安徽省宣城市姚村中学高三数学理月考试题含解析

安徽省宣城市姚村中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.关于x的不等式的解集是空集，则a的取值范围是（

）A.（－∞，－1）

B．（1，2）

C．（－1，0）

D.（0，1）参考答案：C2.已知函数，则=（）A． B． C． D．参考答案：B考点： 函数的值．

专题： 函数的性质及应用．分析： 首先求出的函数值，然后判断此函数值所在范围，继续求其函数值．解答： 解：因为＞0，所以f（）==﹣2，又﹣2＜0，所以f（﹣2）=2﹣2=；故选：B．点评： 本题考查了分段函数的函数值求法；关键是明确自变量所属的范围，代入对应的解析式计算即可．3.已知为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中的常数项式A.

B.

C.

D.参考答案：B4.已知复数z满足(i为虚数单位)，则A．－1－i B．－1+i C．1+i D．1－i参考答案：A5.设全集U=R,A=,B=,则A.

B.

C.

D.

参考答案：D略6.若正实数满足，则（

）A．有最大值4

B．有最小值

C．有最大值

D．有最小值参考答案：C略7.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（

）A.π

B.4π

C.4π

D.6π参考答案：B由题意，球的半径为R＝＝，所以球的体积为V＝πR3＝4π.故选B.8.函数(其中e为自然对数的底数)的图象如图所示，则A.，

B.，C.，

D.，参考答案：C9.已知是其定义域上的增函数，那么a的取值范围是（

）

A．（0，1）

B．（1，3）

C．（0，1）（1，3）

D．（3，+）参考答案：答案：B

10.若复数满足（是虚数单位)，则的共轭复数=（

）A． B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若二次函数有，则________。参考答案：c略12.的内角的对边分别为，若，则

．参考答案：【解析】由正弦定理，于是．13.表面积为的球面上有四点，，，，且为等边三角形，球心到平面的距离为，若平面平面，则三棱锥的体积的最大值为

．参考答案：过O作OF⊥平面SAB,则F为△SAB的中心,过F作FE⊥SA于E点,则E为SA中点,取AB中点D,连结SD,则∠ASD=30°，设球O半径为r,则,解得.连结OS,则.过O作OM⊥平面ABC，则当C，M，D三点共线时，C到平面SAB的距离最大，即三棱锥S?ABC体积最大.连结OC，∵平面SAB⊥平面ABC，∴四边形OMDF是矩形，∴三棱锥S?ABC体积.点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，

14.设是等差数列的前项和，且，则=

.参考答案：无略15.数学竞赛后，小明、小华、小强各获一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌．老师猜测：“小明得金牌，小华不得金牌，小强不得铜牌．”老师只猜对了一个，那么小明获得的是________．参考答案：铜牌【分析】根据小明得奖的情况，分类讨论，即可判断得到答案．【详解】由题意，若小明得金牌，则小明得金牌，小华不得金牌这两句话都正确，故不合题意；若小明得银牌，小华得金牌，则这三句话全是错误的，故不合题意；若小明得银牌，小华得铜牌，则小华不得金牌，小强不得铜牌是正确的，不合题意；若小明得铜牌，小华得金牌，小强得银牌，故合题意；若小明得铜牌，小华得银牌，小强得金牌，故不合题意，故小明得铜牌，故答案为：铜牌．【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中认真审题，合理分类讨论进行判定是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理能力．16.若数列{an}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=．参考答案：2【考点】数列的求和；极限及其运算．【分析】利用数列递推关系可得an，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．【解答】解：∵++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时，=4，解得a1=16．n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得：=2n+2，∴an=4（n+1）2．=4（n+1）．∴（）==2．故答案为：2．17.（09南通期末调研）根据下面一组等式：…………可得

▲

．参考答案：．答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知正项数列的前n项和Sn满足：

（I）求证：Sn＝n2＋2n；

（II）求数列的前n项和Tn.参考答案：19.为了调查每天人们使用手机的时间，我校某课外兴趣小组在天府广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩手机超过6小时的用户列为“手机控”，否则称其为“非手机控”，调查结果如下：

