中考数学专题复习《综合题解答》测试卷-附带答案

第第页中考数学专题复习《综合题解答》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1.（2024·上海奉贤二模25）如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为的中点，点在上，以为邻边作矩形，边交于点．（1）如果，，求边的长；（2）连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的度数；（3）连接并延长，交于点，如果，求的值．2.（2024·上海虹口二模25）如在梯形中，，点在射线上，点在射线上，连接、相交于点，．（1）如图①，如果，点、分别在边、上．求证：；（2）如图②，如果，，，．在射线的下方，以为直径作半圆，半圆与的另一个交点为点．设与弧的交点为．①当时，求和的长；②当点为弧的中点时，求的长．3.（2024·上海黄浦二模25）已知：如图，是圆O的内接三角形，，、的中点分别为M、N，与、、分别交于点P、T、Q．（1）求证：；（2）当是等边三角形时，求的值；（3）如果圆心O到弦、的距离分别为7和15，求线段的长．4.（2024·上海金山二模25）如图，已知：等腰梯形中，，，以A为圆心，为半径的圆与相交于点E，与相交于点F，联结，设分别与相交于点G、H，其中H是的中点．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）如图1，如果，求的值；（3）如图2，如果，求的余弦值．5.（2024·上海静安二模25）如图1，中，已知为锐角，．（1）求的值；（2）如图2，点P在边上，点Q是边的中点，经过点A，与外切，且的直径不大于，设的半径为x，的半径为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）在第（2）小题条件下，连接，如果是等腰三角形，求的长．6.（2024·上海闵行二模25）如图，是的半径，弦垂直于弦，点M是弦的中点，过点M作的平行线，交于点E和点F．（1）如图1，当时．①求的度数；②连接OE，求证：；（2）如图2，连接，当时，，求y关于x的函数关系式并直接写出定义域．7.（2024·上海浦东二模25）已知：和相交于A、B两点，线段的延长线交于点C，、的延长线分别交于点D、E．（1）连接、，、分别与连心线相交于点H、点G，如图1，求证：；（2）如果．①如图2，当点G与O重合，的半径为4时，求的半径；②连接、，与连心线相交于点F，如图3，当，且的半径为2时，求的长．8.（2024·上海普陀二模25）如图，在梯形中，（），，．将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、．（1）当点正好落在的延长线上时，求的度数；（2）联结，设，．①求关于的函数解析式；②定义：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形．设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段、为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求双同正多边形的边数．9.（2024·上海青浦二模25）在中，，以C为圆心、为半径的弧分别与射线、射线相交于点，直线与射线相交于点F．（1）如图，当点D在线段上时．①设，求；（用含的式子表示）②当时，求的值；（2）如图，当点D在的延长线上时，点分别为的中点，连接，如果，求的长．10.（2024·上海松江二模25）如图，已知矩形中，，，点是边上一动点，过点作，垂足为点，连接，过点作，交边于点（点与点不重合）．（1）当是的中点时，求证：；（2）当的长度取不同值时，在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）延长交边于点，连接，与能否相似，若能相似，求出此时的长；若不能相似，请说明理由．11.（2024·上海徐汇二模25）如图，在扇形中，，，点、是弧上的动点（点在点的上方，点不与点重合，点不与点重合），且．（1）①请直接写出弧、弧和弧之间的数量关系；②分别连接、和，试比较和的大小关系，并证明你的结论；（2）分别交、于点、．①当点在弧上运动过程中，的值是否变化，若变化请说明理由；若不变，请求的值；②当时，求圆心角的正切值．12.（2024·上海杨浦二模25）已知以为直径的半圆上有一点，，垂足为点，点是半径上一点（不与点、重合），作交弧于点，连接．（1）如图，当的延长线经过点时，求的值；（2）如图，作，垂足为点，连接．