习）下列说法：①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦，其中正确的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】A【分析】根据圆有关定义：等弧是能够重合的两个弧，而长度相等的弧不一定是等弧，圆上任意两点的连线段是弦等知识分别判断得出答案即可．【详解】解：①面积相等的圆的半径相等，由等圆的定义可知，半径相等的两个圆也周长相等，所以为等圆，故此选项正确，符合题意；②过圆心的线段是直径，根据圆的直径的含义可知：通过圆心的线段，因为两端不一定在圆上，所以不一定是这个圆的直径，故此选项错误，不符合题意；③长度相等的弧是等弧，因为等弧就是能够重合的两个弧，而长度相等的弧不一定是等弧，所以等弧一定是同圆或等圆中的弧，故此选项错误，不符合题意；④圆上任意两点的连线段是弦，半径只有一个端点在圆上，所以半径不是弦，此项错误，不符合题意；故选：A．【点睛】此题主要考查了确定圆的条件以及圆的相关定义，熟练掌握其定义是解题关键．2．（2023秋·黑龙江大庆·六年级大庆一中校考阶段练习）两个连在一起的皮带轮，其中一个轮子的直径是，当另一个轮子转1圈时，它要转3圈，另一个轮子的周长是（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可知，当大轮转一圈时，小轮转3圈，也就是大轮的直径是小轮直径的3倍，根据圆的周长公式即可解答．【详解】解：根据题意可知，当大轮转一圈时，小轮转3圈，也就是大轮的直径是小轮直径的3倍，即校园的直径为，所以另一个轮子的周长是．故选：C．【点睛】本题主要考查圆的周长公式，由大轮子转一圈、小轮子转3圈得到大轮的直径是小轮直径的3倍是解题的关键．3．（2023春·安徽合肥·九年级校考开学考试）已知的直径长为6，点A，B在上，则的长不可能是：（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】根据圆的弦长小于等于直径长即可判断；【详解】解：∵圆的弦长小于等于直径长，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查圆的性质，掌握圆的性质是解题的关键．4．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在的正方形网格中（小正方形的边长为），有个点，，，，，，以为圆心，为半径作圆，则在外的点是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据格点的特点，勾股定理，分别计算出的值，与圆的半径进行比较，即可求解．【详解】解：在的正方形网格中小正方形的边长为，∴，，，，∵的半径为，，，，∴在外的点是，故选：．【点睛】本题主要考查圆与点的位置关系，掌握圆的基础知识，格点中勾股定理的运用等知识是解题的关键．5．（2023秋·九年级课时练习）如图所示的圆可记作，图中半径有条，分别是．【答案】3，，【分析】根据圆的基本概念进行作答即可．【详解】解：由图可知，图中半径有3条，分别是，，．故答案为：3；，，．【点睛】本题考查了圆的基本概念，正确掌握圆的基本性质相关内容是解题的关键．6．（2023秋·九年级课时练习）如图，圆中以为一个端点的劣弧有条．【答案】3【分析】根据劣弧的定义，所对圆心角小于180度的圆弧叫作劣弧，求解即可．【详解】解：由图形可得，以为一个端点的劣弧有、、，有3条故答案为：3【点睛】此题考查了劣弧的定义，解题的关键是理解劣弧的定义．7．（2023秋·九年级课时练习）三角形的外接圆与外心（1）的三个点确定一个圆；（2）三角形的外接圆：经过三角形的三个的圆；（3）三角形的外心：三角形的圆心．它是三角形三边的交点，到三角形三个的距离相等．【答案】不在同一直线上顶点外接圆垂直平分线顶点【分析】不在同一条直线上的三个点确定一个圆；经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．外心到三角形任意一顶点的距离即为外接圆的半径．据此填空即可．【详解】解：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆；（2）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆；（3）三角形的外心：三角形外接圆的圆心．它是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等．故答案为：不在同一直线上；顶点；外接圆；垂直平分线；顶点．【点睛】本题考查三角形的外接圆和内心的确定等，熟练掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点是解题的关键．8．（2023秋·江苏南京·九年级校考开学考试）如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么先到达B地【答案】猫和老鼠同时到达【分析】利用圆的周长公式即可求解．【详解】解：以为直径的半圆的长是：；设四个小半圆的直径分别是a，b，c，d，则，则老鼠行走的路径长是：．