2020-2021学年天津市六校高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年天津市六校高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共9小题，共36.0分)

1.设集合M={幻2—无>0},N={x|ZWxW3},则MCN=()

A.[1,2)B.[1,2]C.(2,3]D.[2,3|

2.有下列说法：

①一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人.按男、女比例用分层抽样的方法，从全体

运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是12人；

②在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1R2)9>0),若X在(0,1)内取值的概率为0.4,贝UX在

(0,2)内取值的概率为0.8.

③废品率x%和每吨生铁成本y(元)之间的回归直线方程为丫=2久+256，这表明废品率每增加1%，

生铁成本大约增加258元；

④为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名未使用血清和使用血清的人一年中的感冒记录作比

较，提出假设%：“这种血清不能起到预防作用”，利用2x2列联表计算得小的观测值k”

3.918,经查对临界值表知P(K2n3841)=0.05,由此，得出以下判断：在犯错误的概率不超

过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防的作用”，正确的有()

A.①②④B.①②③C.①③D.③④

3,下列哪个命题为真()

A.若a>h,贝!Jar>hr.;

B.若a>b,则ac?>be2；

C.“x=3'是"sinx=>‘的充要条件；

62

D.“通<->'是“方程”+冽=o”有实根”的充分不必要条件.

4

4.函数y=/(%)为定义在R上的减函数，函数y=/(%)关于原点对称，若％,y满足不等式/(/-

2%)+f(2y-y2)<0,则当14%44时，求x+2y的取值范围为()

A.[12,+oo)B.[0,3]C.[0,12]D.[3,12]

5.实数a=0.3db=log3().3,c=2、吃的大小关系正确的是()

A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

6.对任意的ae(0,1)u(L+8),则函数/(%)=log。％+2必过定点为()

A.(0,2)B.(1,0)C.(1,2)D.(0,3)

7.已知％=3是f(%)=asinx4-bcos%的一条对称轴，且最大值为2金,则函数g(%)=asinx+h()

A.最大值是4,最小值是0B.最大值是2,最小值是-2

C.最大值可能是0D.最小值不可能是-4

8.函数/(%)=Asin{(x)x+0)(4助9是常数,24>0,co>0,|^|<今

的部分图象如图所示，则y=/(%)在久e[-不勺上的取值范围是、告

A.[-y,V2]'

B.除夜]

C.

D.哈咽

9.设函数/(%)=4'若函数V=/(%)在区间(犯6+1]上单调递减，则实数小的取

值范围是()

A.[2,3]B.(2,3)C.(2,3]D.[2,3)

二、单空题(本大题共5小题，共20.0分)

10.弧长为3兀，圆心角为:兀的扇形的面积为.

11.函数/"CO=log2Vx」09俎2%)的最小值为.

12.函数/■(%)=cosx一|/gx|零点的个数为.

13.如下图所示，在平面直角坐标系xoy中，角a的终边与单位圆交于点44的纵坐标为4子，则

cosa=.

14.已知函数.&&=国-爵-就&M，或廊=W,对卷三R,,巽磁与或既的值至少有一个

为正数，则喉的取值范围是

三、解答题(本大题共5小题，共64.0分)

15.设集合2={x|—2<%<4],B=(x\2x<8],C={x\a<%<a+8].

⑴求ACB,AUB；

(2)若a=2,求(CRB)GC；

(3)若aac,求a的取值范围.

16.已知函数/(%)=4cosa)xsin(a)x-^)(a)>0)的最小正周期是兀.

(1)求函数/"(%)在区间(0,兀)上的单调递增区间；

e

(2)若/(比)=巳，x0[pf]>求cos2%o的值.

17.商场销售某一品牌的豆浆机，购买人数是豆浆机标价的一次函数，标价越高，购买人数越少，

把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每台300元.现在这种豆浆机的成

本价是100元/台，商场以高于成本价的统一价格(标价)出售.问：

(1)商场要获取最大利润，豆浆机的标价应定为每台多少元？

(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%,那么

豆浆机的标价应为每台多少元？

18.已知函数/(%)的图象是由函数g(X)=s讥%的图象经如下变换得到：先将g(%)图象上所有点的纵

坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)再将所得到的图象向左平移g个单位长度.

(1)求函数y=/(2%)在［0,兀］上的单调递增区间；

⑵已知关于%的方程f2(%)-4g(2%+］)=m+2在［0,兀)内有两个不同的解a,3求6cos(2a-2夕)-

源的值.

19.已知函数f(久)=2m加4—=ex-2mlnx(mER),ln2=0.693.

