福建省莆田中山中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题【含答案】

2023-2024学年九年级数学返校考试卷（考试时间：120分钟）班级__________姓名__________座号__________一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共40分；每小题有且只有一个选项正确）1.下列方程中是一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；即可进行解答．【详解】解：A、中含有两个未知数，不一元二次方程，故不合题意；B、中分母含有未知数，不是整式方程，故不合题意；C、是一元二次方程，故符合题意；D、当时，的系数为0，故不是一元二次方程，故不合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．2.下列四条线段中，不能成比例的是（）A.，，， B.，，，C.，，， D.，，，【答案】C【解析】【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【详解】解：A、，能成比例，故此选项不符合题意；B、，能成比例，故此选项不符合题意；C、，不能成比例，故此选项不符合题意；D、，能成比例，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．3.下列方程中，无实数根的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断四个方程的根的情况即可．【详解】解：A．方程化为一般式为，，则方程有两个相等的实数根，所以A选项不符合题意；B．，则方程没有实数根，所以B选项符合题意；C．方程化为一般式为，，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；D．，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．4.如图，在下列各式中，不能证明的条件是（）A.AD:DB=DE:BC B.AD:AC=AE:ABC.∠1=∠B D.∠2=∠C【答案】A【解析】【分析】根据三角形相似判定定理对选项逐项判断即可．【详解】A.两边不是对应边，故错误；由两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，故B正确，两角对应相等，两三角形相似，故C、D正确；故选A．【点睛】本题考查相似三角形的判定，（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键5.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】根据勾股定理，AB=，BC=，AC=，所以△ABC的三边之比为=，A、三角形的三边分别为2，，，三边之比为2：=，故本选项错误，不符合题意;B、三角形的三边分别为2，4，，三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确，符合题意；C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误，不符合题意；D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：4，故本选项错误，不符合题意．故选：B．6.如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】解：∵D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，∴△DEF与△ABC位似比为1︰2，∴其面积比1︰4，故选B．7.用配方法解方程时，配方结果正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用配方法把方程变形即可.【详解】用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，故选A．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键．8.已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0①有两个不相等的实数根．则k的取值范围为（）A.k＞﹣ B.k＞4 C.k＜﹣1 D.k＜4【答案】A【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0；即可得出关于k的一元一次不等式；解之即可得出结论．【详解】∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2=0有两个不相等的实数根，∴△=（2k+1）2﹣4×1×k2=4k+1＞0，∴k＞﹣．故选A．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．9.现定义运算“※”：对于任意实数、，都有，如，若，则实数的值为（）A.3或 B.或1 C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据新定义有，把转化为，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：∵对于任意实数、，都有，∴，∵，∴，∴∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握新定义．10.如图，在中，于点M，于点N，P为边的中点，连接，则下列结论：①；②；③为等边三角形；④当时，．其中正确个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】【分析】可先证明在和中由斜边中点可判定①正确，由可判定②正确，证点M，N，B，C共圆，可对③进行判断，证为以为斜边的等腰直角三角形，可判断④正确．【详解】解：①∵于点M，于点N，P为边的中点，∴点P是和的斜边的中点，∴，故①正确；②∵于点M，于点N，∴，又∵，∴，∴，故②正确；③∵于点M，于点N，P为边的中点，∴点P是和的斜边的中点，∴，∴点M，N，B，C共圆，∴，在中，，∴，∴，∵，∴是等边三角形，故③正确；④当时，为以为斜边的等腰直角三角形，∴，故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定，解直角三角形等，圆的知识，解题关键是能够认真审图，弄清题意，逐个对结论进行证明．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11.若方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=_____．【答案】2【解析】【详解】解：由题意得，，解得，∴m=2，故答案为2．12.如图，在平行四边形中，点E在边上，且，与相交于点F，若周长为6，则周长为_________．【答案】4【解析】【分析】利用平行四边形的性质，可得出，，进而可得出，再利用相似三角形的性质，即可求出的周长．【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴∵周长为6，∴的周长故答案为：4．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记“相似三角形的周长比等于相似比”是解题的关键．13.庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有___________队参加比赛【答案】10【解析】【详解】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：场．根据题意可知：此次比赛的总场数=45场，依此等量关系列出方程求解即可．解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场，根据题意列出方程得：=45，整理，得：x2-x-90=0，解得：x1=10，x2=-9（不合题意舍去），所以，这次有10队参加比赛．答：这次有10队参加比赛．本题的关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间比赛的总场数除以2．14.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=____m．【答案】5.5【解析】【详解】在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴，40cm=0.4m，20cm=0.2m，即，解得BC=4，∵AC=1.5m，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m故答案为：5.5m【点睛】考点：相似三角形15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．若AD＝2cm，DB＝6cm，则CD＝___．【答案】cm．【解析】【分析】先证明△ACD∽△CBD，再根据相似三角形的对应边成比例代入求解即可.【详解】解：如图，∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠B+∠2＝90°，∵∠2+∠1＝90°，∴∠B＝∠1，∴△ACD∽△CBD，∴，∵AD＝2cm，DB＝6cm，∴，∴CD＝（cm）．