2019年高考文科数学试卷(全国卷Ⅰ真题)-(含答案和解析)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）

文科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑,

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写

在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.设2=---,则以|=（）

1+2/11

A.2B忑

C，V2D.1

2.已知集合{1,2,3,4,5,6,7},A={2,34,5},5={2,3,6,7},则8口加囚=()

A.{1,6}B.{1,7}

C.{6,7}D.{1,6,7)

3.已知a=log202,b=20-2.C=0.2°3,则()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.h<c<a

4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是避二1

2

（止」。0.618称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶

2

至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是正二!■.若某人满足上述两个黄金分割比例，且

2

腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是（）

A.165cmB.175cm

C.185cmD.190cm

5.函数/(x)=2瑛上当在［-肛加的图像大致为()

cosx+x~

6.某学校为了解1(X)0名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,3,…,100()，从这些新生中用

系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被

抽到的是().

A.8号学生B.200号学生

C.616号学生D.815号学生

7.tan255°=()

A.-2-&B.-2+6

C.2-6D.2+V3

8.已知非零向量a,B满足l，l=2|B|,且3-则五与B的夹角为（）

7C71

A.—B.—

63

27r57r

C.---D.—

36

]

9.右图是求2+4的程序框图，图中空白框中应填入（

)

2+-

2

A.A=B.A=2+—

2+AA

1

C.A=1+—D.A=

2A\+2A

10.双曲线C：「—A=1（«〉0,。＞0）的一条渐近线的倾斜角为130P，则C的离心率为（）

ab

A.2sin40°B.2cos40°

11

C.D.-------

sin50°cos50°

11.AABC的内角AJB,C的对边分别为a,b,c,已知asinA-hsinB=4csinC,

cosA=--,则夕二()

4

A.6B.5

C.4D.3

12.已知椭圆。的焦点坐标为6(-1,0),尸2(1，0)，过K的直线与。交于A，B两点,若

\AF2\=2\F2B\,\AB\=\BF{\,则C的方程为（）

222

A.—+y2=1B.三+工=1

232

2222

cJ匕=1D.2+J

4354

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.曲线y=3(/+x)/在点(0,0)处的切线方程为t

3

14.记S“为等比数列｛凡｝的前〃项和，若4=1,53=1,贝”4=.

37r

15.函数/(x)=sin(2x+；)-3cosx的最小值为.

16.已知NAC3=90°,P为平面ABC外一点，PC=2,点P到NACB两边AC,BC的距

离均为百，那么尸到平面ABC的距离为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为

必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：

17.某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服

务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意不满意

男顾客4010

女顾客3020

(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

n(ad-bc)2

(。+b)(c+d)(a+c)(b+d)

PgNk)0.0500.0100.001

k

3.8416.63510.828

18.记S“为等差数列红｝的前〃项和，已知S,=-a5；

(1)若％=4,求｛。,,｝的通项公式；

(2)若q>0,求使得"的”的取值范围.

19如图直四棱柱ABC£)-A4GA的底面是菱形，AA=4,A3=2,ZBAD=6Q.

E,M,N分别是BC,BB,,A。的中点.

(1)证明：MN//平面CQE

(2)求点C到平面GOE的距离.

20.已知函数/(x)=2sinx-xcosx-x，/'(x)是/(x)的导数.

(1)证明：/'(X)在区间(0,现存在唯一零点；

(2)若xe[0,加时，f(x)>ax,求。的取值范围.

21已知点A,B关于坐标原点。对称，|A@=4,eM过点A8且与直线x+2=0

相切.

（1）若A在直线x+y=O上，求e"的半径；

（2）是否存在定点P,使得当A运动时，为定值？并说明理由.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所

做的第一题计分

选修4-4：坐标系与参数方程

,1—尸

尤=7

22.在直角坐标系xOy中，曲线。的参数方程为《1+厂。为参数）.以坐标原点。为极点，

4r

x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为2Pcos6+V3psin9+11=0.

（I）求C和/的直角坐标方程；

（2）求C上的点到/距离的最小值.

选修4-5：不等式选讲

23.已知。，b,c为正数，且满足abc=l,证明:

(1)—+-+-<a2+Z72+c2；

abc

(2)(a+Z7)3+(/?+c)3+(c+«)3>24.