试判断与的大小关系，并证明你的结论；当是等腰三角形，且，求的值．13.（2024·上海嘉定二模25）在菱形中，，点在射线上，连接、．（1）如图，当点是边的中点，求的正切值；（2）如图，当点在线段的延长线上，连接与边交于点，如果，的面积等于，求的长；（3）当点在边上，与交于点，连接并延长与的延长线交于点，如果，与以点、、所组成的三角形相似，求的长．14.（2024·上海长宁二模25）（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题10分）己知在中，，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径作，交边AC于点D（点D不与点A、C重合）．图1备用图备用图（1）当时，判断点B与的位置关系，并说明理由；（2）过点C作，交OD延长线于点E．以点E为圆心，EC为半径作，延长CE，交于点．①如图1，如果与的公共弦恰好经过线段EO的中点，求CD的长；②联结、OC，如果与的一条边平行，求的半径长．15.（2024·上海宝山二模25）已知AB是半圆O的直径，C是半圆O上不与A、B重合的点，将弧AC沿直线AC翻折，翻折所得的弧交直径AB于点D，E是点D关于直线AC的对称点．（1）如图12，点D恰好落在点O处.①用尺规作图在图12中作出点E（保留作图痕迹），联结AE、CE、CD，求证：四边形ADCE是菱形；②联结BE，与AC、CD分别交于点F、G，求的值；（2）如果AB＝10，OD＝1，求折痕AC的长．图图12备用图16.（2024·上海宝山二模25）如图，已知中，，，，点D是射线BA上一动点（不与A、B重合），过点D作，交射线BC于点E，点Q为DE中点，联结AQ并延长，交射线BC于点P．（1）如图1，当点D在线段AB上时，=1\*GB3①若，求PC的长；=2\*GB3②当与相似时，求AD的长．A（2）当是以AD为腰的等腰三角形时，试判断以点A为圆心、AD为半径的⊙A与以C为圆心、CE为半径的⊙C的位置关系，并说明理由．ADDQQABC备用图2ABC备用图1BCPE第25题图1ABC备用图2ABC备用图1BCPE第25题图1参考答案1.（2024·上海奉贤二模25）如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为的中点，点在上，以为邻边作矩形，边交于点．（1）如果，，求边的长；（2）连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的度数；（3）连接并延长，交于点，如果，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（）连接，过点作，垂足为，由圆周角定理可得，进而可得，再证明，根据，可得，即可求解；（）连接，设，则，，求出，得到，进而得到，，分和两种情况解答即可求解；（）由可得，，进而得到，可证明，得到，，设，，则，，证明，得到，即可到，由勾股定理，即可求解；【小问1详解】解：连接，过点作，垂足为，∵点是中点，∴，∵，∴，∴，∴，∵矩形，∴，∵，∴，，∴，在与中，，∴，∴，解得，∴；【小问2详解】解：连接，设，则，，∴在中，，∴，∴，，当时，，即，解得，∴，∵，∴；当时，，即，不存在；∴；【小问3详解】解：如图，由可得，，，，∴，∴，∴，，设，，由题意得，，∵四边形为矩形，∴，∴，，，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴．2.（2024·上海虹口二模25）如在梯形中，，点在射线上，点在射线上，连接、相交于点，．（1）如图①，如果，点、分别在边、上．求证：；（2）如图②，如果，，，．在射线的下方，以为直径作半圆，半圆与的另一个交点为点．设与弧的交点为．①当时，求和的长；②当点为弧的中点时，求的长．【答案】（1）见解析（2）①；；②【分析】（1）根据等腰梯形的性质可得，，，根据三角形的外角性质得出，进而可得，即可证明，根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①同（1）证明，如图所示，过点作于点，连接，得出，，解直角三角形，分别求得，，进而根据相似三角形的性质求得的长；②根据题意画出图形，根据垂径定理得出，根据题意可设，，则，得出，设，则，则，在中，得出，根据得出，即可求解．【小问1详解】证明：∵梯形中，，，∴，，，又∵，∴∴，∴；小问2详解】解：∵，∵，则∴∴∵∴又∵∴，如图所示，过点作于点，连接，∵，∴，则，，∵∴∵∴又∵∴，在中，∴∴，∵为直径∴∴，∴，，则，∵∴∴②过点作于点，∵∴∵∴设，，则∵，则设，则∴∵∴设，则，∴，在中，∴又∵∴∴3.