二次函数专题十：范围问题（解析版）

二次函数专题十：范围问题典例分析例1：（2021南京中考）已知二次函数的图像经过两点．（1）求b的值．（2）当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．（3）设是该函数的图像与x轴的一个公共点，当时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围．【答案】（1）；（2）1；（3）或．【解析】【分析】（1）将点代入求解即可得；（2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得；（3）分和两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．【详解】解：（1）将点代入得：，两式相减得：，解得；（2）由题意得：，由（1）得：，则此函数的顶点的纵坐标为，将点代入得：，解得，则，下面证明对于任意的两个正数，都有，，（当且仅当时，等号成立），当时，，则（当且仅当，即时，等号成立），即，故当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1；（3）由得：，则二次函数解析式为，由题意，分以下两种情况：①如图，当时，则当时，；当时，，即，解得；②如图，当时，当时，，当时，，解得，综上，的取值范围为或．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（3），熟练掌握函数图象法是解题关键．专题过关1、（2021温州中考）（10分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．【分析】（1）将点（﹣2，0）代入求解．（2）分别求出点A,B坐标，根据图象开口方向及顶点坐标求解．【解答】解：（1）把（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣8得6＝4a+4a﹣6，解得a＝1，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣3x﹣8，∵y＝x2﹣5x﹣8＝（x﹣1）5﹣9,∴抛物线顶点坐标为（1，﹣6）．（2）把x＝﹣4代入y＝x2﹣4x﹣8得y＝（﹣4）2﹣2×（﹣4）﹣8＝16，∴m＝16，把y＝7代入函数解析式得7＝x5﹣2x﹣8，解得n＝2或n＝﹣3，∵n为正数，∴n＝5，∴点A坐标为（﹣4，16），7）．∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，∴抛物线顶点在AB下方，∴﹣8<xP＜5,﹣9≤yP＜16．2、（2021嘉兴中考）（10分）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值；（3）分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值m和最小值n，进而根据m﹣n＝3得到关于t的方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝（x﹣3）2+4，∴顶点坐标为（3，4）；（2）∵顶点坐标为（3，4），∴当x＝3时，y最大值＝4，∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大，∴当x＝1时，y最小值＝0，∵当3＜x≤4时，y随着x的增大而减小，∴当x＝4时，y最小值＝3．∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0；（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而增大，当x＝t+3时，m＝（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，当x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，∴m﹣n＝﹣＝﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9，∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合题意，舍去），②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，∴m＝4，i）当0≤t≤时，在x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝t2﹣6t+9，∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3﹣，t2＝3+（不合题意，舍去）；ii）当＜t＜3时，在x＝t+3时，n＝﹣t2+4，∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，∴t2＝3，解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），③当t≥3时，y随着x的增大而减小，当x＝t时，m＝﹣t2+6t﹣5，当x＝t+3时，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，.m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合题意，舍去），综上所述，t＝3﹣或．3、（2021新疆中考）（12分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）把抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位，若抛物线的顶点落在x轴上，求a的值；（3）设点P（a，y1），Q（2，y2）在抛物线上，若y1＞y2，求a的取值范围．【分析】（1）根据x＝﹣，可得抛物线的对称轴为：直线x＝﹣＝1；（2）由根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，建立等式可求出a的值；（3）当x＝2时，y2＝3，由y1＞y2可列出不等式，求解即可．′【解答】解：（1）由题意可得，抛物线的对称轴为：直线x＝﹣＝1；（2）抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位，可得y′＝ax2﹣2ax+3﹣3|a|，∵抛物线的顶点落在x轴上，∴△＝（2a）2﹣4a（3﹣3|a|）＝0，解得a＝或a＝﹣．（3）当x＝2时，y2＝3，若y1＞y2，则a3﹣2a2+3＞3，解得a＞2．4、（2021绵阳中考）（14分）如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．【分析】（1）将A（a，﹣2a）代人y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2，解方程求出a，即可求得抛物线解析式，当t＝1秒时，OP＝，设P的坐标为（x，y），建立方程求解即可；（2）经过t秒后，OP＝t，OQ＝2t，得出P的坐标为（1，﹣2t），Q的坐标为（2t，﹣4t），进而得出M的坐标为（2t，﹣2t），N的坐标为（t，﹣4t），将M（2t，﹣2t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得2t2+t﹣1＝0，解方程即可，将N（1，﹣4t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得（t﹣1）2＝3，解方程即可得出答案；（3）设R（m，n），则R关于原点的对称点为R'（﹣m，﹣n），当点M恰好在抛物线上时，M坐标为（1，﹣1），过R'和M作坐标轴平行线相交于点S，如图3，利用勾股定理可得R'M＝＝，当n＝时，R'M长度的最小值为，进而可得出答案．