考研数学公式手册随身看

目录

一、高等数学.............................................1

（一）函数、极限、连续...........................1

（-）一元函数微分学.............................5

（三）一元函数积分学.............................16

（四）向量代数和空间解析几何....................24

（五）多元函数微分学.............................33

（六）多元函数积分学.............................40

（七）无穷级数...................................46

（八）常微分方程.................................54

二、线性代数............................................60

（一）行列式....................................60

（二）矩阵........................................61

（三）向量.......................................64

（四）线性方程组.................................68

（五）矩阵的特征值和特征向量.....................70

（六）二次型......................................72

三、概率论与数理统计...................................74

（一）随机事件和概率.............................74

（二）随机变量及其概率分布.......................79

（三）多维随机变量及其分布.......................81

（四）随机变量的数字特征.........................85

（五）大数定律和中心极限定理.....................88

（六）数理统计的基本概念.........................89

（七）参数估计...................................92

（八）假设检验...................................95

经常用到的初等数学公式.................................98

平面几何.......................................103

一、高等数学

(-)函数、极限、连续

考试内容公式、定理、概念

函数：设有两个变量冗和y,变量元的定义域为。，如果对

函数和隐于。中的每一个r值，按照一定的法则，变量y有一

函数个确定的值与之对应，则称变量y为变量x的函数，

记作：y=f(x)

基本初等函数包括五类函数：

1幕函数：y=x"(McR)；

基本初等

2指数函数y=a，(a>0且awl)；

函数的性

3对数函数：y=logx(a>0且axl)；

质及其图a

4三角函数：如y=sinx,y=cosx,y=tanx等；

形，初等

5反三角函数：如

函数，函

y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx等.

数关系的

建立：初等函数：由常数C和基本初等函数经过有限次四则运算与

有限此复合步躲所构成，并可用一个数学式子表

示的函数，称为初等函数.

数列极限1lim/(x)=A<=>/l(x0)=fSxn)=A

1

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与函数极2lim/(x)=A<=>f(x)=A+a(x),其中lima(x)=0

XT%Q.1%

限的定义

3(保号定理)

及其性

设limf(x)=A,又<>。(或A<0),则三一个3>0,

』

质，函数XT

双Q曰小时,或

的左极限G(%-3,X+8\x*f(x)>0(f(x)<0)

与右极限

设limaCx)=0,lim/7(x)=0

⑴若1加幽=0,则a(x)是比£(x)高阶的无穷小，

队心

无穷小和记为a(x)=o(2(x)).

无穷大的⑵若lim里a=oo,则a(x)是比4(x)低阶的无穷小，

£(x)

概念及其

关系，无(3)若lim孚*=c[cw0),则a(x)与77(x)是同阶无穷小，

队心

穷小的性

(4)若lim券=1,则a(x)与/x)是等价的无穷小，

质及无穷

小的比较

记为a(x)L夕(x)

(5)若lim2*=c(c*0),k>0,则a(x)是£(x)的k阶无穷小

夕(x)

常用的等阶无穷小：当xr0B寸

0;2

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sin冗

arcsinx

1-cosX□—X2

tanx

arctanx

(l+x)n-W-x

ln(l+x)n

eK-l

无穷小的性质

(1)有限不・无穷小的代数和为无穷小

(2)有限4一无穷小的乘积为无穷小

(3)无穷小,乘以有界变量为无穷小

Th在同一变化趋势下，无穷大的倒数为无穷小；非零的无

穷小的倒数为无穷大

limf(x)=Alimg(x)=8.则

(1)lim(/(x)±g(x))=A±3；

极限的四

则运算(2)lim/(x)g(x)=AHJB;

