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文档简介

江苏省南通市启东市启东中学2024年高三第一次调研测试数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知△ABC中,.点P为BC边上的动点,则的最小值为()A.2 B. C. D.2.已知,,则的大小关系为()A. B. C. D.3.已知,若则实数的取值范围是()A. B. C. D.4.运行如图所示的程序框图,若输出的值为300,则判断框中可以填()A. B. C. D.5.已知点,若点在曲线上运动,则面积的最小值为()A.6 B.3 C. D.6.已知集合A,B=,则A∩B=A. B. C. D.7.已知命题p:“”是“”的充要条件;,,则()A.为真命题 B.为真命题C.为真命题 D.为假命题8.已知倾斜角为的直线与直线垂直,则()A. B. C. D.9.已知双曲线的一条渐近线方程为,,分别是双曲线C的左、右焦点,点P在双曲线C上,且,则()A.9 B.5 C.2或9 D.1或510.我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?根据上述问题的已知条件,若该女子共织布尺,则这位女子织布的天数是()A.2 B.3 C.4 D.111.在中,点为中点,过点的直线与,所在直线分别交于点,,若,,则的最小值为()A. B.2 C.3 D.12.双曲线:(,)的一个焦点为(),且双曲线的两条渐近线与圆:均相切,则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,角,,所对的边分别边,且,设角的角平分线交于点,则的值最小时,___.14.已知非零向量,满足,且,则与的夹角为____________.15.设为互不相等的正实数,随机变量和的分布列如下表,若记,分别为的方差,则_____.(填>,<,=)16.如图,、分别是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点,若,,则双曲线的离心率是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知平行于x轴的动直线l交抛物线C:于点P,点F为C的焦点.圆心不在y轴上的圆M与直线l,PF,x轴都相切,设M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)若直线与曲线E相切于点,过Q且垂直于的直线为,直线,分别与y轴相交于点A,当线段AB的长度最小时,求s的值.18.(12分)在直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上且轴,直线交轴于点,,椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)过的直线交椭圆于两点,且满足,求的面积.19.(12分)已知函数,且曲线在处的切线方程为.(1)求的极值点与极值.(2)当,时,证明:.20.(12分)设函数f(x)=x2−4xsinx−4cosx.(1)讨论函数f(x)在[−π,π]上的单调性;(2)证明:函数f(x)在R上有且仅有两个零点.21.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),为上的动点,点满足,点的轨迹为曲线.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与的异于极点的交点为,与的异于极点的交点为,求.22.(10分)已知函数.(1)当时,求的单调区间;(2)若函数有两个极值点,,且,为的导函数,设,求的取值范围,并求取到最小值时所对应的的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

以BC的中点为坐标原点,建立直角坐标系,可得,设,运用向量的坐标表示,求得点A的轨迹,进而得到关于a的二次函数,可得最小值.【详解】以BC的中点为坐标原点,建立如图的直角坐标系,可得,设,由,可得,即,则,当时,的最小值为.故选D.【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示,考查转化思想和二次函数的值域解法,考查运算能力,属于中档题.2、D【解析】

由指数函数的图像与性质易得最小,利用作差法,结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较和的大小关系,进而得解.【详解】根据指数函数的图像与性质可知,由对数函数的图像与性质可知,,所以最小;而由对数换底公式化简可得由基本不等式可知,代入上式可得所以,综上可知,故选:D.【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形,对数换底公式及基本不等式的简单应用,作差法比较大小,属于中档题.3、C【解析】

根据,得到有解,则,得,,得到,再根据,有,即,可化为,根据,则的解集包含求解,【详解】因为,所以有解,即有解,所以,得,,所以,又因为,所以,即,可化为,因为,所以的解集包含,所以或,解得,故选:C【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法及集合的关系的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题,4、B【解析】

由,则输出为300,即可得出判断框的答案【详解】由,则输出的值为300,,故判断框中应填?故选:.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.5、B【解析】

求得直线的方程,画出曲线表示的下半圆,结合图象可得位于,结合点到直线的距离公式和两点的距离公式,以及三角形的面积公式,可得所求最小值.【详解】解:曲线表示以原点为圆心,1为半径的下半圆(包括两个端点),如图,直线的方程为,可得,由圆与直线的位置关系知在时,到直线距离最短,即为,则的面积的最小值为.故选:B.【点睛】本题考查三角形面积最值,解题关键是掌握直线与圆的位置关系,确定半圆上的点到直线距离的最小值,这由数形结合思想易得.6、A【解析】

先解A、B集合,再取交集。【详解】,所以B集合与A集合的交集为,故选A【点睛】一般地,把不等式组放在数轴中得出解集。7、B【解析】

由的单调性,可判断p是真命题;分类讨论打开绝对值,可得q是假命题,依次分析即得解【详解】由函数是R上的增函数,知命题p是真命题.对于命题q,当,即时,;当,即时,,由,得,无解,因此命题q是假命题.所以为假命题,A错误;为真命题,B正确;为假命题,C错误;为真命题,D错误.故选:B【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词,考查了学生逻辑推理,分类讨论,数学运算的能力,属于中档题.8、D【解析】

倾斜角为的直线与直线垂直,利用相互垂直的直线斜率之间的关系,同角三角函数基本关系式即可得出结果.【详解】解:因为直线与直线垂直,所以,.又为直线倾斜角,解得.故选:D.【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系,同角三角函数基本关系式,考查计算能力,属于基础题.9、B【解析】

