重庆市江津长寿巴县等七校2023年高考数学押题试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知。=5*,）=log4不,。=logs2，则a,4。的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

出=(

2.)

1-z

1+3Z3+i3-z-1+3;

B.-----C.D.--------

222

3.已知函数/（x）=占一十'+3,g（x）=—x+/w.+2,若对任意玉总存在£e[l,3],使得/（4户且仁）

x+1

成立，则实数团的取值范围为（）

17

A.-8方1,[9,+00)

179179

D.—00,—u万,+8

4

22

4.设双曲线与一y1（a>0,b>0）的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C

CT

分别作AC,AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于〃+朽方，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是

()

A.(-1,0)(0,1)

B.(l,+oo)

C.(-V2,0).(0,V2)

D.(-8,-0)U(0,+8)

5.设a,户是方程了2一%—1=0的两个不等实数根，记为=/+夕（〃eN*）.下列两个命题（）

①数列｛a,,｝的任意一项都是正整数;

②数列｛风｝存在某一项是5的倍数.

A.①正确，②错误B.①错误，②正确

C.①②都正确D.①②都错误

6.记单调递增的等比数列｛4｝的前〃项和为S.，若生+4=1。，4a34=64,则()

+ln

A.Sn+i-S„=2"B.an=2"C.S“=2"-1D.S„=2-'-\

7.如图所示，为了测量A、8两座岛屿间的距离，小船从初始位置C出发，已知A在。的北偏西45°的方向上，B在

C的北偏东15。的方向上，现在船往东开2百海里到达E处，此时测得8在E的北偏西30。的方向上，再开回C处，

由C向西开2#百海里到达。处，测得A在。的北偏东22.5°的方向上，则A、B两座岛屿间的距离为()

C.4D.472

8.若函数/3=，-小+2”'3=2.71828…为自然对数的底数)在区间［1,2］上不是单调函数，则实数加的取值

范围是()

510

A.C.2处

2'T，3

9.已知R为实数集，A={X|X2-1<0},8=卜|白11,则低3)=()

A.{x|-l<x<0}B.{^|0<%<1}C.{x|-l<%<0}D.{x|-l<x<0^U=l}

10.在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工

作，则不同的选法共有()

A.60种B.70种C.75种D.150种

11.已知h,c分别是ABC三个内角A,B,C的对边，acosC+GcsinA=Z?+c,则4=()

n..71△乃„27r

A.—B.-C.—D.—

6433

12.已知复数二满足(lT)z=4i,则|z|=()

A.2A/2B.2C.4D.3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x-y+l>0

13.实数x,丁满足约束条件<x+2y—240,则z=x-2y的最大值为.

)+220

14.已知他为偶函数，当xS0时，f(x)=e-x-'-x,则曲线厂网在点〃,2处的切线方程是.

15.已知数列｛&“｝中，S”为其前"项和，q=1,a“a“+]=2",贝！1%=>^200=.

16.等边AABC的边长为2,则A3在BC方向上的投影为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知直线/与抛物线C:f=4y交于M,N两点.

(1)当点M,N的横坐标之和为4时，求直线/的斜率；

11

(2)已知点?(1,-2),直线/过点Q(0,l),记直线PM,PN的斜率分别为匕，k,当厂+厂取最大值时，求直线/

2K]长2

的方程.

18.(12分)如图，四棱锥P—A3CD中，PAL底面ABC。，ABA.AD,点E在线段AD上，皂CEHAB.

(2)若Q4=AB=1,AQ=3,CD=O,NCO4=45°,求二面角P—底一8的正弦值.

19.(12分)如图，四棱锥P-ABC。中，底面ABCO是菱形，对角线4c,8。交于点为棱的中点,

MA=MC.求证:

p

(1)P3//平面AMC；

(2)平面PB£>_L平面AMC.