（2024·上海黄浦二模25）已知：如图，是圆O的内接三角形，，、的中点分别为M、N，与、、分别交于点P、T、Q．（1）求证：；（2）当是等边三角形时，求的值；（3）如果圆心O到弦、的距离分别为7和15，求线段的长．【答案】（1）见详解（2）1（3）15或【分析】（1）连接，由题意得，则点A在的中垂线上，结合圆的性质得点O在的中垂线上，则垂直平分即可；（2）连接，由圆周角定理得，证得是等边三角形，则有，可得即可；（3）连接交于点G，延长交于点H，由（1）得，同理，且，结合，设圆O的半径为r，利用和，整理得到，进一部分分当与位于元O得两侧和当与位于元O得同侧求解即可．【小问1详解】证明：连接，如图，由题意得，则点A在的中垂线上，∵，∴点O在的中垂线上，则垂直平分，那么，；【小问2详解】连接，如图，∵是等边三角形，∴，∴，∵，点N为的中点，∴，∴是等边三角形，∵，∴，∴；【小问3详解】连接交于点G，延长交于点H，如图，由（1）得，同理，且，∵，，∴，设圆O的半径为r，∵，，∴，即，当与位于元O得两侧时，则，，解得，（舍去），则，，，∵，∴，则；当与位于元O得同侧时，如图，则，，解得，（舍去），则，，，∵，∴，则；故线段的长为15或．4.（2024·上海金山二模25）如图，已知：等腰梯形中，，，以A为圆心，为半径的圆与相交于点E，与相交于点F，联结，设分别与相交于点G、H，其中H是的中点．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）如图1，如果，求的值；（3）如图2，如果，求的余弦值．【答案】（1）见解析（2）（3）【分析】（1）由题意知，，则，，由等腰梯形，可得，则，进而结论得证；（2）由垂径定理得，证明，则，设，则，证明，则，，由勾股定理得，，，则，根据，求解作答即可；（3）由（2）可知，，则，，由（2）可知，，则，，如图，作，垂足为点I，连接，则，设，，则，，证明，可得，，由勾股定理得，，即，可得，根据，求解作答即可．【小问1详解】证明：由题意知，，∴，∵，∴，∵等腰梯形，∴，∴，∴，∴四边形平行四边形．【小问2详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，设，则，∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，由勾股定理得，，∴，∴，∴，∴；【小问3详解】解：由（2）可知，，∴，∵，∴，由（2）可知，，∴，∴，如图，作，垂足为点I，连接，∵，∴，设，，则，，∵∴，∵，，，∴，∴，∴，由勾股定理得，，∴，∴，∴，∴．5.（2024·上海静安二模25）如图1，中，已知为锐角，．（1）求的值；（2）如图2，点P在边上，点Q是边的中点，经过点A，与外切，且的直径不大于，设的半径为x，的半径为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）在第（2）小题条件下，连接，如果是等腰三角形，求的长．【答案】（1）（2）（3）的长为或3【分析】（1）构建直角三角形，根据，得出，根据勾股定理，得出，然后，再运用正弦的定义列式计算，即可作答．（2）设的半径为，的半径为，作图，根据已有的条件得出，结合勾股定理，得出，，在中，，代入数值进行计算，即可作答．（3）因为是等腰三角形，所以进行分类讨论，分为,以及，结合等腰三角形性质以及线段的和差运算，列式作答即可．【小问1详解】解：过点A作∵为锐角，．∴在解得∴∵∴∴在∴；【小问2详解】解：如图：∵与外切，设的半径为，的半径为∴∵∴∵，点Q是边的中点∴过点P作于点G∵∴则在中，则∴当时，则，得出；当时，则，得出；∵∴则【小问3详解】解：∵是等腰三角形，∴当时，，∴当时，，则，∵点Q是边的中点，∴点P是边的中点，∴，∴当时，，此时∴解出（舍去）综上：是等腰三角形，的长为或36.（2024·上海闵行二模25）如图，是的半径，弦垂直于弦，点M是弦的中点，过点M作的平行线，交于点E和点F．（1）如图1，当时．①求的度数；②连接OE，求证：；（2）如图2，连接，当时，，求y关于x的函数关系式并直接写出定义域．【答案】（1）（1）①，②见详解（2）【分析】（1）①连接，，由已知条件可得出，，由三角形内角和得出，由外角的性质可得出，进而可得出，即可证明A，O，C三点共线，再利用等腰三角形三线合一的性质即可求出答案．②连接，由平行的性质可得出，由，可得出，，进而可得出，再由直角三角形的性质可得出．（2）过点A作与点G，过O点作与点P．设半径为r，则，由得出，由平行线的性质可得出，，进而证明，由相似三角形性的性质可得出，即可求出，，再求证，即可得出，即，根据y的取值范围即可求出x的取值范围．【小问1详解】解：①连接，，∵，∴，，∵，且，∴，∴A，O，C三点共线，∵，∴平分，∵，∴．