高中数学统计与概率主线分析

高中数学统计与概率主线分析湖南省高中数学骨干教师培训

高中数学统计与概率主线分析

主讲：肖三杏

第2页,共62页，2024年2月25日，星期天提纲一、标准解读二、教材分析三、教学建议四、解题之道五、互动交流高中数学统计与概率主线分析第3页,共62页，2024年2月25日，星期天一、标准解读1、基本理念（1）开展数学建模活动（2）体验数学有用（3）统计概率：必备常识

(4)与时俱进地认识“双基”第4页,共62页，2024年2月25日，星期天一、标准解读2、课程设置义务教育阶段《义务教育数学课程标准（实验）》将“统计与概率”分三个阶段学习学段第一学段（1～3年级）第二学段（4～6年级）第三学段（7～9年级）统计与概率·数据统计活动初步·不确定现象·简单数据统计过程·可能性·统计·概率第5页,共62页，2024年2月25日，星期天《普通高中数学课程标准（实验）》将“统计与概率”分必修3和（文）选修1-2或（理）选修2-3学习高中数学统计与概率统计概率统计统计案例概率随机变量及其分布数学3第二章随机抽样用样本估计总体变量间的相关关系1-2第一章2-3第三章回归分析的基本思想及其初步应用独立性检验的基本思想及其初步应用随机事件的概率古典概型几何概型离散型随机变量及其分布二项分布及其应用离散型随机变量的均值与方差正态分布数学3第三章2-3第二章第6页,共62页，2024年2月25日，星期天一、标准解读3、内容标准（主要观点）◆在知识与技能层面上，统计与概率内容属于“了解”和“理解”水平，不要求达到“掌握”水平；◆在过程与方法层面上，统计与概率的学习强调操作和体验；◆在情感、态度与价值观层面上，注重贴近生活，注重实际问题的解决。第7页,共62页，2024年2月25日，星期天一、标准解读◆统计教学必须通过案例来进行。◆不应把统计处理成数字运算和画图表，要引导学生根据实际问题的需求选择不同的方法合理地选取样本，并从样本数据中提取需要的数字特征。◆注意统计结果具有随机性和统计推断有可能犯错误，体会统计思维与确定性思维的差异。◆应尽量给学生提供一定实践活动的机会，可结合数学建模的活动，选择一个案例，要求学生亲自实践。第8页,共62页，2024年2月25日，星期天一、标准解读3、内容标准（主要观点）◆对于统计中的概念和统计案例内容，应结合具体问题进行描述性说明和初步了解，对其理论基础不作要求，不追求严格的形式化定义。◆鼓励学生尽可能使用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据，进行模拟活动。第9页,共62页，2024年2月25日，星期天一、标准解读3、内容标准（主要观点）◆概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，体会或然与必然的数学思想方法。◆古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征：实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性。教学中不要把重点和兴奋点放在“如何计算”上。第10页,共62页，2024年2月25日，星期天一、标准解读3、内容标准（主要观点）◆研究一个随机现象，就是要了解它所有可能出现的结果和每一个结果出现的概率，分布列正是描述了离散随机变量取值的概率规律，二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型，要求通过实例引入这两个概率模型，不追求形式化的描述。教学中，应引导学生能利用所学知识解决一些实际问题。第11页,共62页，2024年2月25日，星期天高中数学统计与概率，文科约34课时、25个知识点，理科约46课时、37个知识点

简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图、总体密度曲线、茎叶图、用样本的频率分布估计总体分布、样本的数字特征（众数、中位数、平均数、标准差、方差）、用样本的数字特征估计总体的数字特征、散点图、两个变量的线性相关、回归直线、最小二乘法、回归分析、独立性检验、随机事件、频率、概率、概率的基本性质（互斥事件、互为对立事件）、古典概型、（整数值）随机数的产生、几何概型、均匀随机数的产生、离散型随机变量、概率分布列、两点分布、超几何分布、条件概率、事件的相互独立性、独立重复试验、二项分布、离散型随机变量的均值（数学期望）、离散型随机变量的方差（标准差）、正态曲线（正态分布密度曲线）、正态分布。第12页,共62页，2024年2月25日，星期天二、教材分析(人教A版)（一）必修“统计”内容分析总体思路：通过实际问题情境，引导学生学习随机抽样、用样本估计总体、线性回归的基本方法，使他们了解用样本估计总体及其特征的思想，体会统计思维与确定性思维的差异；通过实习作业，让学生较为系统地经历数据收集与处理的全过程，进一步体会统计思维与确定性思维的差异。第13页,共62页，2024年2月25日，星期天二、教材分析(人教A版)（一）必修“统计”内容分析主线：从数据收集到数据分析整理。统计的全过程：确定统计问题→数据收集→数据整理→数据描述→数据特征→用样本估计总体→解决实际问题。