故答案是cm．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，是典型的母子相似图形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.16.已知，是方程的两实数根，则_________．【答案】4092529【解析】【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，则可变形为，再根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【详解】解：∵m是方程的实数根，∴，∴，∴，∵m，n是方程的两实数根，∴，∴．故答案为:4092529．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．三、解答题（本大题有9小题，共86分）17.解方程：．【答案】，【解析】【分析】根据因式分解法求解即可．【详解】解：∵，∴，∴或，∴，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，常见的解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，选择合适的解法解方程是解题的关键．18.如图，已知直线、、分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且．如果，，求的长．【答案】15【解析】【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，求出的长，即可得出的长．【详解】解：．，，．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．19.已知关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据根的判别式，即可判断；（2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值．【小问1详解】，∵，∴，该方程总有两个不相等的实数根；【小问2详解】方程的两个实数根，，由根与系数关系可知，，，∵，∴，∴，解得：，，∴，即．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．20.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．（1）将向左平移7个单位，请画出平移后的．并写出的坐标___________．（2）以原点O为位似中心，将缩小，使变换后得到的与对应边的比为．请在网格内画出，并写出点的坐标：___________．【答案】（1）画图见解析，（2）画图见解析，或【解析】【分析】（1）找出三角形平移后各顶点的对应点，然后顺次连接即可；（2）根据位似变换的要求，找出变换后的对应点，然后顺次连接各点即可，注意有两种情况．【小问1详解】解：所画图形如图所示，其中即为所求；其中；【小问2详解】所画图形如下所示，其中即为所求，点的坐标为或．【点睛】本题考查了平移变换和位似变换后图形的画法，解题关键是根据变换要求找出变换后的对应点，难度一般．21.如图，在等边△ABC中，D为BC上一点，E为AC边上一点，且，BD=4，CE=3，（1）求证：（2）求AB的边长【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由，结合等边三角形的性质证明∠DAB=∠EDC，可证得△ABD∽△DCE；（2）利用（1）中相似三角形的对应边成比例列出比例式，求解DC，即可表示等边三角形的边长．【小问1详解】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=，∴∠BAD+∠ADB=，∵∠ADE=，∴∠ADB+∠EDC=，∴∠DAB=∠EDC，又∵∠B=∠C=，∴；【小问2详解】解：∵，∴，∵BD=4，CE=3，∴，解得CD=12．∴【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得是解答此题的关键．22.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个2米宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长．（1）若养鸡场面积，求鸡场长和宽各为多少米？（2）养鸡场面积能达到吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．【答案】（1）垂直于墙的边长为10米，平行于墙的边长为12米（2）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）设垂直于墙的边长为，根据鸡场的面积列出方程，解之即可；（2）根据鸡场的面积列出方程，根据解的情况判断即可．【小问1详解】解：设垂直于墙的边长为．由题意可得：，解得，，当时，，不合题意，舍去．当时，．．答：垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为12米时，鸡场的面积为；【小问2详解】鸡场的面积不能达到．理由如下：，整理得：．，此方程无解．答：鸡场的面积不能达到．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用．得到平行于墙的边长的代数式是解决本题的易错点．23.如图所示，点P是的边的延长线上一点，连结分别交、于点M、N．（1）图中有_________对相似三角形，请写出其中任意三对相似三角形．（2）求证：．【答案】（1）5；，（2）见解析【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定方法结合平行四边形的性质可得结论；（2）证明得到，再证明得出，从而得到，故可得出结论．【小问1详解】图中有5对相似三角形，为：故答案为：5；【小问2详解】∵四边形是平行四边形，∴，，∴，又∴，∴，∵，∴又，∴∴，∴，∴【点睛】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练证明相似三角形是解答本题的关键．24.根据以下素材，探索完成任务．素材1某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器．素材2该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元．问题解决任务1若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元？任务2设镇流器补进x件，若，刚补进镇流器的单价为________元，补进灯管的总价为____________（用含x的代数式表示）；任务3若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？【答案】任务1：若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共元；任务2：；任务3：补进镇流器件【解析】【分析】任务1：根据题意“当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元”列出算式即可求解．任务2：设镇流器补进x件，根据题意列出代数式即可求解；任务3：根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．【详解】解：任务1：依题意，镇流器补进90件，学校补进镇流器和灯管共元，答：若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共元任务2：设镇流器补进x件，若，刚补进镇流器的单价为（元）补进灯管的总价为：（元）故答案为：．任务3：依题意，解得：,∵∴答：补进镇流器件【点睛】本题考查了列代数式和一元二次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，分情况列出方程．25.如图,已知四边形ABCD中,AB//DC,AB=DC,且AB=6cm,BC=8cm,对角线AC=10cm,(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)如图(2),若动点Q从点C出发,在CA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点P从点B出发,在BC边上以每秒4cm的速度向点C匀速运动,运动时间为t秒(0≤t＜2),连接BQ、AP,若AP⊥BQ,求t的值;(3)如图(3),若点Q在对角线AC上,CQ=4cm,动点P从B点出发,以每秒1cm的速度沿BC运动至点C止.设点P运动了t秒,请你探索:从运动开始,经过多少时间,以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形?请求出所有可能的结果.【答案】（1）见解析；（2）；（3）t=4秒或1.6秒或5.5秒.【解析】【分析】（1）先根据一对对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，再根据勾股定理的逆定理证明∠B＝90°，得出四边形ABCD是矩形；（2）先过Q作QM⊥BC于