透镜的变换性质

透镜的变换性质回顾.正絃型振幅光柵的夫琅禾费衍射-8-6-4-20246800.20.40.60.81l第2页,共43页，2024年2月25日，星期天整理上式忽略交叉项求Z处+1谱点位置？求衍射角？第3页,共43页，2024年2月25日，星期天输入图像的付里叶谱还可以直观的呈现在透镜的后焦面上。本节课程内容还可以有其它的方法吗？实现付里叶分解在物理上的实现，必须找到相应的物理元件。远场的夫琅禾费衍射装置就是图像的空间频谱分析器，这就是现代光学对经典光学中的夫琅禾费衍射的重新认识。夫琅禾费衍射实现了屏函数的付里叶变换。第4页,共43页，2024年2月25日，星期天第5页,共43页，2024年2月25日，星期天第六章透镜的变换性质本书第三章光学成像系统的频率特性3.1---3.3第6页,共43页，2024年2月25日，星期天主要内容透镜的位相变换性质透镜的付里叶变换性质:点光源,平面波照明,-------------频谱面在共轭面,焦平面上物体在透镜前或透镜后,对频谱面尺寸的影响,透镜后频谱面尺寸可调节透镜的孔径对付里叶变换的影响---------截止频率第7页,共43页，2024年2月25日，星期天前言:

透镜是组成光学系统的基本光学元件之一。在光学成像系统中，透镜起着成像、转像、补偿相差及调整倍率的作用。在光学的信息处理中，透镜起着限制波面和变换波面的作用。限制波面的作用是由于透镜的有限孔径决定的。而变换波面的作用则是由于透镜两个球面的曲率半径产生的。透镜的变换性质包括位相变换性质和傅立叶变换性质.

透镜的傅立叶变换性质是光学信息处理的基础。正是由于透镜在一定条件下能实现傅立叶变换，才使得傅立叶分析方法在光学中取得卓有成效的作用。第8页,共43页，2024年2月25日，星期天透镜通常是由光学玻璃或其它透明物质组成的，其折射率大于周围空气的折射率。因为光波在透镜中的传播速度小于光在空气中的传播速度，所以光波通过透镜后会产生位相延迟，其大小正比于透镜的各点的厚度。薄透镜的位相变换性质简单讨论:“薄透镜”指透镜的厚度与曲率半径比足够小。以至于光线经过透镜之后的出射点在垂直光轴方向上产生的位移可忽略第一节:透镜的位相变换性质

第9页,共43页，2024年2月25日，星期天3.1透镜的位相变换作用透镜看作衍射屏sS’pqx-yU1U1’薄透镜：不考虑厚度引起的光折射第10页,共43页，2024年2月25日，星期天第11页,共43页，2024年2月25日，星期天透镜孔径函数透镜孔径内其他3.73.63.5第12页,共43页，2024年2月25日，星期天△

pp/入射光场U(x,y)U’(x,y)出射光场相位因子t(x,y)U(x,y).t(x,y)=U/(x,y)△o对于薄透镜，如果忽略它对光波地吸收作用，则U’(x,y)与U(x,y)只相差一个相位因子t(x,y)，Z1、z2

是除外

的空气隙的厚度。.Z2(x,y)Z1(x,y)R1R2第13页,共43页，2024年2月25日，星期天第14页,共43页，2024年2月25日，星期天即:当f>0,出射球面波将在透镜 后焦面F/处汇聚，如右图:F当f<0,平面光波通过负透镜 后将成为分散球面波 如右图:

F以上结论与几何光学的结论完全相同。第15页,共43页，2024年2月25日，星期天正透镜的最突出和最有用的性质之一，是它具有实现二维傅立叶变换的特性。因而，它在光学信息处理中是必不可少的重要元件。本节研究用正透镜实现傅立叶变换的两类光路：第一类：物在透镜前第二类：物在透镜后一：物在透镜前方设要变换的物体是一振幅透射系数为t(x0,y0)的透明图片，变换光路如下：3.2.1透镜的傅立叶变换性质

3.2透镜的付里叶变换性质第16页,共43页，2024年2月25日，星期天p1凸透镜p1p0透明图片p0S点光源S入射光场:透射系数:t(x0,y0)U0(x0,y0)=S发出单色球面波，在离S单位距离处振幅是a0

p2光源共軛面pqd0光源与透镜的距离p;P2与透镜的距离q;输入面p0到透镜的距离d0;这样在傍轴条件下，输入面上的入射光波为:x0x1x第17页,共43页，2024年2月25日，星期天输入面的出射光波为:U0(x0,y0)pqp1p0Sp2U0(x0,y0)U/(x1,y1)