②连接，∵，∴，∵，∴，在中，，∴．【小问2详解】过点A作与点G，过O点作与点P．设半径为r，则，∵∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵∴，∵，，∴∴，∴，∵，∴，则有，∴．7.（2024·上海浦东二模25）已知：和相交于A、B两点，线段的延长线交于点C，、的延长线分别交于点D、E．（1）连接、，、分别与连心线相交于点H、点G，如图1，求证：；（2）如果．①如图2，当点G与O重合，的半径为4时，求的半径；②连接、，与连心线相交于点F，如图3，当，且的半径为2时，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）①；②【分析】（1）先证明，可得，再证明，可得；（2）①如图，连接，，，，证明三点共线，证明，再利用勾股定理求解即可；②如图，连接，，，证明，可得，证明，求解，证明，再利用相似三角形的性质与勾股定理求解即可．【小问1详解】证明：∵，，∴，∴，∵，∴，同理：，∴，∴；【小问2详解】①如图，连接，，，，∵为的直径，∴，∴三点共线，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∵，，∴；②如图，连接，，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，而，，∴，∴，∵，∴，∴，设，，∴，∴，∵在中，，∴，∴，整理得：，解得：或（舍去），∴．8.（2024·上海普陀二模25）如图，在梯形中，（），，．将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、．（1）当点正好落在的延长线上时，求的度数；（2）联结，设，．①求关于的函数解析式；②定义：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形．设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段、为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求双同正多边形的边数．【答案】（1）（2）①；②理由见解析，双同正多边形的边数为【解析】【分析】（1）当点正好落在的延长线上时，连接，根据平行线的性质、旋转的性质、等边对等角的性质，得出，结合三角形内角和为求出度数即可；（2）①连接、、、，过点作于点，根据旋转的性质、相似三角形的判定定理，证明，得出，结合勾股定理，用含的代数式表示出、，代入中整理得出关于的函数解析式即可；②根据①过程中，，，已知，说明以线段、为边的正多边形是双同正多边形即可；根据当这两个正多边形的面积比是时，相似多边形的面积比等于相似比的平方，得出相似比为，求出的长，结合勾股定理计算，求出，得出，计算即可得出双同正多边形的边数．【小问1详解】解：如图，当点正好落在的延长线上时，连接，∵，，将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、对应点分别是点、，∴（两直线平行，内错角相等），，，∴，∴；【小问2详解】解：①如图，连接、、、，过点作于点，∵将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、，∴，和都等于旋转角，即，∵，∴，∴，∵，，，∴，，∴四边形是矩形，∴，，，∴，∴，，∵，∴，，，整理得：；②以线段、为边的正多边形是双同正多边形，理由如下，如图，由①过程得：，，，∵，是一个正多边形的中心角，将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、，∴，∴也是一个正多边形的中心角，∴以线段、为边，以点为的中心的两个正多边形的中心角也相等，即这两个正多边形是双同正多边形，∴这两个正多边形也是相似多边形，∵当这两个正多边形的面积比是时，∴，∴，∴，∴，∴，∴这两个正多边形的中心角，∴这两个正多边形的边数，∴当这两个正多边形的面积比是时，双同正多边形的边数为．9.（2024·上海青浦二模25）在中，，以C为圆心、为半径的弧分别与射线、射线相交于点，直线与射线相交于点F．（1）如图，当点D在线段上时．①设，求；（用含的式子表示）②当时，求的值；（2）如图，当点D在的延长线上时，点分别为的中点，连接，如果，求的长．【答案】（1）①②（2）【分析】（1）①根据等边对等角得到，，然后根据四边形的内角和是计算解题；②先根据得到，然后推导，得到，可以求出长，过点A作于点G，然后求出值即可；（2）设交于点H，设，则，然后证明，得到，然后根据平行线分线段成比例得到，，再根据，就可得到，代入数值即可解题．