湖南省2021年中考数学真题分项汇编-12 圆（含答案解析）

专题12圆

一、单选题

1.（2021•湖南邵阳市♦中考真题）如图，点A,B,C是。。上的三点.若NAOC=90°，N84C=30°，

则乙4。8的大小为（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

【答案】B

【分析】

首先根据圆周角定理求得NBOC的度数，根据NAOC的度数求ZAOB=ZAOC-ABOC即可.

【详解】

解：

ZBOC=2ABAC=2x30°=60°，

•••ZAOC=90°,

\?AOB2AOC1BOC90?60?30?,

故选：B.

【点睛】

考查了圆周角定理及两锐角互余性质，求得NBOC的度数是解题的关键.

2.（2021•湖南长沙市•中考真题）如图，点A,B,。在。。上，Zfl4C=54°,则ZBOC的度数为（）

C.116°D.128°

【答案】B

【分析】

直接利用圆周角定理即可得.

【详解】

解：QNB4C=54°,

二由圆周角定理得：ZBOC=2ZBAC=\OS0,

故选：B.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键.

3.（2021.湖南娄底市.中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当OA与

直线/：y=2x只有一个公共点时，点A的坐标为（）

A.(-12,0)B.(-13,0)C.(±12,0)D.(±13,0)

【答案】D

【分析】

当。A与直线/:y=』x只有一个公共点时，则此时。A与直线相切，（需考虑左右两侧相切

的情况）；设切点为5,此时5点同时在。A与直线/：y=9x上，故可以表示出5点坐标，过8点作

BC//OA,则此时△AOBSAQBC，利用相似三角形的性质算出OA长度，最终得出结论.

【详解】

如卜图所示，连接A3,过5点作3C//Q4,

/.OC=f'BC=N，

在心AOBC中，OB=ylBC2+OC2=^x)=j||x|

又•••OA半径为5,

AB=5，

BC//OA，

，/\AOBsAOBC，

,OAABOB

则——=—=——，

BOOCBC

OA_5

131I5II,

——121\x\1—12\1x\1

04=13，

•••左右两侧都有相切的可能，

点坐标为（±13,0）,

故选：D.

【点睛】

本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键.

4.（2021.湖南张家界市.中考真题）如图，正方形A3CO内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中

的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形ABCD的面积为S,黑色部分面积为5,

则岳：S的比值为（)

C.D.

42

【答案】A

【分析】

根据题意，设正方形的边长为2m则圆的半径为“，分别表示出黑色部分面积和正方形ABC。的面积，进

而即可求得\：S的比值.

【详解】

设正方形的边长为2a,则圆的半径为a

S=4a2,圆的面积为ncr

•.•正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称

黑色部分面积为圆面积的一半

S,——7tCl~

12

1jr

：.S.:S=—ncr:(4a2)=—,

128

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了阴影部分面积的求解，准确运用字母表示正方形面积和圆形面积并结合多边形内切圆性质、

中心对称图形性质等相关知识点是解决本题的关键.

二、填空题

5.(2021・湖南长沙市•中考真题)如图，在。。中，弦45的长为4,圆心。到弦AB的距离为2,则NAOC

的度数为.

B

IO\

【答案】45°

【分析】

先根据垂径定理可得AC=^AB=2,再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得.

2

【详解】

解：由题意得：OC_LAB，A8=4，

:.AC=-AB=2,

2

•.•OC=2,

AC=OC,

R/AAOC是等腰直角三角形，

r.NAOC=45。，

故答案为：45°.

【点睛】

本题考查了垂径定理、等腰宜角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键.

6.（2021.湖南张家界市.中考真题）如图，AABC内接于。0,乙4=50°,点D是BC的中点，连接。£>,

OB,OC,则/80£>=.

【答案】50°

【分析】

圆上弧长对应的圆周角等于圆心角的一半，再利用等腰三角形三线合一的性质，即可得出答案.

【详解】

解:根据圆上弦长对应的圆周角等于圆心角的一半,

ZA=-ZBOC,

2

.•.NBOC=10（）。，

•;OB=OC，

.•.△BOC为等腰三角形，

又••.点。是3C的中点，根据等腰•:角形：线合一，

.•.OZ）为ZBOC的角平分线，

:.ZBOD=50°,

故答案是：50°.