手机控非手机控合计男性262450女性302050合计5644100（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“手机控”与“性别”有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取5人中“手机控”和“非手机控”的人数；（3）从（2）中抽取的5人中再随机抽取3人，记这3人中“手机控”的人数为X，试求X的分布列与数学期望．参考公式：．参考数据：P（K2≥k0）0.500.400.250.050.0250.010k00.456[0.7081.3213.8405.0246.635参考答案：【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）计算K2的值，与临界值比较，可得结论；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，可得结论．（3）X的取值为1，2，3，再求出X取每一个值的概率，即可求得X的分布列和数学期望．【解答】解：∴没有60%的把握认为“手机控”与“性别”有关；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，所抽取的5人中“手机”有3人，“非手机控”的人数有2人；（3）X=1，2，3，则．X的分布列为：X123P0.30.60.1X的数学期望为E（X）=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8．20.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳a元（a为常数，2≤a≤5）的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为（e为自然对数的底数）万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元．

（1）求分公司经营该产品一年的利润L（x）万元与每件产品的售价x元的函数关系式；

（2）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值．参考公式：参考答案：略21.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为，直线与曲线C相交于M，N两点，直线过定点且倾斜角为，交曲线C于A，B两点．（1）把曲线C化成直角坐标方程，并求的值；（2）若，，成等比数列，求直线的倾斜角．参考答案：(1)答案见解析(2)或【分析】（1）由ρ（1-cos2θ）=8cosθ得ρ2-ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=8ρcosθ，∴x2+y2-x2+y2=8x，即y2=4x，由ρcosθ=1得x=1，联立直线与抛物线解得M，N的坐标后可求得|MN|；（2）因为|PA|，|MN|，|PB|成等比数列，∴|PA||PB|=|MN|2=16，联立直线l的参数方程与抛物线，根据参数的几何意义可得．【详解】解：（1）由ρ（1-cos2θ）=8cosθ得ρ2-ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=8ρcosθ，∴x2+y2-x2+y2=8x，即y2=4x．由ρcosθ=1得x=1，由的M（1，2），N（1，-2），∴|MN|=4．（2）直线l的参数方程为：(t为参数)，联立直线l的参数方程与曲线C：y2=4x，得t2sin2α-4tcosα-8=0，设A，B两点对应的参数为t1，t2，则t1+t2=，t1t2=-，因为|PA|，|MN|，|PB|成等比数列，∴|PA||PB|=|MN|2=16，∴|t1||t2|=16，∴|t1t2|=16，∴=16，∴sin2α=，∵0≤α＜π，∴sinα=，∴α=或α=．【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，极坐标方程与普通方程转化的公式为；在解决直线与抛物线相交的问题时，有时利用直线参数方程的几何意义能优化运算过程，解题时应灵活应用。22.已知函数f（x）=2（a+1）lnx﹣ax，g（x）=﹣x（1）若函数f（x）在定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；（2）证明：若﹣1＜a＜7，则对于任意x1，x2∈（1，+∞），x1≠x2，有＞﹣1．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．分析；（1）先求出函数的定义域和f′（x），将条件利用导数与函数的单调性的关系，转化成f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，对a分类讨论，分别根据一次函数的图象与性质，求出实数a的取值范围；（2）利用二次函数的单调性判断出g（x）的单调性，不妨设x1＞x2把结论进行等价转化，变形构造恰当的函数h（x），求出h′（x）并根据a的范围判断出h′（x）的符号，得到函数h（x）的单调性，即可证明结论．解：（1）函数f（x）=2（a+1）lnx﹣ax的定义域是（0，+∞），∴=，∵函数f（x）在定义域内为单调函数，∴f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，则﹣ax+2（a+1）≥0或﹣ax+2（a+1）≤0在（0，+∞）上恒成立，①当a=0时，则有2≥0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数；②当a＞0时，函数y=﹣ax+2（a+1）在（0，+∞）上为减函数，∴只要2（a+1）≤0，即a≤﹣1时满足f′（x）≤0成立，此时a无解；③当a＜0时，函数y=﹣ax+2（a+1）在（0，+∞）上为增函数，∴只要2（a+1）≥0，即a≥﹣1时满足f′（x）≥0成立，此时﹣1≤a＜0；综上可得，实数a的取值范围是[﹣1，0]；证明：（2）g（x）=﹣x=在（1，+∞）单调递增，∵x1，x2∈（1，+∞），不妨设x1＞x2，∴g（x1）＞g（x2），∴等价于f（x1）﹣f（x2）＞﹣g（x1）+g（x2），则f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），设h（x）=f（