第1讲 集合的含义与表示-人教A版高中数学必修一讲义（解析版）

集合与函数概念集合与函数概念本章综述 本章综述现代数学是用集合语言描述的，数学靠它强大的逻辑力量成为刻画自然科学和社会科学的科学语言和有效工具，深刻理解掌握这些概念、基本方法是成功跨入数学大门的前提。本章以集合知识为重点，涉及的多是集合的基本运算，其中与不等式结合的含参试题体现了区分度。充分条件与必要条件这一节是必考内容，由于本章节内容的工具性，因此相关试题的特点必然是综合其他知识，但主要是与其他各章节的最基础的知识相结合，突显难度的试题不多，学习本章的总则：以集合为中心，简易逻辑化归为集合。第一讲第一讲集合的含义与表示 教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向1.函数的概念数学抽象水平1水平21.理解函数的概念和函数的三要素，尤其是对应关系的实质。2.掌握函数定义域、值域的求法，并能根据其意义解决一些逆向问题。3.理解复合函数的概念，能求一些复合函数的定义域、值域。【考查内容】函数的定义域、值域的求法。【考查题型】选择题、填空题【分值情况】5分2.函数的三要素数学抽象水平2水平23.区间的概念与应用数学运算水平1水平14.复合函数与抽象函数数学抽象水平1水平2知识通关知识通关一、集合的含义知识点1元素与集合的概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母，…表示．(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母，…表示．(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．知识点2元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果是集合的元素，就说属于集合A属于集合A不属于如果不是集合A中的元素，就说不属于集合A不属于集合A知识点3常用数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号题型一集合的判定问题规律方法判断一组对象能否构成集合的依据例1、下列每组对象能否构成一个集合：(1)我们班的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；(4)的近似值的全体．解析：(1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“”与，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“的近似值”不能构成集合．【变式训练1】下列每组对象是否构成一个集合：（1）数学必修一课本中所有的难题；（2）方程在实数范围内的解；（3）高一年级全体较胖的学生。解析：（1）“难题”无明确的标准，对于某个题是否“难”无法客观地判断，因此不能构成一个集合；（2）任给一个实数“”，可以明确地判断是否是该方程的解，两者必居其一，因此能构成一个集合；（3）中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以不能构成一个集合。题型二元素与集合的关系规律方法判断元素与集合关系的两个关键点判断一个元素是否属于一个集合，一要明确集合中所含元素的共同特征，二要看该元素是否满足该集合中元素的共同特征．判断一个元素是否属于一个集合，一要明确集合中所含元素的共同特征，二要看该元素是否满足该集合中元素的共同特征．例2、(1)给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)集合A中的元素满足，则集合A中的元素为________(3)集合，判断下列元素与集合A的关系（4）已知集合，，若，那么为（）A.B.C.D.解析：(1)①②正确；③④⑤不正确．(2)∵，∴当时，，∴满足题意；当时，，∴满足题意；当时，，∴满足题意；当时，不满足题意，所以集合A中的元素为0,1,2.（3）由于∴①当时，，∴②∴当时，∴③当时，，但∴。（4）是方程联立的方程组的解，即且是元素而不是集合。答案(1)B(2)0,1,2（3）（4）B【变式训练2】（1）用适当的符号填空：已知，，则有：17A；-5A；17B。（2）已知集合，，且，设，则（）A.B.C.D.以上都不对解析：（1）由，解得∴；由解得，∴；由解得，∴。（2）设则∴故选B答案（1）（2）B题型三集合中元素的特性规律方法利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对集合中的元素进行检验．(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．例3、已知集合，且求的值。解析：由于，故为集合A中的元素，因此，分别解这两个方程再检验即可。∵，且∴解得当时，，不符合集合中元素的互异性，舍去；当时，，满足题意故答案【变式训练3】已知集合，若，求实数的值。解析：(1)若，则，此时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；（2）若，则当时，，满足题意；当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；（3）若，则由上述过程知，都不满足题意；综上所述，答案0二、集合的表示知识点集合的表示方法(1)列举法：①定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法；②形式：．(2)描述法：①定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法；②写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．题型四用列举法表示集合(1)用列举法表示集合时，首先要注意元素是数、点，还是其他的类型，即先定性．(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便．(1)用列举法表示集合时，首先要注意元素是数、点，还是其他的类型，即先定性．(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便．