第14页,共62页，2024年2月25日，星期天二、教材分析(人教A版)（二）选修“统计案例”内容分析教科书给出了两件模型拟合效果的分析工具：残差分析和指标教科书从残差分析的角度解释了的统计意义：越大，模型的拟合效果越好教科书从残差分析和的角度讨论了模型选择问题，引导学生初步体会模型诊断的思想教科书强调了用解释变量（自变量）估计预报变量（因变量）时需要注意的问题，总结建立回归模型的基本步骤第15页,共62页，2024年2月25日，星期天二、教材分析(人教A版)（二）选修“统计案例”内容分析独立性检验的基本思想和反证法类似，它们都是假设结论不成立，反证法的原理是：在否定结论的假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立，于是结论成立；独立性检验的原理是：在否定结论的假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不可靠，于是认为结论在很大程度上是成立的。第16页,共62页，2024年2月25日，星期天二、教材分析(人教A版)随机现象的试验具有以下特点：①可重复性试验可以在相同条件下重复进行多次，甚至进行无数次；②可观测性每次试验的所有可能结果都是明确的、可观测的，并且试验的可能结果有两个或两个以上；③随机性每次试验结果是不确定的，在试验之前无法预先确定究竟出现哪一个结果。第17页,共62页，2024年2月25日，星期天二、教材分析(人教A版)（三）必修“概率”内容分析（1）利用随机事件的频率给出概率的定义与性质。（2）通过试验模拟等方法澄清日常生活中对概率的错误认识。给出应用概率解决实际问题的几个例子，包括用概率检验游戏的公平性，概率在决策中的应用，概率在天气预报中的应用等等。（3）给出两个概率模型（古典概型和几何概型）下概率的计算公式。（4）有两种产生随机数的方法，一种是由试验产生的随机数，另一种是利用计算器或计算机产生的（伪）随机数，通过模拟的方法估计随机事件发生的概率。（5）通过阅读与思考等栏目加深对随机现象的理解，了解人类认识随机现象的过程是逐步深入的，了解概率这门学科在实际中有广泛的应用。第18页,共62页，2024年2月25日，星期天二、教材分析(人教A版)（四）选修“随机变量及其分布”内容分析（1）通过简单的例子，介绍取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念；（2）通过具体实例，介绍超几何分布模型及其应用；（3）通过具体实例，介绍条件概率和两个事件相互独立的概念，在此基础上介绍二项分布模型及其应用；（4）通过具体实例，介绍离散型随机变量的均值和方差的含义及其计算公式，这里仅限于取有限值的离散型随机变量，并解决一些具体问题；（5）通过高尔顿板试验，引入正态分布密度曲线，借助图象介绍正态分布曲线的特点及其所表示的意义。第19页,共62页，2024年2月25日，星期天超几何分布与二项分布的区别和联系①超几何分布定义：一批产品共N件，其中有M件次品，随机取出的n件产品中，次品数x服从超几何分布，超几何分布满足两个条件：一是抽取的产品不再放回，二是总产品数量N较小。②二项分布定义：在n次独立重复试验中，每次试验A发生的概率均为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率，则称X服从二项分布，记为X~B（n,p）二项分布也满足两个条件：一是有放回、独立重复；二是恰好发生k次。③当抽取的方式从无放回变为有放回或者总产品数量N很大时，超几何分布变为二项分布.第20页,共62页，2024年2月25日，星期天

