2022-2023学年山东省泰安市泰山区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）(含解析)

2022-2023学年山东省泰安市泰山区九年级第一学期期末数学试

卷（五四学制）

一、选择题。（本大题共12个小题，每小题4分，共48分。每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的字母代号选出来填入下面答案栏的对应位置）

1.如图，将一个规则儿何体的上半部分钻一个圆孔，则该儿何体的俯视图是（）

C.唱D.正

3.如图，在平面直角坐标系中，函数y=8（x〉0）与y=x-2的图象交于点P（a,b），

X

则代数式!」的值为（）

4.如图，四边形ABCD的外接圆为。0,BC=CD,ND4C=36°,ZAC£>=44°,则N

AO8的度数为（）

C.65°D.70°

5.如图，小亮居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小亮由A处

径直走到B处，他在灯光照射下的影长I与行走的路程S之间的变化关系用图象刻画出

来，大致图象是（）

6.如图，电路图上有四个开关A、B、C、。和一个小灯泡，闭合开关。或同时闭合开关A、

从C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（）

A-iB-ic-iD-i

7.将抛物线y=-x（x+2）向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线是（)

A.尸(x-1)2-2B.y=-(x-1)2-2

C.y—(x+1)2+2D.产-(x+1)2-2

8.如图，在正方形网格中，AABC的三个顶点都在网格中的格点上，贝UtanB的值为（）

9.函数y—ax-a和y=ox2+2（a为常数，且aWO）,在同一平面直角坐标系中的大致图象

可能是（）

10.如图，线段AB是。。的直径，。0交线段于£>,且。是中点，OELAC于E,

连接AO,则下列结论正确的个数是（）

①CE・CA=CZ>C8；②NEDA=NB；③OA=/AC；④DE是。。的切线；@AD2=AE*

AB.

C.4个D.5个

11.已知二次函数y=4N+fev+c（aWO）的图象如图所示，对称轴为直线x=l,与x轴的一

个交点为（3,0）.给出下列结论：①。2-4四<0；②4a+2b+c>0；③图象与x轴的另

一个交点为（-1,0）；④当x>0时，y随x的增大而减小；⑤不等式ax2+6x+cV0的

解集是-l<x<3.其中正确结论的个数是（）

y

O[3\x

।\

।

'X=1

A.4个B.3个C.2个D.1个

12.如图，点尸(3,4),G)P半径为2,A(2.5,0),B(5,0),点“是。尸上的动点,

点、C是MB的中点，则AC的最大值是()

二、填空题。(本大题共6个小题，每小题4分，共24分。只要求填写最后结果)

13.若cos(a-10°)=p则Na的角度数为.

14.如图所不，点A是反比例函数(x>0)图象上的任悬一点，48〃无轴交反比例函

x

数>=一旦的图象于点B,以AB为边作平行四边形ABC£>,点C,。在x轴上，则平行

X

15.某种礼炮的升空高度〃(机)与飞行时间f(s)的关系式是仁-■|t2+30/+2,则这种

礼炮从点火升空到最高点引爆需要的时间为s.

16.已知二次函数>=加+公+。自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：

X0123

y…-3-1-3-9•••

则代数式a-b+c的值等于.

17.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△ABC,已知如C=3,BC=2,则线段

AB扫过的图形(阴影部分)的面积为

18.如图，在抛物线>=/的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两个顶点落在抛物

三、解答题。(本大题共7个小题，满分78分。解答应写出计算过程、文字说明或推演步

骤)

19.2022年4月23日，首届全民阅读大会在北京开幕.为落实大会精神，某中学开展了以

“阅读新时代，奋进新征程”为主题的读书活动.学校为了了解学生课外阅读情况，现

随机调查了部分学生每周课外阅读时间，设被调查的每名学生每周课外阅读总时间为x

小时，将它分为4个等级：4(0Wx<2),B(2WxV4),C(4Wx<6),D(x26),

并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：

请你根据统计图的信息，解决下列问题：

(1)本次共调查了名学生；

(2)请补全条形统计图：

(3)在等级。中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本

次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率.

