2021年中考数学压轴题押题答案解析

2021年中考数学压轴题

I.如图，在平面直角坐标系中，直线/的解析式为)，=-冬+4,与x轴交于点C,直线/

上有一点B的横坐标为8，点A是。C的中点.

(1)求直线的函数表达式；

(2)在直线上有两点尸、Q,且PQ=4,使四边形OAP。的周长最小，求周长的最

小值；

(3)直线AB与y轴交于点”，将△O8H沿AB翻折得到△”BG,M为直线AB上一动

点，N为平面内一点，是否存在这样的点V、N,使得以H、M、N、G为顶点的四边形

是菱形，若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由.

备用图

解：(1)对于尸—冬r+4,令y=0,则产-字:+4=0,解得》=4遍,

故点C(4V3,0),

••,点A是OC的中点，则点A(2V3,0),

当x=6时，尸一堂x+4=3,故点B(®3),

设直线AB的表达式为产sx+f,则户=华+1,解得卜=一病，

10=2gs+t(t=6

故直线AB的表达式为y=—V3x+6；

(2)过点4作点4关于直线BC的对称点A',将点4'沿CB方向平移4个单位得到

点A",

连接OA"交BC于点P,将点尸沿BC方向平移4个单位得到Q,此时四边形OAPQ的

周长最小.

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V

O\A

图i

由点A、B、。的坐标知，O4=AB=O8=2V5,故△04B为等边三角形，由直线8C的

表达式知N8CO=30°,

则/A'AC=60°,故/BA4'=60°=NA8C+NABC=30°+ZABC,故/A8A'=

60°,故△ABA'为等边三角形，

则A'B=48=2百且A'B〃x轴，故点4'（3遍，3）；

将点4'沿CB方向平移4个单位，相等于沿x轴负半轴方向平移2百个单位向上平移3

个单位，故点A"（V3,5）；

由点A的平移知，A"A'=PQ且A'A"//PQ,故四边形OAP。为平行四边形，故A'

Q=A"P,

止匕时，四边形OAPQ的周长=O4+PQ+AQ+OP=O4+4+A'Q+OP=2\[3+4+OA"为最小，

而OA"=2夕，

故以四边形OAPQ的最小周长为2近4-4+2V3；

（3）存在，理由：

对于y=—Wx+6,令x=0,贝Iy=6,故点”（0,6）,

如图2,按照（2）方法同理可得点G（3V3,3）,则HG=J（3g）2+（6-3>=6,

图2

设点N(a,b),点、M(m,6—如m),

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①当GH是边时，

点H向右平移3次个单位向下平移3个单位得到点G,

同样点M(N)向右平移38个单位向下平移3个单位得到点N(M),

当点N在点例的下方时，

由题意得：机+3b=〃，6—次机-3=%①且HG=MW,

而HG=HM,即36=川+(6-V3/M-6)2②，

联立①②并解得加=±3,

故点M(3,6-3次)或(-3,6+3V3)；

当点N在点M的下方时，

同理可得点〃(38，-3)；

②当GH是对角线时，

1111

由中点公式得：-(0+3V3)=(。+，*)，-(6+3)=(b+6-y/^m)③，

由HM=HN得:m2+(6-V3/M-6)2^a2+(b-6)2@,

联立③④并解得：m=>/3,

故点M(V3,3)；

综上，点M的坐标为(3,6-3V3)或(-3,6+3V3)或(3值，-3)或(心，3).

2.如图1,矩形的边。A在x轴上，边0C在y轴上，点8的坐标为(6,8).力是AB边

上一点(不与点4、B重合)，将△BCD沿直线CD翻折，使点8落在点E处.

(1)求直线AC所表示的函数的表达式；

(2)如图2,当点E恰好落在矩形的对角线AC上时，求点。的坐标；

(3)如图3,当以0、E、C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求△0EA的面积.

.•.点A、C的坐标分别为(6,0)、(0,8),

设AC的表达式为y^kx+b,

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4

把、两点的坐标分别代入上式得｛；仅，解得*=一

AC:+b3

3=8

直线AC所表示的函数的表达式是y=-9+8；

(2)•.•点A的坐标为(6,0),点C的坐标为(0,8),

：.OA=6,OC=8.

；.R&OC中，AC=V62+82=10,

•.•四边形OABC是矩形，

；.NB=90°,BC=6,AB=8,

•.•沿CO折叠，

：.ZCED=90a,BD=DE,CE=6,AE=4,

：.ZAED=90°,

设8O=Z)E=a,则AO=8-a,

「RtZvlE。中，由勾股定理得：AE1+DE1=AD1,

.\42+a2=(8-a)2,解得a=3,

...点。的坐标为(6,5)；

(3)过点E分别作x、y轴的垂线，垂足分别为M、N,

■:ENLOC,EMLOA,OC1.OA,

：.NENO=NN0M=ZOME=90°,

四边形OMEN是矩形，

：.EM=ON.

①当EC=E。时，

"：EC=EO,NELOC,

：.ON=^OC^4=EM,

△OE4的面积=/xOAXEM=4x6X4=12；

②当OE=OC时，

,:ENLOC,

:.NENC=NENO=90°,

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设ON=b,则CN=8-〃，

在RtANEC中,N*=Ed-CN2,

在Rt/XENO中，NE1=EO2-ON2,

即62-(8-/>)2=82-b2,

解得:仁竽，

9Q

则EM=