苏科版八年级数学上册第3章：勾股定理章节复习 教案

八年级上期中考试重难点分析一勾股定理

考点归纳G

考点1：直角三角形的判断

考点2：勾股定理的证明

W甜

超

国

m考点7：求指定边长

斤点8：最短距离问题（最值问题）

殳点9：勾股定理实际问题分类大全（所有类型）

考点10：勾股定理逆定理的应用

考点11:方格纸（无理数）画图问题

考点12：常考题型（噪声影响问题）

做

收考点13：旋转问题

怒

回考点14：与圆有关的运用含拓展

考点16：拓展题型（动点、两点之间距离问题）

考点17：需要添加辅助线的题型

勾：直角三角形较短的直角边；股：直角三角形较长的直角边；弦：斜边。

1、勾股定理：

直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2。

2、勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a,b,c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：

满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数。

若是勾股数组，则na、nb.nc也是勾股数组。

4、简单运用：

⑴勾股定理——常用于求边长、周长、面积；

理解：①已知直角三角形的两边求第三边，并能求出周长、面积。

②用于证明线段平方关系的问题。

③利用勾股定理，作出长为的线段

⑵勾股定理的逆定理——常用于判断三角形的形状；

理解：①确定最大边（不妨设为c）;

②若C2=a2+b2,贝SABC是以NC为直角的三角形；

若a2+b2<c2,则此三角形为钝角三角形（其中C为最大边）；

若a2+b2>c2,则此三角形为锐角三角形（其中C为最大边）

考点1:直角三角形的判断

例1下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（A）

A.5,6,7B.0.7,2.4,2.5C.1,1,2D.1,,3

例2.下列各数组中，不是勾股数组的是（人）

A.5,12,13B.9,40,41C.8,12,15D.3,4,5

例3下列各组数据分别是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是（

A.5cm,12cm,13cmB.1cm,1cm,cm

C.1cm,2cm,cmD.cm,2cm,cm

例4判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形.

（1）a=,b=1,c=;（2）a=40,d=50,c=60;（3）a=35,b-12,c=37

例5满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）

A.三内角之比为1:2:3B.三边长的平方之比为1:2:3

C.三边长之比为3:4:5D.三内角之比为3:4:5

例6.下列给出的三条线段的长，能组成直角三角形的是

A.1、2、3B.2、3、4C.、、D.5、12、13

例7下列三角形中，可以构成直角三角形的有

A.三边长分别为2,2,3B.三边长分别为3,3,5

C.三边长分别为4,5,6D.三边长分别为1.5,2,2.5

例8下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（）

A.1,2,B.1,2,C.3,4,5D.6,8,12

考点2:勾股定理的证明

例1如图，将R3ABC绕其锐角顶点A旋转90。得到R3ADE,连接BE,延长DE,BC相交于点F,则有

zBFE=90°,且四边形ACFD是一个正方形.

(1)判断AABE的形状，并证明你的结论；

(2)用含b的代数式表示四边形ABFE的面积；

(3)求证:a2+b2=c2.

例2利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称

为弦图.观察图形，验证：〃=#+

例3一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新

的验证方法.如图，火柴盒的一个侧面力8C。倒下到力夕。夕

的位置，连接CC',设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCCD

的面积验证勾股定理：a2+b2=c2.

DC

AaB

考点3:关于勾股定理几个重要的图形(勾股树、赵爽弦图)

例1.如图，Rt^ABC,zABC=90°,以三边为边长向外作正方形，64、400分别为所在正方形的面积，则图

中字母A所代表的正方形面积是

例2.如图，以RfABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为7cm,以ZC为边的正方形的面积为

25cm2,则正方形M的面积为上cm2.

例3如图，在直线/上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1,1.21,1.44,正

放置的四个正方形的面积分别为Si,S2,S3,S4,贝1JS1+2s2+2S3+S4=_±

例4、如图是“赵爽弦图”，4ABH、^BCG、zCDF和是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和

都是正方形，如果/8=10,EF=2,那么力”等于

A.8B.6C.4D.5

例5.如图，在RfABC中/B=90°,AC=25,BC=15O,以为直径的半圆的面积分别为S1,S2,

则S1-S2=

Si

B

例6.如图，以RT-ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=6,则图中阴影部分的面积

之和为.

例7.2002年国际数学家大会在北京召开，大会选用了赵爽弦图作为会标的中心图案.如图，由四个全等的直

角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形.如果大正方形的而积是25,直角三角形较长的直角边长是a,较

短的直角边长是b,且（a+b）2的值为49,那么小正方形的面积是

A.2B.0.5C.13D.1

例8.如图，由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形图案是某届国际数学大会的会标，如

果大正方形的面积为16,小正方形的面积为3,直角三角形的两直角边分别为a和b,那么（a+b）2的值为

A.256B.169C.29D.48

例9“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四

个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长

为b,若（a+b）2=21,大正方形的面积为13,则小正方形的面积

为)

A.3B.4

例10.如图，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图中四

边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，-ABF、-BCG、^CDH、^DAE是四个全等的直角三角形，若

EF=2QE=B,则的长为.

