2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编 31数列第七讲（学生版+解析版）

2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编

专题31数列第七讲

1.【2017年内蒙古预赛】已知各项全不为零的数列｛纵｝的前k项和为最,且品=：耿耿+1/6

N+),其中%=1.

(1)求数列SQ的通项公式.

(2)对任意给定的正整数n(n>2),数列｛与｝满足：警=曰(k=1,2,3,-,n),瓦=1求必+b2+-+bn.

ak+i

2.【2016年福建预赛】已知数列｛斯｝的前〃项和S“=2%-2(〃£Z+).

(1)求通项公式an\

(2)设g=三—-7；为数列｛b„｝的前"项和，求正整数改，使得对任意的〃6Z+,均有AN7；；

Qnn(n+l)

(3)设c.=^~警~?凡为数列｛或｝的前八项和，若对任意的"右乙，均有凡“，求2的最小值―

(l+an)(l+an+1)

3.(2016年山东预赛】已知数列｛%九｝满足％1>0,xn+1=V5xn++1(几6Z+).证明：在％i，%2,…，％2016

中，最少可以找到672个无理数.

4.[2016年安徽预赛】已知数列｛时｝满足a。=1,%=5,a=2飞-3a…22)用数学归纳法证明：

n2an-z

n

an=2+2-3.

5.【2016年全国】设p与p+2均为素数，p>3.定义数歹见与｝：ax=l,即=即_1+["廿](n=2,3…)，其

中，[幻表示不小于实数x的最小整数.证明对?1=3,4…,p-1,均有n|(pan_]+1).

6.【2016年浙江预赛】给定数列｛f｝。证明：存在唯一分解Z”其中，数列｛%｝非负，｛zj单调不

减，且yn(zn-zn_x)=0,z0=0。

7.[2016年上海预赛】已知数列｛an｝满足册+1=-|an+^(neZ+).求所有小的值，使得｛时｝为单调数列，

即S”｝为递增数列或递减数列.

n

8.[2016年四川预赛】设等比数列｛5｝的前n项和为％=2+r(r为常数).记%=2(1+log2an)(xGZ+).

(1)求数列｛的%｝的前n项和4；

(2)若对于任意的正整数n,均有粤•警…警NkSTTI,求实数k的最大值.

b2bn

9.(2016年辽宁预赛】已知数歹U3J满足4)=*册=味1+2公n_i(keZ+)a2(ke若对于所有的几eZ*,

均有QnVI,求k的取值范围

10.【2016年江苏预赛】在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作称为该数列

的一次“Z扩展”.已知数列1,2,3第一次Z扩展后得到数列1,3,2,5,3；第二次Z扩展后得到数列1,

4,3,5,2,7,5,8,3；...设第n次Z扩展后所得数列1,巧，x2,xm,3,并记%,=1+x［+小+

+xm+3.

(1)求a］、a2'的值；

(2)若垢=即-2,证明：｛bn｝为等比数列，并求数列｛a=的通项公式.

11.【2016年江苏预赛】设数列｛册｝满足的=1,a?=3，an=3an_j-an_2(nGZ+,n>3).

是否存在正整数n,使得22。16||斯，(22。16|斯且220171即)？若存在，求出最小的正整数n的值；若不存

在，请说明理由.

12.【2016年湖北预赛】已知定义在R上的函数八x)满足/(1)=m，且对任意实数x、y,恒有f(x)/(y)=

f(x+y)+f(x-y)①设数列｛即｝满足与=3/(n)-f(n-l)(neZ+).

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)令垢=2%(neZ+),Sn为数列｛匕｝的前n项和.证明:Sn<l.

an2

13.【2016年河南预赛】定义数列｛an｝：%=1,a2=4,an=7an-in+i+l()-

证明：(1)｛a"为整数数列；

(2)2anan+1+l(n>1)为完全平方数。

14.【2016年甘肃预赛】设数列｛an｝OeZ+)的前n项和为Sn,点(a”Sn)在y=；-的图像上.

63

(1)求数列｛a九｝的通项公式;

(2)求5=0,且对任意的正整数n,均有小+i-c九=logj/i九.证明：对任意九N2,总有1W2+上+…+

23c2c3

Cn4

15.【2016高中数学联赛(第02试)】设实数的@,…,。2016满足9囚>11昭i(i=l,2,2015).