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量，结果重量不超过500克的产品有28件，重量超过500克的产品有12件,现从该流水线上任取5件产品，求恰有3件产品的重量超过500克的概率。下面给出该题的两种解法，请问哪种解法是正确的？为什么？第21页,共62页，2024年2月25日，星期天几何分布将二项分布中的“事件A恰好发生k次”改为“事件A恰好在第k次发生”，则P(X=k)=(1-p)k-1p,称X服从几何分布。例如，某人有10把形状大致相同的钥匙，只有1把钥匙能打开房门。他每次随机地取出1把钥匙开门，试开后放回，问他恰好在第4次打开房门的概率是多少？解：设X表示某人用钥匙打开房门所需要试开的次数，则X服从几何分布。这里p=0.1，∴P(X=4)=(1-0.1)3×0.1=0.0729.第22页,共62页，2024年2月25日，星期天三、教学建议（一）通过走进教材领会学习目标（二）通过方法比较提高思维能力（三）通过问题解决突破重点难点（四）通过亲身经历获得数学体验第23页,共62页，2024年2月25日，星期天三、教学建议我国是世界上第13个贫水国，人均淡水占有量排列世界第109位。（一）通过走进教材领会学习目标章头图章引言“走进统计”第24页,共62页，2024年2月25日，星期天走进统计一、三个主要问题：①为什么要学统计？②统计将要学习什么？③怎样学习统计？二、情景引入；问题展示。三、归纳小结，搭建统计知识框架。第25页,共62页，2024年2月25日，星期天走进统计第26页,共62页，2024年2月25日，星期天思维与知识

思维与知识，好比植物的根茎与枝叶，离开根茎，枝叶无所依托；好比动物的皮与毛，皮之不存，毛将焉附？相对于知识学习来说，在课堂教学中培养学生的思维品质更重要、更基本、更长远。第27页,共62页，2024年2月25日，星期天三、教学建议（二）通过方法比较提高思维能力甲乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？你对局制长短的设置有何认识？

---人教A版《高中数学选修2-3》P59B组第1题

第28页,共62页，2024年2月25日，星期天设甲获胜的局数为X,X服从二项分布。（1）在采用3局2胜制中，事件甲获胜的概率为(2)在采用5局3胜制中，事件

表示“甲获胜”，.

甲获胜的概率为表示“甲获胜”，第29页,共62页，2024年2月25日，星期天设甲在第X局胜出，则（1）在采用3局2胜制中，甲获胜的概率为(2)在采用5局3胜制中，甲获胜的概率为