20.某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p是气体体

积v(巾3)的反比例函数，其图象如图所示.

(1)写出这个函数的表达式;

(2)当气体体积为1〃?3时，气压是多少？

(3)当气球内的气压大于128Z网时，气球将爆炸，为了安全考虑，气体的体积应不小

于多少？

Ap/kPa

21.如图，已知A(-3,n),B(2,-3)是一次函数丫=匕-。和反比例函数y=处的图象

的两个交点.

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)观察图象，直接写出kx+b-%<0的解集；

x

22.南海诸岛自古以来都是中国的领土，2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行

海上阅兵，军委主席习近平登上长沙舰检阅海军舰艇编队，包括辽宁号航母在内的48艘

舰艇参加了阅兵仪式.如图，A、8是两处海港，其中A在B南偏东60°方向30&千

米处，辽宁号航母从海港A出发，沿北偏东45方向，以15千米/小时的速度匀速航行，

两小时后，长沙舰从海港8出发，沿北偏东75°的方向匀速航行，两舰恰好同时到达阅

兵地点C.

(I)长沙舰从海港出发航行到达阅兵地点用了多少时间？

(2)求长沙舰的航行速度.(结果保留根号)

23.某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村

民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种土特产每袋成本10元.试销

阶段每袋的销售价x(元)与该土特产的日销售量y(袋)之间的关系如表：

X(元)152030

y(袋)252010

若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：

(1)日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式；

(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每

袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？

24.如图，四边形ABC。为菱形，以AO为直径作。。交AB于点巴连接。8交。0于点

H,E是8c上的一点，且BE=BF,连接。E.

(1)求证：QE是。。的切线.

(2)若BF=2,DH=通,求。。的半径.

25.已知，如图，抛物线匕x+c(aWO)的顶点为M(1,9),经过抛物线上的两点

A(-3,-7)和B(3,〃?)的直线交抛物线的对称轴于点C.

(1)求抛物线的解析式和直线AB的解析式.

（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点£>,使得S

△DAC=2S/、DCM?若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A,M,P,。为顶点的四边形是平行

参考答案

一、选择题。（本大题共12个小题，每小题4分，共48分。每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的字母代号选出来填入下面答案栏的对应位置）

1.如图，将一个规则几何体的上半部分钻一个圆孔，则该几何体的俯视图是（）

【分析】根据几何体的俯视图得出结论即可.

故选：A.

【点评】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键.

2.如图，在RtAABC中，ZC=90°,tanA=2,则sinB=（）

A、

B

A.—B.2C.恒D.JR

25V

【分析】根据勾股定理，可得A8与8c的关系，根据正弦函数的定义，可得答案.

解：VZC=90°,tanA=2,

：.BC=2AC,

AAB=VAC2+BC2=V5AO

ACAC

AB-V5AC-5

故c正确.

故选：c.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，正确利用勾股定理求出边长是解题关键.

3.如图，在平面直角坐标系中，函数片称(乂〉0)与尸x-2的图象交于点P(a,b),

则代数式上」的值为()

【分析】将P点坐标代入到两个解析式，可以的到必=8和人a=-2,将代数式工二

ab

变形成"，代入即可解决.

ab

解：函数y①(x>0)与y=x-2的图象交于点P(a,b),

X

.\ab=S,b=a-2,

:.b-a=-2,

.11b-a121

abab84

故选：C.

【点评】本题考查的是反比例与一次函数的交点问题，关键步骤是将代数式工,，变形

ab

成"，再运用整体思想进行代入，是解题的关键.

ab

4.如图，四边形ABCD的外接圆为。。，BC=CD,ND4C=36°,ZACD=44°,则N

4力8的度数为（）

A.55°B.64°C.65°D.70°

【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到标=征，再利用圆周角定理得到

=36°,ZABD=ZACD=44°,然后根据三角形内角和计算NADB的度数.

