2021高二数学寒假作业同步练习题：选择性必修第一册综合练习

专题08选择性必修第一册综合练习

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

y-丫2r—

1..已□知刘双狄曲四线cC：r彳—-4=1(。>0,匕>0)的一条渐近线方程是y=它的一个焦点坐标为(2,0),

a2b2

则双曲线C的方程为()。

3

【答案】D

22

【解析】•.•双曲线C：=一5=1(。>0,〃>0)的一个焦点坐标为(2,0),二。=2,焦点在x轴上,

ab-

,渐近线方程是y=>令人=加("?>0),则〃=，〃,

：.c=>la2+h2=2m=2,：.m=l,：,a=\,6=内，...双曲线方程为/一］-=1,故选D。

2.已知点A(JIl)为抛物线公=2内(0>0)上一点，则A到其焦点厂的距离为()。

3

2

B、V2+-

2

C、2

D、V2+1

【答案】A

【解析】把A(VI1)代入抛物线中，解得p=l，则抛物线的准线方程为^二-3，

3.AABC的顶点分别为A(l,-1,2)、8(5,-6,2)、C(l,3,-1),则AC边上的高5。的长为()«

A、2

B、旧

C、5

D、6

【答案】C

【解析】:A(l,-1,2)、5(5,-6,2),C(l,3,-1),则荏=(4,—5,0),AC=(0,4,-3),

♦.•点O在直线AC上，...设通=XAC=(0,4X,-3k).

贝i)丽=石一Q=(0,4入,一3九)一(4,一5,0)=(T,4?i+5,-3k),

XVBD±AC,则3D-AC=Tx0+(软+5)x4+(—3入)x(-3)=0，解得九=一《。

.•.丽=(T,软+5,—3入)=(T,g,£),贝”而|=J(-4)2+($2+(?)2=5,故选c。

4.如果6、舄、…、匕是抛物线C：V=4x上的点，它们的横坐标依次为为、々…、怎，P是抛物线

c的焦点,若百+超+…+x“=io,贝尸|+|鼻尸|+…+|?F|=()。

A、n+10

B、zt+20

C、2/1+10

D、2M+20

【答案】A

【解析】由题可知抛物线的焦点为(1,0),准线为x=-l,

由抛物线定义可知I片尸|=%+1、\P2F\=X2+\.

故16尸|+|舄F|+…+|£F|=〃+10,故选A。

5.正方体ABC。—A,瓦G。中，M、N分别为AC上的点，且满足4。=3皿，AN=2NC,则

异面直线MN与GR所成角的余弦值为()。

旧

AA、——

5

Ra

4

C、正

5

D、旦

3

【答案】C

【解析】以。为原点，DA、DC、为x轴、y轴、z轴建系，设48=3,

则由4。=3"£>、AN=2NC可得:C,(0,3,3).R(0,0,3)、M(1,0,1)>N(l,2,0),

---*--,

：.QD.=(0,-3,0),砺=(0,2,—1),则cos<或，砺=—处

IC.DJ-IWI5

又MN与GA所成角为锐角，

则异面直线MN与GR所成角的余弦值为|cos<GA，MN>|=*,

故选Co

6.如图，正方体的棱长为1，E、F分别是棱8C、上的点，若4平面45E,

则CE与。尸的长度之和为（）。

A.1

2

B正

2

C旦

2

D、1

【答案】D

【解析】以RA、4G、DQ为x、y、z轴建系，设CE=x（），

则E(知1,1),4(1,1,0),F(O,O,l-yo)-8(1,1,1),

...南=(占一1,0,1),丽=(1,1,%),由于4EJL平面ABb,

.-.^EFB=(x0-1,0,1)-(1,1,%)=与-1+0+%=0=瓦+%=1，

故CE与。R的长度之和为1,故选D。

7.如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、尸分别是他、8c的中点，将A40E、AEBF、&FCD令

