福建省三明市石碑职业中学高三数学理联考试题含解析

福建省三明市石碑职业中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对于函数，现给出四个命题，其中所有正确命题的序号是（

）①

时，为奇函数

②

的图像关于对称③

有且只有一个零点

④

至多有两个零点A

①④

B

①②③

C

②③

D

①②③④参考答案：B2.已知正六边形ABCDEF，下列向量的数量积最大的是

(

)A．

B.

C.

D.参考答案：A3.已知全集集合则等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略4.已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C．

D．参考答案：A由指数函数的性质可得由对数函数性质可得，，所以可得，故选A.

5.对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：【知识点】充分条件、必要条件A2【答案解析】A

非零向量，，∥推不出“+=0，+=0?““∥，由此可知“∥”是“+=0成立的充分不必要条件【思路点拨】非零向量，，∥推不出“+=0，+=0?““∥，由此可知“∥”是“+=0成立的充分不必要条件6.已知的三顶点坐标为,,,点的坐标为,向内部投一点,那么点落在内的概率为(

).

A.

B.

C.

D.参考答案：A略7.某次知识竞赛中，四个参赛小队的初始积分都是100分，在答题过程中，各小组每答对1题都可以使自己小队的积分增加5分，若答题过程中四个小队答对的题数分别是4道，7道，7道，2道，则四个小组积分的方差为（）A．50 B．75.5 C．112.5 D．225参考答案：C【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求四个小组积分的平均值，再求四个小组积分的方差．【解答】解：由已知得四个小组积分分别为：120，135，135，110，∴四个小组积分的平均值为==125，∴四个小组积分的方差为：S2=[2+2+2+2]=112.5．故选：C．8.已知O是△ABC所在平面上一点，满足||2+||2=||2+||2，则点O(

)A．在与边AB垂直的直线上 B．在∠A的平分线所在直线上C．在边AB的中线所在直线上 D．以上都不对参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据向量的减法分别设=，=，=，表示，利用数量积运算和题意代入式子进行化简，证出OC⊥AB．【解答】解：设=，=，=，则=，．由||2+||2=||2+||2，∴||2+||2=||2+||2，化简可得，即（））?=0，∴∴AB⊥OC．故选A．【点评】本题考查了向量在几何中应用，主要利用向量的线性运算以及数量积进行化简证明，证明垂直主要根据题意构造向量利用数量积为零进行证明．9.设函数，其中θ∈，则导数的取值范围是（

）A．[－2,2]

B．[，]

C．[，2]

D．[，2]参考答案：D略10.设全集为，集合，则(

)

参考答案：C，所以二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若向量,,则的最大值为

.参考答案：因为向量,,所以，所以，所以的最大值为9，因此的最大值为4.12.（5分）（2015?南昌校级模拟）已知一个正三棱锥P﹣ABC的正视图如图所示，若AC=BC=，PC=，则此正三棱锥的表面积为．参考答案：9【考点】：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：求正三棱锥的表面积即求三个侧面面积与底面面积的和，故求解本题需要求出底面三角形的边长，侧面上的斜高，然后求解表面积．解：由题设条件及主视图知底面三角形的边长是3，顶点到底面的距离是，故底面三角形各边上的高为3×=，令顶点P在底面上的投影为M，由正三棱锥的结构特征知M到三角形各边中点的距离是底面三角形高的，计算得其值为，故斜高为=，故此正三棱锥的表面积为：=9．故答案为：9．【点评】：本题考查由三视图求面积与体积，三视图的作图规则是主视图与俯视图长对正，主视图与侧视图高平齐，侧视图与俯视图是宽相等，本题是考查利用三视图的作图规则把三视图中的数据还原到原始图形中来，求面积与体积，做题时要注意正确利用三视图中所提供的信息．13.幂函数y=（m2﹣3m+3）xm过点（2，4），则m=

．参考答案：2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意得，由此能求出m=2．解：∵幂函数y=（m2﹣3m+3）xm过点（2，4），∴，解得m=2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的性质的合理运用．14.在中，已知，则=