例11.如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形.如果大正方形的面积是25，小正

方形的面积是1,直角三角形的两条直角边的长分别是a和b,那么（a+b）2的值为

A.49B.25C.13D.1

例12.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方

形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是（）

A.13B.26C.47D.94

例13.如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方

形EFGH、正方形MNKT的面积分别为Si、S2>S3.若Si+Sz+S3=15,则S2的值是（）

1515

A.3B.—C.5

4

例14.如图，则小正方形的面积S=

例15.勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记

载，如图(a)是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积验证勾股定理图，(b)是由图(a)放

入长方形内得到的.

NBAC=90。，AB=3,AC=4,点D,E,F,G,H,I都在

长方形KLMJ的边上，则长方形KIMJ的面积为

A.90B.100C.110D.121

图1图2

例16实践与探索

(1)小明在玩积木游戏时，把三个正方形积木摆成一定的形状，俯视图如图①，

问题(1):若此中的三角形ADEF为直角三角形，P的面积为9,Q的面积为15,则M的面积为「。

问题(2):若P的面积为36cm2,Q的面积为64cm2同时M的面积为100cm2,则^DEF为,三角形。

(2)图形变化：I.如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，你能找出这三个半圆的

面积之间有什么关系吗？请说明理由。

(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4,以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面

I中的结论求出阴影部分的面积吗？阴影部分面积为▲。(直接写出答案)

例17在&ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积.小华同学在解答这道题时，

先画一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点AABC(即AABC三个顶点都在小

正方形的顶点处)，如图①所示.这样不需要求AABC的高，而借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫

做构图法.

(1)AABC的面积为

(2)若ADEF三边的长分别为，2,,请在图①的正方形网格中画出相应的ADEF,并利用构图法求出它的

面积.

(3)利用第(2)小题解题方法完成下题：如图②，一个六边形绿化区ABCDEF被分割成7个部分，其中

正方形ABQP,CDRQ,EFPR的面积分别为13,20,29,且WQR、^BCQ、^DER、^APF的面积相等，

求六边形绿化区ABCDEF的面积.

考点4：折纸问题

例1:如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将^ABC折叠，使点B与点A重

合，折痕为DE,则BE的长为()

A.4cmB.5cmC.6cmD.10cm

例2：如图，在三角形纸片ABC中，NC=90°,AC=6,折叠该纸片使点C落在AB边上的D点处，折痕

BE与AC交与点E,若AD=BD,求折痕BE的长.

例3：如图，折叠长方形的一边AD,点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm,BC=10cm,求EC的

长.

例4:一张长方形纸片宽AB=8cm,长BC=10cm.现将纸片折叠，使顶点D落在BC边上的点F处（折

痕为AE），求EC的长.

例5、如图，长方形ABCD中，/DAB=NB=NC=ND=90。，AD=BC=8,AB=CD=17.点E为射线DC上的

一个动点，AADE与AAD'E关于直线AE对称，当AADB为直角三角形时，DE的长为

例6如图，动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.折叠纸片，使点A落在BC边上的A处，

折痕为PQ,当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边

上移动，则点A，在BC边上可移动的最大距离为.

例7如图，矩形纸片ABCD中，AB=5cm,BOAQcm,CD上有一点E,EC=2cm,AD上有一点P,

口=6初，过点尸作PFLAD交8c于点F,将纸片折叠，使尸与£重合，折痕交尸尸于Q,则线段尸Q的

长是___cm.

例8如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=6,P为AD上一点，将-ABP沿BP翻折至-EBP,PE与CD相

交于点0,且OE=OD,BE与CD交于点G.

⑴求证:AP=DG;

(2)求线段AP的长.

例9.如图，在直角坐标系中，长方形纸片48。的边力司。。，点8坐标为(8,4),若把图形按如图所示

折叠，使8、。两点重合，折痕为EF.

(1)求证：为等腰三角形；

(2)求折痕守的长.

考点5:面积相关(等面积法)

例1:AABC是等边三角形，点D是BC边上的任意一点，DELAB于

点E,DF±AC于点F,BN1AC于点N,贝ijDE、DF、BN三者

的数量关系为上；

例2：如图，在R3ABC中，/ACB=90°,CD是高，AC=5,BC=12,求CD的长度。

D

BC

例3在AABC中，NB=90°,两直角边AB=7,BC=24,三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距

离是.

考点6:与完全平方公式有关

例1:若AABC的三边长a、b、c满足求c2c2="-炭，试判断AABC的形状.

例2:若&ABC的三边长a、ac满足a2+/?2+c2+338=10a+24b+26c，试判断^ABC的形状.

例3三边长为a,b,c满足a+b=10,ab=18,c=8的三角形是什么形状？

例4:已知lx-12l+lx+y-25l与z2-10z+25互为相反数，试判断以x、y、z为三边的三角形的形状。

例5:若AABC的三边长a、久c满足（a-Z?）（存+〃-c2）=0,则AABC是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

考点7:求第三边的长

例1已知直角三角形的两边长为3cm、5cm,则它的第三边长为—上

例2、已知一个R3的两直角边长分别为3和4,则第三边长是上

例3.若直角三角形的两边分别是6、8,则第三边的长是

考点8:最短距离及相关问题

例1.如图，一个高16m,底面周长8m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯

绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？

例2.如图，一圆柱高8cm,底面半径为2cm,一只蚂蚊从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（TT

取3）是（▲）

A.20cmB.10cmC.14cmD.无法确定

例3.如图，正方形ABCD的边长是4,/DAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE上的

动点，则DQ+PQ的最小值_________.