求31-磅)•(a2-a1)...(。2015一说016),02016一崎)的最大值.

16.【2016高中数学联赛(第02试)】设p与p+2均是素数，p>3.数列｛小｝定义为0=2,an=an^+

［哼T，n=2,3，.…这里团表示不小于实数x的最小整数.

证明:对〃=3,4,...»p—1均有nlpM.i+1成立.

(.1

an+i=0九+r，

17.【2015年浙江预赛】已知数列｛册｝｛%｝满足%>0,^>0,SEZ+).证明：。5。+

+1=匕+.

b$o>20.

18.【2015年浙江预赛】已知数列｛而｝满足%=1,an+1=3an+2y/a^-l(neZ+).

(1)证明：｛an｝为正整数数列；

(2)是否存在meZ+，使得2015|am?并说明理由.

19.[2015年浙江预赛】设化为正整数.若数字1,2,…,3k+1构成的排列与,孙,…,X3k+i满足

(1)<%2<,<%k+i；

(2)Xk+1>Xk+2>->X2k+1；

(3)x2k+1<X2k+2<"<^3fc+l>

则称此排列为“N型”的.记盛为所有N型排列的个数.

(1)求虑、的值；

(2)证明：对任意正整数k,〃均为奇数.

20.【2015年上海预赛】设neZ+,4=｛%,。2,…，即｝为由数0或1组成的数列，即以=0或1(14kWn).

(1)若nZ3,由数列4定义另一个数列4'=｛优…，a'｝,其中，破=£'丁一】：丁+"k=

12・・・,耳斯=an,an+i=%.求使得以+“=l(/c=1,2,…，耳)的所有数列A(只需写出结果，不需解题过

程).

(2)求使得的+牝+…=+即除以4余3的所有数列A的个数.

21.【2015年上海预赛】已知数列｛an｝满足%=1,。2=2,对每个正整数nN3,有册=2an_i或an=an_i+

an_2.如这个数列可以为1，2,4,6,10....

a

(1)若某一项0瓶(血N4)为奇数，且不为3的倍数，证明：am=2am_2+m-3?

v-12013

(2)证明：〉—-

aa

Z-^n=Xn+in+22

(3)若在｛即｝的前2015项中，恰有t个项为奇数，求t的最大值.

n

22.(2015年新疆预赛】已知数列｛即｝满足与+i+(-l)an=2n-1.求数列｛an｝的前4H项的和S4%

23.【2015年天津预赛】设%=1,a2=8.即+1=%1-1+：厮5=2,3,…).

证明：(1)存在常数C>0,使得对任意正整数n,有anWC".

(2)对任意正整数n,有斯+i-即44Tl+3.

24.[2015年四川预赛】己知数列｛即｝满足％、。2+1、成等差数列，且对任意的正整数n,均有%=

|an+1-2"+|,其中，S"为数列｛a"的前n项和。求

(1)。2、。3的值；

(2)数列｛an｝的通项公式.

25.【2015年陕西预赛】设等比数列｛即｝的前n项和为S“，且即+i=2S.+€Z+).

(1)求数列｛%｝的通项公式.

(2)在a“与即+i之间插入n个实数，使这n+2个数依次组成公差为d“的等差数列.设数列｛1｝的前n项和为

证明：7；<y(nGZ+).

i(k+l)2-l

26.[2015年陕西预赛】设团表示不超过实数x的最大整数.已知以=>，k=l,2,…).求

j=k?1

三阳+七+汕

27.【2015年山东预赛】己知数列｛即｝满足ai=l,a“+i=an+R(nN2).

⑴证明:当n>2时总>3n;

⑵当n>4吐求[a9n3K区表示不超过实数x的最大整数).

28.[2015年辽宁预赛】在数列｛册｝中,%=1,关于％的方程./一an+1cosx+(2an4-1)=0有唯一解.

⑴求数列｛an｝的通项公式；

⑵设%=[1+益筋『，证明：“<3

(3)设C.=彦斯，求数列｛金｝的前n项和sn

29.(2015年江西预赛】正整数数列｛&J满足的=2,an+i=磷-即+1.证明：数列的任何两项均互素。

30.【2015年江苏预赛】设等比数列四,。2,…，以和瓦,尼,…，尻，记q=an-b”(n=1,2,…,k).

