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剪力方程、弯矩方程法

绘制剪力图、弯矩图基础教学部力学教研室第1页剪力图、弯矩图普通情况下，梁横截面上剪力和弯矩随截面位置不一样而改变，而最大剪力和最大弯矩所在截面往往是梁危险截面。所以，在进行梁设计时，就需要知道内力沿梁改变规律，方便依据最大剪力和最大弯矩进行梁强度计算。第2页剪力图、弯矩图定义将剪力和弯矩沿梁轴线改变情况用图形表示出来，这种图形分别称为剪力图和弯矩图。作图时，取梁轴方向为横坐标，表示各截面位置；纵坐标表示对应位置上各截面内力（剪力或弯矩）。通常把正值画在横坐标上方，负值画在下边。第3页剪力图、弯矩图（续）基本方法画剪力图和弯矩图基本方法有二种：

1．剪力、弯矩方程法

2．微分关系法

第4页剪力、弯矩方程法剪力、弯矩方程取梁一端为坐标原点，若以横坐标x表示横截面在梁轴线上位置，则各横截面上剪力和弯矩能够表示x为函数，即上述函数表示式称为梁剪力方程和弯矩方程。依据剪力方程和弯矩方程即可画出剪力图和弯矩图。第5页剪力、弯矩方程法画图步骤1)首先要建立Q-x和M-x坐标。普通取梁左端作为x坐标原点，坐标Q和M坐标向上为正。2)依据截荷情况分段列出Q(x)和M(x)方程。①由截面法和平衡条件可知，在集中力、集中力偶和分布载荷起止点处，剪力方程和弯矩方程可能发生改变，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程分段点。②求出分段点处横截面上剪力和弯矩数值（包含正负号），并将这些数值标在Q-x、M-x坐标中对应位置处。③分段点之间图形可依据剪力方程和弯矩方程函数性质绘出。

3）最终注明IQImax和IMImax数值。第6页例题

简支梁受力如图a所表示。试写出梁剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。第7页解：（1）求支座反力由平衡方程和分别求得，利用平衡方程对所求反力进行校核。（2）建立剪力方程和弯矩方程以梁左端为坐标原点，建立x坐标，如图a所表示。因在C处罚布载荷集度发生改变，故分AC和CB二段建立剪力方程和弯矩方程。

第8页AC段：

CB段：

第9页3．绘Q、M图①Q图：AC段内，剪力方程是x一次函数，剪力图为斜直线，故求出两个端截面剪力值:QA右=3ql/8，Qc左=-ql/8，分别以a、c标在坐标中，连接a、c直线即为该段剪力图。

CB段内，剪力方程为常数，求出其中任一截面内力值，比如QB左=-ql/8，连一水平线即为该段剪力图。梁AB剪力图如图b所表示。第10页②M图：AC段内，弯矩方程是x二次函数，表明弯矩图为二次曲线，求出两个端截面弯矩：MA=0，MC=ql2/16，分别以a、c标在坐标中。由剪力图知在d点处Q=0，该处弯矩取得极值。令剪力方程Q1(x)=0，解得x=3l/8，求得M1(3l/8)=9ql2/128.以d点标在坐标中。据a、d、c三点绘出该段弯矩图。

CB段内，弯矩方程是x一次函数，分别求出两个端点弯矩，以c、b标在坐标中，并连成直线。AB梁M图如图c所表示。

第11页练习与作业设已知图示各梁载荷P、q、m和尺寸a，（1）列出梁剪力方程

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