.参考答案：15.在的二项展开式中，含x11的项的系数是

．参考答案：15【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】令二项展开式的通项中x的指数为11，求出r值，再计算系数．【解答】解：的二项展开式的通项为Tr+1==．由20﹣3r=11，r=3．含x11的项的系数是=15．故答案为：15．【点评】本题考查二项式定理的简单直接应用．牢记公式是前提，准确计算是关键．16.若向量a、b满足a＋b＝(2，－1)，a＝(1,2)，则向量a与b的夹角等于

参考答案：135°略17.观察下列各式：=3125，=15625，=78125，…，则的末四位数字为

.参考答案：3125三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.参考答案：（1）3人，2人，1人；（2）

【知识点】等可能事件的概率；频率分布直方图B4（1）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10．因为第3，4，5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：×6=3；第4组：×6=2；第5组：×6=1．所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人；（2）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，．第5组的1名志愿者为C;在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）(A1,C)，(A2,C)，(A3,C)，(B1,C)，(B2,C)，共有15种．其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中的有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），(B1,C)，(B2,C)，共有9种,所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为．【思路点拨】（1）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；（2）设出3组的人数符号，然后列出所有基本事件，求出基本事件的数目，满足题意的数目，求出所求概率即可．19.（本小题满分12分）某校高二年级共有学生1000名,其中走读生750名,住宿生250名,现从该年级采用分层抽样的方法从该年级抽取n名学生进行问卷调查.根据问卷取得了这n名同学每天晚上有效学习时间(单位:分钟)的数据,按照以下区间分为八组①[0,30),②[30,60),③[60,90),④[90,120),⑤[120,150),⑥[150,180),⑦[180,210),⑧[210,240),得到频率分布直方图如下.已知抽取的学生中每天晚上有效学习时间少于60分钟的人数为5人；（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；（2）如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：

利用时间充分利用时间不充分总计走读生502575住宿生101525总计6040100是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关？参考公式：参考列表：0.500.400.250.150.100.050.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024（3）若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望；参考答案：解：（1）设第i组的频率为Pi（i=1,2,…,8),则由图可知：P1=×30=,P2=×30=∴学习时间少于60钟的频率为：P1+P2=

由题n×=5∴n=100…(2分)又P3=×30=,P5=×30=,P6=×30=,P7=×30=,P8=×30=,∴P4=1-(P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8)=1-=1-=第④组的高度h=×==

频率分布直方图如图：（未标明高度1/120扣1分）……4分（2）K2=≈5.556由于K2>3.841,所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关………8分（3）由（1）知：第①组1人，第②组4人，第⑦组15人，第⑧组10人，总计20人。则X的所有可能取值为0，1，2，3P（X=i)=(i=0，1，2，3)∴P(X=0)===,P(X=1)====,P(X=2)====,P(X=3)====∴X的分布列为：P0123XEX=0×+1×+2×+3×===(或由X服从20，5，3的超几何分布，∴EX=3×=)…12分20.已知函数f（x）＝|x+2|﹣2|x﹣1|．（1）解不等式f（x）≤1；（2）若关于x的不等式f（x）＞ax只有一个正整数解，求实数a的取值范围．参考答案：(1)不等式的解集为{或};(2).试题分析：（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）作出函数与的图象，由图象可知当时，不等式只有一个正整数解.试题解析：（1）当时，，解得，∴；当时，，解得，∴；当时，，解得，∴.综上，不等式的解集为或.（2）作出函数与的图象，由图象可知当时，不等式只有一个正整数解，∴.21.（本小题满分14分）在三棱柱ABC—A1B1C1中，已知，，在底面的射影是线段的中点．（Ⅰ）证明：在侧棱上存在一点，使得⊥平面，并求出的长；（II）求二面角的余弦值．参考答案：【知识点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．G5G11答案（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）解析：(Ⅰ)证明:连接AO,再中,作于点E,因为,所以,因为,所以,所以,所以，又得.(Ⅱ)如图,分别以OA,OB,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则,由,得点E的坐标是,由(Ⅰ)知平面的一个法向量为设平面的法向量是,由得可取,所以.【思路点拨】(Ⅰ)连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，则E为所求．可以证出OE⊥BB1，BC⊥OE而得以证明．在RT中，利用直角三角形射影定理得出EO．(Ⅱ)如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A1B1C的法向量是，利用夹角求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值．22.（