U1(x1,y1)根据透镜的位相变换性质，t(x,y)=P(x,y).exp[-jk(x2+y2)/2f]光波经过透镜后的光场分布位为:=

U1(x1,y1).t(x,y)式中p(x1,y1)是透镜的光瞳函数，其值在光瞳内位1，在光瞳外为0。按照菲涅耳衍射公式在光源S的共軛面P2(即输出面)上的光场分布为:U/(x1,y1)U(x,y)U(x,y)第18页,共43页，2024年2月25日，星期天其中并将U/代人上式。如果忽略透镜孔径的影响，经运算整理并用C表示式中出现的所有复常数，最后得到输入面位于透镜前时的一般变换式:U(x,y)3.9其中用到物像共轭的高斯公式：指是像s’点所在的P2面第19页,共43页，2024年2月25日，星期天(1)

:输入面位于透镜的前焦面上时:即d0=f;代人上式得:下面分两中情况讨论:即其中，3.10在这种情况下，衍射物体的复振幅透过率与衍射场的复振幅分布存在准确的傅里叶变换关系。第20页,共43页，2024年2月25日，星期天(2)

:输入面紧靠透镜:即d0=0,可得:3.11其中:

＝x/q,=y/q随q的值而不同．也就是说，频谱在空间尺度上能按一定的比例缩放，这对光学信息处理的应用将带来一定的灵活性．并且也利于充分利用透镜孔径．衍射物体的复振幅透过串与观察面上的场分布，不是准确的傅里叶变换关系，有一个二次相位因子，也成为准傅立叶变换观察面上的空间坐标与空间频率的关系为

＝x/q,=y/q第21页,共43页，2024年2月25日，星期天3.2.2物在透镜后方设物体位于透镜后方d0处，如下图:S是位于光轴上的点光源，它与透镜中心的距离为p(P>f),观察面p2位于光源面的共軛面上与透镜的距离为q=pf(p–f).第22页,共43页，2024年2月25日，星期天球面波SPqd0p2设照明球面波在r=1,处的振幅为a0,物体的透射系数为t(x0,y0).则透过物体后的光场分布为U0(x0,y0).按照菲涅耳衍射公式，p2上的光场分布为:x0x1x第23页,共43页，2024年2月25日，星期天C’是与x,y无关的复常数。3.15其中，

＝x/(f-d0),=y/(f-d0)由式(3．9)和式(3．15)可以看出，不管伦射物体仇于何种位置，只要观察面是照明光源的共扼面，则物面(输入面)和观察面(输出面)之问的关系都是付里叶变换关系，即观察面上的衍射场都是夫琅示费型。显然d0=0时，由式(3。15)也可得出式(3。11)，物体紧贴透镜后表面与物体紧贴前表面的公式完全相同。第24页,共43页，2024年2月25日，星期天结论:

当照明光源和观察面是一对成物像关系的共轭面时；无论物透明片是放在透镜前或透镜后，除差常数相位因子外，观察面总是物的频谱面。下图列出了各种傅立叶变换的特点:变换性质物面位置光源位置变换平面位置二次位相因子空间频率

傅立叶变换前焦面d0=f

无穷远

后焦面

无

pq=pf/(p-f)

无第25页,共43页，2024年2月25日，星期天变换性质物面位置光源位置变换平面位置二次位相因子空间频率

准傅立叶变换透镜前d0处

后焦面

pq=pf/(p-f)

d0=0

后焦面

pq=pf/(p-f)透镜后d0处

后焦面

pq=pf/(p-f)第26页,共43页，2024年2月25日，星期天作业3.2求入射函数，频谱函数？透镜焦距f0，斜入射角

第27页,共43页，2024年2月25日，星期天3.2.3透镜孔径对透镜

傅立叶变换的影响由于透镜孔径对光波的限制作用，实际上透镜孔径的大小总是有限制的，他对傅立叶变换特性会产生影响。下面我们仅讨论一些简单条件的情况:物在透镜前方单色平行光照明忽略透镜孔径的衍射作用一:透镜孔径对光线的限制作用如前所说，频谱面上任意一点M(x,y)处的光场可以看作是整个物体上所有各点发出的一切以方向余弦(cos

=x/f,cos

=y/f)传播第28页,共43页，2024年2月25日，星期天的平行光线经透镜汇聚后的叠加，如下图:x0xM(x,y)Ly0yfO但是这些光线受到了透镜孔径的限制，只有其中一部分能进入透镜并被汇聚。为便于分析透镜孔径的限制作用，在上图中沿MO方向向透镜孔径投影到物平面上，并考察物体被孔径投影覆盖的情情况。@如果整个物体在孔径投影区内则表明物体上所有点发出的以方向余弦(cosa,cosb)传播的所有光线都能通过透镜并汇聚于M点。此时M点的光线就代表了物体发出的该方向平面波所对应的空间频(