【解答】解：（1）由题意知，交点A坐标为（a，﹣2a），代人y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2，解得：a＝﹣，抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+2，当t＝1秒时，OP＝，设P的坐标为（x，y），则，解得或（舍去），∴P的坐标为（1，﹣2）；（2）经过t秒后，OP＝t，OQ＝2t，由（1）方法知，P的坐标为（1，﹣2t），Q的坐标为（2t，﹣4t），由矩形PMQN的邻边与坐标轴平行可知，M的坐标为（2t，﹣2t），N的坐标为（t，﹣4t），矩形PMQN在沿着射线OB移动的过程中，点M与抛物线最先相交，如图1，然后公共点变为2个，点N与抛物线最后相离，然后渐行渐远，如图2，将M（2t，﹣2t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得2t2+t﹣1＝0，解得：t＝，或t＝﹣1（舍），将N（1，﹣4t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得（t﹣1）2＝3，解得：t＝1+或t＝1﹣（舍）．所以，当矩形PMQN与抛物线有公共点时，时间t的取值范围是：≤t≤1+；（3）设R（m，n），则R关于原点的对称点为R'（﹣m，﹣n），当点M恰好在抛物线上时，M坐标为（1，﹣1），过R'和M作坐标轴平行线相交于点S，如图3，则R'M＝＝，又∵n＝﹣m2﹣2m+2得（m+1）2＝3﹣n，消去m得：R'M＝＝＝＝，当n＝时，R'M长度的最小值为，此时，n＝﹣m2﹣2m+2＝，解得：m＝﹣1±，∴点R的坐标是（﹣1±，）．5、（2021乐山中考）（13分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，且经过点A（0，），B（2，﹣）．（1）求b的值（用含a的代数式表示）；（2）若二次函数y＝ax2+bx+c在1≤x≤3时，y的最大值为1，求a的值；（3）将线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′．若线段A′B′与抛物线y＝ax2+bx+c+4a﹣1仅有一个交点，求a的取值范围．【分析】（1）把A,B代入抛物线的解析式，构建方程组，可得结论．（2）由题意，x＝1或x＝3时，y取得最大值1,由此构建方程求解即可．（3）把问题转化为不等式组，可得结论．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，经过点A（0，），B（2，﹣），∴,∴b＝﹣2a﹣1(a＞0)．(2)∵二次函数y＝ax2﹣(2a+1)x+,a＞0,在1≤x≤3时，y的最大值为1,∴x＝1时，y＝1x＝3时，y＝1,∴1＝a﹣(2a+1)+或1＝9a﹣3(2a+1)+,解得a＝﹣(舍弃）或a＝．∴a＝．(3)∵线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′,∴A′(2,),B′(4,﹣)．∵线段A′B′与抛物线y＝ax2﹣(2a+1)x++4a仅有一个交点,∴,解得，≤a≤．或不等式组无解，∴≤a≤．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，二次函数的最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，把问题转化为方程或不等式组解决，属于中考压轴题．6、（2021威海中考）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A．（1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）；（2）若点，在抛物线上，且，则m的取值范围是；（直接写出结果即可）（3）当时，函数y的最小值等于6，求m的值．【答案】(1)顶点A的坐标为；(2)；(3)或【解析】【分析】(1)将抛物线解析式化成的形式，即可求得顶点A的坐标；(2)将，代入抛物线中求得和的值，然后再解不等式即可求解；(3)分类讨论，分对称轴在1的左侧、对称轴在3的右侧、对称轴在1,3之间共三种情况分别求出函数的最小值，进而求出m的值．【详解】解：(1)由题意可知：抛物线，∴顶点A的坐标为；(2)将代入中，得到，将代入中，得到，由已知条件知：，∴，整理得到：，解得：，故m的取值范围是：；(3)二次函数的开口向上，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，二次函数的对称轴为，分类讨论：①当，即时，时二次函数取得最小值为，又已知二次函数最小值为6，∴，解得或，又，故符合题意；②当，即时，时二次函数取得最小值为，又已知二次函数最小值为6，∴，解得或，又，故或都不符合题意；③当，即时，时二次函数取得最小值为，又已知二次函数最小值为6，∴，解得或，又，故符合题意；综上所述，或．【点睛】本题考查待定系数求二次函数的解析式，二次函数的最值问题，不等式的解法等，计算过程中细心，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．7、（2021泰州中考）二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧．（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）；（2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围．【答案】（1）；（2）p=-1；（3）1＜＜2．【解析】【分析】（1）根据顶点坐标公式即可得答案；（2）利用十字相乘法分解因式即可得答案；（3）利用（2）的结果可得抛物线与x轴的交点坐标，根据顶点在y轴右侧，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方可得关于a的不等式，解不等式即可得答案．【详解】（1）∵二次函数解析式y＝﹣x2+（a﹣1）x+a，∴顶点横坐标为=．（2）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a==﹣（x﹣p）（x﹣a），∴p=-1．（3）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a=，∴抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（a，0），∵-1＜0，∴该二次函数的图象开口向下，∵图象顶点在y轴右侧，∴＞0，∴，∵点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，∴-1＜m＜a，∵过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，∴＜3，解得：，∴a的范围为1＜＜2．【点睛】本题考查二次函数、因式分解及解一元一次不等式，熟练掌握二次函数顶点坐标公式是解题关键．8、（2021吉林中考）（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣），点B（1，）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．①求m的取值范图；②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个数及对应的m的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求解．（2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解．（3）①由0＜PQ≤7求出m取值范围，②通过数形结合求解．【解答】解：（1）将A（0，﹣），点B（1，）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴y＝x2+x﹣．（2）∵y＝x2+x﹣＝（x+）2﹣2，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣．∴当x＝﹣时，y取最小值为﹣2，∵2﹣（﹣）＞﹣﹣（﹣2），∴当x＝2时，y取最大值22+2﹣＝．（3）①PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣3m+1|，当﹣3m+1＞0时，PQ＝﹣3m+1，PQ的长度随m的增大而减小，当﹣3m+1＜0时，PQ＝3m﹣1，PQ的长度随m增大而增大，∴﹣3m+1＞0满足题意，解得m＜．②∵0＜PQ≤7，∴0＜﹣3m+1≤7，解得﹣2≤m＜，如图，当x＝﹣时，点P在最低点，PQ与图象有1交点，m增大过程中，﹣＜m＜，点P与点Q在对称轴右侧，PQ与图象只有1个交点，直线x＝关于抛物线对称轴直线x＝﹣对称后直线为x＝﹣，∴﹣＜m＜﹣时，PQ与图象有2个交点，当﹣2≤m≤﹣时，PQ与图象有1个交点，综上所述，﹣2≤m≤﹣或﹣≤m时，PQ与图象交点个数为1，﹣＜m＜﹣时，PQ与图象有2个交点．