《数字测量》课件 第3章 测量误差的基本知识

黄鹤测绘与城市空间信息学院第6章测量误差的基本知识目录06-5月-242测量误差的来源与分类I.衡量观测值精度的指标III.偶然误差的特性II.不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定VI.误差传播定律IV.等精度独立观测量的最可靠值与精度评定V.06-5月-243

·误差不可避免3.1测量误差的来源与分类3.1.1测量误差情况1：当对同一量进行多次观测时，无论使用的测量仪器多精密、

观测进行的多么仔细，测量结果通常不相等

如：往返测量、对一个量进行多次观测等情况2：对某几个量的观测结果不满足应有的理论关系

如：平面三角形

闭合水准

观测值包含测量误差观测值包含测量误差6.52cm6.53cm6.51cmα+β+γ≠180ºΣh≠006-5月-2443.1测量误差的来源与分类3.1.1测量误差

·测量误差的定义观测值与真值的差异称为测量误差或观测误差，通常称为真误差，简称误差

∆i=li

−

X

·数学表示测量误差观测值真值06-5月-245

·任何一项测量工作都是由观测者使用测量仪器在一定的外界条件下进行的3.1测量误差的来源与分类3.1.2测量误差的来源测量仪器

观测者外界条件06-5月-246

·1.仪器误差3.1测量误差的来源与分类3.1.2测量误差的来源任何一种测量仪器都具有一定的制造误差和测量精度，仪器本身的构造也不可能十分完善，也会使观测结果受到一定的影响。例如水准仪的视准轴不平行于水准管轴以及水准尺分划误差等，都会给水准测量的结果带来不可避免的误差。06-5月-247

·2.观测者3.1测量误差的来源与分类3.1.2测量误差的来源由于观测者感官的辨别能力总是有限的，观测者在进行仪器的对中、整平、瞄准、读数等操作过程中都会产生一定的误差。例如，水准测量时在厘米分划的水准尺上估读毫米数，有可能产生lmm的估读误差。观测者技术的熟练程度和工作态度也会给观测成果带来不同程度的影响，使得在观测中的每一个环节都会产生误差，如角度观测时的对中误差、整平误差、照准误差、目标偏心误差和读数误差等。06-5月-248

·3.外界环境条件3.1测量误差的来源与分类3.1.2测量误差的来源测量工作通常都是在一定的外界环境条件下进行的，观测环境中的空气温度、气压、湿度、风力、日光照射、大气折光、烟雾等因素的不断变化，以及地表土质的软硬、地表覆盖物辐射热的能力等，这些环境条件都会使测量结果产生误差。例如，温度变化使钢尺产生伸缩，风吹和日光照射使仪器的安置不稳定，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差等。06-5月-249

·观测条件3.1测量误差的来源与分类3.1.2测量误差的来源仪器误差、观测误差、外界条件等因素统称为观测条件观测条件的好坏与观测精度有着密切的关系等精度观测：观测条件相同的各次观测非等精度观测：观测条件不同的各次观测06-5月-24103.1测量误差的来源与分类3.1.3测量误差的分类根据对测量结果的影响性质消除或减弱消除或减弱测量误差系统误差偶然误差粗差数学统计方法处理数学统计方法处理杜绝或避免杜绝或避免06-5月-2411

·1.系统误差在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，若误差在符号、大小上表现出系统性，即观测过程中按一定规律变化或保持为常数，这种误差称为系统误差例如：用名义长为30m的钢尺量距，该尺实际长度30.003m，则每量一尺段就会产生-0.003m的系统误差特点：具有累积性，对测量成果质量的影响较大符号与大小有一定的规律性可用适当的计算方法或一定的观测方法来消除3.1测量误差的来源与分类3.1.3测量误差的分类06-5月-2412