(3)lim^-^=-(B^0)

g(x)B

极限存在1(夹逼定理)设在天)的邻域内，恒有

且lim(p(x)=lim火x)=A,贝!jlimf(x)=A

的两个准XT与X->XoX->X^

则：单调2单调有界定理：单调有界的数列必有极限

3

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有界准则3两个重要极限：

和夹逼准sinx11

(1)lim----=1(2)lim(l+x);=e

则，两个X.r->0

重要极

—,n=m

b。

限：重要公式：lim%x"+qx"+…+“"/+4=,

0,n<m

m

~box+b,x"+.­•+bm_,x+b,„

8,n〉m

4几个常用极限特例

冗

lim标=1,lvimarctanx=—

w->ocXf+oo2

..71

limarctanx=—limarccotx=0,

-2A--H-OO

limarccotx=乃limev=0,

X—>-00

lime"=oo,limxx-1,

XT+O*

函数连续

连续函数在闭区间上的性质：

的概念：

（1）（连续函数的有界性）设函数“X）在［a,可上连续，则

函数间断

/W

点的类

在［“，句上有界，即三常数M>0,对任意的xe,,可，恒有

型：初等

函数的连

4

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续性：闭(2)(最值定理)设函数/(x)在[“向上连续，则在小句上

区间上连/(X)至少取得最大值与最小值各一次，即三4力使得：

续函数的

/((=翳{〃砌,欠可；

性质

/(7)=min{/(x)},r)^[a,b\.

(3)(介值定理)若函数f(x)在&可上连续，〃是介于/(«)

与

f(b)(或最大值M与最小值机)之间的任一实数，则在k可

上至少三一个-使得/⑷=〃.(a<^<b)

(4)(零点定理或根的存在性定理)设函数/(x)在上

连

续，且/(a)-〃b)<0,则在(°㈤内至少三一个久使得

/⑶=0.(a<*b)

(二)一元函数微分学

考试内容对应公式、定理、概念

导数和微1导数定义：/，(％)=lim以金匕3(1)

Z。□%

分的概念

或_®）=iim小匕卫2（2）

左右导数

NT1qX-XQ

5

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导数的几2函数/(X)在与处的左、右导数分别定义为:

何意义和左导数：

物理意义

j_(x0)=lim--------------=hm---------,(^=A^+Ax)

Axx-xQ

右导数：fM=lim"%+»7(x。)=iimF(x)-2

X-X()

Thl：函数/(x)在/处可微=/(x)在不处可导

函数的可

Th2：若函数y=/(x)在点与处可导，则y=/(x)在点X。处

导性与连

连续，反之则不成立.即函数连续不一定可导.

续性之间

Th3：广(%)存在=£(%)=4(%)

的关系，

设函数/'。)在*=X。处可导，贝！J/(x)在M(%,%)处的

平面曲线

的切线和切线方程：y-y0^f\x0)(x-x0)

法线

法线方程：y-y()=、(xxa),f(xo)*O.

fUo)

四则运算法则：设函数〃=〃(x),v=v(x)在点X可导则

导数和微

(1)(〃±y)'="‘土MJ(w±v)=du±dv

分的四则

(2)(〃□)'=uv'+vud(uv)=udv+vdu

运算，初

等函数的⑶(与，=2^(叱0)心二吗也

VVVV

导数，

基本导数与微分表

6

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(1)y=c(常数)y=0dy=0

(2)y=x"(a为实数）y-ax-dy=axa~{dx

(3)y=axyr=axInady=axInadx

特例(e)=e'd(ex)=exdx

,1

(4)ay=----dx

xlnax\na

特例y=\nx(Inx)z=—d(lnx)=­dx

XX

(5)y=sinxyr=cosxd(sinx)=COSAZZT

(6)y=cosxy，=-sinxJ(cosx)=-sinAz/r

v，一]_22

(7)y=tanxy一)一socevcAd(tanx)=secxdx

COSX

(8)y=cotxy=----=-esc2Ad(cotx)=-esc2xdx

sin2x

(9)y=secx/=secxtanxd(secx)=secxtanAA

(10)y=cscx/=-cscxcotxd(cscx)=-escxcotxdx

(11)y=arcsinx/=d(arcsinx)--J-dx

-71-x2>J\-x2

,1

(12)y=arccosxy—।---

yj\-x2

d(arccosx)=-idx

7i-1?

