贵州省贵阳市花溪区花溪区高坡民族中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题【含答案】

贵阳市花溪区高坡民族中学2023-2024学年度第一学期期中九年级数学测试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：以下每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分．1.下列函数的图象，经过原点的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将代入每个函数解析式，然后求出y的值，如果，则函数的图象，经过原点．【详解】解：A．时，，函数图象过原点，符合题意B．时，，函数图象不过原点，不符合题意；C．是反比例函数，时，无意义，函数图象不可能过原点，不符合题意；D．时，，函数图象不过原点，不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了函数图象上点的特点，解题的关键是将代入函数解析式，求出y的值．2.二次函数的图象的对称轴是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将二次函数写成顶点式，进而可得对称轴．【详解】解：．二次函数的图象的对称轴是．故选A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，将一般式转化为顶点式是解题的关键．3.将二次函数化为的形式，结果为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可．【详解】解：将二次函数化为的形式为，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．4.已知二次函数y=x2−2x−3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当−1<x1<0，1<x2<2，x3>3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的交点坐标，画出草图，利用数形结合，即可求解．【详解】解：y=x2−2x−3=(x-1)2-4，∴对称轴为直线x=1，令y=0，则(x-1)2-4=0，解得x=-1或3，∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，二次函数y=x2−2x−3的图象如图：由图象知．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用数形结合解题是关键．5.已知二次函数（a，b为常数）．命题①：该函数的图像经过点(1，0)；命题②：该函数的图像经过点(3，0)；命题③：该函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图像的对称轴为直线．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（）A.命题① B.命题② C.命题③ D.命题④【答案】A【解析】【分析】根据对称轴为直线，确定a的值，根据图像经过点（3，0），判断方程的另一个根为x=-1，位于y轴的两侧，从而作出判断即可．【详解】假设抛物线的对称轴为直线，则，解得a=-2，∵函数的图像经过点(3，0),∴3a+b+9=0，解得b=-3，故抛物线的解析式为，令y=0，得，解得，故抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；故命题②，③，④都是正确，命题①错误，故选A．【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，抛物线与x轴的交点，对称轴，熟练掌握待定系数法，抛物线与x轴的交点问题是解题的关键．6.某种新型礼炮的升空高度h（m）飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）．A.3S B.4S C.5S D.6S【答案】B【解析】【详解】解：因为这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，所以从点火升空到引爆需要的时间，实际是求顶点的横坐标，当时，h有最高点，所以从点火升空到引爆需要的时间为4S．故选B．【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，掌握“二次函数的性质”是解本题的关键．7.若二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是（）A.m＞1 B.m＜1 C.m＞1且m≠0 D.m＜1且m≠0【答案】D【解析】【分析】由抛物线与坐标轴有三个交点可得出：方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且m≠0，利用根的判别式△＞0可求出m的取值范围，此题得解．【详解】解：∵二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，∴方程x2+2x+m=0有两个不相等实数根，且m≠0，∴△=22﹣4m＞0，∴m＜1．∴m＜1且m≠0．故选D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式，利用根的判别式△＞0找出关于m的一元一次不等式是解题的关键．8.已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x…-10123…y…30-1m3…以下结论正确的是（）A.抛物线的开口向下B.当时，y随x增大而增大C.方程的根为0和2D.当时，x的取值范围是【答案】C【解析】【分析】利用表中数据求出抛物线解析式，根据解析式依次进行判断．【详解】解：将代入抛物线的解析式得；，解得：，所以抛物线的解析式为：，A、，抛物线开口向上，故选项错误，不符合题；B、抛物线的对称轴为直线，在时，y随x增大而增大，故选项错误，不符合题意；C、方程的根为0和2，故选项正确，符合题意；D、当时，x的取值范围是或，故选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和函数的图象与性质，解题的关键是：利用待定系数法求出解析式，然后利用函数的图象及性质解答．9.抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，再由的范围确定的取值范围即可求解；【详解】∵的对称轴为直线，∴，∴，∴一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，∵方程在的范围内有实数根，当时，，当时，，函数在时有最小值2，∴，故选A．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．10.