连续型随机变量

连续型随机变量3.1随机变量及分布函数一、分布函数的概念.定义

设X是随机变量，对任意实数x，事件{X

x}的概率P{X

x}称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即F(x)＝P{X

x}.

易知，对任意实数a,b(a<b),P{a<Xb}＝P{X

b}－P{X

a}＝F(b)－F(a).第2页,共70页，2024年2月25日，星期天二、分布函数的性质

1、单调不减性：若x1<x2,则F(x1)

F(x2);2、归一性：对任意实数x，0

F(x)

1，且

3、左连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。第3页,共70页，2024年2月25日，星期天一般地，对离散型随机变量X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…

其分布函数为

例设随机变量X具分布律如右表解

X012P0.10.60.3试求出X的分布函数。第4页,共70页，2024年2月25日，星期天例向[0,1]区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数解：

F(x)=P{X≤x}

当x<0时,F(x)=0;当x>1时,F(x)=1当0≤x≤1时,特别,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1第5页,共70页，2024年2月25日，星期天3.2连续型随机变量

一、概率密度

1.定义对于随机变量X，若存在非负函数f(x)，(-

<x<+

)，使对任意实数x，都有则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为X～f(x),(-

<x<+

)第6页,共70页，2024年2月25日，星期天密度函数的几何意义为第7页,共70页，2024年2月25日，星期天密度函数的性质(1)非负性

f(x)0，(-<x<)；

(2)归一性性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；

例设随机变量X的概率密度为求常数a.答:第8页,共70页，2024年2月25日，星期天(3)若x是f(x)的连续点，则例设随机变量X的分布函数为求f(x)第9页,共70页，2024年2月25日，星期天（4）对任意实数b，若X～f(x)，(-<x<)，则P{X=b}＝0。于是第10页,共70页，2024年2月25日，星期天二、几个常用的连续型分布1.均匀分布

若X～f(x)＝则称X在(a,b)内服从均匀分布。记作X~U(a,b)对任意实数c,d(a<c<d<b)，都有第11页,共70页，2024年2月25日，星期天例长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率1545解：设A—乘客候车时间超过10分钟X—乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)第12页,共70页，2024年2月25日，星期天2.指数分布

若

X～则称X服从参数为

>0的指数分布。其分布函数为第13页,共70页，2024年2月25日，星期天正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。3.正态分布ABA，B间真实距离为，测量值为X。X的概率密度应该是什么形态？第14页,共70页，2024年2月25日，星期天其中为实数，

>0，则称X服从参数为,2的正态分布,记为N(,2)，可表为X～N(,2).若随机变量第15页,共70页，2024年2月25日，星期天

(1)单峰对称

密度曲线关于直线x=对称； f()＝maxf(x)＝.正态分布有两个特性：第16页,共70页，2024年2月25日，星期天(2)

的大小直接影响概率的分布

越大，曲线越平坦，

越小，曲线越陡峻。正态分布也称为高斯(Gauss)分布第17页,共70页，2024年2月25日，星期天4.标准正态分布

参数＝0，2＝1的正态分布称为标准正态分布，记作X~N(0,1)。第18页,共70页，2024年2月25日，星期天分布函数表示为其密度函数表示为第19页,共70页，2024年2月25日，星期天一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅

(x)的值。(P226附表1)如，若Z~N（0，1）,

（0.5)=0.6915,P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066注：(1)(x)＝1－(－x)；(2)若X～N(,2)，则第20页,共70页，2024年2月25日，星期天例设随机变量X~N(-1,22),P{-2.45<X<2.45}=?例设

X

N(

,

2),求

P{

-3

<X<

+3

}本题结果称为3

原则.在工程应用中，通常认为P{|X|≤3}≈1，忽略{|X|>3}的值.如在质量控制中，常用标准指标值±3

作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报.表明生产出现异常.第21页,共70页，2024年2月25日，星期天3.3多维随机变量及其分布二维随机变量联合密度边际密度相互独立的随机变量第22页,共70页，2024年2月25日，星期天设(X,Y)是二维随机变量，(x,y)