9、（2021永州中考）（12分）已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值．【分析】（1）由待定系数法，及对称轴为直线x＝﹣，可求出二次函数的表达式；（2）需要分三种情况：①b＜﹣；②b﹣3＞﹣；③b﹣3≤﹣≤b分别进行讨论；（3）根据二次函数图象的增减性可得结论．【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点（0，4），∴c＝4；∵对称轴为直线：x＝﹣＝1，∴b＝﹣2，∴此二次函数的表达式为：y1＝x2﹣2x+4．（2）当b2﹣c＝0时，b2＝c，此时函数的表达式为：y1＝x2+bx+b2，根据题意可知，需要分三种情况：①当b＜﹣，即b＜0时，二次函数的最小值在x＝b处取到；∴b2+b2+b2＝21，解得b＝，b＝﹣舍去；②b﹣3＞﹣，即b＞2时，二次函数的最小值在x＝b﹣3处取到；∴（b﹣3）2+b（b﹣3）+b2＝21，解得b＝4，b＝﹣1（舍去）；③b﹣3≤﹣≤b，即0≤b≤2时，二次函数的最小值在x＝﹣处取到；∴（﹣）2+b•（﹣）+b2＝21，解得b＝±2（舍去）．综上，b的取值为或4．（3）由（1）知，二次函数的表达式为：y1＝x2﹣2x+4，对称轴为直线：x＝1，∵1＞0，∴当0≤x≤1时，y随x的增大而减小，且最大值为4；∵二次函数y2＝2x2+x+m的对称轴为直线：x＝﹣，且2＞0，∴当0≤x≤1时，y随x的增大而增大，且最小值为m，∵当0≤x≤1时，总有y2≥y1，∴m≥4，即m的最小值为4．10、（2021长春中考）（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m为常数）的顶点为A．（1）当m＝时，点A的坐标是，抛物线与y轴交点的坐标是；（2）若点A在第一象限，且OA＝，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；（3）当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+m的最小值为3，求m的值；（4）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值．【分析】（1）将m＝代入抛物线解析式中，即可得出顶点坐标，再令x＝0，即可求得答案；（2）运用勾股定理建立方程求解即可；（3）分两种情况进行讨论：①当m＜0时，2（2m﹣m）2+m＝3，解方程即可得出答案；②当m＞0时，2（m﹣m）2+m＝3，解方程即可得出答案；（4）分情况讨论：当m＞0时，若点B在PM边上，点C在MN边上，令y＝2，则2＝2（x﹣m）2+2m，解方程即可；若点B在PM边上，点C在NQ边上，则2﹣2m＝m+，解方程即可；若点B在PQ边上，点C在NQ边上，则4＝2﹣2m，不符合题意；当m＜0时，若点B在NQ边上，点C在PM边上，无解．【解答】解：（1）当m＝时，y＝2（x﹣）2+1，∴顶点A（，1），令x＝0，得y＝，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，），故答案为：（，1），（0，）；（2）∵点A（m，2m）在第一象限，且OA＝，∴m2+（2m）2＝（）2，且m＞0，解得：m＝1，∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2+2，当x＜1时，函数值y随x的增大而减小；（3）∵当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+m的最小值为3，∴分两种情况：2m＜m，即m＜0时，或2m＞m，即m＞0时，①当m＜0时，2（2m﹣m）2+m＝3，解得：m＝1（舍）或m＝﹣，②当m＞0时，2（m﹣m）2+m＝3，解得：m＝3，综上所述，m的值为﹣或3；（4）如图1，当m＞0时，∵P（4，2）、Q（4，2﹣2m），∴M（m，2），N（m，2﹣2m），抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点，若点B在PM边上，点C在MN边上，∴令y＝2，则2＝2（x﹣m）2+2m，∴x＝m+，（x＝m﹣不符合题意，舍去），∴B（m+，2），C（m，2m），根据题意，得2m＝m+，解得：m＝，若点B在PM边上，点C在NQ边上，则2﹣2m＝m+，解得：m＝，若点B在PQ边上，点C在NQ边上，则4＝2﹣2m，解得：m＝﹣1＜0，不符合题意；当m＜0时，如图2，若点B在NQ边上，点C在PM边上，则2﹣2m＝2（x﹣m）2+2m，∴x＝m±，∴|m+|＝2或|m﹣|＝2，解得：m＝±﹣3，综上所述，m的值为或或±﹣3．11、(2021襄阳中考)（12分）如图，直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，顶点为P的抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A．（1）求出点A，B的坐标及c的值；（2）若函数y＝ax2﹣2ax+c在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；（3）连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M．设△BMP的面积为S．①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；②结合S与a的函数图象，直接写出S＞时a的取值范围．【分析】（1）先求出点A（0，1），点B（﹣2，0），将点A坐标代入解析式可求c的值；（2）分a＞0，a＜0两种情况讨论，由二次函数的性质可求解；（3）①分四种情况讨论，由“AAS”可证△AOM≌△PNA，可得OM＝AN，由三角形的面积公式可求解；②分三种情况讨论，解不等式可求解．【解答】解：（1）∵直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，∴点A（0，1），点B（﹣2，0），∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A，∴c＝1；（2）∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，∴对称轴为直线x＝1，当a＞0，3≤x≤4时，y随x的增大而增大，∴当x＝4时，y有最大值，∴9a+1﹣a＝a+2，解得：a＝；当a＜0，3≤x≤4时，y随x的增大而减小，∴当x＝3时，y有最大值，∴4a+1﹣a＝a+2，解得：a＝（不合题意舍去），综上所述：a＝；（3）①当a＜0时，则1﹣a＞1，如图1，过点P作PN⊥y轴于N，∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，∴点P坐标为（1，1﹣a），∴PN＝AO＝1，AN＝1﹣a﹣1＝﹣a，∵AM⊥AP，PN⊥y轴，∴∠PNA＝∠PAM＝90°＝∠AOM，∴∠PAN+∠OAM＝90°，∠OAM+∠AMO＝90°，∴∠PAN＝∠AMO，∴△AOM≌△PNA（AAS），∴OM＝AN＝﹣a，∴BM＝2﹣a，∴S＝×（2﹣a）（1﹣a）＝a2﹣a+1；当a＞0，1﹣a＞0时，即0＜a＜1，如图2，过点P作PN⊥y轴于N，∴PN＝1＝OA，AN＝1﹣（1﹣a）＝a，同理可得△AOM≌△PNA，∴OM＝AN＝a，∴BM＝2﹣a，∴S＝×（2﹣a）（1﹣a）＝a2﹣a+1；当a＞0，﹣1＜1﹣a＜0时，即1＜a＜2，如图3，过点P作PN⊥y轴于N，∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，同理可得△AOM≌△PNA，∴OM＝AN＝a，∴BM＝2﹣a，∴S＝×（2﹣a）（a﹣1）＝﹣a2+a﹣1；当a＝2时，点B与点M重合，不合题意，当a＞0，1﹣a＜﹣1时，即a＞2，如图4，过点P作PN⊥y轴于N，∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，同理可得△AOM≌△PNA，∴OM＝AN＝a，∴BM＝a﹣2，∴S＝×（a﹣2）（a﹣1）＝a2﹣a+1；综上所述：S＝．②当1＜a＜2时，S＝﹣a2+a﹣1＝﹣（a﹣）2+≤，∴当1＜a＜2时，不存在a的值使S＞；当a＜1且a≠0时，S＝a2﹣a+1＞，∴（a﹣）（a﹣）＞0，∴a＜或a＞（不合题意舍去）；当a＞2时，S＝a2﹣a+1＞，∴（a﹣）（a﹣）＞0，∴a＜（不合题意舍去）或a＞，综上所述：a＜或a＞．12、（2021河南中考）如图，抛物线y=x2+mx与直线y=-x+b把交于点A(2,0)和点B．