别沿DE、EF、FD折起，使得A、B、C三点重合于点A',若四面体4EFO的四个顶点在同一个球面

上，则该球的表面积为（）o

A^57c

B、6兀

C、8兀

D、10n

【答案】D

【解析】四面体AEFQ为底面为等腰AA'EF,顶点为。的三棱锥D-A'EF,

则A'E=A'F=1,EF=6,A'D=2,DE=DF=4^>,

y

则DA'±A'E,DA'1.A'F,则DA'1.平面A'EF,X

XA'E2+A'F2=EF2,则AA'EF为直角三角形，A'E1A'F,

以A'为原点如图建系,则A'((),(),()),E(1,O,O),尸(0,1,0),£>(0,0,2),

设四面体A'EFD的外接圆的圆心为。(x,y,z),则。A'=OE=。尸=O。，

由空间两点间距离公式知：X2+y2+z2=(x-l)-+y2+z2,x2++z2=x2+(y-l)~+z2,

x2+y2+z2=x2+y2+(z-2)2,解得x=g,y=g，z=l,

，半径为八炉”喟邛,

该球的表面积为S=4兀r=4兀x6K,故选Bo

22

8.已知耳、居分别是双曲线E：W—2r=1（。>0,6>0）的左、右焦点，且|百区|=2,若P是该双曲

ab

线右支上一点，且满足|P耳1=2|P玛则月后面积的最大值是（）。

D、2

【答案】B

【解析】设|P4|=〃，/片”=。，由题意得加=2",c=l,

由双曲线定义得m-n=2a,n=2a>c-a=\-a=>«>-=>«>—=>«2>—.

339

由余弦定理得cosO=C4c_5n2-4

2nm4n2

MN5

S"F、F2=|sin9="2J]_(：j3)2

9_9/+40〃2-16=49心步+等2g,

4

2

当

>时4

-20一

99-△P6居面积的最大值是故选B。

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得3分。

9.若3、君、：是空间的非零向量，则下列命题中的假命题是（）。

AN（a-b）-c=（b-c）-a

B、若=•向,则々〃B

C＞若a.c=l)c,则々〃。

D、若Q.Q=H,则1二加

【答案】ACD

【解析】(4%)・C是与C共线的向量，区，。卜。是与4共线的向量，。与C不一定共线，A错,

若q%=-|a|-|B|,则〃与：方向相反，,a〃1,B对,

若a.c=Vc,则(a-5),c=0,即不能推出Q〃Z,C错，

若ci.ci=：E,则|q|=|B|,。与芯方向不一定相同，不能推出。=兀D错，

故选ACDo

4/?

10.若平面内两条平行线4：x+(a—l)y+2=0与4：ar+2y+l=0间的距离为手，则实数〃=()。

A、—2

B、-1

C、1

D、2

【答案】BD

【解析】lj/l2,/.a(a-1)=2,解得a=-l或"=2,

a——\^'\d-,符合，当a=2时d=3“,符合，故选BD。

54

II.如图所示，设E、尸分别是正方体A3C3-4耳G4的棱CO上两点，且AB=2、EF=1,其中正确

的命题为()。

A、三棱锥片族的体积为定值

B、异面直线耳。与所所成的角为60°

C、片£)|J•平面片后产

D、直线用R与平面片E厂所成的角为30°

【答案】AD

【解析】以。为原点建系,设E(0,f,0),则F(0,r+1,0).

1112

A选J页，%]-8[EF=%i-O[EF=§*59后-XB]G=§X]X2xlx2=§为定值，故对,

B选项，异面直线用乌与瓦'所成的角与直线与。与GA所成的角为同一个角，

即异面直线BR与E尸所成的角的平面角为NB]D£=45°，故错，

C选项，4〃=（220），平面/即平面45co的法向量为〃=（1,0,1）,

设直线瓦。与平面所成的角的平面角为0,

则sinO=|cos<BQ/>|=|/"I+zxu+uxi=匕则。=30°,故错,

V22+22+O-V12+O+122

D选项，由C选项可知直线BR与平面片ER所成的角为30°,故对,

故选AD。

22

12.已知6、居是双曲线「-斗=1（。>0,b>0）的左、右焦点，过居作双曲线一条渐近线的垂线，垂

ab

足为点A,交另一条渐近线于点8,且4丹=,48,则该双曲线的离心率为（

）。

3

V6

A、

2

B、6

3屈

C、

~2~

D、36

【答案】AB

【解析】（1）当康时，设/丹OA=a,则/AO8=2a,设a=l,

由题意可知0A=a=\,OF?—ce,AF2=b，BF?=3b，

则AB=4h,tana=—=/?,tan2a=—=4Z?»

