2020-2021学年天津市滨海新区高二年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年天津市滨海新区高二上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知点,4（2「3）,B（-3「2）,直线/方程为丘+>-左一1=0,且与线段A8相交，求直线乙的

斜率k的取值范围为（）

313—1

A.k>-^k<-4B,k>-tik<—

444

33

C.-4<^<-D.-<k<4

44

2.若直线Z的方向向量3=（1,2,—1）,平面a的一个法向量记=（—2,—4,k）,若［1a,则实数k=（）

A.2B.-10C.-2D.10

3.已知点4（4,—2）,F为抛物线必=8x的焦点，点M在抛物线上移动，当*+|MF|取最小值时，

点M的坐标为（）

A.（0,0）B.（1,—2V2）C.（2,-4）D.（I，-2）

4.等差数列{an}的前n项和为%,且与+。3=6,。4+。6=",则粼=（）

.2023cc2021、__..

A.—B.1011C.—D.1010

5.已知等差数列{5}的前n项和分,59=-18,S13=-52,等比数列{'}中,b5=a5,b7=a7,

那么为5的值为（）.

A.64B.-64C.128D.—128

6.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量》（件）与单价P（元）之间的关系为P=160-2%,生产x件

所需成本为C（元），其中C=（500+300元，若要求每天获利不少于1300元，则日销售量x的取

值范围是（）.

A.{工［20W』W；"）,1WN+}B,{©2（）℃5.工WN+}

C,{©15ch上WN+}D,{1|15"W45.』eN+}

7.两圆鹭,:::小■此铲一■!，=%和，领::遥此/■---：¥，=雹的位置关系是（）

A.相交B.外切C.内切D.外离

8.已知。为坐标原点，F为抛物线*=轨的焦点，直线心y=g（久-1）与抛物线交于2,B两点,

点4在第一象限，若|/川=3|FB|.则小的值为（）

A.3B.83D.|

9.已知等差数列｛a九｝的前?1项和为%,若以+^5=2,则品等于（）

A.8B.9C.10D.11

10.已知向量K(1.-3.2),b=(-2,1,1),则|2K+17()

A.50B.14C.5V2D.V14

11.已知。：/+*=1和点p（-Lb）,4、B是圆。上两个动点，贝UN4PB的最大值为（）

A71n""兀c7r

%B.-C.-D.-

12.己知双曲线l（a>0,6>0）的焦点到渐近线的距离为值，且离心率为2,则该双曲线的

实轴长为（）

A.1B.V3C.2D.273

二、单空题（本大题共8小题，共40.0分）

13.已知向量万=（1,1,0）,3=（—1,0,2），且k五+3与2济一。的夹角为钝角,则实数k的取值范围

为.

14.直线kx-y+k-1=0与圆/+y2+2ax+2y+2a2=0恒有公共点，则实数a的取值范围是

15.在数列｛&J中，at=2,an+1=an+ln（l+，），则&3=.

16.若双曲线片—^=1的离心率为包，则根的值是____.

4m2

17.若线段4B的端点4,B到平面a的距离分别为a,6,且4B在a的同侧，则线段4B中点M到平面

a的距离是.

18.已知tana=-2,抛物线f=2p久（p>0）的焦点为尸（-s讥acosa,0）,直线/经过点尸且与抛物线

交于4B点，且|阴=4,则线段48的中点到直线x=-扣勺距离为.

1

19.无穷等比数列｛an｝（neN*）的前n项的和是分,且他热Sn=天则首项的的取值范围是.

20.已知椭圆次+尤=1的长轴的两个端点为公，4,P为椭圆上不同于4，&的任意一点，则直线

94

p4,P4的

斜率之积为.

三、解答题(本大题共4小题，共50.0分)

21.已知圆嬲的圆心在直线富:一驾.#可=既上，且与雷轴交于两点戏•噬颈，遛a啜.