故猫和老鼠行走的路径长相同，同时到达，故答案为：猫和老鼠同时到达．【点睛】本题考查了圆的周长，熟练掌握其计算公式是解题的关键．9．（2023·浙江·九年级假期作业）在直角坐标平面内，的半径是5，圆心的坐标为，试判断点与的位置关系．【答案】点在上【分析】先用两点距离公式计算出，再跟5作比较即可得出结论．【详解】解：，因为半径为5，所以点在上．【点睛】本题主要考查的是两点距离公式以及点与圆的位置关系，掌握两点距离公式是解题的关键．10．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r．（1）当r取什么值时，点A在⊙C外？（2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．【答案】（1）r<3时，点A在⊙C外；（2）3<r<4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外【分析】（1）根据点A在圆外，则点A到圆心C的距离大于半径r，从而可得r的取值；（2）根据点A在圆内，则点A到圆心C的距离小于半径r，根据点B在圆外，则点B到圆心C的距离大于半径r，两者结合起来即可得到r的取值范围．【详解】（1）点A在⊙C外，则AC>r，即r<3即当r<3时，点A在⊙C外；（2）点A在⊙C内，则AC<r，即r>3；点B在⊙C外，则BC>r，即r<4，综合起来，当3<r<4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径的大小关系即可确定点与圆的位置关系，掌握它是解答本题的关键．B能力提升1．（2023春·河北石家庄·九年级校考开学考试）在数轴上，点所表示的实数为3，点所表示的实数为，的半径为2，下列说法错误的是（

）A．当时，点在内 B．当时，点在内C．当时，点在外 D．当时，点在外【答案】A【分析】先找出与点的距离为2的点1和5，再根据点与圆的位置关系的判定方法即可解．【详解】解：由于圆心在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，当时，与数轴交于两点：1、5，故当、5时点在上；当即当时，点在内；当即当或时，点在外．由以上结论可知选项、、不符合题意，选项符合题意．故选：．【点睛】题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．2．（2023秋·九年级课时练习）已知的半径为，A为线段的中点，当时，点A与的位置关系是（

）A．点A在内 B．点A在上C．点A在外 D．不能确定【答案】A【分析】根据中点得到，结合点与圆的关系直接判断即可得到答案；【详解】解：∵A为线段的中点，，∴，∴点A在内，故选A；【点睛】本题考查点与圆的位置关系，掌握利用点与圆心的距离d与圆的半径r的大小关系来判断点与圆的位置关系是解题的关键．点与圆的位置关系：点到圆心的距离小于半径在圆内，等于半径在圆上，大于半径在圆外．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点A，B，C均在上，若，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，根据等边对等角得出，则，最后根据等角对等角得出，即可求解．【详解】解：如图，连接，∵，∴，∵，∴，∵，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握半径相等，等腰三角形“等边对等角”．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，为半径作，点M的坐标是，则点M与的位置关系是（

）A．M在圆内 B．M在圆外 C．M在圆上 D．无法确定【答案】C【分析】直接利用点与圆的位置关系进而判断得出答案，点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外；假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：，点在圆内，点在圆上，点在圆外．【详解】解：∵点M的坐标是，∴点M与原点O的距离为，又∵的半径为，∴点M与的位置关系是点M在圆上．故选：C．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，正确把握判定方法是解题关键．5．（2023秋·江苏南京·九年级校考开学考试）一个点到圆上的点的最小距离为，最大距离为，则圆的半径为cm．【答案】8或2/2或8【分析】由于点与圆的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论．【详解】解：分为两种情况：①当点在圆内时，如图1，∵点到圆上的最小距离，最大距离，∴直径，∴半径；②当点在圆外时，如图2，∵点到圆上的最小距离，最大距离，∴直径，∴半径，综上所述，圆的半径为或，故答案为：8或2．【点睛】考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．6．（2023秋·黑龙江大庆·六年级校联考阶段练习）一个圆形花坛的半径是米，直径是米，它的面积是平方米，绕花坛走一圈，走了米．