(1)写出一组的、。2、。3和瓦、82、b3,使得G、C2、C3是公差不为0的等差数列；

(2)当kN4时，证明：｛7｝不可能是公差不为0的等差数列.

31.【2015年湖南预赛】已知数列｛a”｝、｛&｝满足的+i=即+1，%+1=t叼+5.对于正整数“，定义函数

%(口=/+£1/+%・证明：若的、员为整数，且九0)有两个整数零点，则必有无穷多个左0)有两个整数

零点.

32.[2015年湖北预赛】设7；为数列｛册｝的前n项之积，满足7；=1-an(neZ+)

(1)求数列｛a"的通项公式；

⑵设Sn=^+万+…+甯，证明：an+1-i<Sn<an+1-i

1+bn+anbn

33.[2015年河南预赛】数列｛即｝、｛%｝的定义为由=1,4=2,即+i=1+而节也,f)n+1=,证

0nan

明：@2015<5.

34.[2015年甘肃预赛】数列｛a"满足%=2,an+1=,之二小

n

[n+-)an+2

⑴设%=盖求数列｛b｝的通项公式；

（2）设％=—4—，数列｛0｝的前n项和为%,求土.

35.【2015高中数学联赛（第01试）】设的,3。3，。4是4个有理数，使得｛四%|14i</44｝=

24,-2,—I，—1,3｝成立.求a1+a2+。3+。4的值.

36.12015高中数学联赛（第02试）】设的,&2,…,M（n>2）为实数,证明：可以选取。，与,…,06

｛T1｝，使得⑵++①

2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编

专题31数列第七讲

1.【2017年内蒙古预赛】已知各项全不为零的数列｛纵｝的前k项和为凡,且金=：以以+1(卜€

N+),其中%=1.

(1)求数列｛耿｝的通项公式.

(2)对任意给定的正整数71(/1>2),数列｛航｝满足：$=1也=1,2,3,…,71),瓦=1求为+b2+-+bn.

【答案】(1)ak=Kk&/V+)；(2)i.

【解析】(1)当k=1时，由%=Si=；的<12及£11=1,得&2=2.

当k>2时，由以=Sk-Sk-1=1akak+i-得以(以+1—以-i)=2a上.

因为以工0,所以以+1-Qk-1=2.从而。2巾-1=1+(m-1)x2=2m-l(meN+).

故以=k(kEN+),a2m=2+(m—1)x2=2m(mEN+).

所以以=k.

综上所述以=fc(fceN+).

(2)因为%=k,所以等1=-F=一富，

bkak+ik+1

所以从=2.必・・・・・丝.4=D"T.(九.1+1)(九--+2).(如一1)

“八"bk-rbk.2/1IJ拈(k-1)…21,

所以仇+b2+-+bn=^图一量+鬣一…+(-1厂1期

=；口一四一喘+髭一…+(-l)nC^]｝=i.

2.【2016年福建预赛】已知数列｛小｝的前〃项和&=况-2(〃€己).

(1)求通项公式an；

(2)设与■一丁二，及为数列｛儿｝的前〃项和，求正整数鼠使得对任意的〃ez+,均有ANZ,;

ann(n+l)

(3)设7=；-沪~~/?”为数列｛c“｝的前〃项和，若对任意的“GZ+，均有R,,Q，求4的最小值・

(l+an)(l+an+D

【答案】⑴如=2".⑵&=4.(3)1

【解析】

(1)由Sj=2a“-2,得5〃+i=2〃+[-2.

两式相减得斯+1=2%+]-2%=%+1=2斯.

于是，｛为｝为等比数列,公比q=2.

由S]=2m-2=a\=2ai-2=^ci[=2.

W

从而，an=2.

(2)由(1)知

1

b=±_____=1呼+1).

n2nn(n+l)n(n+l)l2n八

计算知。1=0,/?2>0,〃3>0,仇乂).

当论5时，由

3(3+1)_(n+l)(>+2)_(n+DS-2)0

2n2n+1—2n+1'

知当“25时，｛专立｝为递减数列.

于是，尼5时，啥2W智<1.

2“2°

则稔5时，%=前扁(誓—1)<0.