a

/卜、/口c2tana2b,

代入得tan2a=-----—=----=4Ab,

1-tan-a\-h7

即2=4—4方2,解得b=也,则”0="2+。2=

2

,1-----a

(2)当=§后B时，设/5OA=a,ZAOB=p,设

则NgO8=a+p,ZfjOB=7i-(a+p),

由题意可知0A=a=1,OF2=c=eAF2=b,BF?=3b,

1t

则AB=26,tana=—=/?,tanp=—=2b,

aa

则tanZF}OB=tan[K-(a+P)]=-tan(a+P)=tana,

/c、tana+tanB

则tan(a+0)=------------=-tana,

1-tanatanp

代入得-"-=—b,即3=2/?2—1,解得b=则e=c=J"+—*=A/5,

\-b-2b

故选AB。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知巴、鸟为椭圆C：=+)-=1的左、右焦点，M为椭圆上一点，且△MB内切圆的周长等于3兀，

a16

若满足条件的点M恰好有两个，则。=。

【答案】±5

【解析】由题意得内切圆的半径等于：，因此&鸣鸟的面积为:x［x(2a+2c)='受^

即更等=；x|yM|x2c,•.•满足条件的点M恰好有两个，

22

・二"为椭圆短轴端点，即ly〃l=4,3a=5c,而〃c=16,/.a=25fa=±5

22

14.已知直线乙：ax-2y=2a-4/2：2x^ay=2a+4,当0<av2时，直线九、4与两坐标轴围成一

个四边形，则四边形面积的最小值为,此时实数。=o(本小题第一个空3分，第二个空2

分)

【答案】--

42

【解析】直线ax-2y=2a-4的必过点为P(2,2),斜率为色，在y轴上的截距为2-a,且0<2-"2

直线2了+。2,=242+4的必过点也为玖2,2),斜率为,

3a"

在x轴上的截距为+2,且/+2〉2

四边形的面积S=Lx2x(2-a)+Lx2x(a2+2)=a2—a+4=(a-_L)2+”,

2224

...四边形面积的最小值为"，此时a=,。

42

15.如图所示，平行六面体中，AB=AD=AAX=1,ZBAD=ZBAAl=120°,ZDA^=60°,

则线段AG的长度是________。D'VX

［答案］V2VAV------74^，

।解析+育飞7「1

/.AC}=AB+AD+M+2ABAD+2ABAAi+2AD-AA}------------

=l+l+l+2xlxlx(--)+2xlxlx(--)-i-2xlxlx—=2»

222

AIAC,|=V2o

16.已知产是双曲线C：》2一今=1的右焦点，/＞是C左支上一点，A（0,6后），当AAPF周长最小时，该

8

三角形的面积为。

【答案】12m

【解析】设双曲线的左焦点为耳，由双曲线定义知，|尸尸|=2a+|/V",

A4尸产的周长为|A4|+|P用+|A用=|PA|+2a+|P6l+|A用=jR4|+|P6l+|AE|+2a,

由于|4尸|+2。是定值，要使A铲尸的周长最小，则|PA|+|P/"最小,

即尸、4、耳共线,•••A（0,6向,6（-3,0），

直线A耳的方程为二+4==1,即》=：=-3,

-36V62V6

2

代入r-2_=1整理得：/+6面＞—96=0,

8

解得y=2#或y=-8后舍），P点的纵坐标为2后,

,"SgPF=S^FF\_S"FF\=—x6x6y[6—x6x2>[6=12-^6。

22

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）若直线/经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点P,且垂直于直线x-2y-1=0。

（1）求直线/的方程；

（2）求直线/关于原点0对称的直线方程。

【解析】⑴由产+分-2=0解得卜=-2,由于点尸的坐标是（_2,2）,2分

[2x+y+2=0[y=2

又•.•直线x—2y-l=0的斜率为犬=；,

由直线/与x-2y-l=0垂直可得用=—1=—2,4分

k'