(1)讨论f(%)的单调性;

(2)若f(%)存在最大值M,g(%)存在最小值N,且MZN,求证：m>(.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：解：•集合M={x|2-x>0}={用久<2},N={x\l<x<3},

；.MCN=[1,2)

故选A

首先求出结合M,然后根据交集的定义求出结果即可.

本题考查一次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单.

2.答案：A

解析：解：①•••田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，.•・这支田径队有女运动员98-56=

42人,

用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为28的样本，

,每个个体被抽到的概率是=U=泉•田径队有女运动员42人，

二女运动员要抽取42x|=12人，①正确；

②某项测量中，测量结果X服从正态分布N(l«2)g>o),若X在(0,1)内取值的概率为0.4,由正态

分布的对称性可得：X在(0,2)内取值的概率为0.8,正确.

③废品率x%和每吨生铁成本y(元)之间的回归直线方程为丫=2x+256，这表明废品率每增加1%，

生铁成本每吨大约增加2元，因此不正确；

④为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名未使用血清和使用血清的人一年中的感冒记录作比

较,提出假设%：“这种血清不能起到预防作用”，利用2X2列联表计算得片的观测值kx3.918,

经查对临界值表知P(K223.841)《0.05,由此，得出以下判断：在犯错误的概率不超过0.05的前提

下认为“这种血清能起到预防的作用”，正确.

故选：A.

对4个命题分别进行判断，即可得出结论.

本题考查命题的真假判断，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强，属于中档题.

3.答案：D

解析：

本题主要考查真命题的判定，涉及到必要条件、充分条件和充要条件.

解：对于4当c=0或为负数时，不成立；故不是真命题;

对于B,当c=0时，不成立；故不是真命题；

对于c,“x=N”是“sinx=>‘的充分不必要条件，故不是真命题；

62

对于“微<1”是“方程/+》+见=0”有实根“的充分不必要条件.是真命题.

4

故选D.

4.答案:C

解析：解：因为y=/(x—1)图象关于点(1,0)对

称，

所以f(x)的图象关于原点对称即函数为奇函数

因为f(久2-2%)+/(2y-y2)<0,

所以一2x)<f(y2-2y),

因为y=/(x)为定义在R上的减函数

所以/—2x>y2—2y,

所以仔J2个2_2y,

(1<x<4

即+'-2)2°,画出可行域，

<；y-2=0可得做4，-2),由仁；=°可得吃4),

设z=;c+2y,则)/=-^x+^z,结合图象可知，在4(4,-2)处z取得最小值0,在B(4,4)处取得最大

值12.

所以％+2yC[0,12]

故选：C.

由已知可得函数为奇函数且单调递减，从而可把原不等式转化为线性规划的知识进行求解.

本题主要考查了函数性质在不等式求解中的应用，还考查了线性规划的简单应用，属于中档试题.

5.答案：C

解析：・函数y=x、'2在(。,+8)上是增函数，

•••0<0.3、’2<2、'2,即c>a>0,而。=log30,3<0,

■■■c>a>b,即b<a<c.

6.答案：C

解析：解：函数/(%)=log。%恒过(1,0)，

则：函数f(x)=logax+2必过定点为(1,2).

故选：C.

利用对数函数经过的特殊点判断求解即可.

本题考查对数函数的简单性质的应用，是基础题.

7.答案：C

解析:解：x=3是/'(久)=asinx+bcosx=Va2+b2sin(x+。)的一条对称轴，其中，cos。=~^=,

s讥"春,

且函数/(X)的最大值为2vL

则。2+抉=8,号)='a+孝b=2迎,或?a+?=—2企，

可得a+b=4,或a+b=-4,；.a=b=2,或Q=b=—2,g(%)=2sinx+2,或g(%)=-2sinx—2,

故9(%)=asinx+b的最大值可能为0,

故选：C.

由题意可得f(x)=7a2+炉sin(x+0),a2+b2=8,/(?=ja+jb=2或，或/■©)=¥<!+

yb=-2V2,求得a、b的值，可得g(x)=2sinx+2,或g(x)=-2s讥x-2,由此得出结论.

本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的最值，正弦函数的图象的对称性，属于基础题.

8.答案：C

解析：

本题主要考查由函数y=Asin^x+0)的部分图象求解析式以及正弦函数的定义域和值域，属于中

档题.

由函数的图象的顶点坐标求出4由周期求出3,由五点法作图求出0的值，可得函数的解析式，再

利用正弦函数的定义域和值域，求得/(%)的取值范围.