7

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(13)y=arctanxyr=—二J(arctanx)=—二公

l+x~\+x~

(14)y=arccotx/=----二t/(arccotx)=----二dx

1+/1+d

(15)y—shxy'=chxd(shx)-chxdx

(16)y=chxyr=shxd(chx)=slvcdx

1反函数的运算法则：设y=在点x的某邻域内单调连

续，在点x处可导且广(X)HO,则其反函数在点x所对应的

y处可导，并且有孚=」-

复合函dxdx

数，反函dy

数，隐函2复合函数的运算法则：若〃=玄幻在点工可导，而y=/(//)

数以及参在对应点〃(//=(p(x))可导，则复合函数y=/(0(无))在点x

数方程所可

确定的函导，且y'=/'(〃)■研X)

数的微分

3隐函数导数生的求法一般有三种方法：

法，dx

(1)方程两边对x求导，要记住y是X的函数，则y的函数

是

x的复合函数.例如J，Iny,e"等均是x的复合函数.

y

8

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对X求导应按复合函数连锁法则做.

⑵公式法.由=0知；=_，其中，6.(x,y),

dxFv(x,y)

Fy(xty)分别表示”(x,y)对x和y的偏导数

(3)利用微分形式不变性

常用高阶导数公式

(1)(优)(a>0)(e')(n,=ev

(2)(sin依)(">=2"sin(依+”•夕

高阶导

数，一阶(3)(coskx)(n)=kncos(Ax+/?~)

微分形式

(4)3"严=m(m-Y)--(m-n+W

的不变

性，(5)(Inx)⑺

(6)莱布尼兹公式：若〃(x),u(x)均〃阶可导，则

(“»")=,其中"8=U,l/°>=V

i=0

微分中值Thl(费马定理)若函数f(x)满足条件：

定理，必(1)函数/(无)在/的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒

达法则，有

泰勒公式

/(X)<f(x0)或/(x)>f(x0),

9

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,

(2)/(x)在可处可导，则有/(xo)=O

Th2(罗尔定理)设函数/(无)满足条件：

(1)在闭区间口,加上连续；

⑵在3⑼内可导,则在3,6)内m一个4,使rc)=o

Th3(拉格朗日中值定理)设函数/(X)满足条件：

(1)在团向上连续；(2)在(。/)内可导；则在(a,/?)内三一

个4，使叱-f0=',©

b-a

Th4(柯西中值定理)设函数/(X),g(x)满足条件：

⑴在［a向上连续；⑵在(“⑼内可导且/'(x)，g'(x)均存

在，且g'(x)r0则在(a,力内三一个自，使

于⑥一于(G尸(》

gS)-g(a)g&)

洛必达法则：

法则I(《型)设函数〃x),g(x)满足条件：

lim/(x)=0,limg(x)=0;/(x),g(x)在9的邻域内可导

(在/处可除外)且g〈x)w0;lim/J?存在(或8).则

fg(x)

r/(力f,(x)

hm—=lim—

10

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法则I'（《型）设函数〃x）,g（x）满足条件：

lim/（x）=0,lim,g（x）=0；3一个X>0,当国〉X

时，/（x），g（x）可导，且g'（R）wO;lim存在（或oo）.则

…g3

lim=hm-

（犬）xf"g（x）

法则n（三型）设函数〃x）,g（x）满足条件：

limf（x）=oo,lim（x）=oo；/（x）,^（x）在飞的邻域内可

XT与

导（在/处可除外）且，（x）#0；lim44存在（或8）.则

I。g（X）

lim42=lim44.同理法则ir（艺型）仿法则r可写出

Kf"g（N）XT&g（X）8

泰勒公式：设函数/（X）在点/处的某邻域内具有77+1阶导

数，则对该邻域内异于今的任意点X,在与与元之间至少三

一个g,使得

/（x）=f（%0）+1（%0）（十一%）+、/"（Xo）（X一项））2T-----

+/""（『）"_二）"+凡（X）

n\

II

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其中R“(x)=L")*-/严称为/*)在点/处的“

阶泰勒余项.令/=0,则”阶泰勒公式

/(%)=/(o)+/'(0)x+=r(O)x2+-..+/“‘，)x"+R”(x)

2!nl

……⑴

其中R(x)=k'⑹"J在0与x之间.(1)式称为麦

〃5+1)!

克劳林公式

常用五种函数在%=0处的泰勒公式

ev=1+x+—x2+•••+—+----涉

2!n\5+1)!