【点睛】

本题考查了弦长所对应的圆周角等于圆心角的一半和等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是：根据性

质求出ZBOC,再利用角平分线或三角形全等都能求出解.

7.（2021•湖南常德市•中考真题）如图，四边形ABCD是。。的内接四边形，若/BOD=80。，则/BCD的

度数是.

【答案】140°.

【详解】

试题分析：VZBOD=80°,AZAM0°,:四边形ABCD是（DO的内接四边形，

.,.ZBCD=180o-40o=140°,故答案为140°.

考点：圆内接四边形的性质；圆周角定理

8.（2021.湖南衡阳市.中考真题）底面半径为3,母线长为4的圆锥的侧面积为.（结果保留乃）

【答案】12万

【分析】

圆锥的侧面展开图是扇形，根据扇形的面积公式求解即可.

【详解】

圆锥的侧面积=i/R=5x（2万•3）x4=12万

故答案为：12%.

【点睛】

本题考查圆锥的侧面积.S扇形=!乐，其中/为扇形的弧长，即底面圆的周长，R为半径，即圆锥的母线长.

9.（2021・湖南永州市•中考真题）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60乃，底面半径为6的圆

锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为.

【答案】10

【分析】

根据圆锥的侧面积公式：S«=-x27irl^7irl.即可求得

2

【详解】

•.*S加=—x27rH=7irl

2

:.6Q/r=7rx6xl

.\/=10

故答案为io

【点睛】

根本考查了圆锥的侧面积公式：S=-x27vrl=7rrl,理解和牢记公式是解题的关键.

ra2

10.（2021.湖南娄底市.中考真题）如图所示的扇形中，已知。4=20,AC=30,AB=40,则CQ=

c

D

【答案】100

【分析】

先在小扇形中利用扇形弧长公式求解出圆心角度数，再在大扇形中利用公式求解出弧长即可.

【详解】

解：设扇形圆心角度数为“°,

,:04=20,AB=40,

二在扇形A08中,AB=2TT»OA*

360

360

触得：n-----

兀

二在扇形COD中，OC=OA+AC=20+30=50.

360

C£)=2〃・OC-=2%x50x^=100

360360

故答案为：100.

【点睛】

本题主要考查了扇形弧长的计算，解题的关键是利用圆心角大小不变并熟悉弧长公式进行求解.

II.（2021.湖南中考真题）如图，方老师用一张半径为18cm的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略

不计）.如果圆锥形帽子的半径是10cm,那么这张扇形纸板的面积是cm2（结果用含〃的式子表

示）.

【答案】18()乃

【分析】

由题意易得该扇形的弧长为2ir=2xl()万=20icm,然后根据扇形面积计算公式可求解.

【详解】

解：由题意得：

该扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长，即为2;rr=2xl0；r=20；Tcrn,

,该扇形的面积为5=,次=」*18乂20乃=180万cm：

22

故答案为180%.

【点睛】

本题主要考查扇形面积计算公式及圆锥的侧面展开图，熟练掌握扇形面积计算公式及圆锥的侧面展开图是

解题的关键.

12.(2021•湖南娄底市•中考真题)弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这

个角就是1弧度角，记作had.已知。=Irad,£=60°,则。与£的大小关系是a£.

【答案】＜

【分析】

根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作Irad,当尸=60。时，三

角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小.

【详解】

解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作Irad，

当，=60。时、易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，

•••圆心角所对的弧长比半径大,

:.a</3,

故答案是：＜.

【点睛】

本题考查了弧度的定义，解题的关键是：理解弧度的定义，从而利用定义来判断.

13.（2021•湖南怀化市•中考真题）如图，在0。中，Q4=3,ZC=45°,则图中阴影部分的面积是

由NC=45°,根据圆周角定理得出ZAOB=90°，根据S1m=5mAOB-S^AOB可得出结论.

【详解】

解：；NC=45°,

二ZAOB=90°,

90x万x3?

--x3x3

360~2

9719

=------,

42

9万9

故答案为：-------

42

【点睛】

本题主要考查圆周角定理、扇形的面积计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键.