(1)求m和b的值；

(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx>-x+b的解集；

(3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M

【答案】解：(1)将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=4+2m，解得：m=-2，

将点A的坐标代入直线表达式得：0=-2+b，解得b=2；

故m=-2，b=2；

(2)由(1)得，直线和抛物线的表达式为：y=-x+2，y=x2-2x，

联立上述两个函数表达式并解得x=-1y=3，

即点B的坐标为(-1,3)，

从图象看，不等式

x2+mx>-x+b

的解集为x<-1或x>2；

(3)当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，

∵MN的距离为3，而AB的距离为3，故此时只有一个交点，即-1≤xM<2；

当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；

当点M在点A的右侧时，当

xM=3时，抛物线和MN交于抛物线的顶点(1,-1)，即xM【解析】(1)用待定系数法即可求解；

(2)求出点B的坐标为(-1,3)，再观察函数图象即可求解；

(3)分类求解确定MN的位置，进而求解．

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、不等式的性质等，其中(3)，分类求解确定MN的位置是解题的关键．13、（2021广州中考）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．【分析】（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，将x＝2代入得y＝5，故点（2，4）不在抛物线上；（2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（，），而＝﹣（m﹣3）2+5，即得m＝3时，纵坐标最大，此时顶点移动到了最高处，顶点坐标为：（2，5）；（3）求出直线EF的解析式为y＝2x+1，由得直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），因（2，5）在线段EF上，由已知可得（m+1，2m+3）不在线段EF上，即是m+1＜﹣1或m+1＞3，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，可得抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣或x顶点＝＞或x顶点＝1．【解答】解：（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，将x＝2代入得y＝4﹣2+3＝5，∴点（2，4）不在抛物线上；（2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（，），化简得（，），顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，而＝﹣（m﹣3）2+5，∴m＝3时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处，此时顶点坐标为：（2，5）；（3）设直线EF解析式为y＝kx+b，将E（﹣1，﹣1）、F（3，7）代入得：，解得，∴直线EF的解析式为y＝2x+1，由得：或，∴直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），而（2，5）在线段EF上，∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，∴m+1＜﹣1或m+1＞3或m+1＝2（此时2m+3＝5），∴此时抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣或x顶点＝＞或x顶点＝＝＝1．14、（2020金华中考）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C(1，n)在该函数图象上．（1）当m=5时，求n的值．（2）当n=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y时，自变量x的取值范围．（3）作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．【答案】（1）-4（2）1≤x≤5（3）0≤m＜1或1＜m＜2【解析】【分析】1）利用待定系数法求解即可．（2）求出时，的值即可判断．（3）由题意点的坐标为，求出几个特殊位置的值即可判断．【详解】解：（1）当时，，当时，．（2）当时，将代入函数表达式，得，解得或（舍弃），此时抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性可知，当时，或5，的取值范围为．（3）点与点不重合，，抛物线的顶点的坐标是，抛物线的顶点在直线上，当时，，点的坐标为，抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置，逐渐减小，点沿轴向上移动，当点与重合时，，解得或，当点与点重合时，如图2，顶点也与，重合，点到达最高点，点，，解得，当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点不在线段上，点在线段上时，的取值范围是：或．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题．15、（2020上海中考）在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图)．抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A．（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．【答案】（1）5；（2）y=﹣x2+x；（3）﹣＜a＜0．【解析】【分析】（1）先求出A，B坐标，即可得出结论；