答案解析

2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）

文科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

2.设z=则忖=()

1+2/11

A.2B.6

C，V2D.1

答案：

C

解析：

3-i(3-0(l-2i)l-7z

因为z=----=------------=-----

1+2/(1+2z)(l-2z)5

所以恸=j(g)2+(一1)2=V2

3.已知集合。={1,2,3,4,5,6,7},A={2,34,5},B={2,3,6,7},则50限=()

A.{1,6}B.{1,7}

C.{6,7}D.{1,6,7}

答案：

C

解析：

U={12,3,4,5,6,7},A={23,4,5},则QA={1,6,7},又,:5={2,367},则

BnCyA={6,7},故选C.

3.已知a=log?0.2,b=2°-2,c=0.2°-3,则()

\.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

答案：

B

解答：

由对数函数的图像可知：«=log20.2<0；再有指数函数的图像可知：8=2°2>1,

0<c=0.2°3<1，于是可得到：a<c<b.

4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是正二1

（吏二1°0.618称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如止匕.此外，最美人体的头顶

至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是苴工.若某人满足上述两个黄金分割比例，且

2

腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是（）

-T

A.165cmB.175cm

C.185cmD.190cm

答案：

解析：

方法一：

设头顶处为点A，咽喉处为点3,脖子下端处为点C,肚脐处为点腿根处为点E,足底

处为F，BD=t,吏二L=/l，

根据题意可知一=九，故A3=今；又AD=A8+8O=（/l+Df,——=2,故

所以身高/i=AO+OE=（A+1）-t,将，=«0.618代入可得h«4.24J

22

根据腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm可得AB<AC,DF>EF；

即加<26,但■f>105,将4=吏二1=0.618代入可得40<r<42

X2

所以169.6<7?<178.08,故选B.

方法二：

由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度26cm可

估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是

2

（止二1*0.618称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为42cm；将人体的头顶

2

至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为68cm,头顶至肚脐的长度与

肚脐至足底的长度之比是叵」■可计算出肚脐至足底的长度约为110；将头顶至肚脐的长度

2

与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为178cm,与答案175cm更为接近，故选B.

einX4-X

6.函数/*）=一:一^在［一肛4］的图像大致为（）

cosx+x

D

解答:

sin(-x)-xsinx+x

・.・/(-x)=-------_L——>

-2=—/(X),

COS(-X)+(-%)'cosx+x

.•./（X）为奇函数，排除A.

排除C,

sin»+;r冗八

/（不）=内＞0,排除B,故选D.

COS7T+⑺2

6.某学校为了解1（X）0名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,3,…,1000,从这些新生中用

系统抽样方法等距抽取1()()名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被

抽到的是().

A.8号学生B.20()号学生

C.616号学生D.815号学生

答案：

C

解答：

从1000名学生中抽取100名，每10人抽一个，46号学生被抽到，则抽取的号数就为

10〃+6(0<〃W99,〃eN),可得出616号学生被抽到.

8.tan2550=()

A.-2-V3B.-2+V3

C.2-6D.2+百

答案:

解析：

tan45。-4-f分n20。

因为tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)=十皿-'，

1-tan450-tan30°

化简可得tan2550=2+6

9.已知非零向量2,B满足|初=20I，且3—则方与B的夹角为()

答案:

解答:

"\a\=2\b\,且3-杨_LB,.,•伍-杨拓=0,有lZ_|W=0,设「与B的夹角为6,

则有|GHB|COS6—出『=0,即2出「cos。一出F=0,|B『(2cos。-1)=0,♦••出快0,

八1八〃一71

•*-cos9=一,0=一,故。与。的夹角为选B.

10.右图是求2+—^的程序框图，图中空白框中应填入(

2+-

2

1

CM=1+—D.A=

2A1+2A

答案：

A

解答：

把选项代入模拟运行很容易得出结论

选项A代入运算可得2+吟，满足条件,

2+-

2

4—2+

选项B代入运算可得1,不符合条件,

，十一

2

选项C代入运算可得A=,，不符合条件，

2

选项D代入运算可得A=1+!,不符合条件.