20.(12分)(1)已知数列｛4｝满足：4=1吗=之，且一瓶(尤为非零常数,〃22,〃eN*),

求数列2](〃>2,〃eN*)的前〃项和；

、an-\J

(2)已知数列｛4｝满足：

(i)对任意的〃eN*,0<bn<hn+]；

n=2k+\(kwN),bi---

(ii)对任意的〃N2,〃GN",2T也用=4/.(〃>0,Q>0,%>0),且胃=〃I%.

n=2k(kwN),4

①若〃=1,功=q2,求数列也｝是等比数列的充要条件.

②求证：数列仇也也也也也，…也正3也,“-2,…是等比数列，其中meN”.

21.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，P£)_L平面ABCD,底面ABC。是矩形，AD=PD,E,尸分别

是CD,心的中点.

(I)求证：所_L平面Q4B；

(II)设AB=J5BC=3，求三棱锥P—A£下的体积.

22.(10分)如图，已知四棱锥P—ABCZ),底面A8CO为边长为2的菱形，24_L平面ABC。，ZABC=60°,E

是8c的中点，PA=AB.

(I)证明：AE±PDt

(n>若F为PD上的动点，求EF与平面PA。所成最大角的正切值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

根据指数函数的单调性，可得〃再利用对数函数的单调性，将4c与1,'对比，即可求出结论.

【详解】

1L1

由题知。=55>5°=l,l>/j=log4V5>log42=-,

•og5V5=1

c=log52<则a>6>c.

故选:A.

【点睛】

本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题..

2.A

【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【详解】

2+i(2+/)(1+/)2+3i+『l+3z13.

---------=-----=--=-1-I

1-z(l-z)(l+z)2222

本题正确选项：A

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.

3.C

【解析】

将函数/(X)解析式化简，并求得r(x),根据当司目1,3］时/'(x)>0可得“X)的值域；由函数g(x)=-x+m+2

在今«1,3］上单调递减可得且优)的值域，结合存在性成立问题满足的集合关系，即可求得加的取值范围.

【详解】

依题意f(x)=2+3x+3=1+x+2(x+l)+l

v7x+1x+1

=XH--------F2,

x+l

则r(x)=i-i

(x+1)

当xe［l,3］时,r(x)>0,故函数〃x)在［1,3］上单调递增，

「72厂

当石41,3］时,/(xJe匕，wj；

而函数,式力=一%+加+2在［1,3］上单调递减，

故-1,m+1］,

_7

4

只需

21一1m

2-

41

一

7

1

机1<

^--2-n9

得-<m<

14-2-

1

加+>21

1-41

.

179

故实数〃，的取值范围为了，5

故选：C.

【点睛】

本题考查了导数在判断函数单调性中的应用，恒成立与存在性成立问题的综合应用，属于中档题.

4.A

【解析】

由题意4(u.O),c.),「((•.),

aa

根据双曲线的对称性知。在x轴上，设。(x,0),则由

b2b2

BD上AB得:/.q_［「,忖，

c-xc-aa2(a-c)

因为。到直线3c的距离小于〃+万，所以

a(a-c)a1

/7b

即0<一<1,所以双曲线渐近线斜率攵=±-£(—l,O)u(O,l),故选A.

aa

5.A

【解析】

利用韦达定理可得a+尸=1,妙=一1,结合4“=4+£”可推出。,用=an+”向,再计算出q=1,4=3，从而推出①

正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误.

【详解】

因为a,£是方程x2-x-l=O的两个不等实数根，

所以a+夕=l,a6=T,

因为a.=a"+〃,

所以+方用

=,"+4")a+(a"+4")p—B"a-"

=(〃'+4")(a+尸)一姐(a"-、夕i)

=(0"+夕)+(a"T+〃i)=%+%,

即当〃23时，数列｛%｝中的任一项都等于其前两项之和，

21

又4-a+/3^\,a2=a+0=（a+4『—23=3,

所以。3=。2+《=4,4=。3+。2=7,%=。4+。3=U，

以此类推，即可知数列｛q｝的任意一项都是正整数，故①正确；

若数列｛4｝存在某一项是5的倍数，则此项个位数字应当为0或5,

由q=1,4=3，依次计算可知，

数列｛«,,｝中各项的个位数字以134,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期，

故数列｛4｝中不存在个位数字为0或5的项，故②错误；

故选:A.