（2）设点C（m，-m+5），则BC=|m，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论；

（3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b=-10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，-25a），即可得出结论．【详解】（1）针对于直线y=﹣x+5，令x=0，y=5，∴B(0，5)，令y=0，则﹣x+5=0，∴x=10，∴A(10，0)，∴AB==5；（2）设点C(m，﹣m+5)．∵B(0，5)，∴BC==|m|．∵BC=，∴|m|=，∴m=±2．∵点C在线段AB上，∴m=2，∴C(2，4)，将点A(10，0)，C(2，4)代入抛物线y=ax2+bx(a≠0)中，得，∴，∴抛物线y=﹣x2+x；（3）∵点A(10，0)在抛物线y=ax2+bx中，得100a+10b=0，∴b=﹣10a，∴抛物线的解析式为y=ax2﹣10ax=a(x﹣5)2﹣25a，∴抛物线的顶点D坐标为(5，﹣25a)，将x=5代入y=﹣x+5中，得y=﹣×5+5=，∵顶点D位于△AOB内，∴0＜﹣25a＜，∴﹣＜a＜0．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶点坐标的求法，求出点D的坐标是解本题的关键．16、（2020威海中考）已知，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，点的坐标为（1）求抛物线过点时顶点的坐标（2）点的坐标记为，求与的函数表达式；（3）已知点的坐标为，当取何值时，抛物线与线段只有一个交点.【答案】（1）（1，1）或（3，5）；（2）y＝2x−1；（3）−3≤m≤3且m≠1．【解析】【分析】（1）根据待定系数法求得解析式，然后把解析式化成顶点式即可求得；（2）化成顶点式，求得顶点坐标，即可得出y与x的函数表达式；（3）把C（0，2）代入y＝x2−2mx＋m2＋2m−1，求得m＝1或−3，结合（1）根据图象即可求得．【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2−2mx＋m2＋2m−1过点B（3，5），∴把B（3，5）代入y＝x2−2mx＋m2＋2m−1，整理得，m2−4m＋3＝0，解得m1＝1，m2＝3，当m＝1时，y＝x2−2x＋2＝（x−1）2＋1，其顶点A的坐标为（1，1）；当m＝3时，y＝x2−6x＋m2＋14＝（x−3）2＋5，其顶点A的坐标为（3，5）；综上，顶点A的坐标为（1，1）或（3，5）；（2）∵y＝x2−2mx＋m2＋2m−1＝（x−m）2＋2m−1，∴顶点A的坐标为（m，2m−1），∵点A的坐标记为（x，y），∴x＝m，∴y＝2x−1；（3）由（2）可知，抛物线的顶点在直线y＝2x−1上运动，且形状不变，由（1）知，当m＝1或3时，抛物线过B（3，5），把C（0，2）代入y＝x2−2mx＋m2＋2m−1，得m2＋2m−1＝2，解得m＝1或−3，所以当m＝1或−3时，抛物线经过点C（0，2），如图所示，当m＝−3或3时，抛物线与线段BC只有一个交点（即线段CB端点），当m＝1时，抛物线同时过点B、C，不合题意，所以m的取值范围是−3≤m≤3且m≠1．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．17、（2020临沂中考）已知抛物线．（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；（3）设点，在抛物线上，若，求m的取值范围．【答案】（1）；（2）或；（3）当a＞0时，；当a＜0时，或．【解析】【分析】（1）将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；（2）根据（1）中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0，解一元二次方程，即可得到的值，进而得到其解析式；（3）根据抛物线的对称性求得点Q关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性质，即可得到的取值范围．【详解】（1）∵，∴，∴其对称轴为：．（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为：，∵抛物线顶点在轴上，∴，解得：或，当时，其解析式为：，当时，其解析式为：，综上，二次函数解析式为：或．（3）由（1）知，抛物线的对称轴为，∴关于的对称点为，当a＞0时，若，则-1＜m＜3；当a＜0时，若，则m＜-1或m＞3.【点睛】本题考查了二次函数对称轴，解析式的计算，以及根据二次函数的图象性质求不等式的取值范围，熟知相关计算是解题的关键．18、（2020扬州中考）如图，已知点、，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数的图像经过点P．小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”（1）当时．①求线段AB所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．（2）若小明的说法完全正确，求n的取值范围．【答案】（1）①；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当时，有最大值；当时，有最小值；（2）；【解析】【分析】（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式；②由①得直线AB为，则，利用二次函数的性质，即可求出答案；（2）根据题意，求出直线AB的直线为，设点P为（x，），则得到，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴，即可求出n的取值范围．【详解】解：（1）当时，点B为（5，1），①设直线AB为，则，解得：，∴；②不完全同意小明的说法；理由如下：由①得，设点P为（x，），由点P在线段AB上则，∴；∵，∴当时，有最大值；当时，有最小值；∴点P从点A运动至点B的过程中，k值先增大后减小，当点P在点A位置时k值最小，在的位置时k值最大．（2）∵、，设直线AB为，则，解得：，∴，设点P为（x，），由点P在线段AB上则，当，即n=2时，，则k随x的增大而增大，如何题意；当n≠2时，则对称轴为：；∵点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．即k在中，k随x增大而增大；当时，有∴，解得：，∴不等式组的解集为：；当时，有∴，解得：，∴综合上述，n的取值范围为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．19、（2020益阳中考）如图，在平面直角坐标系中，点坐标是，点为一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，点在运动过程中始终满足【提示：平面直角坐标系内点、的坐标分别为、，则】（1）判断点在运动过程中是否经过点C（0，5）（2）设动点的坐标为，求关于的函数表达式：填写下表，并在给定坐标系中画出函数的图象：............（3）点关于轴的对称点为，点在直线的下方时，求线段长度的取值范围【答案】（1）点在运动过程中经过点C（0，5）；（2）y与x的函数表达式为，表格和图象见解析；（3）1﹤PF﹤【解析】【分析】（1）若点P经过点C，则有PH=5，利用公式求得PF，即可判断；（2）由PH=PF得，化简可得到关于的函数表达式，分别将表中x值代入表达式，求出对应的y值，则可完善表格，再利用描点法画出对应的图象即可．