解：根据函数/(%)=+0)(4,®0是常数，2>0,3>0,|如转)的部分图象,

77r7T12TT

可得/=V2,7

41234co

•••3=2,

再根据图象可得2x】+3=TT+2k-,

«)

•••lgl<p・.・(p=3

•••f(x)=V2sin(2x+》

■■2%+ge［-若］,

•••sin(2x+$£

故选：c.

9.答案：A

解析：解：函数八乃=『"2+4々〉*4的图像如图所示,

7

八(log2x,x>4

函数/(x)在(-8,2］以及(4,+8)上递增，在［2,4)上递减，

故若函数y=/(%)在区间(成加+1］上单调递减，

需满足2<TH且m+1<4,

即2<TH<3,

故选：A.

画出函数的大致图像，结合图像即可求解结论.

本题考查了分段函数的单调性以及数形结合思想的应用，属于中档题.

10.答案:67r

解析：解：设扇形的半径是丁，根据题意，得：

3r

-nr=3TT,

4

解，得r=4.

-1

则扇形面积是5x3兀x4=6兀.

故答案为：67r.

根据扇形面积公式，则必须知道扇形所在圆的半径，设其半径是r,则其弧长是：仃，再根据弧长是

4

3兀，列方程求解.

此题考查了扇形的面积公式以及弧长公式，求出扇形的半径是解题关键.

11.答案：—；

解析：

本题考查对数不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的综合应用，考查二次函数的配方法，

属于中档题.

利用对数的运算性质可得/(x)=；(log^x+1)2-i,即可求得"X)最小值.

解：：/(1)=1崛6

1广

•••/(%)=^og^xlog^x

1

1

=-log^x(log^x+log悌

4,

1

=彳/。0遮汽。。0夜工+2)

1o1

=4^°9y[2X+1)2-I，

・•・当+1=0

即X=当时，函数/(%)的最小值是一%

故答案为：-：

4

12.答案：4

解析：

本题主要考查余弦函数，对数函数的图象，函数的零点与方程根的关系，属于中档题.

在同一直角坐标系中作出yi=cosx^\y2=即无|的图象，由图可得当久＞0时，y［=cos%和y?=\lgx\

的图象有4个交点，由此可得函数/(%)=cosx-|匈%|零点的个数.

解：在同一直角坐标系中画出函数yi=cosx,y2=|国制的图象，如图所示：

函数/(%)=cos%-的零点,即方程cos%=|匈%］的实数根，

J277)＜，gl()=1=cos2;r,1二1：•"川I=1=cox1-,

结合图可知当久＞0时，函数yi=cos%和丫2=|匈%|的图象的交点个数为4,

即/(%)=COS%—|匈%］的零点有4个.

故答案为4.

13.答案：一③

5

解析：此题考查了三角函数的定义，三角函数在各个象限的符号要记牢，一全正，二正弦，三正切,

四余弦.由三角函数的定义知S讥a的值，由平方关系得cos2q,再由a角终边确定cosa的正负.

49

解：由定义知：aia=—,'-＞»2a+cos2a=1''­cos2a=—,

525

又角的终边落在第二象限，•二cosa=-2.

5

3

故答案为-—.

5

14.答案：鲫减I

解析：试题分析：当m=o时，/，减=,均室K1,您(点=/,很明显不合题意；

当m>0时，息*电=耀£>0在t>0时恒成立，所以要满足题意需：x<0时，

*%串=翻缴屈-斛-蛰礴6詈4为正，当事二电”即瞰赢因为能螂=：L所以此时满足题意；

一现双

力卡之

当爪>4时，对称轴<0,要满足题意需里竺蹩至3州解得4瞰那蠹。

当m<0时，威磁=那翻>0在x<0时恒成立，所以要满足题意需：无20时，

*您卷=翻as超一爵-窗®艇+乱为正，又小<0时，/(x)开口向下，不可能在％>0时/'(X)恒为正。

综上知：m的范围为0<zn<8.

考点：二次函数的性质。

点评：此题主要考查分类讨论的数学思想。当二次项的系数含有字母时，要注意讨论二次项系数，

一般分为二次项系数为0,为正，为负进行讨论。

15.答案:解：(1)B={x\x<3],A={x\—2<x<4},

ACtB={x\-2<x<3},AkJB={x\x<4}；

(2)CRB={x\x>3},a=2时,C={x\2<x<10},

•••(CRB)nC={x|3<x<10}；

(3)7/ice,•••£7-54)解得_4<aW_2,

•l-a的取值范围为[—4,—2].

解析：(1)可求出集合B,然后进行交集和并集的运算即可；

(2)a=2时求出集合C,然后进行交集和补集的运算即可；

(3)根据2£C即可得出{:j：4,然后解出a的范围即可.