故T1<T2<TJ<T41TA>T5>....

从而，对任意的"GZ+,均有A27；.因此，上4.

(3)由(1)知

n+1

an+12»11

Cnnn+12(nn+1

=(1+an)(l+an+1)=(1+2)(l+2)=2+1-2+P

n

11_11_22

°、n

=Rn=2/^2k4-1-2k+i+1)=2(3―2n+1+P=3-2n+14-1

k=l

又对任意的“GZ,均有心«,知A5.

从而，2的最小值为|.

3.(2016年山东预赛】已知数列｛xn｝满足>0,xn+1=V5xn+2，赌+l(neZ+).证明:在打，％2,…，％20i6

中，最少可以找到672个无理数.

【答案】672

【解析】

由归纳知卜九｝为正项数列，且%n+i=V5xn+2yjx^4-1>xn=>(xn+1-V5xn)=4(非+1)

=以+1+Xn~2V5xnXn+1=4.

类似地,瑞+2+*+1-2V5xn+1xn+2=4.

两式相减得

(马+2-xn)(xn+2+如-2V5xn+1)=0

x

=Xn+2+n~2V5xn+1=0

=飞二+飞=2倔

Xn+1

于是,xn,xn+1>Xn+2三项中至少有一项为无理数.

从而，X1/2JLX2016中到少有［等］=672项为无理数，其中，［幻表示不超过实数X的最大整数.

设=^a2k'X2k+l=a2k+l(aneR)，R-

a

ar=a2=1,。2忆-1+2k+l=

a2k+a2k+2=2a2k+l，

其中，kez+.

则X"、x„+1,Xn+2中有［等］=672项为无理数.

4.［2016年安徽预赛】已知数列⑥｝满足劭=1,%=5,an=丝M冲上⑺>2)用数学归纳法证明:

2an-2

n+2

an=2-3.

【答案】a,=2*2—3

【解析】

由a。=22—3,。1=23—3,知心=2n+2—3对n=0,1成立.

当nN2时，假设

a”-2=2n-3,即-1=2"+1-3.

由那推小#右c-2〃“-1-3-_2(2计1-3)2-3(2,+1-3)-9_4x2J5X2"+9

nnn

21171T2(2-3)2-3

=4X2n-3.

因此，a”=2"+2_3对n>0一切成立.

5.【2016年全国】设p与p+2均为素数，p>3.定义数列｛an｝：%=1,即=cin-1+(n=2,3…)，其

中，［幻表示不小于实数x的最小整数.证明对n=3,4…,p-1,均有n|(pan_i+1).

【答案】见解析

【解析】

首先注意，｛6｝为整数数列.

对n用数学归纳法.

当n=3时，由条件知

2

。2=2+p=pa2+1=(p+I).

因为p与p+2均为素数，且p>3,所以

3|(p+l).

因此,3|(pa2+1),即n=3时结论成立.

当3V九4p—1时，设对々=3,…，九一1,均有川(PQR-I+1),此时,

|>*1］_P*I+I

LkJ-—k・

故pa—+1=p(a-+［管］)+1=p(ak_2+k)+1=哈,7

从而，对有

=—P*+l)若1・管••…*+1)，

pan-i+1=位即-2+1)

|1一2n(p+l)QI

POn-l+1一(p+n)(p+2/p+*

又为整数，故

n\(p+n)(p+2)(pan_1+1).①

因为n<p(p为素数)，所以，

(n,n+p)=(n.p)=1.

又p+2为大于n的素数，故(p+n)(p+2)=1,从而，n.与(p+n)(p+2)互素.

于是，由式①知n|(pan_i+1).

由数学归纳法知本题得证.

6.【2016年浙江预赛】给定数列｛加｝。证明：存在唯一分解今=yn—zn,其中，数列｛%｝非负，｛zn｝单调不

z

减，且拓色九-zn-i)=°，o=°。

【答案】见解析

【解析】

;

用数学归纳法证明.当n=1时，y。一Zo)=y1z1=0=>或｛；='•若-°，贝=0*若

X<0,则.因此，当71=1时，命题成立.

