门爱东的数字信号处理教案4省公开课一等奖全国示范课微课金奖

第四章IIR数字滤波器设计4.1引言4.2模拟滤波特征迫近4.3模拟系统数字仿真4.4脉冲响应不变法4.5双线性变换法4.6数字滤波器变换4.7IIR滤波器优化设计第1页4.1引言1.数字滤波器设计过程 一个数字滤波器设计过程，大致可归纳为3个步骤。 (1)按照实际需要确定滤波器性能要求。(2)用一个因果稳定系统函数去迫近这个性能要求，这种系统函数能够分为两类，即IIR系统函数与FIR系统函数。第2页(3)用一个有限精度运算去实现这个系统函数。这里包含选择运算结构，如级联型、并联型、直接型、正准型和频率采样型等，还包含适当字长和有效数字处理方法等。第3页2.IIR数字滤波器设计方法 IIR数字滤波器系统函数是z有理函数，可表示为第4页这种设计普通有3种方法。(1)简单滤波器零极点位置累试法。(2)用模拟滤波器理论来设计数字滤波器。(3)用优化技术设计参数。第5页3.设计标准 利用模拟滤波器来设计数字滤波器，即从已知模拟滤波器系统函数Ha(S)求数字滤波器系统函数H(z)。其惯用方法有脉冲响应不变法和双线性变换法两种，但不论哪种方法都遵照数字仿真标准。第6页4.2模拟滤波特征迫近1.问题提出 其频带按作用不一样分为以下3部分，如图4-1所表示： 通带——滤波器中能使信号经过频带； 阻带——抑制噪声经过频带； 过渡带——从通带到阻带过渡频率范围。第7页图4-1模拟滤波器幅频特征第8页按划分标准不一样，滤波器分为很各种类。按处理信号种类分为模拟滤波器(其输入输出皆为模拟量)和数字滤波器(其输入输出皆为数字量)；按其应用不一样分为有源滤波器和无源滤波器；按其通频带划分为低通滤波器(只允许低频信号经过而抑制高频信号)、高通滤波器(只允许高频信号经过而抑制低频信号)、带通滤波器(只允许某一频带信号经过)和带阻滤波器(只抑制某一频带信号)。第9页2.巴特沃思(Butterworth)滤波特征迫近(1)Butterworth滤波器特征 Butterworth滤波器特点是含有通带内最大平坦振幅特征，而且在正频率范围内是随频率升高而单调下降，它振幅平方函数为第10页(2)Butterworth图表设计法 其设计步骤概括起来有以下几个方面：第11页(3)巴特沃斯低通滤波器Matlab实现

在Matlab中能够用[n,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,‘s’)求出给定通带截止频率wp、阻带起始频率ws、通带最大衰减Rp、阻带最大衰减Rs条件下，所需要最小Butterworth模拟滤波器阶数和3dB频率。 Buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’)也可用于高通、带通、阻带滤波器设计。对于带通和带阻滤波器，Wp和Ws说明了滤波器两个边缘频率，其中第一个元素是低端频率。第12页3.切比雪夫(Chebyshev) 滤波特征迫近(1)Chebyshev滤波器特征 Chebyshev滤波器频率特征在通带内是等波纹，在阻带内是单调下降，它比同阶Butterworth滤波器下降快，如图4-5所表示，而在通带内则是等波纹，通带内波动峰值个数与阶数N相关，N越大，波动越快第13页图4-5Chebyshev滤波器频率特征图第14页 Chebyshev滤波器幅度平方函数为 式中N是滤波器阶数，Ωc是通带宽度，当ε=1时，它等于通带3dB截止频率，如图4.5所表示。第15页(2)Chebyshev滤波器特征极点 对于N阶Chebyshev滤波器，其幅度｜Ha(Ω)｜2平方函数在s平面上有2N个极点，这2N个极点都是成复共轭对出现，且关于虚轴对称，没有点落在虚轴上。第16页极点可由作图法确定，即(1)以aΩc为半径画圆，将其圆周等分为2N个点；(2)以bΩc为半径画圆，将其圆周等分为2N个点；(3)每个极点纵坐标由大圆对应点纵坐标确定，每个极点横坐标由小圆对应点横坐标确定。第17页(3)Chebyshev滤波器设计方法 如同Butterworth滤波器，Chebyshev滤波器也能够采取查表法进行设计，其步骤以下。 (1)频率归一化，求λp，λs。 (2)依据αp，αs查归一化频率——幅度特征曲线，确定滤波器阶数N。第18页第19页(4)Chebyshev滤波器Matlab

实现 在Matlab

中能够用[n,Wn]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')求出给定通带截止频率wp、阻带起始频率ws、通带最大衰减Rp、阻带最大衰减Rs

条件下，所需要最小Chebyshev

I

模拟滤波器阶数。在数字滤波器中，wp和ws

在0~1之间，而在模拟滤波器中，wp和ws能够大于1。第20页Cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’)也可用于高通、带通、阻带滤波器设计。对于带通和带阻滤波器，Wp