例4如图，A村到公路L的距离AB为6km,C村到公路

L的距离CD为2km，且BD的长为6km.现要在公路

上取一点P,使AC+CP的值最小，则这个最小值

为.

A------------------B

D

例5：如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，到河的距离分别为AC=10千米、BD=30千米，且CD

=30千米，现要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流

CD边上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最节省，并求出总费用.

B

例6:“数学建模”

(1)模型——小马喝水问题：直线MN表示一条河流的岸，在河流同侧有A、B两地，小马从A地出发到B

地，中间要在河边饮水一次，请在图①中用直尺和圆规作出使小马行走最短路程的饮水点P的位置.(作在

答题纸上，保留作图痕迹，并用黑水笔将痕迹描深)

(2)运用——和最小问题：如图②，E是边长为8的正方形ABCD边BC上一点，CE=2,P是对角线BD上

的一个动点，求PC+PE的最小值.

B

图①

图②

例7如图，长方体的长为15，宽为10,高为20,点B到点C的距离为5,如果一只蚂蚁要沿着长方体的

表面从点A爬到点B,那么它需要爬行的最短距离是（）

A.5B.25

C.15D.35

10

例8如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶两相

对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是分

米。

A20

例9.如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，

沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.

例10如图，一个圆柱形容器的高为1.2m,底面周长为Im.在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一只

蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为

m(容器厚度忽略不计).

例11.将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，如图①~③所示，

设筷子露在杯子外面的部分的长为h,则h的取值范围是什么？

考点9:常考的勾股定理实际问题

例1:.(涉及需要添加辅助线)

如图，有一块四边形花圃ABCD,zADC=90°,AD=4m,AB=13m,BC=12m,DC=3m,该花圃的面积为

m2.

例2:梯子问题

如图，一架10米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子

的顶端沿墙下滑1米

(1)求它的底端滑动多少米？

(2)为了防止梯子下滑，保证安全，小强用一根绳子连结在墙角C与梯子的中点D处，你认为这样效果如

何？请简要说明理由。

例3.机器人问题

如图所示，OA’OB,OA=45cm,0B=15cm,一机器人在B处发现有一个小球自A点出发沿着A0方向与

速滚向点0,机器人立即从B处出发以相同的速度匀速直线前进去拦截小球，在点C处截住了小球，求机

器人行走的路程BC.

例4.航海问题

中日钓鱼岛争端持续，我海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度.如图，OA±OB,04=36海里，06=12

海里，钓鱼岛位于。点，我国海监船在点8处发现有一不明国籍的渔船，自4点出发沿着方向匀速驶

向钓鱼岛所在地点。，我国海监船立即从8处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点。处

截住了渔船.

(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；(不写作法，保留作图痕迹)

(2)求我国海监船行驶的航程8c的长.

0A

例5秋千问题

如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6m,荡秋千到AB的位置时，下

端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m,距地面1.4m,求秋千AB的长.

考点10：勾股定理逆定理的应用

例1.如图，zADC=90°,AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m求这块地的面积.

例2:如图是一块地的平面图，其中AD=4m,CD=3m,AB=13m,BC=12m,zADC=90°,求这块地的

面积.

例3:如图，在四边形ABCD中，/BAD=NDBC=90°,若AD=4cm,AB=3cm,BC=12cm,求CD的长及

四边形ABCD的面积

如图，在AABC中，AB=17,BC=30,BC边上的中线AD=8,NB与/C相等吗？为什么？

例4:如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB:BC:CD:DA=2:2:3:1,且NB=90°,求/DAB的度

数。

例5如图所示的一块地，NADC=90°,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,求这块地的面积.

例6.如图，四边形ABCD中，NB=ND=90°,/A=30°,AB=5,CD=1.,贝ijBC的长为

A.2B.3C.1+D.

例7.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC,AD2+CD2=2AB2,CDxAD.

(1)求证：AB1BC

(2)若AB=5CD,AD=21,求四边形ABCD的周长

考点11：方格纸相关(无理数线段)以及画图问题

例1：如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1,每个顶点叫做格点.

(1)在图(1)中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；

(2)在图(2)中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2,,;这个三角形的面积为▲

(1)(2)

例2:

(1)如图1,利用网格线用三角尺画图，在2C上找一点尸，使得尸到48、8c的距离相等；

(2)图2是4x5的方格纸，其中每个小正方形的边长均为1cm,每个小正方形的顶点称为格点.请在图2

的方格纸中画出一个面积为10cm2的正方形，使它的顶点都在格点上；

例3:如图是规格为4x6的边长为1个单位的正方形网格，请在所给网格中按下列要求画顶点在格点的三

角形.

例4.如图，每个小正方形的边长都是1