抛物线的简单几何性质教案 人教课标版

《抛物线的简单几何性质》教案

课题:.施扬俵的简单/V佝像展（一）

教学目的：

.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；

.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图

形；

.在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化.

教学重点：抛物线的几何性质及其运用

教学难点：抛物线几何性质的运用

授课类型：新授课.

课时安排：课时.

教具：多媒体、实物投影仪.

内容分析：

“抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节，它在全章占有重要的地位和作用.本节

知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学

学习的基础知识之一.对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的

作用.

研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、

离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论.已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和

准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为尤（或y）,则X轴

（或y轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方

程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p.

本节分两课时进行教学.第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例、

例、及其它例题；第二课时主要内容焦半径公式、通径、例.

教学过程：

一、复习引入：

.抛物线定义：

平面内与一个定点和一条定直线/的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点叫做抛物线的

.抛物线的标准方程：.

相同点：（）抛物线都过原点；（）对称轴为坐标轴；（）准线都与对称轴垂直，垂足与焦点

在对称轴上关于原点对称.它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的即女=K.

442

不同点：（）图形关于轴对称时，为一次项，为二次项，方程右端为±2〃x、左端为V；

图形关于轴对称时，为二次项，为一次项，方程右端为±2py,左端为/.（）开口方向在轴

（或轴）正向时，焦点在轴（或轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在轴（或轴）负向

时，焦点在轴（或轴）负半轴时，方程右端取负号.

二、讲解新课：

抛物线的几何性质

.范围

因为〉，由方程V=2夕乂夕>0）可知，这条抛物线上的点的坐标（，）满足不等式），所

以这条抛物线在轴的右侧；当的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延

伸.

.对称性

以一代，方程V=2〃乂〃>0）不变，所以这条抛物线关于轴对称，我们把抛物线的对称轴

叫做抛物线的轴.

.顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程=2〃M〃>O）中，当时，，因此抛物

线V=2PMp>0）的顶点就是坐标原点.

.离心率

抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示.由抛

物线的定义可知，.

对于其它几种形式的方程，列表如下:

标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率

J

y2=2px

（0,0）x轴e=1

(p>0)一2

1

y2=-2px

（0,0）X轴X_Le=1

(p>0)(;f'°)2

x1=2py

（0,0）

(p〉ojy轴罔y=-2e=1

Y=—2py

（0,0）y轴OTe=1

(p>0)'-2.

注意强调P的几何意义：是焦点到准线的距离

抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线

通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远

时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所

在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率.

附：抛物线不存在渐近线的证明.（反证法）

假设抛物线=存在渐近线=+,（,）为抛物线上

（,）为渐近线上与横坐标相同的点如图，

则有y=和=+.

・.•回-y|=|mx-\-n

=即

当之时，若f+8,则E-乂—>+00

当=时，|必-y|二人血河,当一十8,则仅］一+00

这与=+是抛物线=的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线

三、讲解范例：

例已知抛物线关于轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点”（2,-2后），求它的标准方

程，并用描点法画出图形.

分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数.

解：由题意，可设抛物线方程为V=2px,因为它过点M（2,—2行）,

所以(一2行y=2夕2,即p=2

因此，所求的抛物线方程为y?=4x.

将已知方程变形为y=±2«,根据y=26计算抛物线在xNO的范围内几个点的坐标，得

•••

・・・

描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分.

点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也

向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛

物线没有渐近线.

例探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径,

灯深为，求抛物线的标准方程和焦点位置.

分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线

上一点坐标，从而求出值.

解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)

与原点重合，轴垂直于灯口直径.

设抛物线的标准方程是y2=2Px(».

由已知条件可得点的坐标是(，)，代入方程，得3()2=2〃X40,

所求的抛物线标准方程为y2=yx.c

两

例过抛物线y2=2px的焦点任作一条直线，交这抛物线•

点，--r

求证：以为直径的圆和这抛物线的准线相切.

分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷.

证明：如图.设的中点为，过、、分别向准线/引垂线，，，垂足为、、,

I1=1I,11=11

I|=||+I|=|I+I1=1I

所以是以为直径的圆的半径，且，，因而圆和准线/相切.

四、课堂练习：

.过抛物线=4x的焦点作直线交抛物线于A(jq,y),B(x2,乃)两点，如果玉+/=6,

那么|AB|()

()()()()

.己知M为抛物线V=4x上一动点，口为抛物线的焦点，定点产(3,1),则+

的最小值为()

()()()()

・过抛物线丁="2(Q>o)的焦点/作直线交抛物线于尸、。两点，若线段所、QF的长

分别是p、q，则▲+,()

pq

八4

()2a0—()46?()-

2aa

.过抛物线V=4x焦点/的直线/它交于A、B两点,则弦AB的中点的轨迹方程是

(答案：y2=2(x—1))

.定长为3的线段AB的端点A、8在抛物线产=》上移动，求A8中点M到y轴距离的最

小值，并求出此时AB中点M的坐标.

5

(答案：M士，士万空、，到y轴距离的最小值为巳)

I42)4

五、小结：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等.

六、课后作业：

.根据下列条件,求抛物线的方程，并画出草图.

()顶点在原点,对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于.

()顶点在原点,焦点在轴上，且过(，)点.

()顶点在原点,焦点在轴上，其上点(,—)到焦点距离为.

.过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点，若、在准线上的射影是,，则/等于

.抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与轴垂直的弦长为，求抛物线方程.

2

.以椭圆二+V=1的右焦点，为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准

5

线所得的弦长.

.有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶米时，水面宽米，当水面下降米时，水面宽是多少米？

习题答案：

.()=±()=()=-

.=±

.4行

.2函米.