14.（2021•湖南岳阳市•中考真题）如图，在RhABC中，NC=90。，AB的垂直平分线分别交45、AC

于点。、E，BE=8,。。为ABCE的外接圆，过点£作。。的切线EF交AB于点F,则下列结论正

确的是.（写出所有正确结论的序号）

8万_DFEF

①AE=BE；②ZAED=NCBD；③若=40°,则DE的长为一；④——=—:⑤若EF=6,

9EFBF

则CE=2.24.

【答案】①②④⑤

【分析】

①根据线段垂直平分线定理即可得出结论

②根据段垂直平分线得出NA+/AEZA90。，再证NA+N48c=90。，等量代换即可

③根据已知条件先得出/E8C的度数，再利用圆周角定理得NEOC=2NE8C,根据弧长公式计算即可

④根据角角相似证明xEFDsXBFE即可得出结论

⑤先根据勾股定理得出B尸的长，再根据等面积法得出E£>,根据角角相似证明RfAAOEsR/AACB,得出

An4/7

一=一，即可计算出结果

ACAB

【详解】

解:①是AB的垂直平分线

:.AE=BE

故正确

@'：DE是AB的垂直平分线

：.DEYAB

：.NA+/AED=90。

ZC=90°

：.ZA+ZABC=90°

ZAED=/CBD

故正确

③连接OC

C

E

：DE是AB的垂直平分线

二AE=BE

二Z£BD=ZA=40°

在RmABC中，ZABC=90°-40°=50°

NE8C=5O°-4O°=IO°

■:NE0C=2NEBC

：.Z£OC=20°

204・44万

EC=--------=——

1809

故错误

®-：DE±AB,EF是O。的切线

ZFEB=ZEDF=90°

又NEFD=NEFD

:.△EFDs^BFE

.DFEF

"~EF~~BF

故正确

⑤；EF=6,BE=8

BF=7EF2+BE2=J36+64=10

'：-EFBE=-BFED

22

6x8

ED=4.8

10

在RfAEDB中,

BD=>jBE2-ED2=V82-4.82=6.4

是AB的垂直平分线

，A£>==6.4，AE=8E=8

,/在RmADE和RtzACE中

ZA=ZA,ZADE=ZACB=90°

IRtAADEsRiAACB

.AD_AE

"~AC~~AB

.6-4_8

"AC-12^8

，AC=10.24

又AE=8E=8

/.CE=AC-AE=10.24-8=2.24

故正确

故答案为：①②④⑤

【点睛】

本题考查圆周角定理，相似三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质及定理、勾股定理、切线的性质、

等面积法是常用的计算边长的方法、灵活进行角的转换是关键

三、解答题

15.（2021.湖南怀化市.中考真题）如图，在半径为5（772的。。中，A8是。。的直径，8是过。。上点C

的直线，且AD_L£>C于点3,AC平分E是BC的中点，OE=3cm.

（1）求证：CD是0。的切线;

（2）求A。的长，

【答案】（1）证明见解析；（2）y.

【分析】

（1）连接。C,由题意知NOAC=/OAC=/OCA,据此得AD〃OC,根据A/），OC即可得证;

（2）连接2C,证△AOCs^ACB即可得.

【详解】

解：（1）如图，连接OC,

r

：.ZOAC^ZOCA,

平分ND4O,

：.ZDAC=ZOAC,

：.ZDAC^ZOCA,

：.ADIIOC.

'：AD±DC,

：.OC±DC,

又「。。是。。的半径，

...CD是。。的切线；

(2)如图,连接8C,OE,

C

AC-6cm，

是。。的宜径，4。_1_0。，半径。4=5011，

...NA/)C=/AC8=90°,AB=10cm,

又,.•/OAC=NC48,

AADCsXACB,

,,ADAC

则一=—

ACAB

AC2_621S

AD==

【点睛】

本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握

切线的判定和圆周角定理是解题的关键.

16.(2021•湖南衡阳市•中考真题)如图，AB是。。的直径，力为。。上一点，E为8。的中点，点C在84

的延长线上，且NCD4=NB.

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)若。E=2,N8OE=30°,求CO的长.