X■=-%i

Yfc+1-(Z/C+1-zk)=xk+l+zk

yk+i(^+i=o=

Vk+1.0

z+i-ZkN°，Zo=0

｛k

Lz"+z)或汽।=-z+1^k・若明】+z。0,则｛,咒:个/巴若加+Zk<。，

(Zk+1—Zk——(Xk+1十zk)IZk+1Zk—UIzk+1—zk

则[以工=:.故当n=k+l时，命题成立.

(Z〃+1=-Xk+1

由数学归纳法，知对于任意的自然数九，命题均成立.

7.[2016年上海预赛】已知数列｛an｝满足an+i=-2+*⑺WZ+).求所有的的值，使得｛a"为单调数列，

即｛即｝为递增数列或递减数列.

【答案】见解析

【解析】

依题意得On+l=+5.

n+1n+1

于是,ean+1=-^x3an+3.令%=3"0Tl.则%+i=_|%+3=%-g=-|(匕-1一§=(瓦一

nXa

^«n=^=^(1+(3a1-|)(-|))=(一打1(|(一|旷+(i-|))-

若由-|力0，则当n充分大时，||(-|)|<,1一|卜

又+(电一|)与由一|同号，从而，｛斯｝正负交替，不是单调数列.

当％=|时，厮=|(3?17为递减数列.

n

8.[2016年四川预赛】设等比数列｛an｝的前n项和为匕=2+r(r为常数).记%=2(1+log2an)(xeZ+).

(1)求数列Snb｝的前n项和〃；

(2)若对于任意的正整数n,均有警•警…警2k而下I,求实数k的最大值.

b】b2bn

+1

【答案】(1)7；=(n-1)x2"+2(neZ+)；(2)乎

【解析】

(1)由条件易知

=2+r,。2=$2—Si=2,。3=$3-$2=4.

代入境=。1@3，得八-L

n

于是，Sn=2-1

n

则册=2t,bn=2(1+log2an)=2n,

n

anbn=nx2.

故7；=1x2i+2x2?+…+(九一1)x2nt+nx2n

27；=1x22+2x23+-+(n-1)x2n+nx2n+1.

以上两式相减得

-7^=21+22+…+2n-1+2n-nx2n+1

=>7；=(n-1)X2n+1+2

n

从而，数列｛斯%｝的前n项和为7；=(n-1)x2+i+2(n6Z+)

(2)注意到，k<—=—■—■—■■■—

仕屈土J，7H7TAbzbnVH+i242n

、/kq,、11+21+41+271

构袒/(n)=后•云・丁…

[l[|/(n+l)_"n+1l+2(n+l)_卜n2+12n+51

、/(n)-，n+22(n+l)~~\4n2+12n+8>

于是，数列(/(n)｝严格单调递增.

从而，/(n)的最小值为八1)=乎，即实数k的最大值为曝

9.[2016年辽宁预赛】已知数列｛an｝满足劭="，%,=a„_i+煮a?”T(keZ+)a2(ke若对于所有的neZ*,

均有an<1,求k的取值范围

【答案】见解析

【解析】

当k=l,B|Jao=l时，由数学归纳法知册=n4-l(n6Z+)

当k=2时，由册一«n-i=eZ+)=>an-a0=舞

显然，｛即｝为单调递增数列.

故即_即>讲W-表+说>(»缶)总+；

=a>±+2_____1_=史

n32416(n+l)3216(n+l)

当事<七时，有与>1，当23时,

由。九一an-l=~^an-lan

111

Qn-ln2

11111

=-------<1+7+…+m<2一—

00°nn

11

=>fc-2+-<—

几an

1

n—>1=>an<1

Qn

因此当k>3时，有a”<l(neZ+)

10.【2016年江苏预赛】在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作称为该数列

的一次“Z扩展”.已知数列1,2,3第一次Z扩展后得到数列1,3,2,5,3；第二次Z扩展后得到数列1,

x

4,3,5,2,7,5,8,3；...设第n次Z扩展后所得数列1,与，x2>m<3，并记即=1+/+不+

•••4-xm+3.

(1)求由、。2、的值；

(2)若bn=0n-2,证明：｛%｝为等比数列，并求数列｛a=的通项公式.

【答案】％=4义3'+2

【解析】

设X。=1,xm+1=3,an=£置上.

则斯+i=+£隗(々+%+D=3£盘％-殉一xm+1=3afl-4.

由%=1+3+2+5+3=14,得a2=3al-4=38,a3=3a2—4=110.