(1)求圆E球的方程；

(2)求过点卷:乳源:的圆噩的切线方程；

(3)己知飒:-禽哪，点部在圆翻上运动，求以,初，，承为一组邻边的平行四边形的另一个顶点鳗

轨迹方程.

22.如图所示，4M为梯形ABCD底边BC的高，沿着4M把平面力MB折起来，使得平面力MB1平面

AMCD,AD=BM=^MC=1,AM=V3.

(I)求4。与8D的夹角；

(H)求平面2MB与平面BCD所成锐二面角的余弦值.

23.设等差数列｛%J的前n项和为无,已知的=-7,a3+S5=-6.

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)求｛(-1严啕｝的前2n项和公.

24.已知椭圆C：2+《=1(0[>6>0)的离心率为?，右焦点为(百,0).

(1)求椭圆C的方程；

(2)过原点。作两条互相垂直的射线，与椭圆交于4,B两点，求证：点。到直线4B的距离为定值;

(3)在(2)的条件下，求AOAB的面积的最大值.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：

本题考查直线的相交的应用，由直线方程可知I过定点Q1).画出图形，由题意得得到所求直线I的斜

率k满足k>kpB或k<kPA,

用直线的斜率公式求出MB和加4的值，即可求出直线I的斜率k的取值范围.

解：Z：k(久一1)+(>-1)=0,即直线I过定点(1,1).

由题意得，所求直线I的斜率k满足k2kpB或kW际4，

即k>［或k<4.

故选A.

2.答案：A

解析：

本题考查直线与平面垂直的性质、直线的方向向量，平面的法向量等基础知识，属于基础题.

由Z1a,得到L〃记,由此能求出k.

解：••・直线1的方向向量方=(1,2,—1),

平面a的一个法向量记=(-2,-4,k),11a,

•••a//m,

故选A.

3.答案：D

解析：解：由抛物线方程可知，2P=8,

抛物线的焦点F(2,0),准线方程为％=-2,

设M在抛物线准线方程上射影为M',

•••点M到准线的距离与M到焦点距离相等，

\MA\+\MF\=\MA\+

当x=4,代入抛物线方程求得y=±4V2,

•••4D点抛物线的内部，

当M',M,4三点共线时,\MA\+|M'M|的值最小，此时|M4|+\M'M\=\AM\=6.

此时M的纵坐标为一2,x=|,即M的坐标为G，—2).

故选：D.

先由抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线方程，把光=4代入抛物线方程判断4点在抛物线内

部，设M在抛物线准线方程上射影为M',根据抛物线的定义可知|M*+\MF\=\MA\+分析

M',M,4三点共线时，+的值最小，求得其最小值，进而求得|M2|+取最小值.

本题主要考查了抛物线的基本性质，解题的关键是利用抛物线的定义，是中档题.

4.答案：A

解析：解：•.•数列是等差数列，

刖71项和大jS”，且Gt]+CI3=6,GI4+Gtg=12,

(ar+/+2d=6

+3d+的+5d=12'

角犁得的=2,d=1.

•••Sn=2n+?St),

n2

,T=2+亭

52020=2+2°2。-1_2023

2020—2~2

.S2020_2023

"2020-2

故选：A.

利用等差数列通项公式，列出方程组，求出的=2,&=1.从而％=2八+硬沿，进而*=2+展，

由此能求出粼.

本题考查等差数列的前2020和与2020的比值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求

解能力，是基础题.

5.答案：B

解析：

本题考查了等差数列的前几项和公式、性质和等比数列的通项公式，熟练记忆及灵活运用公式是正确

解题的关键，属基础题.

由等差数列的前几项和公式和性质可得$9=9的=一18,S13=13%=一52,故可求得。5、。7，即求

出生、厉，由等比数列的通项公式即可求出q2,进而求出瓦

g13

尚牛：,•*S9=~C^i+。9)=9a5=-18,S13=+。13)=13a7=-52,

附=-2，。7=-4，

又Z75=。5，力7=。7，

•••Z)5=-2，b7=—4,

设等比数列的公比为q,

28

Q=~=2,6曾=b7-q=-4X16=-64.