【答案】(1)见解析；(2)2百

【分析】

(1)先证明NB=N0D5,通过等量代换再证明NCQ4+NOQA=900即可证明

(2)先证明是等边三角形，再证明NOOC=60°，解直角三角形即可计算出结果

【详解】

解：(1)连接O。，

NB=/ODB,

又,：ZB=NCDA,/.ZODB=ZCDA

又NODB+4ODA=90°，,Z.CDA+ZOZM=90°

即NQDC=90°,

所以，co是。。的切线.

（2）连接BE、OE

是8。的中点，

/.BE=DE=2QEA_BD

/BOE=2/BDE=0）0，

二△08E是等边三角形

仄而OB=BE=2,ZBOE=60°

OB^OD,OE±BD,

：./BOE=/DOE=9。,

所以NOOC=60°

在RtODC,ZDOC=60°,OD=03=2,

CD=y/3OD=20

【点睛】

本题考查切线的证明、圆周角定理、等边三角形的证明及性质、锐角三角函数，熟练应用圆的性质及定理

是解题的关键

17.（2021♦湖南娄底市•中考真题）如图，点A在以为直径的。。上，NA8C的角平分线与AC相交于

点E,与。。相交于点。，延长C4至M，连结8M,使得MB=ME，过点A作的平行线与CD的

延长线交于点N.

（1）求证：8M与。。相切；

（2）试给出AC,ARCN之间的数量关系，并予以证明.

【答案】（1）见详解：（2）AC?=AD.NC.

【分析】

（1）根据直径所对的圆周角为90。，MB=ME，以及是NABC的角平分线，推导出各个角度之间的

关系，等量代换即可证出；

（2）由圆周角相等推导出所对应的弧相等进一步得到弦相等，据此得出AADC为等腰三角形，再根据

NE〃8M以及（1）中的/MBC=90。，进一步通过推导角度关系得到NN=NEBC=/ABE=/DCA,

△M4C为等腰三角形，再根据子母型相似得到AADCSNC,最终根据相似三角形的性质即可得出

AC2=AD*NC.

【详解】

（1）如图所示,

V河8=”后.80是乙43。的角平分线，

；•NMBE=/MEB,ZABE=AEBC,

又；6c为直径，

/.NMC=90。，

AZABE+ZMEB=90°,

：.ZEBC+ZMBE=90°,

即8M与。。相切.

（2）;ZABE=NEBC，

AD=CD-

二AD^CD,

：.ZDAC=ZDCA,

•••△AOC为等腰三角形，

乂,:ZBDC=90°.

二ZBDN=90°,

：./N+/NGD=90。,

又ZNGD=/BGF，且由（1）可得NMBC=90°,NF//BM,

：.NNFB5）。.

即NN=ZEBC=ZABE=ZDCA,

AVAC为等腰三角形，

在AAOC和ZXAMC中，

4N=4DAC=/DCA,

，△ADCsAM4C,

.ADDCAC

"~NA~~AC~~NC'

•••AC2=DC*NC，

又,:AD=CD,

故：AC2=AD.NC-

【点睛】

本题考察了圆的综合应用，切线的证明，等腰三角形的性质，直角三角形的性质及判定以及相似三角形的

性质及判定等知识点，综合运用以上性质定理是解题的关键.

18.（2021・湖南中考真题）如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB=AC,过点8作8DLAC于。，延

长交△ABC的外接圆于点E,过点A作于F,的延长线交于点G.

（1）判断E4是否平分并说明理由；

（2）求证：①BD=CF；②BD?=DE?+AE-EG.

【答案】（1）EA平分NDEF，理由见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析.

【分析】

（1）先根据等腰三角形的性质可得NA5C=NACB,再根据圆周角定理可得NA£D=NACB,从而可得

ZAED=ZABC，然后根据圆内接四边形的性质可得N4EF=NABC,从而可得4ED=NAEE，由此

即可得出结论：

（2）①先根据角平分线的性质可得AD=AF,再根据直角三角形全等的判定定理与性质即可得证；

②先根据直角三角形全等的判定定理与性质可得DE=EF，再根据圆内接四边形的性质可得

ZECG=ZEAB,根据等量代换可得ZCEG=ZAEB,然后根据相似三角形的判定可得EEG，

根据相似三角形的性质可得二一=—,最后根据BE^BD+DE，CE=CF-EF=BD-DE即可得证.