如一次函数与反比例函数的图像如图所示，则二次函数的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为x=-，找出二次函数对称轴在y轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论．【详解】解：∵一次函数y1=ax+c图象过第一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，∴-＞0，∴二次函数y3=ax2+bx+c开口向下，二次函数y3=ax2+bx+c对称轴在y轴右侧；∵反比例函数y2=的图象在第一、三象限，∴c＞0，∴与y轴交点在x轴上方．满足上述条件的函数图象只有选项A．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系．11.二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5，上述结论中正确结论的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐项判断即可求解．详解】解：①由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正确；②∵对称轴为直线x==1，且图象与x轴交于点（﹣1，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），b=﹣2a，∴根据图象，当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故②错误；③根据图象，当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c＜0，故③正确；④∵抛物线经过点，∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点，∴抛物线与直线y=n的交点坐标为（﹣3，n）和（5，n），∴一元二次方程的两根分别为，5，故④正确，综上，上述结论中正确结论有①③④，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答的关键．12.如图所示，在中，，，，动点P从点A开始沿边向B点以的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边向C点以的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过时与相似，那么的值为（）A. B.2 C.或3 D.2或【答案】C【解析】【分析】分和两种情况计算求解．【详解】∵，，，动点P以的速度移动,动点Q以的速度移动,运动时间为，∴，，，当时，∴，解得；当时，∴，解得；故选C．【点睛】本题考查了直角三角形背景下动态三角形相似的条件应用，正确分类三角形的相似是解题的关键．二、填空题：每小题4分，共16分．13.函数的图象是抛物线，则m=__________．【答案】-1【解析】【详解】根据抛物线的定义，得，解得：m=–1．14.将二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得二次函数表达式为_______________．【答案】【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律，即可得出平移后的二次函数的解析式．【详解】∵将二次函数y=(x−2)2+3的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，∴得到新的二次函数解析式为y=(x−3−2)2+3−2=(x−5)2+1．故答案为【点睛】考查二次函数的平移，掌握二次函数的平移知识是解题的关键．15.在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为______．【答案】【解析】【分析】由抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标与点的坐标，然后结合中心对称的性质，求得新抛物线顶点坐标，即可得抛物线解析式．【详解】由抛物线知，抛物线顶点坐标是．由抛物线知，．∴该抛物线关于点成中心对称的抛物线的顶点坐标是．∴该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为：．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，表示出新抛物线的顶点坐标是解题的关键．16.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为，拱顶距水面，在如图的直角坐标系中，该抛物线的解析式为___________．【答案】y=－0.04（x－10）2+4【解析】【分析】根据题意设所求抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k，由已知条件易知h和k的值，再把点C的坐标代入求出a的值即可；【详解】解：设所求抛物线的解析式为：y=a（x-h）2+k，并假设拱桥顶为C，如图所示：∵由AB=20，AB到拱桥顶C的距离为4m，则C（10，4），A（0，0），B（20，0）把A，B，C的坐标分别代入得a=-0.04，h=10，k=4抛物线的解析式为y=-0.04（x-10）2+4.故答案为y=－0.04（x－10）2+4.【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握并利用待定系数法求抛物线的解析式是解决问题的关键．三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，已知二次函数的图象经过点.（1）求的值和图象的顶点坐标．（2）点在该二次函数图象上.①当时，求的值；②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围.【答案】（1）；（2）①11；②.【解析】【分析】（1）把点P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，即可求出a；（2）①把m=2代入解析式即可求n的值；②由点Q到y轴的距离小于2，可得-2＜m＜2，在此范围内求n即可.【详解】（1）解：把代入，得，解得.∵，∴顶点坐标为.（2）①当m=2时，n=11，②点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴-2＜m＜2，∴2≤n＜11.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．18.已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(－1，2)，且图象过点(1，－3)．(1)求这个二次函数的表达式；(2)写出它的开口方向、对称轴．【答案】(1)y＝－(x＋1)2＋2；(2)向下，x＝－1.【解析】【详解】试题分析：（1）由二次函数的图象的顶点坐标为（-1，2）可设其解析式为：，再代入点B（1，-3）就可求出的值，从而得到此函数的解析式；（2）根据（1）中所求得的这个二次函数的解析式可以知道其图象的开口方向和对称轴.