【答案】【分析】根据圆的基础知识即可求解．【详解】解：圆形花坛的半径是米，∴直径是（米），∴面积为（平方米），周长为（米），故答案为：，，．【点睛】本题主要考查圆的基础知识，掌握圆的半径与直径的数量关系，圆面积的计算公式，圆周长的计算公式是解题的关键．7．（2023秋·九年级课时练习）如图，是的直径，弦的延长线与的延长线交于点．若，，则．【答案】28【分析】设，根据等腰三角形的性质，由得，再根据三角形外角性质得，则，然后根据三角形外角性质得，解得，最后利用三角形内角和定理计算的度数．【详解】解：设，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，解得，∴．故答案为：28．【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．8．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）如图，在中，，，D为上一点，，以C为圆心，长为半径作圆，连结并延长交于另一点E，若，则的长为．【答案】【分析】结合圆的性质证明，设，过作，垂足为F，利用直角三角形的性质求出，，根据的长度以及勾股定理列出方程，解之即可．【详解】解：∵，点E在上，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴，设，则，过作，垂足为F，∵，∴，，∴，∴，解得：，即，故答案为：．【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，知识点较多，比较复杂，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理计算线段长度．9．（2023秋·九年级课时练习）如图，四边形是矩形．求证：，，，四点在同一个圆上．【答案】见解析【分析】连接，，交于点，证明，即可求证，【详解】证明：连接，，交于点，∵四边形是矩形∴，∴，，，四点在以为圆心，以长为半径的同一个圆上．【点睛】此题考查了与圆有关的证明，涉及了矩形的性质，解题的关键是掌握圆的概念以及矩形的性质．10．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知：的半径，过点A作，在上截取，连结，的外接圆，交于点C，连．(1)请在图中作出线段并求的半径，（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法和证明）．(2)求证：垂直平分线段．【答案】(1)作图见解析，的半径为；(2)见解析【分析】（1）利用作垂直平分线的方法作出射线和的中点，利用勾股定理求得的长，即可得到的半径；（2）连接，根据半径相等推出，，即可证明结论成立．【详解】（1）解：线段如图所示，∵，，，∴，∴的半径为；（2）证明：连接，∵，，∴垂直平分线段，即垂直平分线段．【点睛】本题考查了三角形外接圆的性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．C综合素养1．（2023秋·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，是以点为圆心，为半径的圆．则下列说法正确的是（

）A．原点在外 B．原点在内C．原点在上 D．无法确定【答案】C【分析】先根据点的坐标求出的长，再比较与半径的大小即可判断坐标原点与的位置关系．【详解】解：∵点P的坐标是，∴，而的半径为，∴等于圆的半径，∴点在上．故选：C．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，设的半径为r，点P到圆心的距离，则有点P在圆外⇔；点P在圆上⇔；点P在圆内⇔．2．（2023秋·九年级课时练习）在平面直角坐标系中，将平行四边形的顶点置于坐标原点，点坐标为，点坐标为，以为直径画圆，则顶点与这个圆的位置关系是()A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定【答案】B【分析】根据平行四边形的性质可确定点坐标为，易得的中点的坐标，再利用勾股定理计算出的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：设的中点为，∵四边形为平行四边形，点坐标为，点坐标为，点坐标为，∴点A到点B向左移动10个单位长度，点D到点C也向左移动10个单位长度，∴点坐标为，又∵的中点为，∴点坐标为即，∴，∵点坐标为，点坐标为，以为直径画圆，∴的半径为，∴点在上．故选：B．【点睛】本题考查点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．也考查了坐标与图形，中点坐标公式，平行四边形的性质，两点间的距离．3．（2023秋·九年级课时练习）直角三角形的两条直角边长分别是，，则这个直角三角形的外接圆的半径是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用勾股定理计算出直角三角形的斜边，然后根据直角三角形的斜边为它的外接圆的直径得到这个三角形的外接圆的半径．【详解】解：直角三角形的斜边，因为直角三角形的斜边