AEBE

【详解】

解：(1)E4平分NOEE，理由如下：

-.AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

由圆周角定理得：ZAED=ZACB.

ZAED^ZABC,

由圆内接四边形的性质得：ZABC+ZAECISO°,

-,•ZAEF+ZAEC=\SO0,

:.ZAEF=ZABC,

：.ZAED=ZAEF，

.•.£A平分NDEV；

(2)①•.♦E4平分ZDER,BD1AC,AF±CE,

：.AD=AF,

'A£)=AF

在RtZVIBO和R/AACE中，《c，

AB=AC

:.Rt屈BD三RtSCF(HL),

：.BD=CF-.

'A。=AF

②在放"切和心△AEF,i,

AE=AE

Rt^AED=Rt^AEF(HL),

:.DE=EF,

山圆内接四边形的性质得：NECB+NE4B=18()°,

vZECfi+ZECG=180°,

/ECG=/EAB,

ZAED=ZAEF,NCEG=ZAEF,

/CEG=AAEB，

NECG=NEAB

在ACEG和△AEB中，，

NCEG=4AEB

:./EG〜iAEB，

,CEEG

"~AE~~BE'

BE-BD+DE•CE=CF-EF-BD—DE,

•_B_D__-_D__E____E_G___

'■-AE—-BD+DE'

;.BD2-DE?=AEEG，

即》=D£；2+AEEG.

【点睛】

本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、直角三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与

性质等知识点，较难的是题（2）②，正确找出两个相似三角形是解题关键.

19.（2021・湖南常德市•中考真题）如图，在RhABC中，ZABC=90°,以AB的中点。为圆心，AB为

直径的圆交AC于。，E是5c的中点，OE交84的延长线于F.

（1）求证：ED是圆。的切线;

(2)若BC=4,FB=8,求AB的长.

【答案】（1）见解析；（2）V17-1

【分析】

（1）连接0£>,利用等腰三角形性质，直角三角形证明ODLEE即可;

（2）设OD=x,求证AO£）尸列比例求解即可.

【详解】

解：证明：连接O。，如图:

B

DC

'：AB为直径,

二ZADB=/BDC=9伊.

•••点E是8c的中点,

:.ED=EB,

/./EDB=ZEBD,

：NEBD+ZABD=90°,ZDAB+ZABD=90°，

:,ZDAB=ZDBE=ZBDE，

'：OA=OD,

ZODA=ZDAB=ZDBE=/BDE

ZODA+ZODB=90°,ZCDE=ZADF,

NFDO=90°,

ODVFD

，/力是圆。的切线.

(2)是8c中点，BCE,

：.BE=2,

二FE=yjBE2+FB2=VF+87=2折，

在△0£>F和/中，NODF=NEBF=9()°，ZFNF，

二AODFS^EBF,

设。。为x,

ODOFx8-x

则---=0-=—7=,

EBFE22a

Vn-i

解得：X=

2

则AB=2x=JT7-1.

【点睛】

本题主要考查圆切线的判定、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上中线的性质以及相似三角形的判定与

性质，利用角的等量转化是解决本题的关键.

20.（2021・湖南张家界市•中考真题）如图，在中，ZABO=9Q°,ZOAB=30°,以点。为圆

心，08为半径的圆交30的延长线于点C,过点。作OA的平行线，交。。于点。，连接AO.

（1）求证：AO为0。的切线；

（2）若。5=2,求弧CO的长.

2

【答案】（D见解析；（2）-71

3

【分析】

（1）连接。8,先根据直角三角形的性质得到NAO8=60。，再运用平行线的性质结合已知条件可得

ZAOD=60°，再证明可得ZADO=ZABO=90°即可；

（2）先求出/CO。，然后再运用弧长公式计算即可.