故选8.

6.答案：B

解析：

本题主要考查了一元二次不等式的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出关于x的一元二次不等

式，结合一元二次不等式的解答求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于

中档试题.

设该厂每天获得的利润为y元，根据题意，求得利润为y的函数关系式，得到一元二次不等式-27+

130%-500>1300,即可求得，得到答案.

解：设该厂每天获得的利润为y元，

则y=(160-2%)-%-(500+30%)=-2x2+130%-500,0<x<80,WN-,

根据题意，可得—2/+130N一50021300,解得20<xW45,

故当20WXW45,且H€N+时,每天获得的利润不利于1300元.

故选3.

7.答案：C

解析：试题分析：圆，■的圆心为螭的虬颐，半径瀛=工；圆线的方程可以变形为O-③更#/*=螂,

其圆心为，%圆，顺，半径礴=置圆心距|，嗯|=筮=礴-叫，所以圆鳏I内切于圆竭.

考点：平面内两圆的位置关系.

8.答案：C

解析：解:抛物线于=4久的焦点为(1,0),

设直线I为x=ky+l(k>0),代入抛物线方程可得必—4ky—4=0,

设2(%1，%)，8(%2，、2)，

贝+%=4k,yry2=-4,

由|2F|=3|BF|,可得、1=-3%，

由代入法，可得/=%

故选：C.

求出抛物线的焦点，设直线2为尤=ky+l,代入抛物线方程，运用韦达定理和［4/|=3|BF|,解得k,

即可得到小的值.

本题考查直线和抛物线的位置关系的综合应用，主要考查韦达定理，考查运算能力，属于中档题.

9.答案：A

解析：解：由等差数列的性质可知+。5=的+48=2,

则58=出野=4X2=8.

故选：A.

由已知结合等差数列的性质及求和公式即可直接求解.

本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题.

10.答案:c

解析：

本题考查了向量的坐标运算及其模的计算公式，属于基础题.

利用向量的坐标运算及其模的计算公式即可得出.

解：•••2a+b=2(1,-3,2)+(-2,1,1)=(0,-5,5).

\2a+b\—VO+52x2=5V2.

故选C.

11.答案：C

解析：解：由题意，乙4PB取最大值时，P4PB是圆的切线，

v\OA\=1,\OP\=2,

•••^OPA=

6

・•・乙4PB的最大值为2x(=泉

故选C.

由题意，乙4PB取最大值时，PA,PB是圆的切线，即可得出结论.

本题考查直线与圆的位置关系，确定乙4Pg取最大值时，P4PB是圆的切线是关键.

12.答案：C

22

解析：解：根据题意，双曲线京-1(口>0/>0)的焦点到渐近线的距离为百，

则b=V3.

又由双曲线的离心率2,即6=£=2,即c=2a,

a

则有力=Vc2—a2=V3a=V3，

解可得a=1,

则双曲线的长轴2a=2；

故选：C.

根据题意，由双曲线的几何性质分析可得b的值，又由双曲线的离心率分析可得c=2a,联立两式分

析可得a的值，由双曲线的长轴长2Q计算可得答案.

本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点到渐近线的距离就是b的值.

13.答案：(―8,—2)u(—2彳)

解析：

本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量共线的性质，两个向量的夹角公式，属于中档题.

由题意利用两个向量的数量积公式求得五7,再两个向量共线的性质，两个向量的夹角公式，求得k

的范围.

解：；向量五=(1,1,。)，b=(-1,0,2)s：.a-b=-1，且五、3不平行.

ka+9与2五—方的夹角为钝角，设k五+3与2a—石的夹角为氏

k五十E与2五一3不共线且cos。<0,

即5。三，且(々方+b)•(2五一b)V0，

即上。一2，且2忆五2+(2一左)五•一一12<0・

\a\=y/2,\b\=通，

即kW-2,且4/c-(2-fc)-5<0,

求得k<I，且/cW—2.