（3）由题意，求线段长度的取值范围即是求线段PH长度的取值范围，先求出直线的函数表达式，代入P的函数表达式解之得交点坐标，结合图象即可得到线段PH（即就是PF）长度的取值范围．【详解】（1）若点P经过点C，则PH=5，∵,∴PF=PH，故点P经过点C；（2）由PH=PF得，化简得：，故y与x的函数表达式为；分别将x=0、2、4、6、8代入表达式中，则对应的y=5、2、1、2、5，填写表格为：.........52125...函数图象如下：；（2）设直线的函数表达式为y=kx+b，将点F（4，2）、点（0，﹣5）代入，得：，解得：，∴直线的函数表达式为，将代入得：，即，解得：分别代入中，得:,当x=4时，y=1，∵点在直线的下方，且﹥1，∴结合图象知，1﹤y﹤,即1﹤PH﹤,又PF=PH，∴1﹤PF﹤,【点睛】本题考查二次函数与动点问题，涉及求函数表达式、列表描点画图象、解一元二次方程等，解答的关键是认真审题，寻找相关信息的联系点，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．20、（2020长沙中考）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H点”，根据该约定，完成下列各题（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”①（）②（）③（）（2）若点与点关于x的“H函数”的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，求的值域或取值范围；（3）若关于x的“H函数”（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①，②，求该H函数截x轴得到的线段长度的取值范围．【答案】（1）√；√；×；（2）-1＜a＜0，b=4，0＜c＜0；（3）2＜＜2．【解析】【分析】（1）根据“H函数”的定义即可判断；（2）先根据题意可求出m,n的取值，代入得到a,b,c的关系，再根据对称轴在x=2的右侧即可求解；（3）设“H点”为（p,q）和（-p,-q）,代入得到ap2+3c=0,2bp=q，得到a,c异号，再根据a+b+c=0，代入求出的取值，设函数与x轴的交点为（x1,0）（x2,0），t=，利用根与系数的关系得到=，再根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）①是“H函数”②是“H函数”③不是“H函数”；故答案为：√；√；×；（2）∵A,B是“H点”∴A,B关于原点对称，∴m=4,n=1∴A(1,4），B（-1，-4）代入得解得又∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧，∴-＞2∴-＞2∴-1＜a＜0∵a+c=0∴0＜c＜0，综上，-1＜a＜0，b=4，0＜c＜0；（3）∵是“H函数”∴设H点为（p,q）和（-p,-q）,代入得解得ap2+3c=0,2bp=q∵p2＞0∴a,c异号，∴ac＜0∵a+b+c=0∴b=-a-c，∵∴∴∴c2＜4a2∴＜4∴-2＜＜2∴-2＜＜0设t=，则-2＜t＜0设函数与x轴的交点为（x1,0）（x2,0）∴x1,x2是方程=0的两根∴====2=又∵-2＜t＜0∴2＜＜2．【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的性质及根与系数的关系．21、（2020湘潭中考）如图，抛物线与轴交于，两点．（1）若过点的直线是抛物线的对称轴．①求抛物线的解析式；②对称轴上是否存在一点，使点关于直线的对称点恰好落在对称轴上．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（2）当，时，函数值的最大值满足，求的取值范围．【答案】（1）①；②存在，或；（2）．【解析】【分析】（1）①根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式；②如图1，若点P在x轴上方，点B关于OP对称点在对称轴上，连接、PB，根据轴对称得到，，求出点B的坐标，勾股定理得到，再根据，列出方程解答，同理得到点P在x轴下方时的坐标即可；（2）当时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当时，函数的增减性，从而得到当x=2时，函数取最大值，再列出不等式解答即可．【详解】解：（1）①抛物线的对称轴为直线，∴若过点的直线是抛物线的对称轴，则，解得：b=4，∴；②存在，如图1，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点在对称轴上，连接、PB，则，，对于，令y=0，则，解得：，∴A（-1,0），B（5,0），∴，∴，∴，设点P（2，m），由可得：，解得：，∴，同理，当点P在x轴下方时，，综上所述，点或（2）∵抛物线的对称轴为直线，∴当时，，∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，∴当时，取x=2，y有最大值，即，∴，解得：，又∵，∴．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的图象与性质，以及勾股定理的应用，其中第（1）②问要先画出图形再理解，第（2）问运用到了二次函数的增减性，难度不大，解题的关键是熟记二次函数的图象与性质．22、（2020天门中考）把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线．（1）直接写出抛物线的函数关系式；（2）动点能否在拋物线上？请说明理由；（3）若点都在抛物线上，且，比较的大小，并说明理由．【答案】（1）；（2）不，见解析；（3），见解析【解析】【分析】（1）先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标即可；（2）根据抛物线的顶点的纵坐标为，即可判断点不在拋物线上；（3）根据抛物线的增减性质即可解答．【详解】（1）抛物线，∴抛物线的顶点坐标为(-1，2)，根据题意，抛物线的顶点坐标为(-1+4，2-5)，即(3，-3)，∴抛物线的函数关系式为：；（2）动点P不在抛物线上．理由如下：∵抛物线的顶点为，开口向上，∴抛物线的最低点的纵坐标为．∵，∴动点P不在抛物线上；（3）．理由如下：由（1）知抛物线的对称轴是，且开口向上，∴在对称轴左侧y随x的增大而减小．∵点都在抛物线上，且，∴．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．23、（2020河南中考）（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．【解答】（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c与y轴正半轴分别交于点B，∴点B（0，c），∵OA＝OB＝c，∴点A（c，0），∴0＝﹣c2+2c+c，∴c＝3或0（舍去），∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点G的坐标为（1，4）；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为直线x＝1，∵点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为6，∴点M坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点N坐标为（6，﹣21），∵点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，∴﹣21≤yQ≤4或﹣21≤yQ≤﹣5．