，1

或=14-X+X2H---------+O{X)

W+1

.13X"."IX.,z〃+1、

sinx=x---xH----1---sin----1-------sin(<d------4)

3!n\2(〃+l)!2

n

前13X.riTT/〃、

%—x---x+•,,H---sin---Fo(^x)

3!n\2

nn+i

11cxn/rx/=n+1、

COSX=1---------+•••H----------------COS----------1-------------------COS(<fH--------------7F)

2!n\25+1)!2

或=1--x2+•••+—cos—+(?(xN)

2!n\2

12

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]n(l+x)・八+"..•+”《+(T)”「

23n(7i+l)(l+^)n+,

W

或="—工*2+lx3-----+(—)1—+6>(X)

23n

帆(加-1)・一(6一〃+1)“

(1+x)=1+mx4-----------x2d-----1---------------------------x

2!n\

।m(m-l)・・・(m-L+l)x〃+i।।或

(〃+l)!*

、m.-1)

(Z1+x)=1+nixd-------------x2H----

2!

+汨神一1”..(加-一+1)”

n\

函数单调

1函数单调性的判断：

性的判

别，函数Thl设函数/（x）在（a,。）区间内可导，如果对Vx€（a,。），都

的极值，有尸（x）＞0（或/'（x）＜0）,则函数/（x）在（。/）内是单调增

函数的图加的（或单调减少）

形的凹凸

Th2（取极值的必要条件）设函数f（x）在与处可导，且在

性，拐点

玉,处取极值，则/&）=0.

及渐近

线，用函Th3（取极值的第一充分条件）设函数/（x）在％的某一邻

数图形描域内可微，且/'（%）=0（或/（X）在/处连续，但/'（x。）不

绘函数最存在.）

大值和最

13

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小值，⑴若当X经过X。时,尸(X)由“+”变则/(%)为极大

值；

⑵若当x经过吃时，/'(X)由变“+”，则f(x0)为极小

值；

(3)若f'(x)经过的两侧不变号，则/(%)不是极值.

Th4(取极值的第二充分条件)设/(x)在点/处有

/"(x)wO,且/(%)=0,则当/”(x0)<0时，/(无)为极大

值；

当了”(毛)>0时，/(%)为极小值.

注：如果尸'迷尸0,此方法失效.

2渐近线的求法：

⑴水平渐近线若lim/(x)=b,或limf(x)=b，则y=£>

.r—>4<ox—^—,K

称为函数y=的水平渐近线.

(2)铅直渐近线若】im/(x)=co,或lim/(x)=oo,则

★二毛

14

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称为y=/(©的铅直渐近线.

(3)斜渐近线若〃=lim""),Z?=lim[/(x)-or],贝《

XT8XX-^O

y=or+b称为y=f(x)的斜渐近线

3函数凹凸性的判断：

Thl(凹凸性的判别定理)若在I上尸3<0(或/"。)>0),

则/(X)在I上是凸的(或凹的).

Th2(拐点的判别定理D若在/处/"(x)=0,(或尸(x)不存

在)，当X变动经过刊时,尸,(X)变号，则(%,/(%>))为拐点.

Th3(拐点的判别定理2)设/(x)在/点的某邻域内有三阶

导数，且1r(x)=0,尸"(x)wO,则(XoJ(x。))为拐点

L弧微分：dS=J+y，2dx

弧微分，

2.曲率：曲线y=/(x)在点(x,y)处的曲率攵=———[.

曲率的概(i+y'2产

念，曲率

对于参数方程[户外)，⑺一婢')"5

半径

3.曲率半径：曲线在点M处的曲率4(ZwO)与曲线在点M

15

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处的曲率半径P有如下关系：P=p

（三）一元函数积分学

考试内容对应公式、定理、概念

原函数和基本性质

不定积分1Jkf(x)dx=AJf(x)dx(左W0为常数)

的概念，

2J"(x)土力(x)土…±£(x)]dx="(x心土/力⑴公土…土"(x心

不定积分

3求导：[Jf(x)段T=/(x)或微分：djf(x)dx=f(x)dx

的基本性

质4]小(外公=尸(%)+。或JjF(x)=F(x)+C(C是任意常数)