4

22

10.双曲线=1(«>0,/?>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为()

ab

A.2sin40°B.2cos40°

C.---D.---

sin50°cos50°

答案：

D

解答：

bb

根据题意可知——=tan130°,所以一=tan50。=s必in530°-,

aacos50°

cos250°+sin250°_I11

离心率e

氏3+畸cos250°Vcos250°cos50°

12.AABC的内角的对边分别为a,b,c,已知asinA—bsin6=4csinC,

，In//、

cos?l=——,则一二（）

4c

A.6B.5

C.4D.3

答案：

A

解答：

由正弦定理可得到:asinA—bsinB=4csinC=>cT—b2=4c2，即a2=4c2+Z?2，

又由余弦定理可得到：cosA="-+c'_q-于是可得到2=6

2bc4c

13.已知椭圆C的焦点坐标为耳工(1,0),过弱的直线与C交于A，B两点,若

|A阊=2国四，|AB|=|明则。的方程为()

X2

A.—+/=1B.----=1

232

答案：

B

解答：

*|A^|=2|^B|,\AB\=\BF{\,设内同=x,则|伤|=2x,|%|=3x,根据椭圆的定义

区目+忸耳|=|你|+|明|=2,所以|朋|=2%,因此点4即为椭圆的下顶点，因为

\AFA=2\F,B\,c=l所以点3坐标为(3,2),将坐标代入椭圆方程得工+工=1,解得

1111224a24

a2=3,b2=2,故答案选B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.曲线y=3(x2+x)e'在点(0,0)处的切线方程为

答案:

y=3x

解答:

1.,y=3(2x+l)ex+3(x2+x)e'=3,+3x+l)ex，

；•结合导数的几何意义曲线在点(0,0)处的切线方程的斜率k=3,

.•.切线方程为y=3x.

3

15.记S“为等比数列｛%｝的前“项和，若4=1,S3=j,则S4=

答案：

5

8

解析：

%=1,$3=4+4+%=；

设等比数列公比为4

♦•・4+W+4/]

•・q-2

所以=&

15.函数/(x)=5诅21+:)-3(：051的最小值为

答案:

—4

解答:

3冗

f(x)=sin(2x+弓-)-3cosx=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+1,

因为cosXW[-1,1],知当cosX=1时因尤)取最小值,

贝/(x)=sin(2x+；_)-3cosX的最小值为-4.

16.已知NAC3=90°,尸为平面ABC外一点，PC=2,点P到NAC8两边AC,8C的距

离均为G，那么P到平面ABC的距离为.

答案：

脏

解答：

如图，过P点做平面A8C的垂线段，垂足为0,则PO的长度即为所求，再做

PEVCB,PFYCA,由线面的垂直判定及性质定理可得出OE_LCB,OF_LCA,在

RMCF中,由PC=2,PF=JL可得出CE=1,同理在用APCE中可得出CE=1,结

合ZACB=90°,OELCB,OFLCA可得出OE=OF=1,OCf，

PO=y]PC2-OC2=V2

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为

必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：

17.某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服

务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意不满意

男顾客4010

女顾客3020

(3)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

(4)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

〃(ad-be)"2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

PgNk)0.0500.0100.001

k

3.8416.63510.828

答案：

(1)男顾客的的满意概率为2=*404

女顾客的的满意概率为P=30=|3

(2)有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

解答：

(1)男顾客的的满意概率为P=40=]4

303

女顾客的的满意概率为P==

2100(40x20—10x30)2…八

(2)K~=--------------------------------------------------=4.762

(40+10)(30+20)(40+30)(10+20)

4.762>3.841有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

18.记5„为等差数列｛%｝的前〃项和，已知S9=-%；

(1)若生=4,求｛/｝的通项公式；

(2)若q>0,求使得4的”的取值范围.

答案：

(1)an=-In+10

(2)｛"1N｝

解答：

(1)由§9=一与结合$9=%1匈=9%可得%=。，联立4=4得4=-2,所以

an=%+(〃-3)。=-2〃+10

n(n—9)d

(2)由S9=-。5可得4=-4d,故a“=(〃-5)d,Sn=——-——.

由q>0知d<0,故等价于〃2_ii〃+io〈o，解得

所以”的取值范围是｛«|1<«<10,neN｝

19.如图直四棱柱ABC。一A4G〃的底面是菱形，A4,=4,A6=2,ZBAD=601

E,M,N分别是BC,BB],A。的中点.

