广东省阳江市桐山中学高三数学文联考试题含解析

广东省阳江市桐山中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为(

) A．3+3 B．8+3 C．6+6 D．8+6参考答案：B考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中三视图可得该几何体为一个棱台，根据已知分析各个面的形状，求出面积后，相加可得该几何体的表面积解答： 解：由已知中三视图可得该几何体为一个棱台，下底面为边长为2的正方形，面积为4；上底面为边长为1的正方形，面积为1；左侧面和后侧面是上底为1，下底为2，高为1的梯形，每个面的面积为右侧面和前侧面是上底为1，下底为2，高为的梯形，每个面的面积为故该几何体的表面积为4+1+2×+2×=8+3故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图，求表面积，其中根据已知分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．2.设函数，若互不相等，且，则的最大值为（

）A. B. C.12 D.参考答案：D【分析】作出函数图像，由，确定所取范围，及，点与点关于直线对称，得，可将表示为的函数，判断此函数的单调性，可确定函数的最大值.【详解】设，作出函数的图像由函数的图象可知，，，，根据，可得，根据，可得，，令，在上恒成立，所以在上是增函数，所以，所以的最大值为，选D．【点睛】本题考查函数的最值问题，函数式的建立，把所求式化为某一变量的函数是解题关键，变量范围要及时确定，考查数形结合，运算求解能力，属于难题.3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A是B和C的等差中项，，，则△ABC周长的取值范围是（

）A．

B．C．

D．参考答案：B详解：∵A是B和C的等差中项，∴，∴，又，则，从而，∴，∵，∴，所以的周长为，又，，，∴．故选B．

4.已知,则向量在向量上的投影为

A.

B.

C.

D.参考答案：A5.在某次测量中得到的A样本数据如下：66,67,65,68,64,62,69,66,65,63.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是(

)A．众数

B．平均数

C．中位数

D．标准差参考答案：D略6.若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（

）A. B.（1,8） C.（4,8） D.[4,8)参考答案：D【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果.【详解】因为函数是R上的单调递增函数，所以故选：D【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.7.下列命题错误的是(

)A命题“若则方程有实根”的逆否命题为：“若方程无实根则”

B若为假命题，则均为假命题C“”是

“”的充分不必要条件D对于命题“使得”，则“均有”参考答案：B8.复数=（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=，故选：D．9.一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以平面为投影面的正视图的面积为A．

B．

C．

D．参考答案：A10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=2，c=2，且C=，则△ABC的面积为（

）A.4

B.

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等差数列中，有成立．类似地，在正项等比数列中，有_____________________成立．参考答案：略12.已知a＜0，关于x的不等式ax2﹣2（a+1）x+4＞0的解集是．参考答案：考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：把给出的二次不等式因式分解，求出其对应二次方程得两个根，然后根据a＜0可得不等式ax2﹣2（a+1）x+4＞0的解集．解答：解：由ax2﹣2（a+1）x+4＞0，得（x﹣2）（ax﹣2）＞0，因为a＜0，所以，所以不等式ax2﹣2（a+1）x+4＞0的解集是．故答案为．点评：本题考查了一元二次不等式的解法，解答的关键是明确二次不等式对应二次方程的两个根的大小及对应二次函数图象的开口方向，是基础题．13.某小学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）。根据频率分布直方图推测3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是_____________________

参考答案：600本题主要考查了频率分布直方图及其数据处理问题，难度较小。根据频率分布直方图知该次数学考试中成绩小于60分的学生数是（0.002+0.006+0.012）×10×3000=600；14.若α是锐角，且的值是

。参考答案：略15.某渔船要对下月是否出海做出决策，如出海后遇到好天气，可得收益6000元，如出海后天气变坏将损失8000元，若不出海，无论天气如何都将承担1000元损失费，据气象部门的预测下月好天的概率为0．6，天气变坏的概率为0．4，则该渔船应选择_____________（填“出海”或“不出海”）．参考答案：出海16.在某班进行的演讲比赛中，共有位选手参加，其中位女生，位男生.如果位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为

；参考答案：略17.不等式

的解集是

参考答案：原不等式等价为，解得，即原不等式的解集为。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）某校为了解学生一次考试后数学、物理两个科目的成绩情况，从中随机抽取了位考生的成绩进行统计分析．位考生的数学成绩已经统计在茎叶图中，物理成绩如下：

90

71

64

66

72

39

49

46

55

56

85

52

6l80

66

67

78

70

51

6542

73

77

58

67(1)请根据数据在答题卡的茎叶图中完成物理成绩统计；(2)请根据数据在答题卡上完成数学成绩的频数分布表及数学成绩的频率分布直方图；

(3)设上述样本中第位考生的数学、物理成绩分别为．通过对样本数据进行初步处理发现:数学、物理成绩具有线性相关关系，得到:

求关于的线性回归方程，并据此预测当某考生的数学成绩为分时，该考生的物理成绩（精确到分）．附:回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:参考答案：19.（16分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1=a，（an+1）（an+1+1）=6（Sn+n），n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若对于?n∈N*，都有Sn≤n（3n+1）成立，求实数a取值范围；（3）当a=2时，将数列{an}中的部分项按原来的顺序构成数列{bn}，且b1=a2，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列{bn}．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）当n=1时，（a1+1）（a2+1）=6（S1+1），故a2=5；当n≥2时，（an﹣1+1）（an+1）=6（Sn﹣1+n﹣1），可得（an+1）（an+1﹣an﹣1）=6（an+1），因此an+1﹣an﹣1=6，分奇数偶数即可得出．（2）当n为奇数时，，由Sn≤n（3n+1）得，恒成立，利用单调性即可得出．当n为偶数时，，由Sn≤n（3n+1）得，a≤3（n+1）恒成立，即可得出．（3）证明：当a=2时，若n为奇数，则an=3n﹣1，所以an=3n﹣1．解法1：令等比数列{bn}的公比q=4m（m∈N*），则．设k=m（n﹣1），可得5×4m（n﹣1）=5×[3（1+4+42+…+4k﹣1）+1]，=3[5（1+4+42+…+4k﹣1）+2]﹣1，…．因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，可得数列{bn}是数列{an}中包含的无穷等比数列，进而证明结论．解法2：设，所以公比．因为等比数列{bn}的各项为整数，所以q为整数，取，则q=3m+1，故，由得，，n≥2时，，可得kn是正整数，因此以数列{bn}是数列{an}中包含的无穷等比数列，即可证明．【解答】解：（1）当n=1时，（a1+1）（a2+1）=6（S1+1），故a2=5；当n≥2时，（an﹣1+1）（an+1）=6（Sn﹣1+n﹣1），所以（an+1）（an+1+1）﹣（an﹣1+1）（an+1）=6（Sn+n）﹣6（Sn﹣1+n﹣1），即（an+1）（an+1﹣an﹣1）=6（an+1），又an＞0，所以an+1﹣an﹣1=6，…（3分）所以a2k﹣1=a+6（k﹣1）=6k+a﹣6，a2k=5+6（k﹣1）=6k﹣1，k∈N*，故…（2）当n为奇数时，，由Sn≤n（3n+1）得，恒成立，令，则，所以a≤f（1）=4．…（8分）当n为偶数时，，由Sn≤n（3n+1）得，a≤3（n+1）恒成立，所以a≤9．又a1=a＞0，所以实数a的取值范围是（0，4]．…（10分）（3）证明：当a=2时，若n为奇数，则an=3n﹣1，所以an=3n﹣1．解法1：令等比数列{bn}的公比q=4m（m∈N*），则．设k=m（n﹣1），因为，所以5×4m（n﹣1）=5×[3（1+4+42+…+4k﹣1）+1]，=3[5（1+4+42+…+4k﹣1）+2]﹣1，…（14分）因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，所以数列{bn}是数列{an}中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{bn}有无数个．…（16分）解法2：设，所以公比．因为等比数列{bn}的各项为整数，所以q为整数，取，则q=3m+1，故，由得，，而当n≥2时，，即，…（14分）又因为k1=2，5m（3m+1）n﹣2都是正整数，所以kn也都是正整数，所以数列{bn}是数列{an}中包含的无穷等比数列，因为公比q=3m+1（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{bn}有无数个．…（16分）【点评】本题考查了构造方法、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．20.（本小题满分14分）如图，在三棱柱中．（1）若，，证明：平面平面；（2）设是的中点，是上的点，且平面，求的值．参考答案：（1）因为，所以侧面是菱形，所以．又因为，且，所以平面，又平面，所以平面平面．

7分

（2）设交于点，连结，则平面平面=，因为平面，平面，所以．又因为，所以．

14分21.已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|，g（x）=a﹣|x﹣2|．（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为，求a+b的值．参考答案：【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）求出g（x）=a﹣|x﹣2|取最大值为a，f（x）的最小值4，利用关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为，代入相应函数，求出a，b，即可求a+b的值．【解答】解：（Ⅰ）当x=2时，g（x）=a﹣|x﹣2|取最大值为a，∵f（x）=|x+1|+|x﹣3|≥4，当且仅当﹣1≤x≤3，f（x）取最小值4，∵关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，∴a＞4，即实数a的取值范围是（4，+∞）．（Ⅱ）当时，f（x）=5，则，解得，∴当x＜2时，，令，得∈（﹣1，3），∴，则a+b=6．22.(文)（本小题满分14分）已知函数满足（1）求的值以及的单调区间；（2）令，若在x∈（1，3）单调递增，求a的取值范围．参考答案：由于f（x）=f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+，则f′（x）=f′（1）ex﹣1﹣f（0）+x，令x=1得，f（0）=1，则f（x）=f′（1）e