24、（2020河池中考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于（p，0），（q，0），则该抛物线的解析式可以表示为：y＝a（x﹣p）（x﹣q）＝ax2﹣a（p+q）x+apq．（1）若a＝1，抛物线与x轴交于（1，0），（5，0），直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）若a＝﹣1，如图（1），A（﹣1，0），B（3，0），点M（m，0）在线段AB上，抛物线C1与x轴交于A，M，顶点为C；抛物线C2与x轴交于B，M，顶点为D．当A，C，D三点在同一条直线上时，求m的值；（3）已知抛物线C3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），线段EF的端点E（0，3），F（4，3）．若抛物线C3与线段EF有公共点，结合图象，在图（2）中探究a的取值范围．【答案】（1）y＝x2﹣6x+5；（3，﹣4）；（2）；（3）a≥或a≤﹣【解析】【分析】（1）结合题意，利用配方法解决问题即可．（2）求出两个抛物线的顶点坐标，根据A，C，D三点在同一条直线上，构建方程求解即可．（3）求出两种特殊情形a的值，结合图象判断即可解决问题．【详解】解：（1）由题意抛物线的解析式为y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，∴y＝x2﹣6x+5，抛物线的顶点坐标为（3，﹣4）．（2）如图1中，过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F．由题意抛物线C1为y＝﹣（x+1）（x﹣m）＝﹣（x﹣）2+，∴C（，），抛物线C2为y＝﹣（x﹣m）（x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，∴D（，），∵A，C，D共线，CE∥DF，∴＝，∴＝，解得m＝，经检验，m＝是分式方程的解，∴m＝．（3）如图2﹣1，当a＞0时，设抛物线的解析式为y＝a（（x+1）（x﹣3），当抛物线经过F（4，3）时，3＝a×5×1，∴a＝，观察图象可知当a≥时，满足条件．如图2﹣2中，当a＜0时，顶点在线段EF上时，顶点为（1，3），把（1，3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），可得a＝﹣，观察图象可知当a≤﹣时，满足条件，综上所述，满足条件的a的范围为：a≥或a≤﹣．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考常压轴题．25、（2020广州中考）平面直角坐标系中，抛物线过点，，，顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，．（1）用含的式子表示；（2）求点的坐标；（3）若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示）．【答案】（1）；（2）或；（3）当时，有＜【解析】【分析】（1）把代入：，即可得到答案；（2）先求解抛物线的对称轴，记对称轴与的交点为，确定顶点的位置，分情况利用，求解，从而可得答案；（3）分情况讨论，先求解的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，再利用一元二次方程根与系数的关系求解结合二次函数的性质可得答案．【详解】解：（1）把代入：，（2）抛物线为：抛物线的对称轴为：顶点不在第一象限，顶点在第四象限，如图，设＜记对称轴与的交点为，则，当＞同理可得：综上：或（3）当，设为：解得：为消去得：由根与系数的关系得：解得：当时，当时，当时，，当时，有＜当，由于抛物线开口向上，情况不存在综上：当时，有＜【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特点，二次函数的性质，同时考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．26、（2020北京中考）在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中．（1）若抛物线的对称轴为，当为何值时，（2）设抛物线的对称轴为．若对于，都有，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据抛物线解析式得抛物线必过（0，c），因为，抛物线的对称轴为，可得点M，N关于对称，从而得到的值；（2）根据题意知，抛物线开口向上，对称轴为，分3种情况讨论，情况1：当都位于对称轴右侧时，情况2：当都位于对称轴左侧时，情况3：当位于对称轴两侧时，分别求出对应的t值，再进行总结即可．【详解】解：（1）当x=0时，y=c，即抛物线必过（0，c），∵，抛物线的对称轴为，∴点M，N关于对称，又∵，∴，；（2）由题意知，a＞0，∴抛物线开口向上∵抛物线的对称轴为，∴情况1：当都位于对称轴右侧时，即当时，恒成立情况2：当都位于对称轴左侧时，即＜时，恒不成立情况3：当位于对称轴两侧时，即当时，要使，必有，即解得，∴3≥2t，∴综上所述，．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质．解题的关键是学会分类讨论的思想及数形结合思想．27、（2020安徽中考）在平面直角坐标系中，已知点，直线经过点．抛物线恰好经过三点中的两点．判断点是否在直线上．并说明理由；求的值；平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．【答案】（1）点在直线上，理由见详解；（2）a=-1，b=2；（3）【解析】【分析】（1）先将A代入，求出直线解析式，然后将将B代入看式子能否成立即可；（2）先跟抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，判断出抛物线只能经过A，C两点，然后将A，C两点坐标代入得出关于a，b的二元一次方程组；（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，根据顶点在直线上，得出k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，在将式子配方即可求出最大值．【详解】（1）点在直线上，理由如下：将A（1，2）代入得，解得m=1，∴直线解析式为，将B（2，3）代入，式子成立，∴点在直线上；（2）∵抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过A，C两点，将A，C两点坐标代入得，解得：a=-1，b=2；（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，∵顶点在直线上，∴k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，∵-h2+h+1=-（h-）2+，∴当h=时，此抛物线与轴交点的纵坐标取得最大值．【点睛】本题考查了求一次函数解析式，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移和求最值，求出两个函数的表达式是解题关键．28、（2021鞍山中考改编）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m（0≤m≤3），AE∥PD交直线l：y＝x+2于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且∠BMQ＝45°，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题；动点型；运算能力；推理能力；应用意识．