R2,则称F(x,y)=P{X

x,Y

y}为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。联合分布函数几何意义：分布函数F()表示随机点(X,Y)落在区域中的概率。如图阴影部分：第23页,共70页，2024年2月25日，星期天对于(x1,y1),(x2,y2)

R2,(x1<

x2，y1<y2),则P{x1<X

x2，y1<y

y2}＝F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1).(x1,y1)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)第24页,共70页，2024年2月25日，星期天分布函数F(x,y)具有如下性质：且(1)归一性

对任意(x,y)

R2,0

F(x,y)

1,第25页,共70页，2024年2月25日，星期天

(2)单调不减

对任意y

R,当x1<x2时，F(x1,y)

F(x2,y)；对任意x

R,当y1<y2时，F(x,y1)

F(x,y2).(3)右连续

对任意x

R,y

R,

第26页,共70页，2024年2月25日，星期天(4)矩形不等式

对于任意(x1,y1),(x2,y2)

R2,(x1<

x2，y1<y2),F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1)0.反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。第27页,共70页，2024年2月25日，星期天例已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为1)求常数A，B，C。2)求P{0<X<2,0<Y<3}解:第28页,共70页，2024年2月25日，星期天二维连续型随机变量及其密度函数1、定义

对于二维随机变量(X,Y)，若存在一个非负可积函数f(x,y)，使对

(x,y)R2，其分布函数则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为(X,Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函数，可记为

(X,Y)～f(x,y)，(x,y)R2第29页,共70页，2024年2月25日，星期天2、联合密度f(x,y)的性质(1)非负性：f(x,y)

0,(x,y)

R2;(2)归一性：

反之，具有以上两个性质的二元函数f(x,y)，必是某个二维连续型随机变量的密度函数。此外，f(x,y)还有下述性质(3)若f(x,y)在(x,y)

R2处连续，则有第30页,共70页，2024年2月25日，星期天(4)对于任意平面区域G

R2,例设求:P{X>Y}G第31页,共70页，2024年2月25日，星期天

3.两个常用的二维连续型分布

(1)二维均匀分布(p45)

若二维随机变量(X,Y)的密度函数为则称(X,Y)在区域D上(内)服从均匀分布。易见，若（X，Y）在区域D上(内)服从均匀分布，对D内任意区域G，有第32页,共70页，2024年2月25日，星期天其中，

1、2为实数，

1>0、

2>0、|

|<1，则称(X,Y)服从参数为

1,2,1,2,的二维正态分布，可记为

(2)二维正态分布N(

1,2,1,2,)

若二维随机变量(X,Y)的密度函数为(P101)第33页,共70页，2024年2月25日，星期天分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。事实上，对n维随机变量(X1,X2,…,Xn)，F(x1,x2,…,xn)＝P(X1

x1,X2

x2,…,Xn

xn)称为的n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数，或随机变量X1,X2,…,Xn的联合分布函数。定义n维随机变量(X1,X2,...Xn)，如果存在非负的n元函数f(x1,x2,...xn)使对任意的n元立方体第34页,共70页，2024年2月25日，星期天定义若(X1,X2,...Xn)的全部可能取值为Rn上的有限或可列无穷多个点，称(X1,X2,...Xn)为n维离散型的，称P{X1=x1,X2=x2,...Xn=xn}，(x1,x2,...xn)为n维随机变量(X1,X2,...Xn)的联合分布律。则称(X1,X2,...Xn)为n维连续型随机变量，称f(x1,x2,...xn)为(X1,X2,...Xn)的概率密度。第35页,共70页，2024年2月25日，星期天FY(y)＝F(+

,y)＝＝P{Yy}称为二维随机变量(X,Y)关于Y的边际分布函数.

