19.1 矩形 华师大版八年级下册素养提升练习(含解析)

第19章矩形、菱形与正方形单元大概念素养目标单元大概念素养目标对应新课标内容掌握矩形、菱形、正方形的定义,会用定义进行判定理解矩形、菱形、正方形的概念,以及它们之间的关系【P66】掌握矩形、菱形的性质,并能应用性质解决相关问题探索并证明矩形、菱形的性质定理:矩形的四个角都是直角,对角线相等;菱形的四条边相等,对角线互相垂直【P66】掌握矩形、菱形的判定定理,能应用判定定理解决相关问题探索并证明矩形、菱形的判定定理:三个角是直角的四边形是矩形,对角线相等的平行四边形是矩形;四边相等的四边形是菱形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形【P66】掌握正方形的性质与判定定理,理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系正方形既是矩形,又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系【P66】19.1矩形基础过关全练知识点1矩形的定义与性质1.(2023河南新乡长垣期中)关于矩形的性质,以下说法不正确的是()A.四个角都相等 B.对角线相等C.对角线互相垂直 D.是轴对称图形2.(2023江苏常州清潭中学期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,DE⊥AC于点E,∠AOD=110°,则∠CDE的大小是()A.55° B.40° C.35° D.20°3.【教材变式·P100T2】(2022河南信阳潢川期中)一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°,每条对角线的长为16cm,则这个矩形较短边的长为()A.2cm B.4cm C.8cm D.16cm4.(2023辽宁大连金州期中)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E,交BC于点F,连结CE,△DEC的周长为()A.10 B.11 C.12 D.135.(2023湖南湘西凤凰月考)已知一矩形的两边长分别为7cm和12cm,其中一个内角的平分线分长边为两部分,这两部分的长分别为()A.6cm和6cm B.7cm和5cmC.4cm和8cm D.3cm和9cm6.(2023湖北咸宁温泉中学期中)如图,线段BC为等腰△ABC的底边,矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O,若OD=1,则AC=.

第6题图第7题图7.【转化思想】(2023湖南株洲中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,已知BC=4,AB=3,则OB的长为.

8.【方程思想】(2023江苏淮安盱眙期中)如图,矩形ABCD中,点E在AD上,且EB平分∠AEC,若AB=3,AE=1,则△BEC的面积为.

9.(2022福建泉州实验中学月考)如图,在矩形ABCD中,点M在DC上,AM=AB,且BN⊥AM,垂足为N.(1)求证:△ABN≌△MAD;(2)若AD=3,AN=4,求四边形BCMN的面积.10.【新独家原创】【教材呈现】矩形的性质定理2:矩形的对角线相等.如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O.(1)求证:BD=AC;【性质应用】(2)根据矩形的性质定理2,可以得到关于直角三角形的一个性质,你认为这个性质是;

【拓展提升】(3)根据你得到的性质解决以下问题:如图,在矩形ABCD中,点E为BA延长线上一点,F为CE的中点,以B为圆心,BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G,连结BG.若AB=4,CE=10,求AG的长.知识点2矩形的定义判定法11.(2023山东聊城实验中学二模)如图,在▱ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD.BF∥CE,CF∥BE.求证:四边形BECF是矩形.12.(2023浙江宁波期中)如图,在平行四边形ABCD中,BM,DN分别平分∠ABD,∠CDB.(1)求证:△ABM≌△CDN;(2)当AB与BD满足什么数量关系时,四边形BNDM是矩形?请说明理由.知识点3矩形的判定定理113.(2023广东云浮一中期中)如图,在▱ABCD中,AE⊥BC,CF⊥AD,点E,F为垂足.求证:四边形AECF是矩形.14.如图,已知点M,O,N在同一条直线上,OB,OC分别平分∠AOM,∠AON,AB⊥OB,AC⊥OC,垂足分别为B,C,连结BC交AO于点E.(1)求证:四边形ACOB是矩形;(2)猜想BC与MN的位置关系,并证明你的结论.知识点4矩形的判定定理215.(2023河南信阳平桥期末)如图,用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底边都垂直,只需要用绳子分别测量并比较书架的两条对角线AC,BD就可以判断,其推理依据是()A.矩形的对角线相等B.矩形的四个角是直角C.对角线垂直的平行四边形是矩形D.对角线相等的平行四边形是矩形16.(2023北京朝阳一模)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,AE∥CF,连结AF,CE.(1)求证:四边形AECF为平行四边形;(2)若∠EAO+∠CFD=180°,求证:四边形AECF是矩形.能力提升全练17.(2023上海中考,5,★☆☆)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是()A.AB∥CD B.AD=BCC.∠A=∠B D.∠A=∠D18.【等积变换法】(2023四川内江中考,16,★★☆)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一,最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形任意分割成多块小图形,几何图形的总面积保持不变,等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,对角线AC与BD交于点O,点E为BC边上的一个动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为点F,G,则EF+EG=.

19.【最短距离问题】(2022四川内江中考,25,★★☆)如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,点E、F分别是AB、DC上的动点,EF∥BC,则AF+CE的最小值是.