(3)搞清集合是有限集还是无限集是选择恰当的表示方法的关键．例4、用列举法表示下列集合：（1）；（2）；（3）（4）。解析：（1）∵∴∴∴（2）∵1和2是方程的根，∴（3）∵，∴∴（4）∵∴即，∴，∴当这4个自然数时，也是自然数，∴【变式训练4】用列举法表示下列集合：（1）；（2）；（3）。解析：（1）由知∴时，，符合题意，∴（2）∵点满足条件，则有∴（3）依题意知，则要满足条件，∴题型五用描述法表示集合规律方法用描述法表示集合的注意点(1)“竖线”前面的(1)“竖线”前面的可简记为；(2)“竖线”不可省略；(3)可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；(4)同一集合用描述法表示可以不唯一．例5、用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．解析：(1)偶数可用式子表示，但此题要求为正偶数，故限定，所以正偶数集可表示为．(2)设被3除余2的数为，则，，但元素为正整数，故，所以被3除余2的正整数集合可表示为．(3)坐标轴上的点的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即，故坐标轴上的点的集合可表示为．【变式训练5-1】用描述法表示平面直角坐标系中位于第二象限的点的集合．解析：位于第二象限的点的横坐标为负，纵坐标为正，即，故第二象限的点的集合为．【变式训练5-2】用描述法表示图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合．解析：本题是用图形语言给出的问题，要求把图形语言转换为符号语言．用描述法表示(即用符号语言表示)为思维拓展思维拓展考向一集合中的探索性问题集合离不开元素，元素是集合的核心，所以解决有关集合中的探索性问题，可以先从元素入手，作为解题的切入点。解此题关键在于由已知，集合离不开元素，元素是集合的核心，所以解决有关集合中的探索性问题，可以先从元素入手，作为解题的切入点。解此题关键在于由已知，，得到，，然后逐步探索，再根据集合中元素的互异性，从而将问题加以解决．（3）中用到反证法的解题思想．例6、设实数集是满足下面两个条件的集合：①②若则（1）求证：若则（2）若则在中必含有其他的两个数，试求出这两个数；（3）求证：集合中至少有三个不同的元素。解析：（1）证明：由则可得，即，故若则（2）由则由则而当时，又回到了开始因此当时，只有另两个元素（3）证明：由（2）知时，下证三者两两互不相等①若即无解，所以②若即无解，所以；③若即无解，所以综上所述，集合中至少有三个不同的元素。【变式训练6】数集M满足条件：若，则．若，则在中还有三个元素是什么？解析：∵，∴，∴，∴.又∵∴在M中还有三个元素－2，－eq\f(1,3)，eq\f(1,2).答案考向二集合中含参问题规律方法集合中含参问题的处理方法分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种重要的数学方法，它适用于解答从整体上难以解决的数学问题。它适用于解答从整体上难以解决的数学问题。运用分类讨论思想解决问题时，把所给的已知条件的集合进行科学的划分十分必要，必须遵循不重不漏和最简的原则，其一般步骤是：（1）考察分类讨论的原因和必要性；（2）明确讨论对象，确定对象的范围；（3）确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；（4）逐类讨论，获得阶段性结果；（5）归纳总结，得出结论。例7、已知集合，且，则解析：由已知，则集合中必有一个元素是0，当时，则分母无意义，故A中必然是，解得，由此推测B中必有一个元素为1，故分两种情况讨论，若，解得；当时，∵，∴，则集合，与集合的互异性矛盾，舍去；当时，则，此时集合，满足题意；若，由前面可知，与集合互异性矛盾，舍去；综上所述，答案【变式训练7】已知集合，若，求解析：当时，即，则.经检验，均不合题意．当时，即，则经检验，均合题意．综上所述，。答案考向三集合与方程的综合问题规律方法集合与方程的综合问题的解题思路（1）弄清方程与集合的关系，往往用集合表示（1）弄清方程与集合的关系，往往用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的根。（2）当方程中含有参数时，若方程是一元二次方程，则应综合应用一元二次方程的相关知识求解。若知道其解集，利用根与参数的关系，可快速求出参数的值（或参数之间的关系）；若知道解集中元素个数，利用判别式可求参数的取值范围。例8、已知集合（1）若中不含有任何元素，求的取值范围（2）若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来（3）若中至多有一个元素，求的取值范围解析：集合A是方程在实数范围内的解集（1）A中不含有任何元素，即方程无解，则①当时，的解为不合题意②解得（2）当时，方程有一解为当时，即时，方程有两相等的实数根，即A中只有一个元素为所以当时，A中只有一个元素，分别为（3）A中至多有一个元素，包括A中不含有元素和A中只有一个元素两种情况，据（1）（2）的结果，得答案（1）（2）当时，；当时，（3）【变式训练8】A是由方程的实数根组成的集合。（1）当A中有两个元素时，求的取值范围；（2）当A中没有元素时，求的取值范围；（3）当A中有且仅有一个元素时，求的值，并求出此元素。解析：（1）当A中有两个元素时，即方程有两个不相等的实数根∴解得（2）当A中没有元素时，即方程没有实数根∴解得（3）当A中有且仅有一个元素时，即方程有一个实数根或两个相等的实数根。则①当时，方程的根为；②当时，解得此时故当时，；当时，答案（1）（2）（3）当时，；当时，综合训练综合训练A组基础演练A组基础演练一、选择题1．下列各组对象不能构成集合的是()A．所有直角三角形B．抛物线y＝x2上的所有点C．某中学高一年级开设的所有课程D．充分接近eq\r(3)的所有实数解析：A、B、C中的对象具备“三性”，而D中的对象不具备确定性．答案D2．给出下列关系：①eq\f(1,2)∈R；②eq\r(2)∉R；③|－3|∈N；④|－eq\r(3)|∈Q.其中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：①③正确．答案B3．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是()A．