·1.系统误差由于系统误差具有一定的规律性，故可以采取措施来消除或减小其对测量成果的影响。3.1测量误差的来源与分类3.1.3测量误差的分类消除或减小系统误差对测量成果影响的方法：（1）在测量工作开始前，对所用测量仪器进行检验和校正，可以减小系统误差。（2）测算出系统误差的大小，并对测量成果进行改正；例如，通过钢尺检定可以得到钢尺的尺长方程式，用该钢尺量距时可以对丈量成果进行尺长改正。（3）采用一定的测量方法来削减系统误差的影响；例如，在水准测量时，采用前、后视距离相等的测量方法可以消除或减弱角误差对高差测量的影响；在角度测量时，采用盘左盘右观测取中的方法可以消减视准轴不垂直于横轴等误差对测角的影响；在三角高程测量中采用对向观测求均值的方法消减大气折光和地球曲率的影响。06-5月-2413

·2.偶然误差在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，若误差在符号和大小上表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差例如：读数误差、照准误差、对中误差等特点：对于单个偶然误差，无规律性，因此无法消除或减弱对大量的偶然误差，则具有一定的规律性(个数越多越明显)通常系统误差经消除或减弱而处于次要地位，此时观测结果可认为是只带有偶然误差3.1测量误差的来源与分类3.1.3测量误差的分类06-5月-2414

·3.粗差在测量中，除了不可避免的误差外，还可能产生错误比如：观测时读错数、记录时记错数、照准错误等错误一般是由于观测者的疏忽大意造成，观测时必须及时发现和更正错误在实际工作中，要进行多余观测，如：往返观测等杜绝错误，消除/减弱系统误差，对偶然误差进行处理求未知量的最可靠值（平均值）评定测量成果的精度3.1测量误差的来源与分类3.1.3测量误差的分类

·误差处理原则

·研究误差理论的任务06-5月-2415偶然误差为误差理论的核心内容和主要研究对象。从单个偶然误差来看，其符号的正负和数值的大小没有任何规律性。但是，如果观测的次数很多，观察其大量的偶然误差，就能发现隐藏在偶然性下面的必然规律。并且统计的数量越大，其规律性会越明显。3.2偶然误差的特性在相同观测条件下，独立地观测358个三角形的全部内角，由于观测值中存在偶然误差，三角形三内角的观测值之和不等于其理论值180°，由式（3-1)可求得每个三角形内角和的真误差（又称三角形闭合差），即：将358个闭合差分为负误差和正误差，按误差绝对值由小到大排序。以误差区间进行误差个数k的统计，并计算其相对个数（n=358），称为误差出现的频率。偶然误差的统计见表3-1。06-5月-2416实例：观测358个三角形，得到358个真误差，按一定的方法统计在表中3.2偶然误差的特性规律二、绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的频率高规律三、绝对值相等的正、负误差出现的频率相同规律一、最大误差不超过24″06-5月-24173.2偶然误差的特性

·偶然误差的统计特性有限性单峰性在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，即偶然误差是有界的对称性偶然误差抵偿性绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大绝对值相等的正负误差出现的概率相同相同观测条件下，对同一量进行重复观测，偶然误差的数学期望为零误差分布曲线(正态分布)误差分布直方图06-5月-2418

·偶然误差的概率密度函数直方图误差分布曲线(正态分布曲线)偶然误差Δ的概率密度函数标准差3.2偶然误差的特性σ为偶然误差（随机变量）的标准差，标准差的平方为方差，方差为偶然误差平方的理论平均值。标准差为：标准差的大小决定于在一定条件下偶然误差的绝对值的大小。由于在计算标准差时取各个偶然误差的平方和，因此，较大绝对值的偶然误差在标准差的数值大小中会得到明显的反映。06-5月-2419

·测量平差的主要任务什么叫精度？什么叫精度？怎么来衡量？怎么来衡量？最可靠值精度+3.3衡量观测值精度的指标测量成果中不可避免地含有误差，只有当测量成果的精度符合有关测量规范规定的限差要求时，测量成果才算合格，因此，必须确定相应的精度标准来衡量测量成果的优劣。06-5月-2420

·3.3.1精度与观测质量准确度准确度衡量对象衡量对象精确度精确度名词名词精度精度名词解释名词解释数学表达数学表达误差分布的密集或离散程度观测结果与其数学期望的接近程度又名准度随机变量的真值与其数学期望之差精度和准确度的合成指观测结果与其真值的接近程度包括观测结果↔数学期望↔真值偶然误差系统误差反映偶然误差和系统误差联合影响的大小，全面衡量观测质量无系统误差时，精确度是精度偏差真值真值均方误差方差数学期望值3.3衡量观测值精度的指标06-5月-2421

