中学高二3月月考数学（理）试卷

中学高二3月月考数学（理）试卷

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题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷人得分

一、选择题（共10题，共50分）

n

1、已知Fp尸2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且乙？1尸尸2=3则椭圆和双曲线的

离心率的倒数之和的最大值为（）

4/2P

A.~B.~C.3D.2

【考点】

【答案】A

【解析】设椭圆的长半轴为a,双曲线的实半轴为半焦距为0,

FF

|尸乙|=r1（|PF2|=^li2l=2。，椭圆和双曲线的离心率分别为根据椭圆和双曲线的定义可

知，设"户2=3则由余弦定理可得4c2=（n）2+卜2）2-2?了2cos3①在椭圆中，①化简

为即4c2=4。2-3?了2“•②，在双曲线中，①化简为即4c2=44+n『2”•③，由②③可得

2

上+；=4（1+iy-L+n=（i+£xn生

勺电-,由柯西不等式得'"储「"。2日，4――3,故选A

【方法点晴】本题主要考查利用椭圆与双曲线定义、性质和离心率，以及柯西不等式求最值，属于难

题.求解与圆锥曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当

涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的

内在联系.离心率问题，先构造a，c的齐次式，从而构造出关于°的等式与不等式求解.

2、直三棱柱的底面是边长为3的正三角形，且侧棱长为2,则这个三棱柱的外接球的体积

为（）

47r32n

A3B.4"。丁D.16"

【考点】

【答案】c

【解析】R

设三棱柱外接球的球心为°,球半径为「，三棱柱的底面三角形4BC的中心为0,如图，则°4=「，

因为三棱柱的高为2,0D=又在正三角形中，48=3,可得4。=亚・•・在直角三角形中，

0筋=0D2+AD?,有厂2=J+询2,...「=2,则这个三棱柱的外接球的体积为

4TTo32n

V=x_

33,故选c.

3、一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下，则余下部分的几何

体的体积为（）

「4

p

俯视图

匣+岳臣+后

A.3B.3

航，2616njG

"T+

c.33D.93

【考点】

【答案】D

【解析】

，=3穹2=2收

试题分析：由已知中的三视图,圆锥母线'12J,

圆锥的高“"后一F=2,

圆锥底面半径为r=-以’=2,

2

截去的底面弧的圆心角为120。，截去的面积是底面圆面积的

S=—+sin120'=»力+6

底面剩余部分为323

r=-S'A=-x（iff+^）x2=—^+―

故几何体的体积为：33393,

故选D.

4、如图，如图，已知正三棱柱SC-4与G的各条棱都相等，M是侧棱CG的中点，则异面直线《与和

所成角的大小是（）

A.90'B.60'c.45'D.30"

【考点】

【答案】A

【解析】

试题分析：设BC的中点为0,连接A0,瓦0.因三棱柱是底面为正三角形的直棱柱，所以A0J■平面

BCC1B1,AO-LBM,又因点M为CJ的中点，在正方形中可得，BM,所以BM平面A°Bt.又因

AB〔u平面AOBj,所以BMAB].故异面直线和3M所成角的大小是90".选A.

5、先后抛掷两枚均匀的骰子，骰子向上的面的点数分别为2°,则log2x'=1的概率为（）

1511

A.6B.36C.12D.2

【考点】

【答案】C

【解析】因为每颗骰子朝上的点数都有6种情况，所以X，y的情况有6X6=36种，若Iog2x）'=l,则

3_1

y=2x,其情况有x=l,y=2/=2,y=4）=3,y=6,共3种情况，则，的概率为而=11,故选

c.

6、从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，则下列每对事件中，互斥事件的对数是（）对

（1）“至少有1个白球”与“都是白球”（2）“至少有1个白球”与“至少有1个红球”

（3）“至少有1个白球”与“恰有2个白球”（4）“至少有1个白球"与“都是红球"

A.0B.10.2D.3

【考点】

【答案】B

【解析】对于（1）,“至少有1个白球”，包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，两事件可以同时

发生，不是互斥事件；对于（2）,“至少有1个白球”，包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，“至

少有1个红球”，包括“两个红球”和“一白一红”两种情况，两事件可以同时发生，不是互斥事件；对

于（3）,“至少有1个白球”与“恰有2个白球”，两事件可以同时发生，不是互斥事件；对于（4）,

“至少有1个白球”与“都是红球”，不可能同时发生，是互斥事件，即互斥事件的对数是1,故选氏

7、下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量X（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应

A

数据,根据表中提供的数据,求出关于的线性回归方程y=°-7x+035,那么表中m的值为（）

【考点】

【答案】D

—3+4+5+6—2,5+m+4+4.S11+m

【解析】=根据表格所给的数据可以求出，*=5=4,5,y=44,这组

114-m

数据的样本中心点在线性回归直线上，407X45+0.35,.・•租=3,故选D

8、一组数据中的每一个数据都乘以2,再减去80,得到一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2,方差

是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是

A.40.6,1.1B.48.8,4.4

C.81.2,44.4D.78.8,75.6

【考点】

【答案】A

【解析】试题分析：设原来的一组数据是叮'“2…

•••每一个数据乘以2,再都减去80得到新数据且求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,

2刀]—80+2/-80+—80

2X]+2X2++2xn

n=1.2+80=8L2

又••.数据都减去同一个数，没有改变数据的离散程度，

,24,2々…24的方差为：44,

从而原来数据的方差为：122X4.4=1.1

9、设仃七八表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若Z〃a,?n〃5il/?t则“，夕；

②若而，凡则〃〃a；

③若血霜为异面直线，m//a,n〃a，血〃〃6，则a〃尸.

