导数概念及其意义高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高二数学高二数学第页导数概念及其意义一、平均速度与瞬时速度（1）平均速度：一般地,在这段时间里,物体的平均速度（2）瞬时速度：把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。物体在某一时刻的瞬时速度为当时间间隔无限趋近于0时平均速度的极限,即（3）瞬时速度与平均速度的区别和联系：区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．联系：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于0时的极限值．函数的平均变化率：对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到.这时，的变化量为，的变化量为.我们把比值，即叫做函数y=f(x)从到的平均变化率.方法总结：（1）求函数平均变化率的三个步骤第一步,求自变量的变化量；第二步,求函数值的变化量；第三步,求平均变化率.（2）求点附近的平均变化率,可用的形式.【例1】在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位m）与起跳后的时间（单位：s）存在函数关系．求该运动员在这段时间的的平均速度；该运动员在这段时间的的平均速度；该运动员在这段时间的的平均速度；【例2】函数在区间的平均变化率.【例3】求函数在区间的平均变化率.【练习1】函数，当自变量由改变到时，的变化为（

）A． B．C． D．【练习2】若函数在区间上的平均变化率为3，则m等于．【练习3】函数在闭区间内的平均变化率为A. B. C. D.方法总结求瞬时速度的步骤：（1）求位移增量,;（2）求平均速度,;（3）取极限,;（4）若极限存在,则时刻的瞬时速度为.【例4】某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示.（1）求物体在t＝1s时的瞬时速度．（2）试求物体的初速度．（3）试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.【例5】某直线运动的物体从时刻到的位移为，那么为（）A．从时刻到物体的平均速度 B．从时刻到位移的平均变化率C．当时刻为时该物体的速度 D．该物体在时刻的瞬时速度【例6】物体运动时位移s与时间t的函数关系是s＝－4t2＋16t，此物体在某一时刻的速度为零，则相应的时刻为()A．t＝1B．t＝2C．t＝3D．t＝4【练习4】一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系是，则在时的瞬时速度为（

）A．1 B．3 C．－2 D．2【练习5】将物体以速度v0(v0＞0)竖直上抛，ts时的高度为s(t)＝v0t－gt2，求物体在t0时刻的瞬时速度．二、割线的斜率与切线的斜率1．割线的斜率：设P0(x0，f(x0))，P(x，f(x))是曲线y＝f(x)上任意不同两点，则平均变化率为割线的斜率．切线与切线的斜率：（1）曲线的切线：如图所示，在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.（2）切线的斜率：曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔无限趋近于0时,割线斜率的极限,即.三、导数的概念及其几何意义1.导数概念：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率），记作或，即方法总结用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤：①求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；②求平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；③求极限eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).瞬时变化率的变形形式eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0－Δx－fx0,－Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋nΔx－fx0,nΔx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0－Δx,2Δx)＝f′(x0)．2.导数的几何意义：导数表示曲线在点处的切线的斜率k，即：.3.切线方程：曲线在点处的切线方程为．方法总结求切线方程：求曲线“在”点处的切线方程：第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率；第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率；第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：.求曲线“过”点处的切线方程第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数；第三步：利用Q在曲线上和，解出及；第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：.四、导函数对为函数的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即.区别联系是具体的值，是数值在处的导数是导函数在处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值是函数在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数【例1】求函数在的导数.【例2】求函数在处的导数.【例3】若函数的满足，则（

）A．2 B．1 C．0 D．【例4】函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确是（）A．B．C．D．【例5】已知曲线方程为,求:（1）点处的切线方程（2）过点且与曲线相切的直线方程.【练习1】设，求【练习2】求函数在附近的平均变化率，在处的瞬时变化率与导数．【练习3】若函数在处可导，则的结果（）．A．与，h均无关 B．仅与有关，而与h无关C．仅与h有关，而与无关 D．与，h均有关【练习4】已知，则在处的导数（）A． B．1 C． D．3【练习5】已知函数f(x)＝eq\f(2,x)，且f′(m)＝－eq\f(1,2)，则m的值等于()A．±2B．2C．－2D．－4【练习6】若,则.【练习7】已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（）A．B．C．D．【练习8】如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（

）A． B． C． D．【练习9】曲线在点处的切线方程为,那