故直线/的方程为：y-2=-2（x+2）,即2x+y+2=（）,5分

⑵又直线/的方程2x+y+2=0在x轴、y轴上的截距分别是一1与—2,7分

则直线/关于原点对称的直线在x轴、y轴上的截距分别是1与2,9分

所求直线方程为二+2=1,即2x+y—2=0。10分

12

18.（12分）已知等腰梯形4BCZ）如图1所示，其中AB〃C。，E、产分别为AB、CD的中点，且/W=E/=2,

CD=6,〃为BC中点，现将梯形ABCD按所所在直线折起，使平面EPCB1.平面瓦。4,如图2所示,

N是线段CQ上一动点，且CN=kND。

(1)当九=工时，求证：〃平面皿石；

2

(2)当九=1时，求二面角M-24-尸的余弦值。

图I图2

【解析】(1)证明：过点M作"PJ_E尸于点P,过点N作NQ,F。于点。，连接PQ,1分

由题意，平面EbCB_L平面瓦94,

RF+CF

...平面£7ZA，且例P==2,2分

2

CFLEF,EF,；.£F_L平面CF。，；.NQLEF,由NQLFO,3分

NQ_L平面EFD4,又CN=；ND,

2

NQ=[CF=2，即MP〃NQ，MP=NQ,4分

则MN〃/^Q,由MN<z平面ADEE,PQu平面皿花，

MN〃平面45EE；5分

(2)以F为坐标原点，FE方向为x轴，ED方向为y轴，FC方向为z轴，如图建系，

33

则M(l,0,2),A(2,l,0),尸(0,0,0),C(0,0,3),0(0,3,0),N(0,-,-),6分

22

———.----31

设平面4MN的法向量分别为%=(孙％,4),/VW=(-1,-1,2)>MN=(—1弓，—岂

勺•AM-一再一y+2Z]=0

则,_____31，取西=1,则为=1、马=1,即a=(1,1,1)，8分

n,•MN=-%)+—%—Z]=0

设平面F4V的法向量分别为应=(工2,%，Z2)，育=(2,1,0)、?7V=(0,|,|)

n2-FA=2X2+%=0

则,——,33，取々=1，则为=一2、z?=2,即第=(1,一2,2),10分

n2.FN=y2+z2=()

、乙乙

设二面角"-24-尸的平面角为0,经观察。为锐角,

Ixl+lx(-2)+1x2

则COS0=1COS<勺,%>1=1¥相二

1ni.|%|73x79邛

l

二面角M-NA-F的余弦值为—12分

19.（12分）设圆/+/+2；<：-15=0的圆心为A,直线/过点8（1,0）且与x轴不重合，/交圆A于C、。两

点,过B作4c的平行线交AD于点E。

（1）证明|£4|+|£3|为定值，并写出点E的轨迹方程；

（2）设点E的轨迹为曲线G，直线/交G于加、N两点，过8且与/垂直的直线与圆A交于尸、。两点,

求四边形MPNQ面积的取值范围。

【解析】（1）证明：'：\AD\=\AC\,EB//AC,故NEBO=NAC£>=NAOC,

：.\EB\=\ED\,^\EA\+\EB\^EA\+\ED\=\AD\,1分

又圆A的标准方程为。+1)2+/=16,从而［4。|=4,二|所|+|£8|=4,2分

由题设得4-1,0),8(1,0),|AB|=2,

.•.点E的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，

X2y2

设E：—z-4-^-7=1(«>b>0),ywO,3分

ab

22

则。=2、c=1,b=y/3,则轨迹。的方程为工+^-=1(丁w。)；4分

43

(2)当/与x轴不垂直时，设/的方程为y=Z(x-l)(k。0),M(xpy)、N(x?,y2),

y—k(x—1)

