第4章线性控制系统的计算机辅助分析 《控制系统仿真与CAD》课件

第“幸

铁辘枚制系统的计算机辅助今航

■薛定宇著《控制系统计算机辅助设计一MATLAB

语言与应用》第二版，清华大学出版社，2006

■CAI课件开发：张望舒哈尔滨工程大学

薛定宇东北大学

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系统的分析方法

■充分利用计算机对线性系统进行分析

■更新系统分析的观念

■求解传统方法难以求解的问题

■离散系统稳定性如何分析？

■Nyquist图、Nichols图没有频率信息，如何弥补?

■高阶系统的根轨迹如何绘制？

■多变量系统如何进行频域分析？

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本章主要内容

■线性系统定性分析

■线性系统时域响应解析解法

■线性系统的数字仿真分析

!轨迹分析

■线性系统频域分析

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4.1线性系统性质分析

■主要内容

■线性系统稳定性分析

■线性反馈系统内部稳定性分析

■线性系统的相似变换

■线性系统可控性分析

■线性系统可观测性分析

■Kalman分解

■系统状态方程的标准型

■系统的范数测度及求解

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4.1.1线性系统的稳定性分析

■给定线性系统模型，如何分析稳定性？

由控制理论可知，用Routh

表格可以判定该系统稳定性。

EdwardJohnRouth(1831-1907)