[xkdx=—xk+l+C

Jk+1

J--dx=----FCJ--j=sdx=2,x/x+C

基本积分

=ln|x|+C

公式

X

Javrfr=—+C(。＞0,。01)jevdr=ev+C

jcosxdx=sinx+Cjsinxt£r=-cosx+C

16

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―\—dx=[sec2xdx=tanx+C

cos'x'

xdx=-cotx+C

sin2x

escxdx=ln|cscx-cotx|+C

[---dx=fsecAz/v=ln|secx+tanx|+C

JcosxJ

jsecxtanxdx=secx+Cjcscxcotxdr=-cscx+C

tanxdx=-In|cosx|+Cjcotxdx=In|sinx\+C

dx1xdx「

=­arctan—+C------=aictanx+C

a1+JT

「dx

-------nrrcin—4-r=arcsinx+C

2a

1

lna+xfdx\+x

-2~2ahl+C+C

a—xJl-x22

22

=ln|x+7^±«|+C

重要公式

(1)设/*(%)在［-/,/］上连续，则

fMdx=[/(x)+f{-x)]dx

17

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O,当/Xx)为寄函数

=V

当/Xx)为偶函数

皂以T为周期的连续函数，a为任意实数，

(2)即(X)7

Ca+TT

Jf(x)dx=J；f(x)dx=[3/(x)公.

Ja

-2

(3)J(y/a2—x1dx=:ra?

上1仁2...当〃为偶数

nnn—222

(4)j：sin"x,Zr=cos"xdx'

士」Q…2□，当〃为奇数

,nn—23

r.(7T,n=m

(5)「s\nnxcosiwcdx=[sinnxcostnxdx=〈

J-灯JO[0,n^m

f"sinnxcosmxdx=f"siiifixcosmxdx=0

J-兀Jo

Yr2n(7T,n=m

cosnxcosrnxdx=cosnxcosmxdx=0=〈

Jo[0,n^m

1.定积分的基本性质

定积分的

⑴定积分只与被积函数和积分限有关，而与积分变量无关，即

概念和基

「/(x)&1/⑺波=「/("M”=…

本性质，JaJaJa

定积分中(2)J：f(x)dx=-J；f(x)dx

值定理

(3)Jdx=b-a

18

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(4)1"(x)土g(x)a=ff{x)dx±『g(x)公

JaJaJa

(5)fkf(x)dx=k\f(x)公(人为常数)

JaJa

(6)[〃x)，Zv=[f(x)dx+Cf(x)dx

JaJaJc

⑺比较定理：设/'(X)(&(工),工£[4向,则//3公《/g(X)rfx.

JuJa

推论：1.当/'(x)20,时j"/(x)clr20;

(8)估值定理:设加4/(x)4M,xem,切,其中也M为常数，则

m(b-a)<\hf{x)dx<M(b-a)

Ja

(9)积分中值定理：设/(x)在[a,勿上连续，则在[a力]上至少三一个,

使，/(x)公=3-a)/G)

/©)=」一Cfixydx-----平均值公式

b-aJa

积分上限Thl

的函数及设函数/Xx)在[a,句上连续，b],则变上限积分

F(x)=[/«)力对x可导

其导致，Ja

牛顿——且有尸'(x)=；尸(X)=乡d'f(t)dt)=/(X)

Ja

莱布尼兹axax

公式推论1设尸(x尸力，则尸(x)=f[(p{x}Y2p\x).

19

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推论2(r'1

J4(x)

推论3(J：”'/(f)g(x)%)；=(g(x)J：”'f(t)dtyx

=g+g(x)f[^(x)]np\x)

Th2设/1(x)在[a㈤上连续,xe[a,6],则

「f(x)&是/Xx)在[a,句上的-一个原函数

Th3牛顿-莱布尼茨公式:即(幻在[a,加上连续，尸(幻

是/(X)的原函数，则J"/(x)加=尸3匕=尸(6)-尸(a)

1不定积分：

分部积分法：=或选择U,dv的原则：积分容

易者选作dv,求导简单者选为u

不定积分换元积分法：设Jf{u}du=产(“)+C,

和定积分

则J/l0(x)]0'(x)公=Jyiwx)]"0(x)

的换元积

设"=(p{x)\f(u)du-F(w)+C=F[(p{x)}+C

分法与分

部积分法2.定积分

换元法：

设函数/1(x)在[a,上连续，若x=g)满足：

⑴。⑺在[a,0]上连续,且。⑺rO.