解：,:BC=CD,

••DC=BO

：.ZBAC=ZDAC=3f>°,

VZABD和NACD所对的弧都是右，

AZABD=ZACD=44Q,

：.ZADB=\S0°-Z.BAD-ZAfiD=180°-72°-44°=64°.

故选：B.

【点评】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解决

问题的关键.

5.如图，小亮居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小亮由A处

径直走到B处，他在灯光照射下的影长I与行走的路程S之间的变化关系用图象刻画出

c.D.

01s01s

【分析】根据中心投影的性质得出小亮在灯下走的过程中影长随路程之间的变化，进而

得出符合要求的图象.

解：•.•小路的正中间有一路灯，晚上小亮由A处径直走到B处，他在灯光照射下的影长

/与行走的路程S之间的变化关系应为：当小亮走到灯下以前：/随S的增大而减小；当

小亮走到灯下以后再往前走时：/随S的增大而增大，

用图象刻画出来应为8.

故选：B.

【点评】此题主要考查了函数图象以及中心投影的性质，得出/随S的变化规律是解决

问题的关键.

6.如图，电路图上有四个开关A、B、C、。和一个小灯泡，闭合开关。或同时闭合开关4、

8、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（）

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光

的情况，再利用概率公式即可求得答案.

解：画树状图得：

/N/T\z4\/K

BcDAcDABDABC

•••共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况,

...小灯泡发光的概率为：与=《.

122

故选：A.

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复

不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两

步以上完成的事件.掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键.

7.将抛物线y=-x(x+2)向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线是()

A.y=(x-1)2-2B.y--(%-1)2-2

C.y—(x+1)2+2D.y--(x+1)2-2

【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可.

解：抛物线y=-X(x+2)=-(x+1)2+1向右平移2个单位，得：y=-(x-1)2+1,

再向下平移3个单位，得：尸-(x-1)2-2.

故选:B.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握函数图形平移的规律是解题的关键.

8.如图，在正方形网格中，△48C的三个顶点都在网格中的格点上，则tanB的值为()

V-

I

L-

I

I

r-

L_

：B

【分析】连接CD,利用勾股定理的逆定理证明△8Z5C是直角三角形，从而可得NBOC

=90°,然后在RtZXABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.

解：如图：连接CC,

由题意得：

83=12+32=10,

802=22+22=8,

£>C2=12+12=2,

J.BI^+CD^BC2,

...△BCC是直角三角形,

：.ZBDC=90°,

在RtZXABC中，CD=&,BD=2近,

,皿8=毁=岑=』，

BD2V22

故选：A.

【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线

是解题的关键.

9.函数），=◎-〃和＞="2+2（。为常数，且“WO）,在同一平面直角坐标系中的大致图象

可能是（）

【分析】由二次函数y=a/+2的图象顶点（0,2）可排除A、B答案;由一次函数），="

-a的图象过点（1,0）可排除。答案.此题得解.

解：''y—ax2+2,

...二次函数y=ax2+2的图象的顶点为（0,2）,故A、B不符合题意；

当y=ar-a=O时，x=l,

，一次函数的图象过点（1,0）,故。不符题意，C符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，利用一次（二次）函数图象

经过定点排除A、B、力选项是解题的关键.

10.如图，线段AB是。。的直径，00交线段BC于。，且。是8C中点，DE±ACTE,

连接A。，则下列结论正确的个数是（）

①CE・CA=CD*CB；②4EDA=4B,・®OA=^-AC；④OE是。。的切线；®AD2=AE*

AB.

c

D

2

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】由OE与AC垂直，得到三角形C£>E为直角三角形，而由AB为圆的直径，根

据直径所对的圆周角为90°,得到4。与BC垂直，又。为BC中点，进而得到AD垂直

平分8C,根据线段垂直平分线的性质得到AC与AB相等，故三角形A8C不是直角三角

形，所以三角形CDE与A8C不相似，CE・CA与CZ>CB不相等，选项①错误；由。为

A8中点，得到AO为A8的一半，故40为4c的一半，选项③正确；由0。为三角形

ABC的中位线，根据三角形的中位线定理得到0D与AC平行，由AC与DE垂直得到

。。与QE垂直，即/0QE为90°,故。E为圆。的切线，选项④正确；由两对对应角

相等得到三角形AOE与三角形ACD相似，根据对应边成比例得到选项⑤正确，从而得

到所有正确选项的个数.