历史局限性

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状态方程系统的稳定性

■连续线性状态方程

■稳定性：■矩阵的特征根均有负实部

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离散系统的稳定性

■离散系统状态方程

■稳定性判定：所有特征根均在单位圆内

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Routh判据的历史局限性

■Routh判据提出时，没有求多项式根的方法

■现在求解矩阵特征根、求解多项式方程的

根轻而易举，无需间接方法

■Routh判据只能得出是否稳定，进一步信息

得不出来，如系统是否振荡

■离散系统无法由Routh方法直接判定，得借

助于Jury判据，更复杂

■稳定性分析方法不统一

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基于MATLAB的稳定性判定方法

■直接判定

■状态方程模型

■由■■■可以求出所有特征根

■离散系统：

■传递函数模型：完全同样方法

■图解判定法

■连续系统：

■离散系统同时画出单位圆

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例4」高阶系统稳定性判定

■零极点模型

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例4-2高阶离散单位负反馈系统模型

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4.1.2线性反馈系统的内部稳定性

■输入、输出稳定是不够的，因为若内部信

号可能过大，对系统作硬件破坏

■应该引入内部稳定性概念，保证内部信号

也是稳定的。

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■由给定稳定输入・到内部信号

都稳定的系统称为内部稳定系统

■传递函数矩阵

其中

■逐一判定每个子传递函数的稳定性很烦琐

■内部稳定性定理

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内部稳定性定理

■闭环系统内部稳定的充要条件为

■■WM没有不稳定零点

■■没有不稳定零极点对消

■第一个条件等效于输入输出稳定性

■判定第2条件即可

■可以编写MATLAB函数判定内部稳定性

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■判定的MATLAB函数

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4.1.3线性系统的线性相似变换

■系统的状态方程表示称为系统实现

■不同状态选择下，状态方程不惟一

■相似变换

■非奇异矩阵■

■状态变换■■■

■新状态方程模型

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■状态变换公式

■MATLAB求解方法

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例4-3已知系统和转换矩阵

TLAB求解

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■变换结果

■可见，相似变换能改变系统的结构

■引入相似变换矩阵，可以将已知系统转换

成其他的形式

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4.1.4线性系统的可控性分析

■可控性定义

■系统的可控性就是指系统内部的状态是不是可以由外

部输出信号控制的性质，

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线性系统的可控性判定

■基于MATLAB的判定方法

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例4-4离散状态方程的可控性

■MATLAB求解

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■判定矩阵

■判定矩阵构造方法

■这样的判定方法同样适合于连续系统和离

散系统。也适用于多变量模型

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由Gram矩阵判定可控性

■引入可控Gram矩阵

■该矩阵满足Lyapunov方程

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例4.5求Gram矩阵

■_MWTLAB命令

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可控性阶梯分解

■对于不完全可控的系统阶梯分解

■阶梯标准型

■MATLAB函数调用

■若原系统状态方程完全可控，则不必分解

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例4.6不完全可控系统

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4.1.5线性系统的可观测性分析

■可观测性定义

■系统的可观测性就是指系统内部的状态是不是可以

由系统输出信号重建起来的性质

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可观测性判定

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■Gram矩阵满足Lyapunov方程

■对偶问题

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4.1.6Kalman规范分解

■Kalman规范分解

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■子空间

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4.1.6系统状态方程标准型的

MATLAB求解

■常用标准型

■单变量系统的标准型

■MATLAB默认的标准型

■可控标准型实现

■可观测标准型实现

■和Jordan标准型实现

■多变量系统Leunberge标准型

■侧重点：如何用MATLAB直接获取标准型

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单变量系统的标准型

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■可控可观测标准型转换

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■可控标准型和可观测标准型，对偶关系

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■MATLAB变换

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多变量系统的Leunberge标准型

■由可控性判定矩阵

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■得出Leunberge变换矩阵

■编写leunberge.m函数

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■MATLAB函数清单

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标准型的变换方法总结

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例4一7

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4.1.7系统的范数测度及求解

■系统也有范数

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■离散系统的范数定义

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例4-9已知离散系统模型

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4.2线性系统时域响应解析解法

■给线性系统一个激励信号，输出是什么？

■有两大类方法

■解析解方法

■求解微分方程、差分方程解析解

■数值解方法

■主要内容

■基于状态方程的解析解方法

■基于传递函数部分方式展开的解析解方法

■二阶系统的解析解方法

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4.2.1基于状态方程的解析解方法

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状态增广方法

■消除8矩阵，变成自治系统

■增广状态方程

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般输入信号的系统增广

■一般输入信号模型

51

■增广状态方程模型

其中

■解析解

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■MATLAB实现函数

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■调用格式

■信号描述

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例4-10连续系统模型

■求解析解

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系统增广

■增广植

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■解析解求解结果

■稳定性

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422基于部分分式展开方法求解

■连续系统的解析解法

■无重根时部分方式展开

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■由Laplace反变换求解析解

■有重根时

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■部分分式的MATLAB求解

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例4-12带有复数极点的系统

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解析解的进一步化简

■基于Euler公式的化简

■新MATLAB函数

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新MATLAB函数清单

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例4-13仍考虑

■MATLAB求解

■解析解

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基于Laplace变换的求解

■参附录A

■步骤：

■定义符号变量

■描述原函数表达式

■调用laplace()函数或ilaplace()函数求解

■结果化简，如simple。函数

■求解举例

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■例2

求解

解析解