【答案】（1）抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）2≤t≤．【分析】（1）运用待定系数法将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，即可求得答案；（2）根据题意，分别求出t的最大值和最小值：①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角△O′OB，以O′为圆心，OO′为半径作⊙O′，交抛物线对称轴于点M（1，t），过点O′作O′H⊥y轴于点H，运用勾股定理即可求得答案，②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作⊙O交抛物线对称轴于点M，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，运用勾股定理即可求得答案．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），∴将A、B坐标分别代入抛物线解析式得：，解得：，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角△O′OB，则O′（，），OO′＝O′B＝，以O′为圆心，OO′为半径作⊙O′，交抛物线对称轴于点M（1，t），过点O′作O′H⊥y轴于点H，则∠O′HM＝90°，O′H＝，O′M＝OO′＝，∴MH＝＝＝，∴t＝+＝，②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作⊙O交抛物线对称轴于点M，∵OB＝OC＝3，∴⊙O经过点C，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，则OM＝OB＝3，OE＝1，∵∠MEO＝90°，∴ME＝＝＝2，∴t＝2，综上所述，2≤t≤．29、（2021本溪中考改编）（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）当∠BAQ为直角时，求出直线BQ的表达式为y＝x+3，得到n＝5；当∠BQA为直角时，利用解直角三角形的方法求出n＝；当∠BAQ为直角时，同理可得，n＝﹣，进而求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝，故点Q的坐标为（，n），当∠BAQ为直角时，如图2﹣1，设BQ交x轴于点H，由直线AB的表达式知，tan∠BAO＝，则tan∠BHO＝，故设直线BQ的表达式为y＝x+t，该直线过点B（0，3），故t＝3，则直线BQ的表达式为y＝x+3，当x＝时，y＝x+3＝5，即n＝5；②当∠BQA为直角时，过点Q作直线MN交y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，∵∠BQN+∠MQA＝90°，∠MQA+∠MAQ＝90°，∴∠BQN＝∠MAQ，∴tan∠BQN＝tan∠MAQ，即，则，解得n＝；③当∠BAQ为直角时，同理可得，n＝﹣；综上，以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，则△ABQ不为直角三角形，故点Q纵坐标n的取值范围为﹣＜n＜或＜n＜5．30、（2020新疆中考改编）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线的顶点是A(1，3)，将OA绕点O逆时针旋转后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与的边分别交于M，N两点，将以直线MN为对称轴翻折，得到．设点P的纵坐标为m．当在内部时，求m的取值范围；【答案】；（2）【分析】（1）作AD⊥y轴于点D，作BE⊥x轴于点E，然后证明△AOD≌△BOE，则AD=BE，OD=OE，即可得到点B的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；（2）由点P为线段AC上的动点，则讨论动点的位置是解题的突破口，有点P与点A重合时；点P与点C重合时，两种情况进行分析计算，即可得到答案；【详解】解：（1）如图：作AD⊥y轴于点D，作BE⊥x轴于点E，∴∠ADO=∠BEO=90°，∵将OA绕点O逆时针旋转后得到OB，∴OA=OB，∠AOB=90°，∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°，∴∠AOD=∠BOE，∴△AOD≌△BOE，∴AD=BE，OD=OE，∵顶点A为（1，3），∴AD=BE=1，OD=OE=3，∴点B的坐标为（3，），设抛物线的解析式为，把点B代入，得，∴，∴抛物线的解析式为，即；（2）∵P是线段AC上一动点，∴，∵当在内部时，当点恰好与点C重合时，如图：∵点B为（3，），∴直线OB的解析式为，令，则，∴点C的坐标为（1，），∴AC=，∵P为AC的中点，∴AP=，∴，∴m的取值范围是；31、（2020大庆中考改编）如图，抛物线与轴交于，两点（在的右侧），且经过点和点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线上，当时，的取值范围是，求的取值范围．（直接写出结果即可）【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）把和点代入：，从而可得答案；（2）记抛物线与轴的交点为过作轴交抛物线于，先求解的坐标，可得当时，有结合已知条件可得答案．【详解】解：（1）把和点代入：，解得：所以：抛物线的解析式为：，（2）令记抛物线与轴的交点为过作轴交抛物线于，令则解得：抛物线的顶点为当时，当时，的取值范围是，32、（2020咸宁中考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线过点B且与直线相交于另一点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标；（3）点在x轴的正半轴上，点是y轴正半轴上的一动点，且满足．①求m与n之间的函数关系式；②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？【答案】（1）；（2）或（3，）或（-2，-3）；（3）①；②0＜m＜【解析】【分析】（1）利用一次函数求出A和B的坐标，结合点C坐标，求出二次函数表达式；（2）当点P在x轴上方时，点P与点C重合，当点P在x轴下方时，AP与y轴交于点Q，求出AQ表达式，联立二次函数，可得交点坐标，即为点P；（3）①过点C作CD⊥x轴于点D，证明△MNO∽△NCD，可得，整理可得结果；②作以MC为直径的圆E，根据圆E与线段OD的交点个数来判断M的位置，即可得到m的取值范围.【详解】解：（1）∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，令x=0，则y=2，令y=0，则x=4，∴A（4，0），B（0，2），∵抛物线经过B（0，2），，∴，解得：，∴抛物线的表达式为：；（2）当点P在x轴上方时，点P与点C重合，满足，∵，∴，当点P在x轴下方时，如图，AP与y轴交于点Q，∵，∴B，Q关于x轴对称，∴Q（0，-2），又A（4，0），设直线AQ的表达式为y=px+q，代入，，解得：，∴直线AQ的表达式为：，联立得：，解得：x=3或-2，∴点P的坐标为（3，）或（-2，-3），综上，当时，点P的坐标为：或（3，）或（-2，-3）；（3）①如图，∠MNC=90°，过点C作CD⊥x轴于点D，∴∠MNO+∠CND=90°，∵∠