【点睛】

本题主要考查数列递推公式的推导，考查数列性质的应用，考查学生的综合分析以及计算能力.

6.C

【解析】

先利用等比数列的性质得到知的值，再根据外，4的方程组可得生，%的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通

项和前〃项和，根据后两个公式可得正确的选项.

【详解】

因为｛%｝为等比数列，所以4=44，故《=64即4=4,

=10=2=8,、=2

由■必可得■。或一C，因为｛",｝为递增数列，故一。符合.

a2aA=16[。4=2[a4=8

此时d=4,所以4=2或q=-2（舍，因为｛4｝为递增数列）.

故4=/个3=4*2"-3=2"7,5=吆匕）=2"-1・

“1-2

故选C.

【点睛】

一般地，如果｛4｝为等比数列，S“为其前〃项和，则有性质：

(1)若m,n,p,qGN*,m+n=p+q,则

(2)公比时，则有S“=A+3q",其中为常数且A+B=O；

(3)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,.为等比数列(5,尸0)且公比为q".

7.B

【解析】

先根据角度分析出NCBENAC民NZMC的大小，然后根据角度关系得到AC的长度，再根据正弦定理计算出的

长度，最后利用余弦定理求解出A3的长度即可.

【详解】

由题意可知：ZACB=60°,ZADC=67.5°,ZACD=45°,ZBCE=75°,NBEC=60°,

所以ZCBE=180。-75°-60。=45°,ZDAC=180。-67.5°-45°=67.5°,

所以NZMC=NAOC,所以。4=。。=26，

又因为一与一笑说,所以BC=2邑旦=布，

sinZBECsinZCBE2

所以A8=ylAC2+BC2-2ACBC-cosZACB^^24+6-2x276x76x1=372.

故选：B.

【点睛】

本题考查解三角形中的角度问题，难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键.

8.B

【解析】

求得“X)的导函数/'(x),由此构造函数g(x)=x2+(2-m)x+2-加，根据题意可知g(x)在(1,2)上有变号零点.

由此令g(x)=0,利用分离常数法结合换元法，求得机的取值范围.

【详解】

(元)="+(2—根)］+2—根］,

设g(x)=d+(2—6)1+2—加,

要使/(x)在区间［1,2］上不是单调函数，

即g(x)在(1,2)上有变号零点，令g(x)=0,

则x2+2x+2=m（x+l）,

令/=x+le（2,3）,则问题即根=，+1在re（2,3）上有零点，由于1在（2,3）上递增，所以机的取值范围是

故选：B

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于

中档题.

9.C

【解析】

求出集合A,B,说B,由此能求出A（3RB）.

【详解】

R为实数集，A={x|f_掇0}={x|_iy?i}>8={x|U呈}={x|O<x1},

x

跖8={x|x,。或x>1},

.♦.A&3）={x|-啜Ik0}.

故选：C.

【点睛】

本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

10.C

【解析】

根据题意，分别计算“从6名男干部中选出2名男干部”和“从5名女干部中选出1名女干部”的取法数，由分步计数原

理计算可得答案.

【详解】

解：根据题意，从6名男干部中选出2名男干部，有C；=15种取法，

从5名女干部中选出1名女干部，有C；=5种取法，

则有15x5=75种不同的选法；

故选：C.

【点睛】

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理问题，属于基础题.

11.C

【解析】

原式由正弦定理化简得sinCsinA=cosAsinC+sinC,由于sinCxO,0cA<»可求A的值.

【详解】

解：由acosC+GcsinA=0+c及正弦定理得sinAcosC+V3sinCsinA=sin8+sinC.

因为3=万一A—C,所以sin8=sinAcosC+cosAsinC代入上式化简得至)sinCsinA=cosAsinC+sinC.

由于sinCKO,所以sin(A-f=：.

