专题03 求圆锥曲线的离心率及离心率的取值范围（模拟+真题）2024高考总复习压轴题教师版

第第页专题03求圆锥曲线的离心率或离心率的取值范围1．（2024上·吉林·高二校联考期末）已知双曲线：（，）的右焦点为F，右顶点为A，过点F作x轴的垂线，垂线与双曲线E的一个交点为P，的中点为Q，直线与直线（O为坐标原点）的交点在双曲线E上，则双曲线E的离心率为（

）A． B．3 C． D．2【答案】B【分析】利用双曲线通径的知识明确点P，Q的坐标，根据双曲线的对称性就可以得到B点坐标，再结合Q，A，B三点共线，用向量方法可求，的关系，得到离心率.【详解】易知，，不妨设，则．设直线与直线的交点为B，因为B在双曲线E上，所以B，P关于原点对称，即．因为Q，A，B三点共线，所以．因为，，所以，所以，．故选：B2．（2023上·山东济宁·高二济宁一中校考阶段练习）设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设，由椭圆定义和勾股定理得到，换元后得到，根据二次函数单调性求出，得到离心率的取值范围.【详解】设，，由椭圆的定义可得，，可设，可得，即有，①由，可得，即为，②由，可得，令，可得，即有，由，可得，即，则时，取得最小值；或4时，取得最大值.即有，得.故选：C【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有三种方法：①求出，代入公式；②根据条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围；③由题目条件得到离心率关于变量的函数，结合变量的取值范围得到离心率的取值范围.3．（2024上·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校联考期末）若双曲线（，）的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出渐近线方程，得到，从而得到离心率.【详解】由题意得的渐近线方程为，显然在上，故，故，即双曲线的离心率为.故选：A4．（2023上·高二单元测试）已知双曲线C：的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线l与双曲线C交于M、N两点，且，则双曲线C的离心率为（）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由题意，设出点M的坐标，结合所给信息可得，再利用斜率公式以及离心率公式进行求解即可．【详解】因为点M在双曲线C上，不妨设，因为，所以，故，即.因为双曲线C的左右顶点分别为，而点满足，所以，则双曲线C的离心率.故选：A5．（2024·吉林白山·统考一模）不与坐标轴垂直的直线过点，，椭圆上存在两点关于对称，线段的中点的坐标为．若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据点差法求出，再结合进行计算得出结果.【详解】设为坐标原点，在椭圆中，设，则，所以，因为关于对称，所以，所以，由线段的中点的坐标为，得出．所以，又，∴，即，又，∴，所以所求离心率为.故选：C．6．（2023上·江西宜春·高一校考阶段练习）已知双曲线()的左､右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】延长到且，延长到且，结合向量的线性关系知是的重心，根据重心和内心的性质，进而得到，由双曲线定义得到齐次方程，即可求离心率.【详解】如下图示，延长到且，延长到且，所以，即，故是△的重心，即，又，所以，而是的内心，则，由，则，故，即.故选：D【点睛】关键点睛：利用向量的线性关系构造重心，结合重心和内心的性质得到，再根据双曲线定义得到双曲线参数的齐次方程.7．（2024上·江苏·高三统考期末）已知反比例函数（）的图象是双曲线，其两条渐近线为x轴和y轴，两条渐近线的夹角为，将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线，由此可求得其离心率为.已知函数的图象也是双曲线，其两条渐近线为直线和y轴，则该双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据双曲线的性质，结合旋转即可求解.【详解】在第一象限内，函数的图象位于上方，由于和y轴是渐近线，所以两条渐近线之间的夹角，故，不妨将双曲线绕其中心旋转逆时针旋转,则可得到其焦点在轴上的双曲线，且两条渐近线之间的夹角，因此其中一条渐近线的倾斜角为，因此，进而可得故选：C.8．（2022上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）双曲线：的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】根据直线和圆相切列方程，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线的渐近线为，圆的圆心为，半径为，由于渐近线和圆相切，所以，解得.故选：B9．（2023·四川达州·统考一模）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线分别交双曲线左、右两支于，两点，是以为斜边的等腰直角三角形，则双曲线离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据双曲线定义结合等腰直角三角形的性质可得，，再利用余弦定理可得，即可得离心率.【详解】设，则，由双曲线定义可知，，则，又为等腰直角三角形，则，即，得，则，，在中，由余弦定理知，即，整理可得，所以，，故选：B.10．（2024上·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知得到，结合关系式即可求出结果.【详解】由题知等腰三角形的三边为，，，则，即有，解得.故选：D11．（2021·全国·统考高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设，由，因为，，所以，因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．故选：C．【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．12．（2021·全国·统考高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.13．（2023·全国·统考高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.【详解】由，得，因此，而，所以.故选：A14．（2023·天津·统考高考真题）双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.【详解】如图，

因为，不妨设渐近线方程为，即，所以，所以.设,则，所以，所以.因为,所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，解得，所以双曲线的方程为故选：D15．（2022·全国·统考高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】[方法一]：设而不求设，则则由得：，由，得，所以，即，所以椭圆的离心率，故选A.[方法二]：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：故，由椭圆第三定义得：，故所以椭圆的离心率，故选A.16．（2023上·湖北·高二湖北省咸宁高级中学校联考阶段练习）（多选题）已知曲线，其中，则下列结论正确的是（