【小问1详解】解：①∵，∴，，又∵，∴，∴；②∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，即，解得：或（舍）；过点A作于点G，则，∴；【小问2详解】解：设交于点H，设，∵M是的中点，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∵，，∴，∴，∴，即，解得：，∴，∵∴，又∵，，∴，∴，∴，∴，∵∴，又∵是的中点，∴，∴，即，解得：或（舍），∴．10.（2024·上海松江二模25）如图，已知矩形中，，，点是边上一动点，过点作，垂足为点，连接，过点作，交边于点（点与点不重合）．（1）当是的中点时，求证：；（2）当的长度取不同值时，在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）延长交边于点，连接，与能否相似，若能相似，求出此时的长；若不能相似，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，PF的长度不变，（3）能相似，【分析】本题考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质及判定，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数的比值关系等知识点，灵活运用角的等量关系建立边的比值关系是解题的关键．（1）利用斜边的中线是斜边的一半的性质和矩形的性质，通过角的等量代换得到即可；（2）通过角的等量代换和相似三角形的判定方法证出，即可根据比值关系求解；（3）连接，过点作，垂足为，通过角的等量代换和边的比值关系判定出四边形是矩形，然后再利用角的等量代换证出，当时（均为钝角）时，可得到，从而得到，再利用勾股定理运算求解即可．【小问1详解】解：∵，为的中点，∴，∴，∵四边形为矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴；【小问2详解】解：的长度不变，理由如下：∵，∴，∵四边形为矩形，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴；【小问3详解】（3）连接，过点作，垂足为，如图所示：∴，，由题意可得：，∴，∴，∴，∴，∴，∵四边形为矩形，∴，∴四边形是矩形，∴，∴，∴，∴当时（均为钝角），，∴，∴，∵，∴，∴．11.（2024·上海徐汇二模25）如图，在扇形中，，，点、是弧上的动点（点在点的上方，点不与点重合，点不与点重合），且．（1）①请直接写出弧、弧和弧之间的数量关系；②分别连接、和，试比较和的大小关系，并证明你的结论；（2）分别交、于点、．①当点在弧上运动过程中，的值是否变化，若变化请说明理由；若不变，请求的值；②当时，求圆心角的正切值．【答案】（1）①；②，证明见解析；（2）①的值不变，；②或．【分析】（1）①根据“同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”即可得到答案；②在弧上取点连接，使得，可得，根据角的和差关系可得，则，即可得到答案；（2）①证明，即可得到答案；②过点在下方作，截取，连接、，证得，可得，进一步证得，则可得，由勾股定理和线段的和差关系可得，联立解得，过点N作于点F，则，利用勾股定理求得，，根据正切的概念计算即可．【小问1详解】解：①，，，；②．证明如下：在弧上取点连接，使得，；、可得；，，；；．【小问2详解】解：①的值不变，．，，；，，；；；．②如图，过点在下方作，截取，连接、，，，，，；又，，，，；，；解得或；过点N作于点F，则，，，，设，则，当时，在中，，即，解得：，；当时，在中，，即，解得：，．12.（2024·上海杨浦二模25）已知以为直径的半圆上有一点，，垂足为点，点是半径上一点（不与点、重合），作交弧于点，连接．（1）如图，当的延长线经过点时，求的值；（2）如图，作，垂足为点，连接．试判断与的大小关系，并证明你的结论；当是等腰三角形，且，求的值．【答案】（1）；（2），理由见解析；的值为或或．【分析】（）利用垂径定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质解答即可；（）延长交于点，延长交于点，延长交于点，连接，，，，利用垂径定理，三角形的中位线定理得到，利用垂径定理得到，再利用四边形的内角和定理和邻补角的性质得到，再利用相等的圆心角所对的弧相等的性质，等弧对等弦的性质得到则结论可得；利用分类讨论的方法分三种情况解答：当时，利用全等三角形的判定与性质和勾股定理解答即可；当时，过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理解答即可；当时，则，连接，利用矩形的判定与性质和勾股定理解答即可．