由，二，得：(3+4&2)d一弘2》+4及2-12=0,△>()恒成立，6分

3x2+4/=12

7

则.+&=a8：以，*.工2=t4：:,IMNh71+I\xt-x21=>7分

D十QKD十JKDI

12

过点3(1,0)同与/垂直的直线机：y=--(x-l),A到加的距离为/,8分

k收+i

“0=2F一（岛）2川震，

故四边形知尸"。的面积5=3乂|脑7|*|/>0|=12』^^：，9分

可得当/与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为（128百），10分

当/与x轴垂直时，其方程为x=l,

|AW|=3,\PQ\=8,四边形MPNQ的面积为12,11分

综上，四边形MPNQ面积的取值范围为［1286）。12分

20.(12分)四棱锥P-A8CD中，平面ABC。，2AD=BC=2a(a>0),ADIIBC,PD=43a,

NDAB=0。

⑴若0=60°,AB=2a,Q为尸3的中点，求证：DQLPC；

⑵若0=90°,AB=a,求平面B4T＞与平面PBC所成角的大小。

第(1)问图

【解析】(1)证明：连接AD=a,AB=2a,ZDAB=60\

由余弦定理：BD2=DA2+AB2-2DAAB-COS600,解得3。=岛，2分

AA8£>为直角三角形，BDLAD,,:AD//BC,：.BCLBD,

又PD_L平面ABCD,BCYPD,•：PDC\BD=D,

BC,平面3分

BCu平面PBC,二平面平面PBC,

又,；PD=BD=N，Q为PB中点，：.DQLPB,4分

•.•平面P8£)n平面P3C=P3,OQ_L平面尸3C,

又：PCu平面PBC,ADQ1PC；5分

⑵由。=90°,AB^a,可得8。=。。=亿，取BC中点A/,则为矩形,

以。为坐标原点分别以DA、DM、DP所在直线为x、y、z轴，

建立空间宜角坐标系。-乎，

则£>(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(-a,a,0)、M(0,0,a)、P(0,0,75a),7分

平面A4。，...而是平面B4D的法向量，丽=(0,a,0),8分

设平面P8C的法向量为〃=(x,y,z),

—►i——►n-PB=0

PB=(a9a,-j3a),BC=(-2tz,0,0),,

n-BC=0

令z=l,可得卜+ay-岛=0,解得7=(0,向)，10分

-2ax=0

设平面E4D与平面PBC所成角的平面角为0,8S0=|曰J=&二巫,

\DM\-\n\2a2

，平面Q4D与平面P8c所成角为乌。12分

6

21.(12分)如图所示，在四棱锥P-ABC。中，底面4B8是平行四边形，PZU底面A8C£>,24=48=2,

BC=-PA,BD=6,E在PC边上。

2

(1)求证：平面平面P08；

(2)当E是PC边上的中点时，求异面直线AP与3E所成角的余弦值；z

(3)若二面角E-8。-C的大小为30°,求OE的长。„

【解析】(1)证明：；底面48CD是平行四边形，AO=BC=1,

又BD=g,AB=2,满足A£>2+B£)2=A52,AADYBD,1分

又：包)，底面ABC。，皮)，平面BAO，2分

8£>u平面PDB，二平面P/M_L平面PDB；3分

(2)以。为原点建立如图所示空间直角坐标系，

则0(0,0,0)、4(1,0,0),B(0,V3,0).C(—1,6,0)、尸(0,0,右)，4分

：E是PC边上的中点,E(—,

则Q=(—1,0,扬，丽=(-g,-乎,乎)，5分

设直线4P与巫所成角的平面角为a，

・I~AD~DCII|AP・BE|2,7八

・・cosa=|cos<AP,BE>|=|——|=------；6分

\AP\-\BE\7

⑶由C,E,尸三点共线，得诙=入丽+（1—九）反，fiO<X<l,

从而有方=（九一1,6（1一九），疯）,=（0,73,0）,7分

,,,,,、，-n,DE—（X.—l）x+V3（l—九）y+入z—0

设平面£DB的法I可量为〃=（x,y,z）,.•.《___.,

n-DB=y/3y=0

令x=5则y=0,z=R,可取3=（6,0,曰）,

10分

X九

又平面的法向量可取获=(0,0,1),二面角E-80-C的大小为30°,

.n-m,A/3・)1,33百6、..,V39公

••cos30o—I~|—,••入=—,••DE—(z，,)，••IDnjE7\-012jj

\n\\m\244444

22.(12分)已知点P是