·形象描述精度高准确度高精度低准确度高精度高准确度低精度低准确度低3.3衡量观测值精度的指标06-5月-2422

·3.3.1精度与观测质量3.3衡量观测值精度的指标

06-5月-2423

·3.3.1精度与观测质量3.3衡量观测值精度的指标

06-5月-2424

·3.3.2几种常用的精度指标在相同的观测条件下，对某一量所进行的一组观测对应着同一误差分布，也就是说，这一组观测值具有相同的精度。可以用某个数值来反映误差分布的密集或离散程度。精度可通过直方图或误差分布曲线来描述，但在实际工作中很困难

衡量精度的指标：能反映偶然误差的离散程度的数字【直方图与误差分布曲线】极限误差(Δ限)方差和中误差(σ

)平均误差(

θ

)或然误差(ρ

)相对误差(K)绝对误差【误差分布表】3.3衡量观测值精度的指标06-5月-2425

·1.中误差

3.3衡量观测值精度的指标06-5月-2426

·1.中误差【例3-1】对10个三角形的内角用两种不同精度的仪器各进行了两组观测，两组观测值的三角形内角和的真误差分别为：Ⅰ组：+3″，+5″，-2″，0″，-3″，+4″，-4″，+2″，-4″，+3″Ⅱ组：-2″，0″，+10″，-1″，+8″，-6″，0″，-5″，+3″，-9″试比较两组观测值的精度。3.3衡量观测值精度的指标解:根据中误差计算公式（3-6)，可分别计算两组观测值的中误差，即：

06-5月-2427

·2.相对误差在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量还不能正确反映出观测值的质量。因为这些观测值的质量不但与其中误差有关，还与其观测值的大小有关。例如，用一把50m长钢尺丈量了一段长45.689m的距离，其测量中误差为±5.1mm,如果使用全站仪测量了一段长106.365m的距离，其测量中误差也是±5.1mm,显然不能认为这两段不同长度的距离测量精度相等，这就需要引入相对误差。相对误差：又称相对中误差，是中误差与观测值之比，并把分子化成1。相对误差是一个无单位的数，一般用分子为1的分数表示，分母越大，相对误差越小，测量的精度就越高。上述两段距离的相对误差分别为：计算结果表明，用相对误差衡量二者的测距精度时，后者的精度比前者的高。3.3衡量观测值精度的指标由偶然误差的第一特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，这个限值就是极限误差。极限误差是通过概率论中某一事件发生的概率来定义的。设以k倍中误差作为区间，则在此区间中误差出现的概率为由概率论的原理可知，在大量等精度观测的一组误差中，误差落在(−m,+m)，(−2m,+2m)及(−3m,+3m)的概率分别为：由于大于两倍中误差的误差出现的概率已很小，所以根据偶然误差的特性①，在测量工作中常取两倍中误差作为测量成果取舍的极限误差，简称限差，也称容许误差，即：

06-5月-2428

·3.极限误差绝对值大于2m的偶然误差出现的概率仅为4.6%

小概率事件小概率事件99.7%

3.3衡量观测值精度的指标06-5月-24293.3衡量观测值精度的指标06-5月-2430

·思考题

为什么实际工作中采用二倍中误差？为什么实际工作中采用二倍中误差？

在实际工作中，有些量往往不是直接在实际工作中，有些量往往不是直接观测值，而是某些观测值的函数。观测值，而是某些观测值的函数。是否要考虑误差的传播？有何规律？是否要考虑误差的传播？有何规律？3.3衡量观测值精度的指标06-5月-24313.4误差传播定律测量工作中，有些量不能直接测量得到，而需用直接观测量的函数计算得到。例如，水准测量一测站的高差为:h=a-b，h是a、b的线性函数。直接观测量的误差会导致它们的函数也存在误差，反映观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的规律称为误差传播定律。各种形式的观测值函数式可分为线性函数和非线性函数两种，对于线性函数可以直接按照误差的传播规律计算，对于非线性函数可以在线性化之后再按照误差的传播规律进行计算。06-5月-2432