试题解析：(1)设函数解析式为y＝a(x＋1)2＋2，把点(1，－3)代入，得a＝－.∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋2.(2)由抛物线的解析式为：y＝－(x＋1)2＋2，可知抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－1.点睛：（1）抛物线的开口方向是由二次函数表达式中“”的值确定的，当时，开口向上，当时，开口向下；（2）要求抛物线的顶点坐标或对称轴，就把抛物线的表达式化为“顶点式：”，则其顶点坐标为：，对称轴为直线：.19.抛物线与轴交于，（1）求的值；（2）求抛物线与轴的交点坐标及顶点坐标；（3）当取何值时，抛物线在轴上方？（4）当取何值时，随的增大而增大？【答案】（1）（2），；；（3）（4）【解析】【分析】（1）把点代入抛物线解析式求，（2）根据的值确定抛物线解析式，根据解析式确定抛物线的顶点坐标，对称轴，开口方向，与轴及轴的交点，画出图象．（3）根据函数图象即可求解；（4）根据函数图即可求解．【小问1详解】由抛物线与轴交于，得：．抛物线为．列表得：……图象如图：【小问2详解】由，得：．抛物线与轴的交点为，．抛物线顶点坐标为．【小问3详解】由图象可知：当时，抛物线在轴上方．【小问4详解】由图象可知：当时，值随值的增大而减小．【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数的图象经过B、C两点．（1）求该二次函数的解析式；（2）结合函数的图象探索：当y>0时x的取值范围．【答案】（1）y=-x2+x+2(2)当y>0时，-1<x<3【解析】【详解】解：(1)∵正方形OABC的边长为2∴B点坐标(2，2)，C点坐标(0，2)．将B、C两点代入y＝－x2＋bx＋c，得解得b＝，∴y＝－x2＋x＋2.(2)令y＝0，则－x2＋x＋2＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点坐标分别为(－1，0)、(3，0)，结合函数图象，当y>0时，－1<x<3.21.欢欢家想利用房屋侧面的一面墙(假设墙足够长)，再砌三面墙，围成一个矩形羊圈(如图所示)，一面墙的中间留出宽的进出门(门使用另外的材料)．现备有足够砌长的围墙的材料，设羊圈与已有墙面垂直的墙的长度为，羊圈面积为．（1）写出y关于x的函数表达式．（2）要使羊圈面积为，如何设计三面围墙的长度．（3）能否使羊圈面积为?说明理由．（4）你能求出羊圈面积的最大值吗?【答案】（1）（2）有两种方案：垂直于已知墙面的墙的长为2时，平行于已知墙面的墙长为7；或垂直于已知墙面的墙长为4时，平行于已知墙面的墙长为3；（3）不能，理由见解析（4）羊圈面积的最大值为18【解析】【分析】（1）根据长方形的面积公式列方程求解即可；（2）使（1）方程等于16求出即可，看方程是否有解即可；（3）使（1）方程等于20求出即可，看方程是否有解即可；（4）利用配方法求出二次函数的最值即可．【小问1详解】根据题意得出：当矩形羊圈的宽为时，其长为,∴，【小问2详解】设垂直于墙的边长为，则，解得，，当时，，当时，，有两种方案：垂直于已知墙面的墙的长为2时，平行于已知墙面的墙长为7；或垂直于已知墙面的墙长为4时，平行于已知墙面的墙长为3；【小问3详解】设垂直于墙的边长为，则，整理得，，，此方程无解，所以不能够围成；【小问4详解】由题意，得：，因此当时，最大面积为18．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．注意根据根的判别式来判断方程是否有解．22.如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在B左边），交y轴于点C．（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线的函数关系式；（3）点P在抛物线的对称轴上，连接，若的面积为4，求点P的坐标．【答案】（1）A、B两点坐标为和（2）（3）点P的坐标为或【解析】【分析】（1）令得解得方程的解即为A、B两点坐标；（2）令，解得抛物线与y轴交点C的坐标，设直线的函数关系式，解得k和b的值即可得出直线的函数关系式；（3）求得抛物线的对称轴，设对称轴与直线的交点记为D，求得D点坐标，设点P的坐标，表示出，再根据三角形的面积公式得出点P的坐标．【小问1详解】解：当时，则：，解得或，所以A、B两点坐标为和；【小问2详解】解：抛物线与y轴交点C坐标为，由（1）得，，设直线的函数关系式，，解得，∴直线的函数关系式为；【小问3详解】解：抛物线的对称轴为，对称轴与直线的交点记为D，则D点坐标为，∵点P在抛物线的对称轴上，∴设点P的坐标为，，，，或．∴点P的坐标为或．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求一次函数解析式及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键．23.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．（1）求证：△ACD∽△BAC；（2）求DC的长；（3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）6.4cm（3）当t=时，y的最小值为19【解析】【分析】（1）由CD∥AB，得∠DCA=∠CAB，加上一组直角，即可证得所求的三角形相似．（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC的长，根据（1）题所得相似三角形的比例线段，即可求出DC的长．（3）分析图象可知：四边形AFEC的面积可由△ABC、△BEF的面积差求得，分别求出两者的面积，即可得到y、t的函数关系式，进而可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最小值．【详解】(1)∵CD∥AB，∴∠BAC=∠DCA又∵AC⊥BC,∠ACB=90°,∴∠D=∠ACB=90°，∴△ACD∽△BAC.(2)Rt△ABC中,AC==8cm，∵△ACD∽△BAC,∴DCAC=ACAB，即，解得：DC=6.4cm.(3)过点E作AB的垂线，垂足为G，∵∠ACB=∠EGB=90°，∠B公共，∴△ACB∽△EGB，∴,即,故EG=；y=S△ABC−S△BEF=12×6×8−12(10−2t)⋅=，故当t=时，y的最小值为19.24.某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系，（其中，且x为整数）（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）；（2）当售价为70元时，商家所获利润最大，最大利润是4500元【解析】【分析】（1）利用待定系数法分段求解函数解析式即可；（2）分别求出当时与当时的销售利润解析式，利用二次函数的性质即可求解．【详解】解：（1）当时，设，将和代入，可得，解得，即；当时，设，将和代入，可得，解得