④若a_L/?,a_Ly,则yJ./?其中真命题的个数为（）

A.1B,2C.3D,4

【考点】

【答案】B

【解析】对于①，若1/?；由空间线面的性质定理可知a，夕，正确；对于②，若

mla,mlnf因为,有可能在平面"内，故错误；对于③，若血，八为异面直线，m//a,n//a,

m〃S，"〃尸，根据面面平行的判定定理可得戈〃夕，故正确；对于④，若则可能〃/夕，

故错误，真命题的个数为2,故选B.

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空

间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法

（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断

它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.

10、已知命题P：Vx>°,2'>1.则为（）

XX

A7%>0,2<1B.3%>0（*D.,2>1

【考点】

【答案】B

x

【解析】：全称命题的否定是特称命题，」•命题P：Vx>°，2'>1的否定「P为：3%>0,2<1f故

选B.

二、填空题（共4题，共20分）

11、点尸在正方体'S,。—4131010］的面对角线上运动，则下列四个命题：

①三棱锥"一"iPC的体积不变；

②41P〃平面'C°l；

③DP1FC1；④平面PDB11平面.

其中正确的命题序号是

【考点】

对于①，因为'0'/Bel,从而801//平面4010,故上任意一点到平面的距离均相等，••・以

P为顶点，平面为底面，则三棱锥”—DiPC的体积不变，正确；对于②，连接.1B，41cl容易证明

41C1//41D且相等，由于①知：，平面S'l'i//平面所以可得41P〃面，②正确；对于③，

由于DC_L平面BCBIG，」.DCJ.Be]，若DP上BC],则_L平面DCP,BQ，尸。，则为中点,

与动点矛盾，错误；对于④，连接"Bl,由且可得D81J.面，由面面垂直的

判定知平面PD811平面，④正确，故答案为①②④.

12、设p：|4x-3|41,q:(x-a)(x-a-l)<0)若P是q的充分不必要条件，则实数。的取值范围是

【考点】

1

1

［解析］由命题P：14X-3|<1,可得彳士x三1,由命题q:（x_Q）（x_a_l）W0,可得QKXSQ+1,

1

J.2

；p是q的充分不必要条件，+1-1,解得，故答案为.

x2y21

13、焦点在X轴上的椭圆2+拓=1的离心率为"则机=

【考点】

3

【答案"

x2y21#-m13

【解析】；焦点在轴上的椭圆2十浜的离心率为2,装2,解得〃1一2,故答案为.

14、看如下程序框图，若输入P=200,则输出结果是

【考点】

【答案】8

【解析】执行程序框图，输入P=200,s=2,八=4,第一次循环s=8,n=6；第二次循环

s=48,n=8.第三次循环s=384,n=10,s>200,推出循环，输出n=10-2=8,故答案为8

三、解答题（共5题，共25分）

15、一动圆与圆°1:（、一1）2+}'=1外切，与圆。2：（%+I』+），2=9内切

（1）求动圆圆心用的轨迹心的方程.

（2）设过圆心°1的直线/：x=my+1与轨迹相交于4、8两点，△“口。？（°2为圆的圆心）的内

切圆N的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线］的方程，若不存在，请说明理由.

【考点】

［答案］(1)不+至=1(2)Smax=I^

【解析】试题分析：⑴利用动圆与圆°色一1卜+产=1外切，与圆。2：(%+1)“+产=9内切，

可得|M°J=R+1,\MO2\=3-R,A|MOj+|M02|=4由椭圆定义知M是以。网为焦点的

椭圆，从而可得动圆圆心的轨迹L的方程；(2)当SdAB。二最大时，「也最大，内切圆的面积也最

大，表示出三角形的面积，利用换元法，结合导数，可求得最值.

试题解析：(1)设动圆圆心为半径为R,即可求得结论.

由题意，动圆与圆外切，与圆内切，•••=A+lJMOzI=3-R,•••+\M02］=4,

由椭圆定义知在为焦点的椭圆上，且a=2，c=l,•.•””=。2—°2=4—1=3,.••动圆圆心的轨迹的

方程为.