本题考查了交集、并集和补集的运算，子集的定义，指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基

础题.

16.答案：解：(1)/(%)=4cosa)x(sina)xcos——6cosooxsin-6)

=4COS6)X(Ysina)x—|COSCDX)=243sina)xcosa)x—2cos2a)x=V3sin2a)x—cos2(i)x—1=

2sin(2a)x——1,

・・,/(%)的最小正周期是7T,

T=/=7T,得3=1,

2d)

即/(%)=2sin(2x—^)—1,

由2/CTT-<2%—^<2/CTT+g,kEZ

262

得2kjr<x<2kn,kEZ,

得/CTT—二W%Wk.71+—,kE.Z

63

即函数的增区间为[Mr—Ik兀+m，k&z,

OD

•・•%e(0,7i),

•・・当k=0时，此时

633

当k=1时，—<X<71+此时四4%V7T,

636

综上函数的递增区间为(0,9年㈤.

(2)若/■(q)=|,

则2s讥(2%o-》一1=2，

则sin(2久°_弓)=|,

•・・久。e覃J；•2沏e苧用,

2x°~lE[p?]T则cos(2x()Y)=.%

贝ijcos2%o=cos(2x0—£+£)=cos(2x0—^)cos^—sin(2x0—^)sin^

4V3314V3+3

=—x-----------x-=---------------.

525210

解析：(1)利用两角和差的三角公式结合辅助角公式进行化简，结合周期公式求出3的值，结合单调

性进行求解即可.

(2)根据条件，结合两角和差的余弦公式进行求解即可.

本题主要考查三角函数的图象和性质，结合两角和差的三角公式以及辅助角公式进行化简，求出函

数的解析式，结合的函数的性质是解决本题的关键.难度中等.

17.答案:(1)200；

(2)250元或150元。

解析：(1)设购买人数为九人，豆浆机的标价为每台工元，利润为y元，

则％6(100,300]可得71=kx+b(k<0),

v0=300fc+&,BPb=-300/c,

・•.n=k(x—300),

y=(%-100)fc(x-300)

=AG-200)2—10000AQe(100,300]),

Vfc<0,

.•・x=200时，-10000A,

即商场要获取最大利润，豆浆机的标价应定为每台200元；

(2)解：由题意得，k(x-100)(%-300)=-10000/c-75%

X2-400JT+37500=0-

解得％=250或x=150,

所以，商场要获取最大利润的75%,每台标价为250元或150元。

18.答案：解：⑴・函数g(x)=sinx,

先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)再将所得到的图象向左平移g个单位

长度，

可得：函数f(x)=2s讥。+》的图象，

/(2x)=2sin(2x+g),

当xe[0,初时，2%+^e[py],

由2x+:泄，乂=果

由2x+g=：时，x=工，

故函数y=f(2久)在[0,兀]上的单调递增区间为[0*]ug,7r]

[I7(

(2)产(%)-4g(2x+-)=4shi2(%+—)-4sin(2x+—)

=2—2cos(2%+争-4cos2%=y[3sinlx—3cos2%+2=2V3sin(2x-g)+2,

若关于X的方程产⑺―4g(2x+1)=6+2在[0,兀)内有两个不同的解a,£.

即关于x的方程2遍Sin(2x-9=ni在[0,兀)内有两个不同的解a,0.

由2x*e]—(争得：(2"；)+(2”；)=兀,或(2a-；)+(20*)=3兀，

即a+0=今,或a+/=誓,

当a+£=詈时，cos(a—S)=cos(2a—=sin(2a~~)=备，

当a+B=当时，cos(a­/?)=cos(2a——)=—sin(2cr--)=--^=,

6632V3

二6cos(2a—20)—m2=6[2cos2(cr—(6)—1]—m2=—6

解析：(1)根据函数图象的伸缩及平移变换法则，可得函数/(%)的解析式，结合正弦函数的单调性，

可得函数y=/(2x)在[0,扪上的单调递增区间；

(2)关于x的方程产⑴-4g(2x+$=爪+2在[0,兀)内有两个不同的解a,0.即关于％的方程

2V5sin(2x-9=m在[0,兀)内有两个不同的解a,£.结合函数的对称性，可得cos(a—0)的值，代入

可得答案.

本题考查的知识点是函数y=As讥(3X+0)(4>0fa)>0)的图象和性质，难度中档.

19.答案：解：(1)由题意久>0,1(久)=网产，

mWO时,f(x)<0,f(%)在(0,+8)递减,

m>0时，令/'(%)>0,解