于是，bn+1=an+1-2=3^-6=3bn.

又瓦=12h0,故｛bj为等比数列，且%=4x3%

从而，Q九=4x3”+2.

n

11.【2016年江苏预赛】设数列｛an｝满足的=1,a2=3,an=3an_1-an_2(EZ+/n>3).

是否存在正整数n,使得22。1611an,(22。叫品且22017：册)？若存在，求出最小的正整数n的值；若不存

在，请说明理由.

【答案】3X22013

【解析】

存在无穷多个正数n,使得22。1611an,且最小的正整数n为3x22013.

若2。||加，则记〃2(m)=Q.

因此，v2(mn)=v2(m)+v2(n),且wOn4-n)>min｛v2(m),v2(n)｝.

若〃2(m)Hv2(n),则w(m+几)=min｛v2(^)»v2(n)｝.

由凝=3%1T-an_2=an_i-an_2(mod2),知｛an｝在模2意义下是周期为3的周期数列.

因此，当31n时，v2(an)=0.

令n=3k(k>1).显然，%=一)

=侬=段(伐当一(三当)=京((9+4时―(9_4佝”)

f

=22o〈iv尸］C2t+l9fc-(2i+l)x421+1x5.

i+1

又⑵+1)噌+1=kC乙=>v2(Cfc)>v2(k)(i>1)=>V2(a3k)=3+v2(/c).

故艺(。3。=2016当且仅当3+v2(k)=2016,即%(k)=2013.

因此,22。1611a”当且仅当n=3x22°13小，其中，(m,2)=1.

综上，最小的正整数n为3x22013.

12.【2016年湖北预赛】已知定义在R上的函数/(x)满足/(1)=与，且对任意实数x、y,恒有/(x)/(y)

f(x+y)+f(x-y)①设数列｛/｝满足an=3/(n)-f(n-l)(nGZ+).

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)令垢=善*(neZ+),Sn为数列｛%｝的前n项和.证明：S„<1.

【答案】⑴即=8x3Z；⑵见解析

【解析】

(1)在式①中，令x=l,y=0,得

/dV(O)=2/(1).

又f(l)=T，则/(0)=2.

在在式①中，令x=n,y=l,得

/(«)/■(1)=+1)+f(n-1)

10

=f(n+1)=y/(n)-f(n-1)

=即+i=3f(n+1)-f(n)

=9/(n)—3/"(n—1)

=3(3/(n)-f(n-1))=30n.

由的=3/(1)—/(O)=8

=>an=8x3=T.

(2)由(1)知

n

,_24an_3

0n=(3吁8/=(3J)2・

容易证明：对一切kez+恒有

3k-l>i(3k+1-l).

4

故瓦=尚

/4x3k"11

-(3k-l)(3fc+1-1)=2\3k-1-3k+1-1

nS.=&+Z;2+•••+bn

1

<23k+i_i

1

=2

-13n+1-1

一,

=1«2..V1.

3n+1-l

n2

13.【2016年河南预赛】定义数列｛0｝：的=1,a2=4,an=7an-i«n+i+l()-

证明:(1)｛即｝为整数数列;

(2)2anan+1+l(n>1)为完全平方数。

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【解析】

(1)定义即=0.

则当nN1时,

an=an-lan+l+1，an+l=anan+2+

两式相减并整理得

an+z+a?_an+i+a^-i_an+an-2az+a。

必旦=%十】+「t(n>lfan0)4.

an+ianan-i%

故斯+2=4an+1-an(n>1).

由此递推式及臼=1,a2=4,易得｛an｝为整数数列.

(2)当兀21时，

z

0=an+1(an+1-4an+an_i)=a^+1-4an+1an+=a1+1-4an+1an+若-1=(an+1-an)-

(2untzn+1+1).

z

因此，2anan+1+1=(an+i-an).

故命题得证.

14.【2016年甘肃预赛】设数列｛an｝(n6Z+)的前n项和为右,点(an，SQ在y=；一；》的图像上.

D3

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)求5=0,且对任意的正整数n,均有0+1-cn=log^Qn.证明：对任意几N2,总有：工乙+工^---p

23c2c3

【答案】（1）1=2-3+1）：（2）见解析

【解析】

11

(1)易知治=入一鼻所.

oS

11]

当n>2时，an=Sn-Sn_!=-an_1--an=>an=-an-r

又a=：-久1=。1="即=2-3+1).