和Ws

是一个两元素是量，说明了滤波器两个边缘频率，第一个元素是低端频率。

第21页而用Matlab

函数[z,p,k]=cheb1ap(n,Rp)求得n

阶低通Chebyshev

I

原型模拟滤波器零点、极点和增益，通带内波动为Rp

dB。极点p

和增益k

是长度为n

行矢量，而零点z

是空矩阵。其传输函数为：第22页4.Cauer滤波器特征 Cauer滤波器又称椭圆滤波器，它特点是在通带和阻带内都有等波纹振幅特征。它之所以被称为椭圆滤波器，是因为其振幅特征是由雅可比椭圆函数来决定，其振幅平方函数为 式中，JN(Ω)是雅可比椭圆函数，N为滤波器阶数。第23页在Matlab

中能够用[n,Wn]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')求出给定通带截止频率wp、阻带起始频率ws、通带最大衰减Rp、阻带最大衰减Rs

条件下，所需要最小椭圆模拟滤波器阶数。第24页4.3模拟系统数字仿真1.时域数字仿真 如图4-1所表示，h(t)表示模拟系统La冲激响应，而h(n)表示数字系统Ld冲激响应。若h(n)等于Tha(t)取样，即h(n)=Tha(nT)

当T足够小时，Ld将是La数字仿真，即y(n)=yT(nT)

第25页2.频域中数字仿真(1)输入为单频指数信号 设x(t)=ejΩt，若模拟系统La系统函数为Ha(S)，未知Ld系统函数为H(z)，则模拟系统输出为y(t)=Ha(Ω)ejΩ

t

数字系统输出y(n)y(n)=H(ejΩT)ejnΩT第26页(2)输入为任意信号 为了建立含有普遍意义仿真条件，需要在频域内建立Ha(Ω)和H(ejΩT)关系，用冲激响应ha(t)和h(n)表示这些函数。第27页第28页4.4脉冲响应不变法1.脉冲响应不变法设计方法 在此所讲设计方法，是在给定了模拟滤波器系统函数Ha(S)情况下，求数字滤波器系统函数H(z)方法。第29页2.z平面与s平面映射关系 由式(4-28)能够看到，s平面与z平面变换关系为第30页 假如仅考虑极点话，则这种映射关系变为式中应用了z和s表示式z=rejω和s=σ+jΩ。第31页3.Matlab实现4.脉冲响应不变法特点 由以上讨论，能够将脉冲响应不变法特点归结成3点，以下所述。 (1)保持了模拟滤波器时域瞬态特征，这是脉冲响应不变法一大优点。 (2)当模拟滤波器频率响应不是严格限带时，则用脉冲响应不变法设计出来数字滤波器有频域混迭失真，这是脉冲响应不变法缺点。第32页(3)因为(2)而使得这种设计方法使用受到限制，即当Ha(Ω)不严格限带或时域内改变不太平稳，而设计性能要求又较高时，不宜使用这种方法。第33页4.5双线性变换法1.双线性变换关系导出 由式(4-25)能够知道，普通模拟滤波器基本单元都是积分器1/s，如图4-15所表示式(4-25)框图。第34页图4-15由积分器基本单元组成模拟网络框图第35页第36页2.s平面与z平面映射关系 把s=σ+jΩ代入式(4-21)，且令z=rejω，则得到第37页第38页3.Matlab实现4.双线性变换法特点 由以上讨论总结双线性变换法特点以下所述。 (1)模拟滤波器经过双线性变换后，不存在幅度频率特征混迭失真。 (2)因为(1)而对模拟滤波器系统函数Ha(Ω)要求放宽，故适用范围广。第39页(3)模拟滤波器经过双线性变换后出现相位频率特征失真，所以对滤波器相位特征有较严格要求时，不宜采取这种方法。第40页4.6数字滤波器变换1.滤波器数字频率变换 假如用双线性变换将模拟系统函数变换成数字系统函数，对于如图4-20所表示低通、高通、带通和带阻型选频滤波器来说，它能够用一个和双线性变换非常相同有理变换从低通数字滤波器变换出来。第41页图4-20理想滤波器特征第42页 所以要求 (1)G(Z-1)必须是Z-1(或Z)有理函数； (2)z平面单位圆内部必须映射成Z平面单位圆内部。第43页第44页第45页2.Matlab实现第46页4.7IIR滤波器优化设计1.最小均方误差设计法假定IIR滤波器z变换式能够写成级联式第47页 令该滤波器所要求频率响应为Hd(ejw)，在一离散频率集{ωi，I=1,2,……,M)(无须是均匀间隔)上滤波器实际频率响应H(ejw)与所要求频率响应Hd(ejw)之间均方误差E定义为第48页 普通地说，求误差函数E(θ)最小值．能够将E(θ)对每个参数作一次微分，并令其导数为零，即第49页 Fletcher－powell法是一个有效非线性优化算法，使用了最优化计算程序计算误差函数 对参数φ梯度和斜率，用做处理误差最小化准则。第50页(1)利用优化程序在不约束极点和零点位置情况下使 极小。(2)将单位圆外部全部极点或零点作镜象替换，继续优化，直到抵达一个新极小值为止。第51页2.最小p误差设计法 最小p误差设计是指p次幂误差加权平均最小化，所以离散迫近幅频响应最小化