JI

又0<A<%,故4=—.

3

故选：C.

【点睛】

本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.

12.A

【解析】

由复数除法求出z,再由模的定义计算出模.

【详解】

4/4z(l+z)

Z----------------------=-2+2i,\z\=2y/2.

1-Z(1-1)(1+/)

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.10

【解析】

画出可行域，根据目标函数截距可求.

【详解】

解：作出可行域如下：

y

由2=%一2,得,=L」Z,平移直线、=，」2,

22-22

当y=_Lx-_Lz经过点8时，截距最小，z最大

22

解得8（6,-2）

z=x-2y的最大值为10

故答案为：10

【点睛】

考查可行域的画法及目标函数最大值的求法，基础题.

14.y=2x

【解析】

试题分析：当X＞。时，-X＜0,则仆M+X.又因为他为偶函数，所以向=/T切=+X,所以/㈤="+1,

则"。=2,所以切线方程为"2=2伏-"即y=2x.

【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义

【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当》＞。时，函数则当。时，求函数的解析式”.有如下结论：若函数

向为偶函数，则当x＜。时，函数的解析式为必若向为奇函数，则函数的解析式为初

15.83x21°°-3(写为2m+2皿-3也得分)

【解析】

由q=l,凡%+1=2"得，的=2.当“22时，=2n-',所以手=2,所以｛4｝的奇数项是以1为首项，以2

an-\

为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列.则％=2x2?=8,

lx(l--2^)2x(l-2-)

+=2iroioi_33X2I00-3.

1-21-2+2=

16.-1

【解析】

建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解AB在方向上的投影即可.

【详解】

建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：4(0,0),3(2,0),C(1,V3),

则：AB=(2,0),8C=(-1,G),ABBC=-2

且网=2,|5C|=Vio,

ABBC-2,

据此可知AB在BC方向上的投影为|4DI=?=-1.

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3

17.(1)1(2)y=-x+l

2

【解析】

(1)设｝N%，?，根据直线的斜率公式即可求解；

(2)设直线/的方程为y="+l,M(玉,乂)，N(无2,%)，联立直线与抛物线方程，由韦达定理得玉+々，玉々，

11

结合直线的斜率公式得到厂+厂，换元后讨论/的符号，求最值可求解.

kyk2

【详解】

(1)设M%,才N工2’才

因为玉+w=4

,k内+*2_|>

,,、MN

Xl-X24

即直线的斜率为1.

(2)显然直线/的斜率存在,

设直线/的方程为＞=依+1,NG2,M).

y=Ax+l

联立方程组

x2=4y

可得炉―4"—4=0,

玉+%=4攵，XjX2=-4

x1-1+x2-l_2/cxlx2-i-(3-k)(xl+X2)-6

AXJ+3kx?+3女2玉％+3Z(X+%)+9

一止+北一6i8左一3

-------------------=——+--------------

8公+9216A2+18

令8攵一3=r,则左=虫

111M14

则z+匕=-2+/+6/+8广一5+,+q+6

1114141

--1=1--------S1---；-=

当"0时，kik22/+q+6-22a+63;

t

QIT

当且仅当r=—,即r=8左一3=9时，解得左=：时，取“=”号,

t2

1114z11

当r=()时,----1-----=-------1---------------=------<—.

Kk22/+6,+8123,

-1-1--1=---1k----A-t---=--1-1-----4---£---5----1、

当f<o时，kxk22/+6/+812_816'2)

12tH---FO*1-

综上所述，当&=』3时，厂1+厂1取得最大值-1-，

2k、h3

3

此时直线/的方程是y=]x+l.

【点睛】

本题主要考查了直线的斜率公式，直线与抛物线的位置关系，换元法，均值不等式，考查了运算能力，属于难题.

18.(1)证明见解析(2)好

5

【解析】

(1)要证明CEL平面PAO,只需证明CELB4,CELAD,即可求得答案；

(2)先根据已知证明四边形A8CE为矩形，以A为原点，A8为x轴，AD为)'轴，AP为z轴，建立坐标系A-A>，Z,

求得平面PEC的法向量为〃，平面8EC的法向量AP，设二面角P—。£一8的平面角为。，cos6=|cos〈〃,AP〉|,

即可求得答案.