解：显然，△CED为直角三角形，而AABC不是直角三角形，故两三角形不相似，

所以CE・CAWCC・CB,选项①错误；

连接。£>,为8c中点，。为A2中点，

为△ABC的中位线，

OD//AC,

XDE1AC,：.Z£»EA=90°,

AZODE=90°,

为圆0的切线，选项④正确；

又08=00,：.NODB=NB,

为圆。的直径，...NA£>B=90°,

'：ZEDA+ZADO=90°,ZBDO+ZADO=90°,

：.ZEDA=ZBDO,

:.NEDA=NB,选项②正确；

由。为8c中点，且A£»_LBC,

，A£>垂直平分BC,

：.AC=AB,XOA=—AB,

2

：.OA=^AC,选项③正确；

VZDAC=ZEAD,ZDEA=ZCDA=90°,

/\ADE^/\ACD,

B|JAE>1=AE*AB,选项⑤正确;

ACAD

则正确结论的个数为4个.

故选：C.

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，及三角形的中位线定理.证

明切线时连接。。是解这类题经常连接的辅助线.

11.已知二次函数），=ar2+fet+c（〃#0）的图象如图所示，对称轴为直线x=l,与x轴的一

个交点为（3,0）.给出下列结论：①〃-4改<0；②4a+2Hc>0；③图象与x轴的另

一个交点为（-1,0）；④当x>0时，y随x的增大而减小；⑤不等式aN+H+cVO的

解集是-1<XV3.其中正确结论的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【分析】由抛物线与x轴的交点个数可判断①，由x=2时y>0可判断②，由抛物线经

过（3,0）及对称轴为直线x=l可判断③⑤，由抛物线开口方向及对称轴可判断④.

解：由图象可得抛物线与x轴有两个交点，

A=拄-4ac>0,①错误.

•••抛物线与x轴交点为（3,0）,抛物线对称轴为直线x=l,

.•.抛物线与X轴的另一交点坐标为(-1,0),③正确.

不等式以2+法+。>0的解集是-l<x<3,⑤错误.

有图象可得x=2时，y>0,

,,.4a+2b+c>0,②正确.

•••抛物线开口向下，对称轴为直线x=l,

.”>1时，y随x增大而减小，④错误.

故选：C.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握

二次函数与方程及不等式的关系.

12.如图，点P(3,4),0P半径为2,A(2.5,0),8(5,0),点加是上的动点，

点C是M8的中点，则AC的最大值是()

«|Atfx

A.—B.—C.—D.—

2222

【分析】作射线OP，交。P于Ml、Mz,连接OM,因为。4=AB,CM=CB,所以AC

=^OM,所以当OM最大时，4c最大，M运动到M2时，OM最大，由此即可解决问题.

解:如图，作射线0尸，交。尸于Mi、Mi,连接OM,

由勾股定理得：OP=值工=5,

\'OA=AB,CM=CB,

：.AC^—OM,

2

.•.当。例最大时，AC最大，

.•.当M运动到M2时，OM最大，

此时AC的最大值=%%=2(OP+PM2)=—X(5+2)=—,

2222

故选：C.

【点评】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值

问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的

思想思考问题，所以中考常考题型.

二、填空题。(本大题共6个小题，每小题4分，共24分。只要求填写最后结果)

13.若cos(a-10°)=p则Na的角度数为70。.

【分析】根据cos(a-10°)=*,求出a-10°=60°,继而可求得a的值.

解：cos(a-10°)=-^-,

Aa-10°=60°,

则a=70°.