·观测值的函数式3.4误差传播定律§4.1误差传播定律的定义在实际工作中，有些量往往不是直接观测值，而是某些观测值的函数倍数函数：Z=kx (中误差：m)和差函数：Z=x1+x2

(中误差：m1,m2)线性函数：Z=k1x1+k2x2……+knxn+k0

(中误差：m1,m2,…mn)一般函数：Z=f(x1,x2……xn)

(中误差：m1,m2,…mn)倍数函数、和差函数是线性函数的特殊形式，倍数/和差/线性函数是一般函数的特殊形式06-5月-24333.4.1线性函数

3.4误差传播定律06-5月-24343.4.1线性函数

3.4误差传播定律06-5月-2435

·和差函数中误差传播例一：图根水准测量中，已知在水准尺上的读数误差为m读

=±2mm，

试求一个测站的高差中误差m站。【解】例二：已知DJ6型光学经纬仪一个测回一个方向的中误差mα=±6″，用DJ6型光学经纬仪观测角度一测回的测角中误差。【解】3.4误差传播定律06-5月-24363.4.2非线性函数

3.4误差传播定律06-5月-24373.4.2非线性函数

3.4误差传播定律06-5月-2438

·测回法测量水平角的精度

误差传播定律的应用

1）DJ6经纬仪一测回的方向值，，其中误差″ 2）半测回的方向值为a左、a右、c左、c右，其中误差m半方

变成中误差式

*对于DJ6经纬仪3.4误差传播定律06-5月-2439

·测回法测量水平角的精度

误差传播定律的应用 3）半测回的角度β上、β下，其中误差为m半角

*对于DJ6经纬仪：m半角=±2×6.0″=±12.0″ 4）一测回角度为β，其中误差是m1角

*对于DJ6经纬仪：3.4误差传播定律06-5月-2440

·电磁波测距仪测量水平距离和高差的精度

误差传播定律的应用

已知：电磁波测距仪测得斜距L±mL，观测竖直角α±mα

求：水平距、高差及其中误差【解】1）计算水平角的中误差

函数式

全微分

中误差式

3.4误差传播定律06-5月-2441

·电磁波测距仪测量水平距离和高差的精度§4.3误差传播定律的应用

已知：电磁波测距仪测得斜距L±mL，观测竖直角α±mα

求：水平距、高差及其中误差【解】2）计算高差的中误差

函数式h=Lsinα

全微分

中误差式

3.4误差传播定律06-5月-2442

·算术平均值3.5等精度独立观测量的最可靠值与精度评定3.5.1等精度观测值的平均值设在相同的观测条件下，对某未知量进行了n次观测，得n个观测值：l1，l2，···，ln，则该量的算术平均值为

：06-5月-2443

·证明：算数平均值为该量的最或然值(最可靠值)3.5.1等精度观测值的平均值

求和后除以n根据偶然误差的特性43.5等精度独立观测量的最可靠值与精度评定06-5月-2444

·观测值的中误差3.5.2观测值的中误差

计算等精度独立观测值的中误差m时，需要知道观测值li的真误差∆i通常情况下，观测值的真值X是不知道的，真误差也无法求得但由于算术平均值是真值的最可靠值，所以，可以用算术平均值代替真值来计算中误差。在实际应用中，利用观测值的改正数计算观测值的中误差