20

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(2)o(a)="j(/?)=A并且当［在［a,4］上变化时，

以力的值在［a,瓦1上变化，则

JafMdx=JJa八3⑺13

分部积分公式

设“(X),v(x)在［a,b］上具有连续导函数〃'(x),v'(x),则

Ju{x}v\x)dx=M(X)V(JC)—£v{x}u\x)dx

3.定积分不等式证明中常用的不等式

(1)/+从22岫(2)a>0,a+->2

a

(3)柯西不等式：

(£f(x)g(x)dx)24(j,7(尤)对「(J：g2(x)时，

其中/(x),g(x)在［a,b］上连续

有理函1.三角函数代换

数，三角函数/(X)含根式所作代换三角形示意图

函数的有

/22

理式和简y]a~-Xx=asint

单无理函切-X?

数的积

Ja2+x2x=atant

分，广义

21

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积分和定

22

积分的应y/x-ax—asect

用

有理函数积分

(1)[—^—dx=Ain|x-a|+C

Jx-a

(2)f--—dx=--------5~r+C(n丰1)

J(x-a)nn-1(x-a)"-'

22

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⑶/dx_r_______dx_______铐=")rdu

'(.x2+px+q)"」.।py।44-p：“(殍孑'(«2+a2)"

(4)r/+a^=—!--r+T-^—

J(k+px+q)'2(n-l)(x~+px+q)2J(x+px+q)"

(p2-4q<O')

4.广义积分

(1)无穷限的广义积分(无穷积分)

设/1(X)连续，贝lj1.「'/'(X)必:=limCf(x)dx

Ja8一>+ooJa

2Af(x)dx=lim[f(x)dx

J-ooaf—sJa

3.「'/(x)d5c=「f(x)dx+\+Xf{x}dx

J—CX>J—COJc

(2)无界函数的广义积分(瑕积分)

rbpb-e、*.,

l.ff{x}dx=lim\/(%)公,(当x—>时，/(x)f8)

2.1f{x}dx=]im[/(x)办，(当x—>a时，fCx)—>oo)

£•—>0*Ja+s

(*b(*c—£(>b

3.(f{x)dx=limff(x)dx+lim[f{xydx

Ja6To7a〃T0+Jc+tj

(当xfdht,/(x)oo)

23

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（四）向量代数和空间解析几何

考试内容对应公式、定理、概念

1.向量：既有大小又有方向的量，又称矢量.

2.向量的模：向量a的大小.记为图.

3.向量的坐标表示：若向量用坐标表示

222

a=xT+y/+zH={x9y9z},则\a\=yjx+y+z

向量的概4向量的运算法则：

念，向量

I加减运算设有矢量4=},b={x2,y2,z2},则

的线性运

a±b={xx±x2,y}±必，4±z2},

算，

H.数乘运算数乘运算2矢量a与一数量；l之积/IM,

|初必4〉0,即与4同向

&7=<02=0,即为零矢量设万={内,加4},贝！]

一眼W之<0,即与。反向

Aa={4%，4y,4Z[}.

向量的数

1矢量的数积（点积，内积）：

量积和向

量积，向矢量&与5的数量积乙历=|矶碓os（a,5）.

量的混合

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积，

设1={%,%,Z1}则白石=

,5={x2,y2,z2},XyX2+yxy2+zxz2.

2矢量的向量积(叉积，外积)：设有两个向量口与石，若m

一个矢量2,满足如下条件

(1)|c|=|a||5|sin(a,5)；

(2)cla,cLb,即2垂直于a,五所确定的平面；

(3)a,5,之成右手系.则称矢量之为矢量a与方的矢量积，

1己C=〃X万.

设白={4用马}8={巧,必匕2}，则

1Jk

y马卜J.马苦M

axb=xiy4Z21k22J+k.

y2/%

4yz2

3混合积：没有个矢量a,h,c,若多三作a,万的叉积Zx6,

再与2作点积（2c,则这样的数才只称为矢量白，b,c的

混合积,记为（＜）,即（。,匕,。）=(之[X历.(

Z

设a={%，乂㈤9b=={x2,y2,z2],C={2P3)，

%）1彳

则(",〃

(•)二々J夕2Z2

玉），3Z3

两向量垂

1向量之间的位置关系及结论

直、平行