故答案为：70。.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值,

属于基础题.

7

14.如图所示，点A是反比例函数y='(x>0)图象上的任意一点，〃工轴交反比例函

x

数y=-9的图象于点B,以48为边作平行四边形ABC。，点C,。在x轴上，则平行

X

【分析】连接04、OB,A8交y轴于区由于轴，根据反比例函数尸K(ZW0)

x

系数人的几何意义得到SME4=5X7=3.5,SMBE=5X9=4.5,则四边形ABC。为平行

22

四边形，然后根据平行四边形的性质得到S平行四边形A8CD=2SaO46=16.

解：连接。4、OB,A8交y轴于E,如图,

轴，

「♦SZIOEA=《义7=3.5,SaO8E=」X9=4.5,

22

:.SAO4B=3.5+4.5=8,

,/四边形ABCD为平行四边形，

:.S平行四边形Asa)=2Sz\OA6=16.

故答案为：16.

【点评】本题考查了反比例函数尸K(a#0)系数/的几何意义：从反比例函数y=K

XX

((攵WO)图象上任意一点向无轴和)，轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为因.

15.某种礼炮的升空高度h(w)与飞行时间t(5)的关系式是h=-1-t2+30r+2,则这种

礼炮从点火升空到最高点引爆需要的时间为6s.

【分析】把二次函数的一般式写成顶点式，找出顶点坐标，即可知道多长时间后得到最

高点.

解：h=-—r2+30r+2

2

R

=(r-6)2+92,

2

R

•・•--<0,

2

・••当/=6时，升到最高点.

故答案为：6.

【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问

题.

16.已知二次函数y=ax2+bx+c自变量尤与函数值y之间满足下列数量关系:

x…0123

y-~3-1-3-9

则代数式a-b+c的值等于-9.

【分析】由表格可得抛物线对称轴为直线x=l,然后根据对称性可求x=-1时y的值，

进而求解.

解：由题可得抛物线经过点(0,-3),(2,-3),

抛物线对称轴为直线》=理=1,

2

•••抛物线经过点(3,-9),

-1时y=-9,

B|Ja-b+c--9.

故答案为：-9.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，

通过抛物线上点的坐标的特征求解.

17.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120。得到△AEC,已知AC=3,BC=2,则线段

AB扫过的图形(阴影部分)的面积为

【分析】根据图形可以得出AB扫过的图形的面积=S阚形AC4+SAA8C-SmBCB-S^A1BC,

由旋转的性质就可以得出8C就可以得出A8扫过的图形的面积=S痢形AC/V-

S扇形BCB'求出其值即可.

解：:△ABC绕点C旋转120°得到aA'B'C,

：./\ABC^AA'B'C,

:.SAABC=SM，BCNBCB'=NAC4'=120°.

'.'AB扫过的图形的面积=SrnACA+S^ABC-SmBCB-SAA,BC,

AB扫过的图形的面积=S凰彩ACT-S国彩BCB，，

：.AB扫过的图形的面积=120."32.120•-4=4

3603603

故答案为：耳.

【点评】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，扇形的面积公式的

运用，解答时根据旋转的性质求解是关键.

18.如图，在抛物线y=N的内部依次画正方形，使对角线在），轴上，另两个顶点落在抛物

线上.按此规律类推，第2022个正方形的边长是_2022&_.

【分析】由题意可知，直线04的解析式为y=x,联立方程求得4的坐标，进而求得第

一个正方形的边长和Bi的坐标，即可得到直线BA2的解析式为），=尤+2,联立方程求得

A2的坐标，进而求得第二个正方形的边长和历的坐标，即可得到直线2乂3的解析式为y

=x+6,联立方程求得4的坐标，即可求得第三个正方形的边长，得出规律，第2022个

正方形的边长是2022&.