故k的取值范围为(—8,—2)U(—2,看)，

故答案为(一8,—2)U(—2,§.

14.答案：［0,1)

解析：解：要使方程久2+y2+2。％+2y+2a2=o表示圆，必有(2a/+2?-4X2小>。，今一1<

a<1

由于直线I：kx—y+k—1=0过定点4(—1,—1)，

由题意可得点4在圆内或点4在圆上，故有(一1)2+(-1)2-2a-2+2a230

解得：0WaW1,

综上可得实数a的取值范围是：0Wa<L

故答案为：［0,1)

要使方程/+y2+2a比+2y+2a2=0表示圆，必有(2a)2+2?—4x2a2>。，=>—1<a<1

由于直线1：kx—y+k—1=0过定点4(—1,—1),由题意可得点A在圆内或点2在圆上，故有(―I)2+

(—1)2—2a—2+2a2<o,求得a的取值范围.

本题考查直线过定点问题，直线和圆的位置关系，求出直线1过定点，是解题的关键.

15.答案：2+Zn3

-i

解析：解：,•・在数列中，的=2,an+1=an+ln(l+-),

•••。2=2+ln2,

a3=2+ln2+In-=2+ln3.

故答案为：2+Zn3.

利用递推思想先求出。2，由此能求出

本题考查数列的第3项的求法，考查递推公式、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，考查化归

与转化思想，是基础题.

16.答案:3

解析：

本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，正确运用双曲线的离心率公式是关键.

利用双曲线的离心率公式，建立方程，即可求出山的值.

解：•••双曲线次-”=1的离心率为"，

4m2

.4+m_7

,,—―，

44

m=3.

故答案为：3.

17.答案：詈

解析：解：线段4B的端点4B到平面a的距离分别为a,b,且4B在

a的同侧，

过4作441la,垂足为过B作B/la,垂足为2,

过M作MM】平面a,垂足为

连结4/1，则%是4/1的中点，

.•・线段4B的中点M到平面a的距离MM1=詈.

故答案为：詈.

过力作4411a,垂足为过B作BBi1a,垂足为过M作MM11平面a,垂足为连结4把「

则%是4/1的中点，由此能求出线段4B的中点M到平面a的距离.

本题考查线段中点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，

考查运算求解能力，是中档题.

18.答案:g

解析：

本题考查抛物线方程，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，比较基础.

利用tana=—2,抛物线y?=2p久(p>0)的焦点为F(-s讥acosa,0),求出p,利用直线，经过点F且

与抛物线交于力、B点，且|AB|=4,可得的+久2+(=4,即久i+久2=£，从而求出线段4B的中点

到直线％=-3勺距离.

解：vtana=-2,抛物线y?=2Px(p>0)的焦点为F(—s讥acosa,0),

・••呜。)，

•••P=~4,

•・•直线/经过点F且与抛物线交于/、B点,且|4引=4,

4

:•与+%2+g=4,

16

+%2=三，

••・线段4B的中点到直线％=，的距离为g+；器

故答案为：|^.

19.答案：(O,j)u(|,l)

解析：解：设无穷等比数列｛厮｝的公比为q,@<1且(？力()，

-1

由limS"=

九一82

又无穷等比数列的求和公式limS”=三，

n->oo1—Q

即q=1-2a1，

即有|1-2ali<1且|1-2aliH0,

解得ai6(0,》uG，l).

故答案为：(0,|)U©,l).

根据所给的前n项和的极限的值，做出首项和公比之间的关系，根据公比的范围，得到首项的范围,

解不等式即可.

本题考查了无穷等比数列的前n项和公式，极限的运算法则及其不等式的解法问题，本题解题的关键

是运用无穷等比数列的求和公式来解题.