）A．方程表示的曲线是椭圆或双曲线B．若，则曲线的焦点坐标为和C．若，则曲线的离心率D．若方程表示的曲线是双曲线，则其焦距的最小值为【答案】BCD【分析】通过的范围，判断曲线的形状，利用特例判断A，求出焦点的坐标，判断B，求出离心率的范围判断C，求出焦距判断D.【详解】对于选项A，当时，曲线，表示直线或，故选项A错误；对于选项B，当时，曲线方程为，可知曲线为焦点为和的椭圆，故选项B正确；对于选项C，当时，曲线方程为，因为，可得曲线为焦点在轴上的椭圆，，，则，所以离心率，因为，所以，故选项C正确；对于选项D，若方程表示的曲线是双曲线，因为曲线方程为，所以，即，故，所以，，所以，因为，所以，所以，故，所以，故焦距，所以其焦距的最小值为，故选项D正确.故选：BCD.17．（2024上·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）（多选题）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是（

）A．的方程为 B．的离心率为C．曲线经过的一个焦点 D．直线与只有一个公共点【答案】ACD【分析】由条件求出双曲线的方程，可依次判断各个选项.【详解】由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为，，把点代入，得，即双曲线的方程为，故A正确；由，得双曲线的离心率为，故B错误；取，得，曲线过点，故C正确；联立，化简得，，所以直线与只有一个公共点，故D正确．故选：ACD．18．（2023上·四川攀枝花·高二统考期末）设是双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点、，直线交双曲线于另一点，若，且，则双曲线的离心率为．【答案】/【分析】设为双曲线的左焦点，由题意画出图形，由已知结合双曲线的定义求解，，再由余弦定理列式求解双曲线的离心率即可．【详解】设为双曲线的左焦点，如图所示，

由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，∴，，而，所以，由双曲线的定义可知，，∴，，∵，∴，在中，由余弦定理知，即，化简得，∴（负值舍去）．故答案为：．19．（2023上·云南昆明·高二云南师大附中校考期末），分别为双曲线（，）左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率e的最大值是．【答案】3【分析】根据双曲线的定义，代入结合基本不等式可得当且仅当时取最小值为，再根据求解即可.【详解】，是左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，所以，代入得，当且仅当时取等号，即，又点P是双曲线左支上任意一点，所以，即，即.故答案为：320．（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为.【答案】【分析】利用双曲线的性质及余弦定理计算即可.【详解】因为倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，可知直线的倾斜角大于双曲线的一条渐近线的倾斜角，即，设，则，根据可知，在中，由余弦定理可知，即，则，故故答案为：21．（2023上·全国·高二专题练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2且斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，若满足，则椭圆的离心率为．【答案】/【详解】根据平面向量共线的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数、椭圆的离心率公式进行求解即可.【解答】设，由，设A（x1，y1），B（x2，y2），F2（c，0），设直线的方程为，代入椭圆的方程中，得，因为，所以有，而，所以有，于是有故答案为：22．（2024上·云南昆明·高二统考期末）已知双曲线：（，）的左、右焦点为，，过的直线与轴交于点，点在上，且满足，，则双曲线的离心率为.【答案】【分析】如图，设，，由，可得，，后由结合斜率公式可得，后将A点坐标代入，整理后可得答案.【详解】如图，设，，，，其中.由，则，则.又，则，将A点坐标代入，可得，则，又因，则.故答案为：23．（2020上·内蒙古赤峰·高三校联考期中）在平面直角坐标系中有双曲线，以原点为圆心，原点到双曲线的右焦点的距离为半径作圆，当时，两条渐近线与圆截得的扇形面积为，则双曲线的离心率为.【答案】/【分析】设渐近线的倾斜角为，由扇形面积得到方程，求出，从而得到，进而得到，得到离心率.【详解】设一条渐近线的倾斜角为，易知扇形的圆心角为.由题意得，.，.，则.由，得，双曲线的离心率为.故答案为：24．（2023上·河北石家庄·高二石家庄市第二十四中学校考期中）已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的离心率为．【答案】/【分析】根据题意求得双曲线的渐近线方程为，且右焦点的坐标为，得到，结合两条渐近线均与圆相切，列出方程求得，进而求得的值，即可求得双曲线的离心率.【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为，即，又由圆，可得圆心，半径为，因为右焦点与圆心重合，所以双曲线的右焦点的坐标为，即，又因为双曲线的两条渐近线均与圆相切，可得，即，解得，所以，所以双曲线的离心率为.故答案为：.25．（2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点F是双曲线（，）的右焦点，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，延长与双曲线的左支交于点B．若，则双曲线的离心率为．【答案】【分析】根据条件与向量的坐标表示，依次求出的坐标，代入双曲线方程即可得解.【详解】因为双曲线（，），不妨设其半焦距为，在轴上方，所以，满足题意的渐近线为，所以，则直线为，联立，解得，即，设，则由，得，则，即，即，因为点在双曲线上，所以，整理得，则.故答案为：.【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）．

26．（2022·全国·统考高考真题）（多选题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一

M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，所以，因为，所以在双曲线的左支，，，，设，由即，则，选A情况二若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，所以，，，设，由，即，则，所以，即，所以双曲线的离心率选C[方法二]：答案回代法特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点都在左支,，，则，特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点在左右两支，在右支，，，则，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，若分别在左右支，因为，且，所以在双曲线的右支，又，，，设，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以双曲线的离心率若均在左支上，同理有，其中为钝角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，故选：AC.27．（2022·全国·统考高考真题）（多选题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（

）A．直线的斜率为 B．C． D．【答案】ACD【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确.故选：ACD.28．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为．【答案】/【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；【详解】方法一：依题意，设，则，在中，，则，故或（舍去），所以，，则，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依题意，得，令，因为，所以，则，又，所以，则，又点在上，则，整理得，则，所以，即，整理得，则，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案为：.【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解.29．（2023·北京·统考高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为．【答案】【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答.【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，由双曲线的离心率为，得，解得，则，所以双曲线的方程为.故答案为：30．（2023·全国·统考高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为.【答案】【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可.【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，准线方程为