解：由题意可知，直线04的解析式为y=x,

y=x殂（X=0T/X=I

解＜0,得＜或《，

y=xIy=0Iy=l

；.Ai(1,1),

,".OA\—y[2,OBi=2,

...得到直线B^2的解析式为y=x+2,

y=x+2f=-l„fx=2

解10,得《x或《，

2

|y=xly=lly=4

・・・A2(2,4),

A2B]=2^/2，OB?=6,

・••得到直线B2A3的解析式为y=x+6,

y=x+6„fx=-2_lifx=3

解<9,得《或《，

y=xIy=4Iy=9

；.A3(3,9),

，43星=3如，。&=12,

•••，

第2022个正方形的边长是2022加,

故答案为：202272.

【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用方程组求得

交点坐标，求得抛物线上点的坐标是解题的关键.

三、解答题。(本大题共7个小题，满分78分。解答应写出计算过程、文字说明或推演步

骤)

19.2022年4月23日，首届全民阅读大会在北京开幕.为落实大会精神，某中学开展了以

“阅读新时代，奋进新征程”为主题的读书活动.学校为了了解学生课外阅读情况，现

随机调查了部分学生每周课外阅读时间，设被调查的每名学生每周课外阅读总时间为x

小时，将它分为4个等级：A(0^x<2),B(2Wx<4),C(4Wx<6),D(x》6),

并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：

请你根据统计图的信息，解决下列问题：

(1)本次共调查了50名学生:

(2)请补全条形统计图；

(3)在等级。中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本

次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率.

【分析】(1)由B等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数；

(2)根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；

(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好同时选中甲、乙两名同学的结

果数，然后根据概率公式求解.

解：(1)：(1)本次共调查学生导=50(名)，

26%

故答案为：50；

(2)C等级人数为50-(4+13+15)=18(名)，

补全图形如下：

学生课外阅读总时间条形统计图

(3)画树状图为：

开始

甲乙丙丁

乙/Jr

由图可知，共有12种等可能出现的结果，其中恰好选中甲乙两名同学的结果有2种，所

以恰好选中甲、乙两名同学的概率为三

126

【点评】本题考查列表法与树状图法，正确利用列表法或树状图法展示所有等可能的结

果〃，再从中选出符合事件A或B的结果数目,n,然后利用概率公式计算事件A或事件

B的概率是解题关键.

20.某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体

积V(机3)的反比例函数，其图象如图所示.

(1)写出这个函数的表达式；

(2)当气体体积为1小时，气压是多少？

(3)当气球内的气压大于128k出时，气球将爆炸，为了安全考虑，气体的体积应不小

于多少？

Ap/kPa

20(-

15(-

A(0.8,120)

10(-

50-

1BIBI»

0.511.522.5V/m

【分析】(1)设P与丫的函数关系式为p奇，将(0.8,120)代入即可得出火的值，由

此可得出结论；

(2)将丫=1代入(1)中所求解析式即可得出结论；

(3)由p笔＜128,得丫，0.75,由此可得出结论.

解：(1)设p与V的函数关系式为p=1,

把V=0.8,p=120代入上式,解得％=0.8X120=96.

.••P与丫的函数关系式为p畔.

(2)当V=1时，p=96.

:.当气体体积为1m3时，气压是96p〃；

⑶由p-竿＜128,得V20.75,

；•气球的体积应不小于0.754.

【点评】主要考查了反比例函数的应用.解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，

从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式.会用不等式解决

实际问题.

21.如图，已知A(-3,〃)，B(2,-3)是一次函数和反比例函数y式的图象

的两个交点.

(1)求一次函数和反比例函数的解析式;

(2)观察图象，直接写出kx+b-蚂＜0的解集;

(3)求△AOB的面积.

【分析】(1)根据图象上的点满足函数解析式，可得反比例函数解析式，可得点的坐标,

根据待定系数法，可得一次函数的解析式；

(2)根据一次函数图象在反比例函数图象下方的部分是不等式的解集，可得答案；

(3)根据三角形的面积公式，三角形面积的和差，可得答案.