【详解】

(1)PA_L平面ABC。，CEu平面ABCD,

PAICE.

AB±AD,CE//AB,

CE1AD.

又Q4cAD=A,

CEL平面尸A£).

(2)由(1)可知CE_LAD.

在用△EC。中，£>£-CDcos45°=1.

CE=CDsin45°=l.

AE^AD-ED^2.

又AB=CE=1,AB/ICE,

四边形ABCE为矩形.

以A为原点，A8为x轴，AD为，轴，AP为二轴，建立坐标系4一型，

如图:

z

则：40,0,0),C(l,2,0),E(0,2,0),P(0,0,l),

PC=(1,2,-1),PE=(0,2,—l)

设平面PEC的法向量为〃=(x,%z)，

n-PC=Q

n-PE=Q

x+2y-z=Q

即《

2y-z=0

令y=l,则z=2,x=0

n=(0,l,2)

由题PA_L平面ABCD,即平面BEC的法向量为AP=(0,0,1)

由二面角P-CE-B的平面角为锐角，

设二面角P-CE—8的平面角为。

即cos0-\cos(n,AP〉|=-—^―

sin0-71-cos20=£

二面角P—CE—8的正弦值为：逝.

5

【点睛】

本题主要考查了求证线面垂直和向量法求二面角，解题关键是掌握线面垂直判断定理和向量法求二面角的方法，考查

了分析能力和计算能力，属于中档题.

19.(1)详见解析；(2)详见解析.

【解析】

(1)连结根据中位线的性质证明PB//OM即可.

(2)证明4<7_13£>,4?_1/?£>再证明AC_L平面PBD即可.

【详解】

解：(1)证明：连结

。是菱形ABCD对角线AC、3。的交点，

.•.O为8。的中点，

"是棱P。的中点，

:.OM//PB,

OMu平面AMC,PB(Z平面AMC,

.■，8//平面40。，

(2)解：在菱形ABCO中,AC，应),且。为AC的中点，

MA=MC,

:.AC±OM,

OMcBD=O,

.•.4。_1平面。8。，

：ACu平面AMC,

平面PBD_L平面AMC.

【点睛】

本题主要考查了线面平行与垂直的判定,属于基础题.

20.(1)曳竽U；(2)①bm=l；②证明见解析.

【解析】

(1)由条件可得竽-9=2,结合等差数列的定义和通项公式、求和公式，即可得到所求;

anan-\

(2)①若〃=1,可令q=%=q,运用已知条件和等比数列的性质，即可得到所求充要条件；

②当k=2m,de也，向=〃4产，d1也,“一3=〃婢修，由等比数列的定义和不等式的性质，化简变形，即可得到所求

结论.

【详解】

解：(1)q=l,a2=A,且a：=q+/,1为非零常数，n..2,neN*),

可得%L_'="

an%

可得数列｛2｝的首项为X,公差为2的等差数列，

an-\

可得'=4"-]),前〃项和为奥等2；

(2)①若〃=1,可令1=%=9，%•%=/，

=-=-

且广=&必=q,即久=仇夕，"=3，^4TT>b5=bxq~9

44”24

对任意的〃wN*,Ov%%,可得0<4融2娘也工,

可得夕..1,々..1,

数列｛2｝是等比数列，则例=贴3,其=她，

可得々=q=l,b“-1.b“+\=1,即&=4===4=1，

又％也+3=1，即有%=4+3,即£=1，

数列｛b,,｝是等比数列的充要条件为a=4=%=4=1；

,,M，n=2k+KkGN*)

②证明：对任意的〃-2,neN*,%•%=〈”,*(〃〉0,功>0,d>0),

,n=2k(keN)

当k=2m,b4m_也加+1=〃夕丁9b41t.也吁3="夕产?,

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