根据渐近线方程求得,再利用双曲线定义即可求得.【详解】由于,所以,又且,故选:B.【点睛】本题考查由渐近线方程求双曲线方程,涉及双曲线的定义,属基础题.10、B【解析】

将问题转化为等比数列问题,最终变为求解等比数列基本量的问题.【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题,在等比数列中,公比,前项和为,,,求的值.因为,解得,,解得.故选B.【点睛】本题考查等比数列的实际应用,难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算,对于解决实际问题很有帮助.11、B【解析】

由,,三点共线,可得,转化,利用均值不等式,即得解.【详解】因为点为中点,所以,又因为,,所以.因为,,三点共线,所以,所以,当且仅当即时等号成立,所以的最小值为1.故选:B【点睛】本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.12、A【解析】

根据题意得到,化简得到,得到答案.【详解】根据题意知:焦点到渐近线的距离为,故,故渐近线为.故选:.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系,双曲线的渐近线,意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

根据题意,利用余弦定理和基本不等式得出,再利用正弦定理,即可得出.【详解】因为,则,由余弦定理得:,当且仅当时取等号,又因为,,所以.故答案为:.【点睛】本题考查余弦定理和正弦定理的应用,以及基本不等式求最值,考查计算能力.14、(或写成)【解析】

设与的夹角为,通过,可得,化简整理可求出,从而得到答案.【详解】设与的夹角为可得,故,将代入可得得到,于是与的夹角为.故答案为:.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算,向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键,意在考查学生的转化能力,分析能力及计算能力.15、>【解析】

根据方差计算公式,计算出的表达式,由此利用差比较法,比较出两者的大小关系.【详解】,故.,.要比较的大小,只需比较与,两者作差并化简得①,由于为互不相等的正实数,故,也即,也即.故答案为:【点睛】本小题主要考查随机变量期望和方差的计算,考查差比较法比较大小,考查运算求解能力,属于难题.16、【解析】

根据三角形中位线证得,结合判断出垂直平分,由此求得的值,结合求得的值.【详解】∵,∴为中点,,∵,∴垂直平分,∴,即,∴,,即.故答案为:【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),(2).【解析】

根据题意设,可得PF的方程,根据距离即可求出;点Q处的切线的斜率存在,由对称性不妨设,根据导数的几何意义和斜率公式,求,并构造函数,利用导数求出函数的最值.【详解】因为抛物线C的方程为,所以F的坐标为,设,因为圆M与x轴、直线l都相切,l平行于x轴,所以圆M的半径为,点,则直线PF的方程为,即,所以,又m,,所以,即,所以E的方程为,,设,,,由知,点Q处的切线的斜率存在,由对称性不妨设,由,所以,,所以,,所以,.令,,则,由得,由得,所以在区间单调递减,在单调递增,所以当时,取得极小值也是最小值,即AB取得最小值此时.【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系,以及利用导数求函数最值的关系,考查了运算能力和转化能力,属于难题.18、(1);(2).【解析】

(1)根据离心率以及,即可列方程求得,则问题得解;(2)设直线方程为,联立椭圆方程,结合韦达定理,根据题意中转化出的,即可求得参数,则三角形面积得解.【详解】(1)设,由题意可得.因为是的中位线,且,所以,即,因为进而得,所以椭圆方程为(2)由已知得两边平方整理可得.当直线斜率为时,显然不成立.直线斜率不为时,设直线的方程为,联立消去,得,所以,由得将代入整理得,展开得,整理得,所以.即为所求.【点睛】本题考查由离心率求椭圆的方程,以及椭圆三角形面积的求解,属综合中档题.19、(1)极小值点为,极小值为,无极大值;(2)证明见解析【解析】

先对函数求导,结合已知及导数的几何意义可求,结合单调性即可求解函数的极值点及极值;令,问题可转化为求解函数的最值,结合导数可求.【详解】(1)由题得函数的定义域为.,由已知得,解得∴,令,得令,得,∴在上单调递增.令,得∴在上单调递减∴的极小值点为,极小值为,无极大值.(2)证明:由(1)知,∴,令,即∵,,∴恒成立.∴在上单调递增又,∴在上恒成立∴在上恒成立∴,即∴【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值问题,考查利用导数证明不等式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于中档题.20、见解析【解析】

(1)f(x)=2x−4xcosx−4sinx+4sinx=,由f(x)=1,x∈[−π,π]得x=1或或.当x变化时,f(x)和f(x)的变化情况如下表:x1f(x)−1+1−1+f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)在区间,上单调递减,在区间,上单调递增.(2)由(1)得极大值为f(1)=−4;极小值为f()=f()<f(1)<1.又f(π)=f(−π)=π2+4>1,所以f(x)在,上各有一个零点.显然x∈(π,2π)时,−4xsinx>1,x2−4cosx>1,所以f(x)>1;x∈[2π,+∞)时,f(x)≥x2−4x−4>62−4×6−4=8>1,所以f(x)在(π,+∞)上没有零点.因为f(−x)=(−x)2−4(−x)sin(−x)−4cos(−x)=x2−4xsinx−4cosx=f(x),所以f(x)为偶函数,从而x<−π时,f(x)>1,即f(x

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