【解答】⑴解：把8(2,-3)代入y*,

X

得：tn=2X(-3)=-6,

所以反比例函数解析式为y=-1,

把4(-3,n)代入丫=工，

得：-3〃=-6,

解得〃=2,

把A(-3,2)和3(2,-3)代入y=h+4

f-3k+b=2,

得《

2k+b=_3,

解得卜j

lb=-l,

所以一次函数的解析式为y=-%-1.

(2)

不等式kx+b-%<腐化为kx+b<->所以不等式的解集即为一次函数图象位于反比例

XX

函数图象下方时X的取值，

所以kx+b-^<0的解集为-3<x<0或x>2.

x

(3)当y=0时，-X-1=0,

解得x=-1,

所以点C(-1,0),

所以SA4OB=SAAOC+SABOC=/XIX2+^-XIX3=-|-

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，三角形

面积公式及三角形面积的和差，利用函数图象与不等式的关系解不等式.

22.南海诸岛自古以来都是中国的领土，2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行

海上阅兵，军委主席习近平登上长沙舰检阅海军舰艇编队，包括辽宁号航母在内的48艘

舰艇参加了阅兵仪式.如图，A、B是两处海港,其中A在B南偏东60°方向30M千

米处，辽宁号航母从海港A出发，沿北偏东45方向，以15千米/小时的速度匀速航行，

两小时后，长沙舰从海港B出发，沿北偏东75°的方向匀速航行，两舰恰好同时到达阅

兵地点C.

（1）长沙舰从海港出发航行到达阅兵地点用了多少时间？

（2）求长沙舰的航行速度.（结果保留根号）

【分析】（1）根据方位角可以得出△ABC的各个内角的度数，根据所给的条件，可以求

出三条边的长，于是可以求出辽宁号舰从A到C的时间，进而求出长沙舰从B到C的时

间，

（2）根据路程除以时间就是速度，即求可出BC的长度和长沙舰行驶8c所有时间.

解：（1）由题意得：A8=30&千米，/ABC=30°+15°=45°,NBAC=（90°-30°）

+45°=105°,

AZC=180°-45°-105°=30°,

过点4作AOLBC,垂足为O,

在RtZXAB。中，AD=BO=与X30&=30（千米），

在RtZXAOC中，ZC=30°,

；.AC=2AD=60,CD=MAD=34如（千米）,

：.BC=（30+30百）千米，

,辽宁号航母从A到C的时间为60+15=4（小时），

则长沙舰从B到C所用时间为4-2=2（小时），

答：长沙舰从海港出发航行到达阅兵地点用了2小时.

（2）长沙舰的速度为（30+30^3）+2=（15+1573）千米/小时，

答：长沙舰的航行速度为（15+15百）千米/小时.

【点评】考查方位角的意义和解直角三角形等知识，将方位角转化到三角形的内角是关

键，正确地解直角三角形是前提.

23.某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村

民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种土特产每袋成本10元.试销

阶段每袋的销售价x（元）与该土特产的日销售量），（袋）之间的关系如表：

X（元）152030・・•

y（袋）252010•・・

若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：

（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每

袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？

【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y（袋）与销售价x

（元）的函数关系式即可

（2）利用每件利润X总销量=总利润，进而求出二次函数最值即可.

解：

（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y

=kx+b得

（25=15k+b,解得（k=-l

l20=20k+blb=40

故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y=-x+40

（2）依题意，设利润为卬元，得

w=（x-10）（-x+40）=-x2+50x-400

整理得w=-（工-25）2+225

V-KO

.•.当x=25时，w取得最大值，最大值为225

故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利

润是225元.

【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，根据每天的利润=一件的利

润X销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题.

24.如图，四边形力8c。为菱形，以4力为直径作。。交48于点凡连接。B交于点

H,E是8c上的一点，且连接。E.

(1)求证：OE是。。的切线.

(2)若BF=2,。〃=代，求。。的半径.

【分析】(1)证明△ZMF四△OCE,可得证出NAOE=