＝cosa/,=cosb/

)的频谱值。@如果物体只有一部分在孔径投投影区内，如图中的阴影部分，则表明只有在孔径投影区内发出的以方向余弦(cosa,cosb)传播的光线才能通过透镜汇聚于M点，而投第29页,共43页，2024年2月25日，星期天投影区外物体发出的该方向光线将不能进入透镜而受到限制，此此时M点的光线将不能完全代表整个物在该方向平面波所对应的空空间频率的谱值。@如果物体在空间投影区外，则表明物体上以OM方向传播的平面波完全不能通过透镜而汇聚，此时M点的光场为0。于该方向平面波对应的空间频率的谱值在频谱面上得不到任何反映。二:透镜的截止的频率透镜的截止频率是指恰好不能通过透镜的平面波所对应的空间频率例如:用单色平面波垂直照明:ffDL

平面波恰好不能通过透镜，角对应的空间频率即为透镜的截止频率x0X,

第30页,共43页，2024年2月25日，星期天设透镜的焦距为f，孔径为D,物体大小为l。则有:对应的截止频率为:由上式可见，截止频率

0

与透镜孔径D有关，透镜孔径D越大时，截止频率

0越高，能通过透镜的高频分量就越多，频谱面上得到的物体的傅立叶变换就越准确。三:能得到物体准确傅立叶变换的最大空间频率透镜孔径的限制作用体现在对物体高频分量的限制，如果物体的最大空间频率不超过某一数值，则在频谱面上仍然可以得到准确的傅立叶频谱。如下图:lffDmax第31页,共43页，2024年2月25日，星期天当物体的最大空间频率所对应的平面波以a角传播时，物体上所有频率分量都能通过透镜，此时有:对应的最大空间频率为:结论:

则该系统能实现对物体的准确傅立叶变换。

则对物体中对应截止频率的频率分量将完全不能通过系统，完全被透镜孔径所拦截。

只有一部分光线能通过透镜，即存在不同程度的渐晕，因而得到的傅立叶变换不是准确的。四:考虑透镜孔径影响后频率的复振幅表示式透镜的孔径通常用光瞳函数P(x1,y1)来表示:第32页,共43页，2024年2月25日，星期天(光瞳内)(光瞳外)当考察透镜孔径对频谱面上某一点M(x,y)光场的影响时，应将透镜孔径的边框沿MO方向在物平面上投影。该投影区的大小近似与透镜孔径P(x1,y1)相同,只是其中心一般不在坐标原点，而在处。因此透镜孔径边框在物体平面上的投影可用表示。对应物体在透镜前，且用平行光垂直照明的情况，当考虑透镜孔径P(x1,y1)对频谱的影响时，频谱平面上的复振幅分布为:U(x,y)=第33页,共43页，2024年2月25日，星期天五:物面位置对透镜傅立叶变换的影响频谱面上的光场分布不仅与透镜的焦距和孔径有关，而且与物面位置d0有关。当物面离透镜愈近时，渐晕效应愈小，即透镜孔径的影响也愈小。当物体紧贴透镜时，d0＝0，透镜孔径的影响最小。这时如果物体的尺寸小于透镜孔径，则物体图样的边框就决定了通光孔径，而透镜孔径不起限制作用，在频谱面上能得到物体的傅立叶变换。设物体图样边框用P(x0,y0)表示，则由上式U(x,y)可知在频谱面上的光场分布为:第34页,共43页，2024年2月25日，星期天式中:

＝x/f,=y/f

分别表示x,y方向的空间频率。T(

,)表示物体的频谱;P(

,)表示物体图样边框函数的频谱。由于物体离焦,式中存在一个附加的二次位相因exp[jk(x2+y2)/2f]为了消除这个因子，可以在后焦面上放置一个焦距为f的场镜(凸透镜)，如图fxx0该场镜引入的位相变换因子为exp[-jk(x2+y2)/2f]将附加因子抵消。如果物体尺寸大于透镜孔径，则透镜对与处于透镜孔径之外的部将无法进行傅立叶变换，此时应换用孔径更大的傅立叶镜头。第35页,共43页，2024年2月25日，星期天3.3透镜的一般变换性质物位置在透镜的后焦面上的光场分布是物函数的准傅立叶变换，除一相位因子外。物位置和观察位置满足高斯物象关系式时，在输出面得到放大的像，回到几何光学的结果。

当物体放置在前焦面上，在透镜的后焦面上的光场分布是物函数的准确傅立叶变换，在任意情况，物面(输入而)和观察洲(输出面)的位置是任意的，将导出此时的输入—输出关系式。第36页,共43页，2024年2月25日，星期天d1和d2是任意的，用振幅为1的币色波垂直照明物面，设物而上则场分布为U。(x0，y0)，观察面的场分布为U(x，y)，并假设光场在d1和d2距离上的传播满足菲涅耳近似条件，则透镜前表面上的场表示为U1(