边际分布与独立性

边际分布函数FX(x)＝F(x,+

)＝＝P{X

x}称为二维随机变量(X,Y)关于X的边际分布函数；边际分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低维分量的分布。第36页,共70页，2024年2月25日，星期天边际密度函数为(X,Y)关于Y的边际密度函数。设(X,Y)～f(x,y),(x,y)

R2,则称为(X,Y)关于X的边际密度函数；同理，称易知N(

1,2,12,22,)的边际密度函数fX(x)是N(

1,12)的密度函数，而fX(x)是N(

2,22)的密度函数，故二维正态分布的边际分布也是正态分布。第37页,共70页，2024年2月25日，星期天随机变量的相互独立性定义称随机变量X与Y独立，如果对任意实数a<b,c<d，有p{a<X

b,c<Y

d}=p{a<X

b}p{c<Y

d} 即事件{a<X

b}与事件{c<Y

d}独立，则称随机变量X与Y独立。定理随机变量X与Y独立的充分必要条件是

F(x,y)=FX(x)FY(y)第38页,共70页，2024年2月25日，星期天定理设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y)定理设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为Pi,j=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,...，则X与Y独立的充分必要条件是对任意i,j，Pi,j=Pi

.P

j。由上述定理可知，要判断两个随机变量X与Y的独立性，只需求出它们各自的边际分布，再看是否对(X,Y)的每一对可能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可第39页,共70页，2024年2月25日，星期天定义.设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为F(x1,x2,...xn),(X1,X2,...Xn)的k（1k<n)维边际分布函数就随之确定，如关于(X1,X2）的边际分布函数是FX1,X2（x1,x2,)=F(x1,x2,,...)若Xk的边际分布函数为FXk(xk),k=1,2,…,n,n维随机变量的边际分布与独立性

则称X1,X2,...Xn

相互独立，或称(X1,X2,...Xn)是独立的。第40页,共70页，2024年2月25日，星期天对于离散型随机变量的情形，若对任意整数i1,i2,…,in及实数有则称离散型随机变量X1,X2,…,Xn相互独立。

设X1，X2，…，Xn为n个连续型随机变量，若对任意的(x1,x2,…,xn)

Rn，f(x1,x2,…,xn)＝fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn)几乎处处成立，则称X1，X2，…，Xn相互独立。第41页,共70页，2024年2月25日，星期天定义设n维随机变量(X1,X2,...,Xn)的分布函数为FX(x1,x2,...,xn)；m维随机变量(Y1,Y2,…,Ym)的分布函数为FY(y1,y2,…ym),X1,X2,...,Xn,Y1,Y2,…,Ym组成的n+m维随机变量（X1,X2,...,Xn,Y1,Y2,…,Ym)的分布函数为F（x1,x2,...,xn,y1,y2,…,ym).如果F（x1,x2,...xn,y1,y2,…ym).=FX(x1,x2,...xn)FY(y1,y2,…ym)则称n维随机变量(X1,X2,...Xn)与m维随机变量(Y1,Y2,…Ym)独立。第42页,共70页，2024年2月25日，星期天定理设(X1,,X2,…,Xn)与(Y1,Y2,…，Ym)相互独立，则Xi(i=1,2,…,n))与Yi(i=1,2,…,m)相互独立；又若h,g是连续函数，则h(X1,,X2,…,Xn)与g(Y1,Y2,…，Ym)相互独立.第43页,共70页，2024年2月25日，星期天多个随机变量函数的密度函数1、一般的方法：分布函数法若(X1,X2,…,Xn)~f(x1,x2,…,xn),(x1,x2,…,xn)Rn,Y=g(X1,X2,…,Xn),则可先求Y的分布函数:然后再求出Y的密度函数:第44页,共70页，2024年2月25日，星期天2、几个常用函数的密度函数(1)和的分布已知(X,Y)～f(x,y),(x,y)

R2,求Z＝X＋Y的密度。

zx+y=z

x+yz

若X与Y相互独立，则Z＝X＋Y的密度函数

第45页,共70页，2024年2月25日，星期天例设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从N（0，2）分布。一般地，设随机变量X1,X2，...,Xn独立且Xi服从正态分布N(

i,i2),i=1,...,n,则第46页,共70页，2024年2月25日，星期天(2)商的分布已知(X,Y)～f(x,y),(x,y)