20.【新考向·开放型试题】(2023湖南岳阳中考,21,★★☆)如图,点M在▱ABCD的边AD上,BM=CM,请从以下三个选项中选择一个合适的选项作为已知条件,使▱ABCD为矩形:①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4.(1)你添加的条件是(填序号);

(2)添加条件后,请证明▱ABCD为矩形.21.【方程思想】(2022浙江丽水中考,22,★★☆)如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,点A落在点P处,折痕为EF.(1)求证:△PDE≌△CDF;(2)若CD=4cm,EF=5cm,求BC的长.22.(2022吉林期末,23,★★☆)如图,在▱ABCD中,F是边CD的中点,过点F作FE∥AD,交AB于点E.连结ED、EC,作CG∥DE,交EF的延长线于点G,连结DG.(1)求证:四边形DECG是平行四边形;(2)当DE平分∠ADC时,求证:四边形DECG是矩形.23.(2023福建厦门华侨中学期末,22,★★☆)在矩形ABCD中,AB=8,BC=15,E、F是对角线AC上的两个点,AE=CF=3.5,动点G、H分别从A、C同时出发,以每秒1个单位长度的速度,分别沿AD、CB运动,运动时间为t秒(0<t<15).(1)求证:四边形EGFH是平行四边形;(2)若四边形EGFH为矩形,请直接写出t的值.24.(2023黑龙江大庆三模,24,★★☆)如图,四边形ABDE中,∠ABD=∠BDE=90°,C为边BD上一点,连结AC,EC,M为AE的中点,延长BM交DE的延长线于点F,AC交BM于点G,连结DM交CE于点H.(1)求证:MB=MF;(2)若AB=BC,DC=DE,求证:四边形MGCH为矩形.素养探究全练25.【模型观念】(2023湖北随州中考)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=4,M是边AB上一动点(不含端点),将△ADM沿直线DM对折,得到△NDM.当射线CN交线段AB于点P时,连结DP,则△CDP的面积为,DP的最大值为.