七、板书设计(略).

八、课后记：-

课题:.加题俵的简单/V佝作展(二)

教学目的:

.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；

.掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式;

.在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化.

教学重点：抛物线的几何性质及其运用

教学难点：抛物线几何性质的运用

授课类型：新授课.

课时安排：课时.

教具：多媒体、实物投影仪.

教学过程：

一、复习引入：抛物线的几何性质：

标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率

2

y=2px（0,0）

X轴e=1

（P>o）例2

2

y=-2Px（0.0）

X轴x=—e=1

S>o））2

a

2

x=2py（0,0）

（p〉ojy轴y=-Pe=1

2

*

x2=-2py

（0.0）y轴yJe=1

（p〉0）°'-£2

注意强调P的几何意义：是焦点到准线的距离.

抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线.

二、讲解新课：

.抛物线的焦半径及其应用：

定义：抛物线上任意一点与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径.

焦半径公式：

抛物线y2=2pMp>0）,归耳二/+^二^+/

抛物线/=_20<〃>0）,附=/_5=勺尤0

抛物线/=2〃乂0>0）,|「石=%+々=^+%

抛物线/=_2〃乂〃>0）,归耳=%_々=曰_先

.直线与抛物线：

（）位置关系：

相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）.

下面分别就公共点的个数进行讨论：对于V=2PHp>0）

当直线为丁=%，即％=0,直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点.

当kw（）,设/:y=-+Z?

将/:y=Ac+/H弋入C:Ax2+c/+Dx+£y+F=o,消去，得到

关于的二次方程ad+bx+c=o.（*）

若△>（）,相交；△=（）,相切；△<（）,相离.

综上，得：

联立得关于的方程ax2+bx+c=0

y2=2px

当a=0（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）.

当aw（）,则

若A〉。，两个公共点（交点）.

△=（）,一个公共点（切点）.

△<0,无公共点（相离）.

（）相交弦长：

弦长公式：d=gjl+92,其中和A分别是+力c+c=0（*）中二次项系数和判别式,

1«1

为直线/:y=辰+。的斜率.

当代入消元消掉的是时，得到此时弦长公式相应的变为：

（）焦点弦:

定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。

焦点弦公式：设两交点A(不，必)8(々,必)，可以通过两次焦半径公式得到:

当抛物线焦点在轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：

抛物线y2=2pK〃>。)，|A目=/?+(%[+々).

抛物线V=-2/zx(p>0),目=0一(七+X2)・

当抛物线焦点在轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：

抛物线X?=2p)(p>0),同目=〃+(,+%)•

抛物线*2=-2。乂/7>0),[4目=〃一(凹+%).

()通径：

定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦.

直接应用抛物线定义，得到通径：d=2p.

()若已知过焦点的直线倾斜角。

.y=k(x——)22P2八y,+y——-

则n『2=^>y———y-p=0=><71/2女

2nk2

[y=2px[y,y2=-p

=>E-yd=J—^-+4p2|AB|=|v]-y^\——=—^—

111121

I力）21y%2Psin。sinsir?。

（）常用结论：

<y_左。_彳）=>y2--y-p2=0和女2》2—（k2P+2p）xJ〃_=0

„2-k4

P

和MW

4

.抛物线的法线:

过抛物线上一点可以作一条切线，过切点所作垂直于切线的直线叫做抛物线在这点的法

线，抛物线的法线有一条重要性质：

经过抛物线上一点作一直线平行于抛物线的轴，那么经

过这一点的法线平分这条直线和这点与焦点连线的夹角如图.

抛物线的这一性质在技术上有着广泛的应用.例如，在光学

上，如果把光源放在抛物镜的焦点处，射出的光线经过抛物

镜的反射，变成了平行光线，汽车前灯、探照灯、手电筒就

是利用这个光学性质设计的.反过来，也可以把射来的平行光线集中于焦点处，太阳灶就是

利用这个原理设计的.

.抛物线V=2〃武〃>0)的参数方程：卜=2p厂(为参数)

J=2Pt

三、讲解范例：

例正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线V=2pMp>0）上，求这个

正三角形的边长.

分析：观察图，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明轴是它们公共的对称轴，则

容易求出三角形边长.

解：如图，设正三角形的顶点、在抛物线上，且坐标分别为（内，必）、（工2，为），则必2=2px/

寸=2Pxi

又=,所以X：+凹2=々2+丫2?

22

即X1+277%=x2+2px2

(X122

-X2)+27?(XI-X2)=0

[(Xj+]2)+2〃](七一]2)=0

丁x1>0,x2>0,2〃>0,Xj=x21

由此可得I必|二|必I，即线段关于轴对称.

因为轴垂直于，且N=°,所以"=tan300=且

X13

所以必=2px「'=26p,|AB|=2y=4V5p.

四、课堂练习：

.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线V=2px（p>0）上，求这个

正三角形的边长.（答案：边长为4gp）

.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线V=2px（p>0）上，求正三

角形外接圆的方程.

分析：依题意可知圆心在x轴上，且过原点，故可设圆的方程为：f+y2+Dx=0,

又•••圆过点A（6p,25/3）,•••所求圆的方程为f+y2—8〃尤=0

.已知MBC的三个顶点是圆/+丁2_9x=0与抛物线y=2PMp>0）的交点，且AABC

的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程.（答案：：/=4%）

.已知直角AQ48的直角顶点。为原点，A、B在抛物线V=2Px（p>0）上，（）分别求A、

B两点的横坐标之积，纵坐标之积；（）直线AB是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐

标，若不经过，说明理由；（）求。点在线段上的射影M的轨迹方程.

22

答案：（）