【详解】

（1）证明：连接0。

VZOAB^30°,ZB=90°

...ZAOB=60°

又,:CDHAO

二ZC=ZAOB=O）°

：.NBOD=2NC=120。

ZAOD=60°

又=8,AO=AO

A^AOB^AOD(SAS)

ZADO=ZABO=90°

乂：点。在。。上

，AD是。。的切线;

(2)•••400=120。

，“00=60°

,•I-x2zrx2——71.

3603

【点睛】

本题主要考查了圆的切线的证明、弧长公式等知识点，掌握圆的切线的证明方法成为解答本题的关键.

21.(2021・湖南中考真题)如图，△ABC是。。的内接三角形，AC是O。的直径，点。是的中点，

DE//BC交AC的延长线于点E.

B

(1)求证：直线OE与。。相切；

(2)若0。的直径是10,NA=45°,求CE的长.

【答案】(1)见解析；(2)CE=5y[2-5-

【分析】

(1)连接0。，由点〃是BC的中点得ODL8C,由OE//8C得由0。是半径可得OE是切线;

(2)证明△ODE是等腰直角三角形，可求出OE的长，从而可求得结论.

【详解】

解：（1）连接0。交8c于点儿如图,

•••点。是8c的中点，

：.0DLBC,

'：DEIIBC

：.OD1,DE

'：0D是。。的半径

，直线。£与。。相切：

<2)是。。的直径，且AB=10,

/.NA8c=90。，OC=OA=-AB=5

2

•：OD±BC

：.ZOFC=90°

：.ODUAB

-.■ABAC=45°

ZDOE=45。

•••NODE=90。

/.NOE。=45

二DE=OD=OC=5

由勾股定理得，OE=5五

•■­CE=OE-OC=5y[2-5

【点睛】

此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用，熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关键.

22.（2021・湖南永州市.中考真题）如图1,是。。的直径，点E是。。上一动点，且不与A,8两点重

合，ZE45的平分线交。。于点C,过点C作。。J.AE,交AE的延长线于点D

图1图2

(1)求证：是0。的切线；

(2)求证：AC2=2ADAOi

(3)如图2,原有条件不变，连接延长A3至点M，的平分线交AC的延长线于点P,

NC钻的平分线交NCB用的平分线于点。.求证：无论点E如何运动，总有NP=NQ.

【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)见详解

【分析】

(1)连接0C,先证明NEAC=NOCA,可得CO〃AE,进而即可求证；

(2)连接8C,可证△ZMCs^CAB，进而即可得到结论；

(3)由三角形外角的性质可得NQ8M-NQAM=N。，ZCBM-ZCAM^ZACB,结合角平分线的定义，可得

/AC8=2NQ,同理：ZAEB^2ZP,进而即可得到结论.

【详解】

(1)证明：连接0C,

NEAC=NCAB,

,.・04=OC,

：.ZCAB=ZOCA,

：.ZEAC=ZOCA,

：.CO//AE,

VCD1AE,

：.C01CDt

・・・CD是OO的切线;

(2)连接BC,

•・•AB是。。的直径,

・・・NACB=90°,

CDLAE.

：.ZD=90°,即：ZACB=ZD,

VZDAC=ZCABf

，AZMC^Z\CAB，

处=坐眠AC2=ADAB,

ACAB

'：AB=2AO,

/.AC2=2AD-AO-

(3)证明：是△ABQ的一个外角,

：.ZQBM-ZQAM^ZQ,

同理：ZCBM-ZCAM=ZACB,

■：NC4B的平分线交NC3M的平分线于点Q,

；.NCBM=2NQBM,ZCAM=2ZQAM,

：.ZACB=2ZQ,

同理：NAEB=2NP,

'：ZACB和/AE8都是直径所对的圆周角，

，ZACB=ZA£B=90°,

，NP=N。，即：无论点E如何运动，总有NP=NQ.

【点睛】

本题主要考查圆的基本性质，三角形外角的性质，切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握

圆周角定理及其推论，切线的判定定理，是解题的关键.

23.（2021•湖南邵阳市•中考真题）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径EO与母线AO长之

比为1:2.制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中A8=AC,ADLBC.将扇形AEF

围成圆锥时，AE,Ab恰好重合.