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离散系统的解析解法

■Z变换

■无重根时

■部分分式展开

■解析解

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■输出信号

■解析解

■z变换求解步骤

■定义符号变量

■调用iztrans()函数求解

■化简

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通用符号运算工具箱求解

■求解结果

■方法更规范，结果更简单

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有重根问题的解析解

■部分分式表达式的Z反变换

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■部分分式展开

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J号运算求解

■更直观，不建议用前者求解，而直接采用Z

变换的符号运算方法求解

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时间延迟系统的解析解法

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■无延迟解析解

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4.2.3二阶系统的阶跃响应及

阶跃响应指标

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阶跃响应的解析解

■无阻尼振荡

■欠阻尼振荡

■临界阻尼振荡

■过阻尼振荡

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阶系统阶跃响应曲线

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利用图形绘制功能，从新角度研究

同样的问题

■三维曲面绘制

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阶跃响应指标

■超调量

■稳态值

■上升时间

■调节时间

■好的伺服控制系统，应该具有稳态误差小或没

有稳态误差、超调量小或没有超调量、上升时

间短、调节时间短等性能

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4.3线性系统的数字仿真分析

■线性系统的解析解可以求解的条件

■4阶以上的系统需要求解4阶以上的多项式

方程，根据Abel定理，无解析解。

■解析解和数值解结合

■实际应用需要数值解，需要阶跃响应曲线

■主要内容

■线性系统的阶跃响应与脉冲响应

■任意输入下系统的响应

■降阶模型的时域分析及比较

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4.3.1线性系统的阶跃响应与脉冲响应

■阶跃响应曲线绘制函数

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例4-17延迟系统

■MATLAB语句

■利用MATLAB提供的功能，可以从曲线上

得到更多的信息，如超调量等

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■MATLAB求解解析解

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例4-18离散化

采样周期

■求解

■得出的曲线可以比较

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■ZOH变换

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例4-19多变量系统，阶跃响应

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■系统藕合的概念

■静态前置补偿矩阵

■不能直接乘法运算

U^ade近似

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3尝后系统的模型

■解藕效果还可以

■使得多变量系统能直接设计，在设计前必

须解藕。

■后面将介绍解藕的频域方法

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系统的脉冲响应曲线

■MATLAB下的impulse。函数与step()函数

调用结构完全一致

■MATLAB求解

■可以容易地研究系统的脉冲响应曲线

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4.3.2任意输入下系统的响应

■可以利用step()和impulse()函数求解

■输出信号计算

■如R(s)已知，则可以直接求解

例4-20斜坡响应

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■MATLAB求解

■其他输入的响应可以由lsim()函数求取

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例4-21多变量系统

输入，

TLAB求解

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■多变量系统的时域响应可以这样求解

■比较容易

■理解曲线含义

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4.3.3降阶模型的时域分析及比较

■前面介绍了降阶方法，但未比较效果

例4-22

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例4-23非最小相位系统

注TLAB求解

■降阶模型

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4.4根轨迹分析

■单位负反馈

■闭环系统特征方程

■对K的不同取值，则可能绘制出每个特征

根变化的曲线，这样的曲线称为系统的根

轨迹。

■根轨迹用开环信息研究闭环特性

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■MATLAB求解

■该函数可以用于单变量不含有时间延迟的

连续、离散系统的根轨迹绘制，也可以用

于带有时间延迟的单变量离散系统的根轨

迹绘制。

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例4-24开环系统

■MATLAR求解

■如何求解临界增益？

■闭环系统稳定性如何变化

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例4-26离散系统根轨迹

j轨迹绘制

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例4-27离散系统模型

TLAB求解

■临界增益求取

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带延迟的离散系统根轨迹

■假设延迟为6步，则

■可以求临界增益

■延迟系统临界增益减小

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例4-28延迟状态方程

■无延迟系统根轨迹

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■延迟系统用Pade近似处理

例4-29正反馈系统

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4.5线性系统频域分析

■频域分析

■Nyquist1932

■Bode,Nichols提出的新图形方法

■主要内容

■单变量系统的频域分析

■利用频率特性分析系统的稳定性

■系统的幅值裕度和相位裕度

■多变量系统的频域分析

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4.5.1单变量系统的频域分析

■三种表示方法

实部与虚部关系曲线即为Nyquist图

Nyquist图的缺陷：无对应频率信息

横轴对数坐标rad/s,纵轴分贝、度，Bode图

■幅值与相位关系，Nichols图，无频率信息

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Nyquist曲线绘制

■grid命令绘制等M和等N圆

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■Bode图绘制

■Nichols图由nichols()函数绘制

■可以同样处理连续、离散、延迟、多变量

系统，格式不变

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例4-30开环传递函数

■MATLAB曲线特色

■读取频率信息；频率范围

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其他频域响应曲线

■Bode图绘制

快捷菜单读取特性

■Nichols图的绘制

■用鼠标读取频率信息

■弥补了传统Nichols图的不同

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例4-32离散系统

■Nyquist图与Nichols图

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例4-33延迟系统模型

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4.5.2利用频率特性分析系统

的稳定性

■Nyquist定理可以进一步解释为

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■可以用开环的系统模型，绘制Nyquist图

并以此分析闭环系统的稳定性。

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例4-34

■Nyquist图

闭环阶跃响应

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4.5.3系统的幅值裕度和相位裕度

■幅值裕度和相位裕度

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稳定性裕度分析

■如果系统的Nyquist图不与负实轴相交，则

系统的幅值裕度为无穷大。

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■如果系统的Nyquist图在第二象限与单位圆

有若干个交点，则系统的相位裕度以与离

负实轴最近的为准。

■MATLAB求解方法

■如果某个裕度为无穷大，则返回Inf,相应

的频率值为NaNo

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例4-35

^MTLAB求解

■由于幅相裕度小，系统闭环响应有强振荡

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4.5.4多变量系统的频域分析

例4-36多变量系统的Nyquist图

nyquist函数直接求解

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多变量系统分析概述

■前面的Nyquist图对多变量系统分析没有太

大帮助，所以一般不采用这样的方法

■英国学派的频域方法

■SirHowardHRosenbrock教授