R2,求Z＝的密度。

y

G1

0x

G2特别，当X，Y相互独立时，上式可化为

其中fX(x),fY(y)分别为X和Y的密度函数。

第47页,共70页，2024年2月25日，星期天

3、极大(小)值的分布设X1,X2,…,Xn相互独立，其分布函数分别为F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)，记M＝max{X1,X2,…,Xn},N＝min{X1,X2,…,Xn}则，M和N的分布函数分别为：FM(z)＝F1(z)…Fn(z)第48页,共70页，2024年2月25日，星期天

特别，当X1,X2,…,Xn独立同分布(分布函数相同)时，则有FM(z)＝[F(z)]n;FN(z)＝1－[1－F(z)]n.进一步地，若X1,X2,…,Xn独立且具相同的密度函数f(x)，则M和N的密度函数分别由以下二式表出fM(z)＝n[F(z)]n－1f(z)；fN(z)＝n[1－F(z)]n－1f(z).

第49页,共70页，2024年2月25日，星期天

3.4随机变量函数的分布

连续型随机变量函数的密度函数

1、一般方法

若X~f(x),-<x<+,Y=g(X)为随机变量X的函数，则可先求Y的分布函数

FY(y)

＝P{Yy}＝P{g(X)y}＝

然后再求Y的密度函数此法也叫“

分布函数法”第50页,共70页，2024年2月25日，星期天2、公式法：一般地若X～fX(x),y=g(x)是单调可导函数，则

注：1、只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数。2、注意定义域的选择其中h(y)为y＝g(x)的反函数.第51页,共70页，2024年2月25日，星期天3.5随机变量的数字特征随机变量的数学期望随机变量的方差随机变量的协方差和相关系数第52页,共70页，2024年2月25日，星期天定义若X~f(x),-<x<,

为X的数学期望.则称

一.数学期望的定义数学期望——描述随机变量取值的平均特征第53页,共70页，2024年2月25日，星期天例若随机变量X服从拉普拉斯分布，其密度函数为试求E(X).解第54页,共70页，2024年2月25日，星期天二.几个重要r.v.的期望1.均匀分布U(a,b)第55页,共70页，2024年2月25日，星期天2.指数分布第56页,共70页，2024年2月25日，星期天3.正态分布N(

,

2)第57页,共70页，2024年2月25日，星期天

定理若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,则Y=g(X)的期望E(g(X))为

推论:若(X,Y)～P{X=xi,Y=yj,}=pij,i,j=1,2,…,则Z=g(X，Y)的期望三.随机变量函数的期望第58页,共70页，2024年2月25日，星期天定理若X~f(x),-<x<,则Y=g(X)的期望推论若(X,Y)~f(x,y),-<x<,-<y<,则Z=g(X,Y)的期望第59页,共70页，2024年2月25日，星期天1.均匀分布U(a,b)：2.指数分布：3.正态分布N(

,

2)：二.几个重要r.v.的方差第60页,共70页，2024年2月25日，星期天三.切比雪夫不等式若r.v.X的期望和方差存在，则对任意0，有这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。

它有以下等价的形式：第61页,共70页，2024年2月25日，星期天

协方差，相关系数

一.协方差定义与性质

1.协方差定义若r.v.X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,则称COV(X,Y)=E{[X

E(X)][Y

E(Y)]}.为X与Y的协方差,

易见COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).

当COV(X,Y)=0时，称X与Y不相关。？“X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？第62页,共70页，2024年2月25日，星期天例设(X,Y)在D={(X,Y)：x2+y2

1}上服从均匀分布，求证：X与Y不相关，但不是相互独立的。2.协方差性质

(1)COV(X,Y)=COV(Y,X);(2)COV(X,X)=D(X);COV(X,c)=0(3)COV(aX,bY)=abCOV(X,Y),其中a,b为常数；(4)COV(X+Y，Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);(5)