（1）求这种加工材料的顶角N8AC的大小

（2）若圆锥底面圆的直径EO为5cm,求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积.（结果保留了）

【答案】（1）ZBAC=90°；（2）S阴行（100-25〃）cm2.

【分析】

（1）设EZE,贝ijAZ）=2x,根据圆的周长求妒弧长，利用弧长公式求〃=90°即可;

（2）由A3=AC,44C=90。，可得AABC为等腰直角V角形，由A。，BC可求8O=CZ）=A£>=10cm,利

用三角形面积公式求AD,利用扇形面积公式求S扇形方=251，利用面积差求S,即可.

【详解】

解：（1）设则AD=2r,

X〃万x2x

EF弧长=24X—=

180

...〃=90°，

・・・ZBAC=90°；

(2)VE£)=5cm,

.*.AD=2E£>=10cm,

VAB=ACZBAC=90°1

/.△ABC为等腰直角三角形，

,:AD1BC,

：.BD=CD=AD=\Ocn}1

：.BC=BLH-CD=20cmf

2

.,.SA«^-5CxAD=-x20xl0=100cm,

22

.q_90x乃xIO?_

一》扇形EF=-----记。-----=25万,

SS^BAC-S扇形EF—(100-25〃)Clif.

【点睛】

本题考查圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积，掌握

圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积是解题关键.

24.（2021.湖南株洲市.中考真题）如图所示，AB是。。的直径，点C、。是。。上不同的两点，直线8。

交线段OC于点E，交过点C的直线CT于点/，若OC=3CE,且9（族2—。尸2）=。。2.

（1）求证：直线CF是。。的切线；

（2）连接0。、AD>AC、DC,若NCOD=2/BOC.

①求证：

②过点E作EG//AB,交线段AC于点G,点M为线段AC的中点，若AD=4,求线段MG的长度.

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析：②1

【分析】

(I)先将9(瓦I2—c产)=转化为EF2_CF2=CE2,再利用勾股定理逆定理证明OC，CF即可;

(2)①利用同一条弧所对的圆周角等于其所对圆心角的半和同一条弧所对的圆周角相等分别得到

ZCAD=ZBOC^JNOBE=ZACD,再利用两角分别相等的两三角形相似即可完成求证；

②分别利用相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理的推论求出AC的长和CG的长，最后利用线段的

和差关系求解即可.

【详解】

解：(1)证：因为0C=3CE,且9(E尸一。尸)=0。2,

EF2-CF2

EF2-CF2=

99

J.OCA.CF,

二直线。尸是。。的切线；

(2)①•：NCOD=2NBOC,

又•••4cOD=24DAC,

：.ZCAD^ZBOC,

,：NOBE=ZACD,

J-CXXOBE；

@V

.OEOB

"~AD~~AC'

设圆的半径为r,

,.OC=3C£，AD=4,

2

»•»3f_r>

4-AC

AC-6：

•..点M为线段AC的中点,

：.CM=3,

•••EGIIAB.

.CGCE\

"^C~OC~3'

：.CG=2,

：.MG=CM-CG=3-2=L

线段MG的长度为1.

【点睛】

本题综合考查了切线的判定定理、圆周角定理及其推论、勾股定理逆定理、相似三角形的判定与性质、平

行线分线段成比例定理的推论等内容，解决本题的关键是牢记相关概念，能根据题意建立相等关系等，本

题考查内容较多，综合性较强，对学生的综合分析能力有较高要求.

25.（2021・湖南长沙市•中考真题）如图，点。为以A3为直径的半圆的圆心，点Af,N在直径AB上，点

P,。在上，四边形MNPQ为正方形，点C在QP上运动（点C与点P,。不重合），连接5c并延

长交WQ的延长线于点。，连接AC交MQ于点E，连接OQ.

D

(1)求sinNAOQ的值;

（3）令=QD=y,直径AB=2R（R>0,R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变

量x的取值范围.

【答案】(1)亚；(2)^1；(3)y=江一正R<X<正R).

52-5%555

【分析】

（1）连接OP，先利用HL定理证出RtQPN三RtQQM,从而可得ON=OM,再在RtAOQM中,

解直角三角形即可得；

（2）在（1）的基础上，利用AM=Q4—求出AM的长