答案全解全析1.C矩形的性质有四个角都相等,对角线互相平分且相等,是轴对称图形,故选C.2.C∵四边形ABCD是矩形,∴OD=OC,∴∠ODC=∠OCD,∵∠AOD=110°,∴∠DOE=70°,∠ODC=∠OCD=12×(180°-70°)=55°,∵DE⊥AC,∴∠DEC=90°,∴∠CDE=180°-∠OCD-∠DEC=35°.故选3.C如图,∵四边形ABCD是矩形,每条对角线的长为16cm,∴AC=BD=16cm,∴AO=BO=8cm,∵∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴AB=AO=BO=8cm,故矩形较短边的长为8cm.故选C.4.A∵四边形ABCD是矩形,∴DC=AB=4,AD=BC=6,AO=OC,∵EF⊥AC,∴AE=CE,∴△DEC的周长=CD+DE+CE=CD+DE+AE=CD+AD=4+6=10.故选A.5.B如图,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC.∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE.当AB=12cm时,AE=12cm,不满足题意;当AB=7cm时,AE=7cm,则DE=5cm.故选B.6.答案2解析∵四边形ADBE是矩形,∴AB=DE=2OD=2,∵AB=AC,∴AC=2.7.答案5解析∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,OB=OD=OA=OC=12AC,∵BC=4,AB=3,∴AC=AB2+BC2=328.答案15解析在矩形ABCD中,∠D=90°,AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC,∵EB平分∠AEC,∴∠AEB=∠CEB,∴∠CBE=∠CEB,∴BC=CE,∵CD=AB=3,AE=1,∴DE=AD-AE=BC-1,在Rt△CED中,根据勾股定理得CE2=DE2+CD2,∴BC2=(BC-1)2+32,解得BC=5,∴△BEC的面积=12BC·AB=12×5×3=9.解析(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=90°,DC∥AB,∴∠BAN=∠AMD,∵BN⊥AM,∴∠BNA=90°,在△ABN和△MAD中,∠∴△ABN≌△MAD(A.A.S.).(2)∵△ABN≌△MAD,∴BN=AD,∵AD=3,∴BN=3,∵BN⊥AM,AN=4,∴AB2=AN2+BN2=42+32=25=52,∴AB=5,∴S矩形ABCD=AD·AB=3×5=15.∵S△ABN=12AN·BN=6,∴S△MAD=S△ABN=6,∴S四边形BCMN=S矩形ABCD-S△ABN-S△MAD10.解析(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD,∠BAD=∠CDA=90°.又∵AD=DA,∴△ABD≌△DCA(S.A.S),∴BD=AC.(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(3)∵四边形ABCD为矩形,∴∠ABC=∠BAD=90°,在Rt△BCE中,点F为斜边CE的中点,∴BF=12CE=5,∴在Rt△ABG中,AB=4,BG=5,由勾股定理得AG=BG11.证明∵BF∥CE,CF∥BE,∴四边形BECF是平行四边形,∵BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,∴∠EBC=12∠ABC,∠ECB=12∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,∴∠EBC+∠ECB=12(∠ABC+∠BCD)=1∴∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=180°-90°=90°,∴四边形BECF是矩形.12.解析(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∠A=∠C,AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB,∵BM,DN分别平分∠ABD,∠CDB,∴∠ABM=12∠ABD,∠CDN=12∴∠ABM=∠CDN,又∵∠A=∠C,AB=CD,∴△ABM≌△CDN(A.S.A.).(2)当AB=BD时,四边形BNDM是矩形,理由如下:由(1)可知,△ABM≌△CDN,∴AM=CN,∴AD-AM=BC-CN,即DM=BN,又∵DM∥BN,∴四边形BNDM是平行四边形,又∵AB=BD,BM平分∠ABD,∴BM⊥AD,∴∠BMD=90°,∴四边形BNDM是矩形.13.证明∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,∴∠AEC+∠EAF=180°.∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°,∴∠EAF=180°-∠AEC=90°,∵CF⊥AD,∴∠AFC=90°,∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°,∴四边形AECF是矩形.14.解析(1)证明:∵OB,OC分别平分∠AOM,∠AON,∴∠AOB=12∠AOM,∠AOC=12∴∠AOB+∠AOC=12∠AOM+12∠AON=12(∠AOM+∠AON)=1∵AB⊥OB,AC⊥OC,∴∠ABO=∠ACO=∠BOC=90°,∴四边形ACOB是矩形.(2)BC∥MN.证明:∵四边形ACOB是矩形,∴AE=BE=CE=OE,∴△CEO是等腰三角形,∴∠AOC=∠BCO,∵OC平分∠AON,∴∠AOC=∠CON,∴∠BCO=∠CON,∴BC∥MN.15.D推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形.故选D.16.证明(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,∵AE∥CF,∴∠EAO=∠FCO,∵∠AOE=∠COF,∴△AEO≌△CFO(A.S.A.),∴OE=OF,∴四边形AECF为平行四边形.(2)∵∠EAO+∠CFD=180°,∠CFO+∠CFD=180°,∴∠EAO=∠CFO,∵∠EAO=∠FCO,∴∠FCO=∠CFO,∴OC=OF,由(1)可知,OA=OC,OE=OF,∴AC=EF,∴四边形AECF是矩形.能力提升全练17.C添加条件∠A=∠B,可证四边形ABCD是矩形,理由:∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∵∠A=∠B,∴∠A=∠B=90°,∴AB⊥AD,AB⊥BC,∴AB的长为AD与BC间的距离,∵AB=CD,∴CD⊥AD,CD⊥BC,∴∠C=∠D=90°,∴四边形ABCD是矩形,故选项C符合题意.添加其他三个选项中的条件均不能证明四边形ABCD是矩形,故选C.18.答案60解析如图,连结OE,∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,BC=AD=12,AO=CO=BO=DO,∵AB=5,BC=12,∴AC=AB2+BC2=13,∴OB=OC=132,∴S△BOC=S△BOE+S△COE=12OB·EG+12OC·EF=12S△ABC=12×12×5×12=15,∴12×13219.答案10解析如图,延长BC到G,使CG=EF,连结FG,AG,∵EF∥BC,EF=CG,∴四边形EFGC是平行四边形,∴CE=FG,∴AF+CE=AF+FG,∴当A、F、G三点共线时,AF+CE的值最小,为AG的长,由勾股定理得,AG=AB2+BG2=620.解析(1)①.(或②)(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AB=DC,∴∠A+∠D=180°,在△ABM和DCM中,AB∴△ABM≌DCM(S.A.S.),∴∠A=∠D,∴∠A=∠D=90°,∴▱ABCD为矩形.21.解析(1)证明:由题意得,∠P=∠PDF=∠B=∠ADC=∠C=90°,PD=AB=CD,∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,即∠PDE=∠CDF,∴△PDE≌△CDF(A.S.A.).(2)如图,过点E作EG⊥BC于点G,∴∠EGC=90°,EG=CD=4cm,在Rt△EGF中,EG2+GF2=EF2,∵EF=5cm,∴GF=3cm.设CF=xcm,易得BG=AE=PE=CF=xcm,∴DF=BF=(x+3)cm,在Rt△CDF中,CF2+CD2=DF2,即x2+42=(x+3)2,解得x=76∴BC=BG+GF+CF=2×76+3=1622.证明(1)∵F是边CD的中点,∴DF=CF.∵CG∥DE,∴∠DEF=∠CGF.又∵∠DFE=∠CFG,∴△DEF≌△CGF(A.A.S.),∴DE=CG,又∵DE∥CG,∴四边形DECG是平行四边形.(2)∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠FDE.∵EF∥AD,∴∠ADE=∠DEF.∴∠DEF=∠EDF,∴EF=DF,又∵DF=CF,EF=FG,∴CD=EG,∴平行四边形DECG是矩形.23.解析(1)证明:由题意得AE=CF=3.5,AG=CH=t,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠GAE=∠HCF,在△AEG和△CFH中,AG∴△AEG≌△CFH(S.A.S.),∴EG=FH,∠AEG=∠CF