第30页,共62页，2024年2月25日，星期天三、教学建议（三）通过问题解决突破重点、难点

“古典概型”教学过程设计及其意图第31页,共62页，2024年2月25日，星期天1、问题驱动

问题1概率是随机事件发生的可能性大小的度量，由频率的稳定性，我们可以用频率估计事件的概率。但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值。那么满足什么条件的随机试验可以直接计算事件的概率呢？请举例说明。问题2在掷硬币和掷骰子的实验中，为什么要求硬币和骰子的质地均匀？1、问题驱动第32页,共62页，2024年2月25日，星期天问题3在“掷一枚质地均匀的硬币的试验”中，结果只有两个，即“正面朝上”或“正面朝下”，他们都是随机事件；在“掷一枚质地均匀的骰子的试验”中，所有可能的结果有6种，即出现“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”、“6点”，他们也都是随机事件。我们把这类随机事件称为基本事件。请思考①一个随机试验中各个基本事件之间是什么关系？②一个随机试验中的随机事件与基本事件是什么关系？2、模型归纳2、模型归纳第33页,共62页，2024年2月25日，星期天问题4掷一枚质地均匀的骰子的试验，请回答①A=﹛向上的一面的点数大于3﹜是基本事件吗？若不是基本事件，那么事件A包含哪些基本事件？②B=﹛向上的一面的点数是偶数﹜包含哪些基本事件？2、模型归纳第34页,共62页，2024年2月25日，星期天基本事件真的是试验中不能再分的最简单的随机事件吗？对于“A=﹛向上的一面的点数大于3﹜”：如果试验有六种情况，那么事件A就不是基本事件。如果试验只有两种情况（比如可以想象把骰子面上显示1，2，3点的面涂成黑色，把点数大于3点的面涂成红色），那么事件A就是基本事件。第35页,共62页，2024年2月25日，星期天问题5同时掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的面上的点数，请回答①如何表示这个试验的所有可能结果？②所有可能结果一共有多少个？③所有可能结果是否都等可能发生？④事件A=﹛向上的点数之和是5﹜发生的概率是多少？2、模型归纳第36页,共62页，2024年2月25日，星期天问题6小强认为既然两个骰子是相同的，类似于（1,2）和（2,1）的结果应该没有区别。试验的所有可能结果是（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，5），（5，6），（6，6）共21种，事件“点数之和是5”包含2个结果，所以问题5中P(A)=2/21。你认为小强的解法正确吗？如果错误，错在哪里？2、模型归纳第37页,共62页，2024年2月25日，星期天问题7单项选择题型，一般是从A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案。现假定某考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？3、思维训练第38页,共62页，2024年2月25日，星期天问题8不定项选择题型，一般是从A,B,C,D四个选项中选择一个或多个正确答案。如果考生掌握了考查的内容，他可以选择正确的答案。现假定某考生不会做，在随机地选择任何答案都是等可能的情况下，问他答对的概率是多少？3、思维训练第39页,共62页，2024年2月25日，星期天问题9设袋子中有3个红球，2个黄球，除颜色外无其他区别，从袋子中不放回地随机摸出两个球，求两个球都是红球的概率。问题10设袋子中有3个红球，2个黄球，除颜色外无其他区别，若从袋子中随机摸出一个球记下颜色后放回袋子中，再随机摸出一个球，求两个球都是红球的概率。3、思维训练第40页,共62页，2024年2月25日，星期天问题11通过前面的学习，请思考对于一个随机试验，如何判断它是不是古典概型问题？如何求一个古典概型问题中事件发生的概率？4、反思小结第41页,共62页，2024年2月25日，星期天三、教学建议（四）通过亲身经历获得数学体验实习作业：清楚设计意图制定活动方案组织活动交流开展成果评价看重过程看重参与看重数据的真实性不苛求结果的准确性第42页,共62页，2024年2月25日，星期天参与到实习作业全过程让学生的兴趣在了解探究任务中产生让学生的思考在分析真实数据中形成让学生的理解在集体讨论过程中加深第43页,共62页，2024年2月25日，星期天灵活运用

【例】有一幢楼房共19层，现若选择其中某一层作为会议室，开会时每层去1人，则会议室设在第几层时，可使每人所走过的路程最短（每层楼高度相同）？第44页,共62页，2024年2月25日，星期天分析：大多数学生拿到该题首先想到利用等差数列的前项和公式建立路程与之间的关系，然后求最值，，这样，我们“希望”会议室所在的楼层即为随机的分布列如下：

12…19P…

于是，会议室设在第10层为所求。这是一种常规的思路。如果我们换一个角度思考：会议室设在哪一层是随机的，而设在任一层楼的概率都为的数学期望。由题意得会议室所在的楼层第45页,共62页，2024年2月25日，星期天第46页,共62页，2024年2月25日，星期天高中数学《题说》……

做之不能以其道，思之不能尽其法，错之而不能知其意，执笔而临之，曰：“此题难矣！”呜呼！其真难邪？其真不会做也。第47页,共62页，2024年2月25日，星期天四、解题之道“模式识别”是解统计与概率问题的关键

第48页,共62页，2024年2月25日，星期天2010-2014年高考湖南卷（理）试题分析一：第49页,共62页，2024年2月25日，星期天例12012湖南卷理·15第50页,共62页，2024年2月25日，星期天2010-2014年高考湖南卷（理）试题分析一：第51页,共62页，2024年2月25日，星期天例22013湖南卷理·18第52页,共62页，2024年2月25日，星期天2010-2014年高考湖南卷（理）试题分析一：

1、若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生。

2、若A∩B为不可能事件，且A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且只有一个发生。

3、设A，B是两个事件，若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，其含义是：事件A的发生不影响事件B发生的概率。

模式三：互斥事件和相互独立事件的概率第53页,共62页，2024年2月25日，星期天“互斥”与“对立”、“互斥”与“独立”4、区别与联系①对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。②如果事件A和事件B发生的概率都大于0，那么事件A与事件B：互斥一定不独立，独立一定不互斥。③若事件A与事件B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B)；若事件A与事件B互为对立，则P(AUB)=P(A)+P(B)=1④如果事件A与事件B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)

第54页,共62页，2024年2月25日，星期天例32014湖南卷理·17第55页,共62页，2024年2月25日，星期天2010-2014年高考湖南卷（理）试题分析一：第56页,共62页，2024年2月25日，星期天例4