(2)又注意到，cn+1-cn=logian=2n+1.

当n>2时，cn=J+£仁；(。+1-c»

n-l

=W(2k+1)=几2一1

k=l

n

k=2

1

2

=X(i+»G+W))

又工+工+…+22!从而，原式得证.

C2c3cnc23

15.12016高中数学联赛（第02试）】设实数%,。2,…，。2016满足9%>llaf+i（i=l,2,....2015）.

求31-«2）•（a2-堵）...（。2015-或016）,（。2016一城）的最大值・

【答案】高?

【解析】令P=31-谖）♦（。2-踞）…（a2015-谖016）.02016—«!）•

由己知得，对己1,2,...,2015,均有为一脸1>蔡昭"1-咯1>0.

若。2016一讲《。，则SW0.

以下考虑。2016->0的情况.约定。2017=al-

由平均不等式得

2016/20162016\

p品《盛W侬一磕】）=短（W时W%）

1=1\1=11=1/

--2016—1

2016441

所以P4万\，

当%=a2=•••=a2oi6=2时，上述不等式等号成立,

且有9%>lla?+1(i=1,2,…,2015),此时尸=嬴.

综上所述，所求最大值为嬴.

16.12016高中数学联赛（第02试）】设p与p+2均是素数，p>3.数列｛〃"｝定义为G=2,0n=—+

［的尸卜〃=2,3，.…这里核］表示不小于实数x的最小整数.

证明:对"=3,4,p—1均有n|pan_i+1成立.

【答案】证明见解析

【解析】首先注意，｛为｝是整数数列.

对〃用数学归纳法.当〃=3时，由条件知a2=2+p,故pa?+1=（p+I）?.因为p与〃+2均是素数，且

p>3,故必须3W+L

因此3|pa2+l,即〃=3时结论成立.

对3<，?夕一1,设对A=3,…，w—1成立/clpa.-i+1,

此时［华1］=叫产，

故pay+1=p（*2+|誓］）+1=P（限2+守）+1=即2：%~）.

故对3<n<pi，有pan_i+1=（pan-2+D=（PM-3+D-

~..=3.33

n-1n-23▽n7

因此Paz+l=W^%ca.

由此知(注意C"p是整数)，

n|(p4-n)(p+2)(pan_t+1)①

因为〃<p,p是素数，故(n,n+p)=(n,p)=1,

又0+2是大于〃的素数，故（〃，/?+2）=1,从而”与（p+n）（p+2）互素,

故由①知n|pan_i+1.

由数学归纳法知，本题得证.

即+i=即++，

Dn

17.【2015年浙江预赛】己知数列｛即｝、｛bn｝满足的>0,瓦>0,（n£Z+）.证明：劭0+

%+!_=b+丁

nan

生0>20.

【答案】见解析

【解析】

由题意得a"1+%1=W+堤+12+2管+豺.

则磋o+bl0

>4+4x49=200.

又Qn+l6n+l=an^n+匕+2，则

an°n

x49

Q50b50=a1b1+

>98+4----N100.

故（。50+既。）？=蝠o+屎o+2a50bso>200+200=400.

因此，a50+b50>20.

18.[2015年浙江预赛】已知数列｛&J满足的=1,an+1=3an+2y/味一1（几EZ+）.

（1）证明：｛an｝为正整数数列；

（2）是否存在mWZ+，使得2015|。血？并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）不存在

【解析】

(1)由即+i=3an+2j2a]-1,得

«n+i-6anan+1+成+4=0.①

类似地，

Gn+1-6册+2册+1+成+2+4=0.②

由式①、②，知出1、即+2为方程"-6a"+iX+W+1+4=0的两根，且与<。计2，

故斯+即+即+

an+2=61=2=6an+i-an.

因为%=所以，即为正整数.

1,a2=5,

(2)不存在meZ+，使得2015|6.

假设存在meZ+，使得20151.，则311am.

一方面，

amam+2=a*+i+4n311(a^+1+4)nWu=-4(mod31).

于是，磷+i=-41S=-230(mod31).

由费马小定理知23。=l(mod31).

所以，a温