观测值的改正数

：算术平均值(最或然值)与观测值之差

一组观测值取算术平均值后，其改正值之和应等于零3.5等精度独立观测量的最可靠值与精度评定06-5月-2445

·由观测值的改正数计算观测值中误差3.5.2观测值的中误差3.5等精度独立观测量的最可靠值与精度评定06-5月-2446

·由观测值的改正数计算观测值中误差3.5.2观测值的中误差根据偶然误差的特性4等号右边第二项趋于03.5等精度独立观测量的最可靠值与精度评定设对某未知量等精度独立观测了n次，观测值为l1，l2，···，ln，其算术平均值为：设每个观测值的中误差为m，按照线性函数的误差传播律，得算术平均值的中误差为用观测值改正数计算算术平均值中误差的计算公式为06-5月-24473.5.3等精度独立观测量算术平均值的中误差3.5等精度独立观测量的最可靠值与精度评定06-5月-24483.5.3等精度独立观测量算术平均值的中误差[例3-4]设对某直线等精度独立观测了6次，观测结果列入表3-2，试计算其算术平均值、观测值的中误差、算术平均值的中误差和其相对误差。解：容易求出6次距离丈量的算术平均值,其余计算在表3-2中进行。表3-2观测值精度计算表3.5等精度独立观测量的最可靠值与精度评定06-5月-24493.5.4用等精度双次观测列差值求观测值中误差在测量工作中，为了对观测值进行检核和提高精度，通常需对一些量观测两次，如距离测量时采用往测与返测，水准测量时对各测段高差采用往返观测，三角高程测量时采用对向观测等，这种观测称为双次观测。对一个未知量进行的两次观测，称为一个观测对。多个双次观测值称为双次观测列。设同一个量两次观测值的差为d，则有：因双次观测值之差的真值为零，故就是差值的真误差。根据中误差定义式（3-7)，差值的中误差应为：设观测值的中误差为m,由式（3-35）可得观测量的最或然值是两次观测结果的算术平均值，即：算术平均值的中误差为：3.5等精度独立观测量的最可靠值与精度评定06-5月-24503.5.4用等精度双次观测列差值求观测值中误差

【例3-5】对某导线的6条边作等精度观测，观测结果见表3-3,取每条边两次观测值的算术平均值作为该边的最或然值，求观测值中误差和每条边最或然值的中误差。

表3-3双次观测序列表3.5等精度独立观测量的最可靠值与精度评定解:因为是等精度观测，所以按公式（3-37)求观测值中误差，即：求各边最或然值的中误差：06-5月-2451

·定义3.6不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定3.6.1不等精度观测及观测值的权在测量实际工作中，除等精度观测外，还有非等精度观测。例如，有一个待定水准点，需要从两个已知点经过两条不同长度的水准路线测定其高程，因两条水准路线的长度不同，则从两条路线测得的待定点高程的精度是不相等的，不能简单地取其算术平均值作为最可靠值，并据此评定其精度。“权”本意为秤锤，此处表示“权衡轻重”之意，权为不同精度观测值在计算未知量的最可靠值时所占的比重。某一观测值或观测值函数的精度越高（中误差m越小），其权应越大。测量误差理论中，以P表示权，定义权与中误差的平方成反比：06-5月-2452

·权的特性3.6.1不等精度观测及观测值的权(1)权是相对性数值，表示观测值的相对精度。(2)权与中误差平方成反比，中误差越小，权越大，表示观测值越可靠，精度越高。(3)权始终取正号。(4)对于单一观测值而言，权无意义。(5)权的大小随C的不同而不同，但权之间的比例关系不变。(6)在同一个问题中只能选定一个C

值，不能同时选用几个不同的C值，否则就破坏了权之间的比例关系。3.6不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定06-5月-24533.6.1不等精度观测及观测值的权为了计算方便，通常取一次观测、单位长度等的测量误差作为单位权中误差。例如，设一测回的水平角观测中误差作为单位权中误差，则N测回算术平均值的水平角中误差为N测回水平角的权为由式（3-43)可以得到：水平角测量时，测回数越多，其算术平均值的精度越高，权值越大，权值与测回数成正比。3.6不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定06-5月-24543.6.1不等精度观测及观测值的权为了计算方便，通常取一次观测、单位长度等的测量误差作为单位权中误差。又例如，水准测量中，取lkm长路线的高差测量中误差作为单位权中误差，则线路长度为L的高差测量中误差为线路长度为L的高差测量的权为由式（3-44)可以得到：水准测量时，水准路线越长，高差测量的精度越低，权值越小，权值与路线长度成反比。3.6不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定06-5月-24553.6不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定3.6.2加权平均值设对某量进行了n次不等精度观测，其观测值分别为l1，l2，···，ln，相应的权为P1，P2，···，Pn，按下式计算其加权平均值作为该量的最或是值：由于同一量的各个观测值都相差不大，为了便于计算，通常采用加权平均值计算的实用公式根据同一量的n次不等精度观测值，计算其加权平均值后，用下式计算