(2)如图，设内切圆N的半径为，与直线’的切点为C,则三角形的面积

=r

^AABO2乂+|力。21+)^02|)=刑4。」+14。21)+(俗。]|+|8。2〔)卜=2a7,=4r

最大时，也最大，内切圆的面积也最大，设4卜1，力)，员孙力)6'1>°。'2<°),则

x=my+1

[1，/_

S=0+=

AABO2v°l^,1^11'M由【了+3—1,得

—3m+6M2+1-3m-

⑶丁广+4)y2+6my-9=0,解得当一3m24-4'力~-3m2+4

_12M+1_______

•,^AABO2-3m2+4,令t=Jm?+1,贝|jtN],且"t2=t2_],有

_12t__12t_121

S^AB°2-3(产一1)+4-^77-姿,令f(t)=3t+；贝/(t)=3-"当时，r(t)>o，r⑴在

12_

S

[1,+8)上单调递增，有/'(t)Nf(l)=4,^ABO2-4—3,即当亡=1,山=0时，4r有最大值3,

_399

得尸max=不，这时所求内切圆的面积为正7r''存在直线=1,的内切圆的面积最大值为正"

16、直三棱柱"8,一"品。1中，AA{=AB=AC=1,分别是的中点，AE0

为棱勺氏上的点.

⑴证明：W力马

JI4

（2）是否存在一点，使得平面。七尸与平面4BC所成锐二面角的余弦值为言？若存在，说明点的位

置，若不存在，说明理由.

【考点】

【答案】（1）略（2）。为的中点

【解析】试题分析：对于问题（1）可以先证明两两垂直，然后再建立空间直角坐标系用向量

法进行证明；对于问题（2）可在（1）中建立的坐标系下，分别求出平面DEF与平面4BC的法向量，再

叵

根据二面角的余弦公式，即可确定是否存在一点°,使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为14.

试题解析：（1）证明：因为但1，“同//吗所以4E_L48,

又因为"1'*■DAE=",所以481面,

又因为仁面，

所以A8—C,

以力为原点建立如图所示的空间直角坐标系4一町'z,则有

4（000）0（0,1,务/晟0）M/OOI）,

设D（乂y,z）,而=2福且入e（0,l）,即（x,yz—l）=入（1,0,0）,则

DAO」)，所以"尸=弓一石f

因为陛=(°%)，所以"TE=14=0,所以DF-E

y

(2)结论：存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为

理由如下：

由题可知面的法向量”

fn-EF=O

设面的法向量为“=QJ，Z),则［nDF=O

—.Ill-.11

迎=(一7=<7)再尸=(「Z不一D

因为22222,

/ill3

+罚+产=0X=2(1^)Z

1+24

(1-A)x+^y-z=0卜=^17

所以即

令z=2(l_/l),则n=(3J+2Z2(l-2))

因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为，

皿⑺疝=3=华.厂⑻3一.呼

所以1刑1川14,即―+(1+2产+4(1-4)214,

-=12

解得‘或”=耳(舍)，所以当为41口1中点时满足要求

17、从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155cm和

195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组［155,160)；第二组［160,165)、…、第八组［190,195］,

下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、

第八组人数依次构成等差数列.

(1)估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上(含180cm)的人数;

(3)由直方图估计男生身高的中位数.

【考点】

【答案】(1)144；⑵详见解析；⑶174.5

【解析】试题分析：(1)由频率分布直方图，可得前五组频率，利用各矩形面积和为1,可得后三组频率和

人数，又可得后三组的人数，可得平均身高；(2)由频率分布直方图得第八组频率为°・0°8X5=0.04

可得人数为2人，设第六组人数为m根据第七组人数列方程求得血=4进而可得结果；(3)设中位数为八，

n-1700.5-0.32

由［155,170］频率为032,可得八［170,175］,5=0.2,从而可得结果.

试题解析：(1)由直方图,前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)X5=082,后三组频率

为1-0.82=0.18.

这所学校高三男生身高在180cm以上(含180cm)的人数为800X0.18=144人.

(2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008X5=0.04,人数为0.04X50=2人，

设第六组人数为m,则第七组人数为0.18X50—2—m=7—m,

又m+2=2(7—m),所以m=4,即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08,0.06.

频率除以组距分别等于0.016,0.012,见图.

w-1700.5-0.32

(3)设中位数为3由口55,170］频率为0.32,所以〃w［170,175),502,解得=174.5

18、如图，在四棱锥P—ABCD中，PDJ■平面4BCD,底面A8CD为平行四边形，AADB=90

AB=2AD

（l）证明：PALBD.

（Il）若尸D={D,求直线P8与平面PCD所成角的正弦值.

【答案】（1）见解析（2）4

【解析】试题分析：（1）由平面.BCD,可得到BD_LPD,结合BD_LND,根据线面垂直的判

11

定定理即可得到8D平面P/D,从而可得出入BD.（2）首先以D4DBQP三直线为xyz轴，

建立空间直角坐标系，可设PD=40=1,从而可确定图形上各点的坐标，利用向量垂直数量积为零列

1----

方程组求出平面PCD的法向量，设直线四与平面所成角为6,则根据即0=icos<11'PB及空间

向量夹角余弦公式，即可求得sin?

试题解析：（1）平面u平面4BCD,PD_LBD,即，又BD_LflPD=D,

BD,L平面P4D,Pi4c平面PAD,・•.PAJ.BD

<A

（2）分别以三直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，贝心（。。0）/（1，0,0）,8（0,我0）,

。（-1,E0）,尸（001）,•••DC=（-1,#,O）,DP=