(1)证明：MN//平面CQE

(2)求点C到平面GOE的距离.

见解析

解答：

(1)连结AG，相交于点G,再过点M作MH//C|E交耳G于点H，再连结GH,NG.

■：£,”1分别是5。,阴，4。的中点.

于是可得到NG//G。，GH//DE,

于是得到平面NGHM"平面QDE,

由「MNu平面NGHM,于是得到MN//平面GOE

(2)为BC中点，ABCD为菱形且/区4。=60

：.DE±BC,又为直四棱柱，：

DE±CjE,又A8=2,A4j=4,

:.DE=®C】E=ylii,设点C到平面G。七的距离为，2

由K,-CIDE=%-DCE得

—x—x^3x-s/l?xh=—x—xlx^3x4

3232

解得〃=巴旧

17

所以点c到平面GOE的距离为WJI7

21.已知函数/(幻=25m了一%85%一X，/'(x)是/(x)的导数.

(3)证明：/'(x)在区间(0,%)存在唯一零点；

(4)若xw[0,加时，f(x)>ax,求〃的取值范围.

答案：

略

解答：

(1)由题意得/'(X)=2cosX-[cosX+x(—sinX)]-1=COSx+xsinx-1

令g(x)=cosx+xsinx—1,/.g'(x)=xcosx

jr

当X€(O,一]时，g'(x)>o,g(x)单调递增，

2

当x吗㈤时，g'(x)<0,g(x)单调递减,

,g(x)的最大值为gcjon'-l,又g(万)=一2,g(0)=0

•"(乃)超(9<0,即r(乃)(今)<o,

；•/(%)在区间(0,乃)存在唯一零点.

(2)令尸(%)=/(%)—ax=2sinx-xcosx-x-ar,

F(x)=cosx4-xsinx-l一。，

由(1)知/'(x)在(0,万)上先增后减，存在加£(工,万)，使得/'(，%)=0,且/'(0)=0,

2

r(|)=|-i>o,rs)=—2,

jrTT

P(x)在(0,左)上先增后减，F(0)=—a,F(-)=--l-fl,F(万)=-2—a,

22

TT

当产(一)40时，F'(x)在(0,万)上小于0,尸(幻单调递减，

2

又户(0)=0,则尸(x)«。(0)=0不合题意,

TT7T77"

当广(一)>0时，即一一1一。>0,a<J—1时、

222

若尸'(0)20,尸'(万)<0,尸(x)在(0,〃?)上单调递增，在(〃?,乃)上单调递减,

F(0)>0

解得a<0,

F⑺>0

F'(0)=-a>0

而｛,解得—2<a<0,故—2<aW0,

F'^)=-2-a<0

若尸(0)20,尸(万)20,尸(幻在(0,%)上单调递增，且尸(0)=0,

F,(0)=-a>0

故只需，解得a<—2；

F'(TT)--2—a>0

77

若尸⑼WO,F(^-)<0,尸(x)在(0,二)上单调递增，且"0)=0,

2

故存在xe(0,—)时，F(x)<F(0)=0,不合题意,

2

综上所述，。的取值范围为(，》,()].

21.已知点48关于坐标原点。对称，|A•=4,eM过点4,8且与直线％+2=0

相切.

(3)若A在直线x+y=0上，求e"的半径;

(4)是否存在定点P,使得当A运动时，|M4|一|明为定值？并说明理由.

答案：

(1)2或6；

(2)见解析.

解答：

(1)；eV过点4,3,二圆心在A8的中垂线上即直线>=x上，设圆的方程为

(x-a)2+(y-a)2=r2,又|AB|=4,根据AO?+MO?=/得4+2/=/；

•••eM与直线x+2=0相切，.[a+2|=r,联解方程得a=0,r=2或a=4,r=6.

(2)设M的坐标为(x,y),根据条件4。2+知。2=八=1+2『即4+=+y2=卜+21

化简得V=4x,即"的轨迹是以(1,0)为焦点，以x=—1为准线的抛物线，所以存在定点

P(1,O),使|M4|_|MP|=(x+2)_(x+l)=l