20.答案：-三

解析：解：设PQ0,y。），则詈^熬=居，

而椭圆毯+羽=1,

94

••・yo=4（i-妥，

即户二-々

好-99

•••女出2=一［・

故答案为：

已知椭圆＜t=1的长轴的两个端点为4,A2，首先不妨设POO,y°）,再由直线的斜率公式得到左也

94

的表达式；根据椭圆的标准方程得到y0关于狗的表达式，进而得出最终答案.

这是一道考查椭圆的题目，解题的突破口是对直线的斜率进行应用；

21.答案：⑴0#驾2口（尸鬻=2❿;⑵编#般-容=（©；（3）磐普0-骸=獭,除去点（T霞和

解析：试题分析：（1）先联立直线，嚼•的中垂线方程与直线方程富-&胪书碑=励，求出交点的坐标即

圆心魏?的坐标，然后再计算出原胃£搬到，最后就可写出圆巡?的标准方程；（2）求过点的圆的切线

问题，先判断点您在圆嬲上还是在圆搬外，若点芯在圆搬上，则所求直线的斜率为由

%

点斜式即可写出切线的方程，若点卷在圆嬲外，则可设切线方程朋-嚣=典常：（此时注意验证斜

率不存在的情形），然后由圆心©嫄到切线的距离等于半径，求出曼即可求出切线的方程；（3）先设点

然靠,威小翼禽G嘘:，然后利用平行四边形.幽踊的对角线互相平分与中点坐标公式得到

+黑制T斗温.

』罢"既即号的=最后代入圆蠹的方程，即可得到点矮的轨迹方程.

|避=也魅，揭:=朋一吗

试题解析：⑴因为圆嬲与富轴交于两点.遥-图顾:，/U醺所以圆心在直线和=T上

=—罢-蜜=—我

由叫一"•,「、得芸,即圆心嬷的坐标为（-2,1）

［声叫.-吗=财v/=l.

半径岁=炉评=廊

所以圆整的方程为g#瀚3带（般一:十=瞬3分

（2）由您坐标可知点您在圆嬷上，由也破=士得切线的斜率为一如

故过点G:口渝:的圆避的切线方程为概.:#.F-S=©5分

（3）设锻宾4M箕:烟，黑》，因为.侬辞为平行四边形，所以其对角线互相平分

又更在圆豳上，代入圆的方程得鲤:-嚣*③更小0-琳-:玻=»

即所求轨迹方程为d凝=»，除去点（T霞和《一常哪9分

考点：1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系；3.动点的轨迹问题.

22.答案:解：（I）因

为MC、MA.MB两

两垂直，

建立如图所示的空

间直角坐标系，

AC=(3,-V3,0),SD=(1,V3,-1),

因为前•前=3-3-0=0，所以力C与BD的夹角为90。.

(11)因为前=(3,0,-1),JD=(1,V3,-1)，

设平面BCD的法向量为访=(x,y,z),

，黑巴一3：片一°n，令%=用m=(V3,2,3V3),

(BD-m=x+V3y—z=0

平面4MB的法向量为元=(1,0,0),

所以平面4MB与平面BCD所成锐二面角的余弦值为普普=熹=萼.

\m\-\n\V34-134

解析：（1）先求》・前=0,进而求2C与BD的夹角；（U）用向量数量积计算二面角的余弦值.

本题考查了异面直线成角问题，考查了二面角的计算问题，属于中档题.

23.答案：解：（1）设等差数列｛an｝的公差为d,

a】=—7,%+S5=-6,

•t.—7+2d+5X（-7）+10d=-6,

解得d=3,

*'•CLn=-7+3（71—1）=372—10;

_九（3九一10-7）_九（3九一17）

...(一1严%=(_])n+in(3nT7)

n+1n（317）

设6n=（-l）"-,

则72n=（瓦+b2'）+（必+bQ+