【小问1详解】当的延长线经过点时，∵，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴；【小问2详解】与的大小关系为：，理由：延长交于点，延长交于点，延长交于点，连接，，，，如图，∵∴，∵为直径，，∴,∴为的中位线，∴，∵为直径，，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵∴，∴，∴，∴；∵，，∴，∴设，则，∴，当时，由（）知：，∴，，∵，∴，∴，∴；当时，过点作于点，如图，在和中，，∴，∴，设，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，当时，则，连接，如图，∵，，，∴四边形为矩形，∴，在和中，∴，∴，∴，设，则，∴，，∴，∴，∴，∴综上，当是等腰三角形，且，的值为或或．13.（2024·上海嘉定二模25）在菱形中，，点在射线上，连接、．（1）如图，当点是边的中点，求的正切值；（2）如图，当点在线段的延长线上，连接与边交于点，如果，的面积等于，求的长；（3）当点在边上，与交于点，连接并延长与的延长线交于点，如果，与以点、、所组成的三角形相似，求的长．【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）添加辅助线DE，构造直角三角形，求正切值；（2）通过面积比求出相关线段的比值，进而用勾股定理等进行求解；（3）通过相似三角形构建等量关系，求线段AE的长度。【详解】（1）联结DE∵菱形ABCD∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形∵点E是边AB的中点，∴DE⊥AB，DE⊥CD△CDE是直角三角形在等边△ADB中，过F作FM⊥AE，交AE于点M。∵菱形ABCD∠DCB=∠DAB=60°，∴△DCB是等边三角形∵AE∥CD在△BEF中，∠B=60°，∴在Rt△BFM中， 设AE=x,由题意得，△ADE∽△BEG∵△BEG∽△BCH又∵△BEH∽△DCH14.（2024·上海长宁二模25）（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题10分）己知在中，，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径作，交边AC于点D（点D不与点A、C重合）．图1备用图备用图（1）当时，判断点B与的位置关系，并说明理由；（2）过点C作，交OD延长线于点E．以点E为圆心，EC为半径作，延长CE，交于点．①如图1，如果与的公共弦恰好经过线段EO的中点，求CD的长；②联结、OC，如果与的一条边平行，求的半径长．【答案】（1）点B在内.（2）①②【分析】（1）求出OB，OA的长度，然后比较大小，即可；（2）通过添加辅助线，构造直角三角形，解直角三角形及锐角三角比求出线段CD的长度；（3）分类进行讨论，利用平行线性质列比例式，求的半径CE的长度，本小题综合性比较高。【详解】（1）过点O作，垂足为点H.∵过圆心，，∴.∵，∴.∴，∴.∵，∴.∴.∴点B在内.H（2）过点C作，垂足为点M.H∵，，∴∵，∴.∵，∴.又∵，∴..∴在中，，.设，则∴∴①两圆的交点记为P、Q，联结PE、PO∵⊙O、⊙E相交，PQ是公共弦，∴OE垂直平分PQ，即.∵PQ经过OE中点，∴PQ垂直平分OE，∴，即.∴.在中，，∴.∴.∴∴.∴.②由于点A在直线AB上，所以不可能与OB平行.1..过点作，垂足为点N.∵，∴.∵，∴∵，∴.∵，∴.∴.∵，∴.∵，∴.∵，∴，∴.在中，，.∴.∴.∴.2..延长OE交延长线于点F.∵，∴.∴.∵，，∴.∴.∴.∵，∴，∴，，.∴.综上所述：.15.（2024·上海宝山二模25）已知AB是半圆O的直径，C是半圆O上不与A、B重合的点，将弧AC沿直线AC翻折，翻折所得的弧交直径AB于点D，E是点D关于直线AC的对称点．（1）如图12，点D恰好落在点O处.①用尺规作图在图12中作出点E（保留作图痕迹），联结AE、CE、CD，求证：四边形ADCE是菱形；②联结BE，与AC、CD分别交于点F、G，求的值；（2）如果AB＝10，OD＝1，求折痕AC的长．图图12备用图【答案】（1）①尺规作图略，证明见解析；②（2）或【分析】（1）①考查尺规作图，O，E关于直线AC对称；②利用菱形的性质，通过平行线，得出比例线段，求值即可；（2）依题意，分两类进行讨论，分当点D在点O左侧，右侧进行，分析图形，得出边角关系，构造直角三角形，通过勾股定理等进行