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文档简介

2021年中考数学压轴题

I.如图,在平面直角坐标系中,直线/的解析式为),=-冬+4,与x轴交于点C,直线/

上有一点B的横坐标为8,点A是。C的中点.

(1)求直线的函数表达式;

(2)在直线上有两点尸、Q,且PQ=4,使四边形OAP。的周长最小,求周长的最

小值;

(3)直线AB与y轴交于点”,将△O8H沿AB翻折得到△”BG,M为直线AB上一动

点,N为平面内一点,是否存在这样的点V、N,使得以H、M、N、G为顶点的四边形

是菱形,若存在,直接写出点M的坐标,若不存在,说明理由.

备用图

解:(1)对于尸—冬r+4,令y=0,则产-字:+4=0,解得》=4遍,

故点C(4V3,0),

••,点A是OC的中点,则点A(2V3,0),

当x=6时,尸一堂x+4=3,故点B(®3),

设直线AB的表达式为产sx+f,则户=华+1,解得卜=一病,

10=2gs+t(t=6

故直线AB的表达式为y=—V3x+6;

(2)过点4作点4关于直线BC的对称点A',将点4'沿CB方向平移4个单位得到

点A",

连接OA"交BC于点P,将点尸沿BC方向平移4个单位得到Q,此时四边形OAPQ的

周长最小.

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V

O\A

图i

由点A、B、。的坐标知,O4=AB=O8=2V5,故△04B为等边三角形,由直线8C的

表达式知N8CO=30°,

则/A'AC=60°,故/BA4'=60°=NA8C+NABC=30°+ZABC,故/A8A'=

60°,故△ABA'为等边三角形,

则A'B=48=2百且A'B〃x轴,故点4'(3遍,3);

将点4'沿CB方向平移4个单位,相等于沿x轴负半轴方向平移2百个单位向上平移3

个单位,故点A"(V3,5);

由点A的平移知,A"A'=PQ且A'A"//PQ,故四边形OAP。为平行四边形,故A'

Q=A"P,

止匕时,四边形OAPQ的周长=O4+PQ+AQ+OP=O4+4+A'Q+OP=2\[3+4+OA"为最小,

而OA"=2夕,

故以四边形OAPQ的最小周长为2近4-4+2V3;

(3)存在,理由:

对于y=—Wx+6,令x=0,贝Iy=6,故点”(0,6),

如图2,按照(2)方法同理可得点G(3V3,3),则HG=J(3g)2+(6-3>=6,

图2

设点N(a,b),点、M(m,6—如m),

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①当GH是边时,

点H向右平移3次个单位向下平移3个单位得到点G,

同样点M(N)向右平移38个单位向下平移3个单位得到点N(M),

当点N在点例的下方时,

由题意得:机+3b=〃,6—次机-3=%①且HG=MW,

而HG=HM,即36=川+(6-V3/M-6)2②,

联立①②并解得加=±3,

故点M(3,6-3次)或(-3,6+3V3);

当点N在点M的下方时,

同理可得点〃(38,-3);

②当GH是对角线时,

1111

由中点公式得:-(0+3V3)=(。+,*),-(6+3)=(b+6-y/^m)③,

由HM=HN得:m2+(6-V3/M-6)2^a2+(b-6)2@,

联立③④并解得:m=>/3,

故点M(V3,3);

综上,点M的坐标为(3,6-3V3)或(-3,6+3V3)或(3值,-3)或(心,3).

2.如图1,矩形的边。A在x轴上,边0C在y轴上,点8的坐标为(6,8).力是AB边

上一点(不与点4、B重合),将△BCD沿直线CD翻折,使点8落在点E处.

(1)求直线AC所表示的函数的表达式;

(2)如图2,当点E恰好落在矩形的对角线AC上时,求点。的坐标;

(3)如图3,当以0、E、C三点为顶点的三角形是等腰三角形时,求△0EA的面积.

.•.点A、C的坐标分别为(6,0)、(0,8),

设AC的表达式为y^kx+b,

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4

把、两点的坐标分别代入上式得{;仅,解得*=一

AC:+b3

3=8

直线AC所表示的函数的表达式是y=-9+8;

(2)•.•点A的坐标为(6,0),点C的坐标为(0,8),

:.OA=6,OC=8.

;.R&OC中,AC=V62+82=10,

•.•四边形OABC是矩形,

;.NB=90°,BC=6,AB=8,

•.•沿CO折叠,

:.ZCED=90a,BD=DE,CE=6,AE=4,

:.ZAED=90°,

设8O=Z)E=a,则AO=8-a,

「RtZvlE。中,由勾股定理得:AE1+DE1=AD1,

.\42+a2=(8-a)2,解得a=3,

...点。的坐标为(6,5);

(3)过点E分别作x、y轴的垂线,垂足分别为M、N,

■:ENLOC,EMLOA,OC1.OA,

:.NENO=NN0M=ZOME=90°,

四边形OMEN是矩形,

:.EM=ON.

①当EC=E。时,

":EC=EO,NELOC,

:.ON=^OC^4=EM,

△OE4的面积=/xOAXEM=4x6X4=12;

②当OE=OC时,

,:ENLOC,

:.NENC=NENO=90°,

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设ON=b,则CN=8-〃,

在RtANEC中,N*=Ed-CN2,

在Rt/XENO中,NE1=EO2-ON2,

即62-(8-/>)2=82-b2,

解得:仁竽,

9Q

则EM=

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