M＝{π}，N＝{3.14159}B．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}C．M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}D．M＝{1，eq\r(3)，π}，N＝{π，1，|－eq\r(3)|}解析：选项A中两个集合的元素互不相等，选项B中两个集合一个是数集，一个是点集，选项C中集合M＝{0,1}，只有D是正确的．答案D4．已知集合A中只含1，a2两个元素，则实数a不能取()A．1 B．－1C．－1和1 D.1或－1解析：由集合元素的互异性知，a2≠1，即a≠±1.答案C5．集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}解析：∵x－3<2，x∈N*，∴x<5，x∈N*，∴x＝1,2,3,4.故选B.答案B6．已知集合，，若，则=（）A．或3 B．0或C．3D．解析：由于，故，解得或.当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确.经检验可知符合.答案C二、填空题7．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)的可能取值所组成的集合中元素的个数为______．解析：当ab>0时，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝2或－2.当ab<0时，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝0，因此集合中含有－2,0,2三个元素．答案38．集合M中的元素y满足y∈N，且y＝1－x2，若a∈M，则a的值为解析：由y＝1－x2，且y∈N知，y＝0或1，∴集合M含0和1两个元素，又a∈M，∴a＝0或1.答案0或19．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a,0}，若A，B相等，则实数a＝_______.解析：：由集合相等的概念得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，,a2－3a＝－2，))解得a＝1.答案：110．已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是．解析：∵1∉{x|2x＋a>0}，∴2×1＋a≤0，即a≤－2.答案a≤－2三、解答题11.(1)已知集合M＝{x∈N|eq\f(6,1＋x)∈Z}，求M；(2)已知集合C＝{eq\f(6,1＋x)∈Z|x∈N}，求C.解析：(1)∵x∈N，eq\f(6,1＋x)∈Z，∴1＋x应为6的正约数．∴1＋x＝1,2,3,6，即x＝0,1,2,5.∴M＝{0,1,2,5}．(2)∵eq\f(6,1＋x)∈Z，且x∈N，∴1＋x应为6的正约数，∴1＋x＝1,2,3,6，此时eq\f(6,1＋x)分别为6,3,2,1，∴C＝{6,3,2,1}．答案（1）（2）12．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.(1)求实数x应满足的条件；(2)若－2∈A，求实数x.解析：(1)由集合中元素的互异性可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠3，,x≠x2－2x，,x2－2x≠3.))解之得x≠－1且x≠0，且x≠3.(2)∵－2∈A，∴x＝－2或x2－2x＝－2.由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴x＝－2.答案（1）x≠－1且x≠0，且x≠3（2）B组提升突破B组提升突破一、选择题1．设不等式3－2x<0的解集为M，下列正确的是()A．0∈M,2∈M B．0∉M,2∈MC．0∈M,2∉M D．0∉M,2∉M解析：从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0不属于M，即0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2属于M，即2∈M.答案B2．已知集合A中含1和a2＋a＋1两个元素，且3∈A，则a3的值为()A．0 B．1C．－8 D．1或－8解析：3∈A，∴a2＋a＋1＝3，即a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0，解得a＝－2，或a＝1.当a＝1时，a3＝1.当a＝－2时，a3＝－8.∴a3＝1，或a3＝－8.答案D3．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1、x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是()A．x1·x2∈A B．x2·x3∈BC．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A解析：集合A表示奇数集，B表示偶数集，∴x1、x2是奇数，x3是偶数，∴x1＋x2＋x3应为偶数，即D是错误的．答案D4．设P＝{1,2,3,4}，Q＝{4,5,6,7,8}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q中元素的个数为()A．4 B．5C．19 D．20解析：由题意知集合P*Q的元素为点，当a＝1时，集合P*Q的元素为：(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)共5个元素．同样当a＝2,3时集合P*Q的元素个数都为5个，当a＝4时，集合P*Q中元素为：(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)共4个．因此P*Q中元素的个数为19个，故选C.答案C5．已知x，y，z为非零实数，代数式eq\f(x,|x|)＋eq\f(y,|y|)＋eq\f(z,|z|)＋eq\f(|xyz|,xyz)的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是