福建省厦门市第十一中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年福建省厦门十一中八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本题共40分，每小题4分）在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的．1．（4分）下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．2．（4分）如图，数轴上点B表示的数为1，AB⊥OB，且AB＝OB，以原点O为圆心，OA为半径画弧，交数轴正半轴于点C，则点C所表示的数为（）A． B．﹣ C．﹣1 D．1﹣3．（4分）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）A．1，1，1 B．2，3，4 C．1，，2 D．，3，54．（4分）菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则它的面积是（）A．6cm2 B．12cm2 C．24cm2 D．48cm25．（4分）下列计算正确的是（）A．+＝ B．3﹣＝3 C．×＝ D．÷＝26．（4分）菱形和矩形都具有的性质是（）A．对角线互相垂直 B．对角线长度相等 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分7．（4分）如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝50mm，则两平行线l1和l2之间的距离是（）A．25 B．50 C．50 D．258．（4分）如图、在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，﹣2），（1，2），点B在x轴上，则点B的横坐标是（）A．4 B．2 C．5 D．49．（4分）如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数，④S是h的函数．其中所有正确结论的序号是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④10．（4分）如图，点E是正方形ABCD外一点，连接AE、BE和DE，过点A作AE垂线交DE于点P．若AE＝AP＝2，PB＝6．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为2；④S正方形ABCD＝32+4．则正确结论的个数是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④二、填空题（本题共16分，每小题4分）11．（4分）函数y＝的自变量的取值范围是．12．（4分）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下面的方法测出A，B间的距离：先在AB外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝15米，由此他知道了A，B间的距离为米．13．（4分）如图，在▱ABCD中，∠A＝70°，DB＝DC，CE⊥BD于E，则∠BCE＝．14．（4分）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了米．15．（4分）数学活动课上，同学们按照如下步骤折纸，并动手将折纸过程画成如图所示．第1步：在一张宽为2cm的矩形纸片的一端MN，折出一个正方形MNCB，然后把纸片展平；第2步：把这个正方形MNCB对折，得到两个相等的矩形，折痕为AF，再把纸片展平；第3步：折出内侧矩形AFBC的对角线AB，并把AB折到如图中所示AD处；第4步：展平纸片，按照所得的点D折出DE，得到矩形BCDE．则矩形BCDE的面积为．16．（4分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，点E是CD的中点，点M是AC上一动点，则MD+ME的最小值是．三、解答题（本题共86分）17．（8分）计算：（1）；（2）．18．（8分）已知：如图，E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且∠1＝∠2．求证：AE＝CF．19．（8分）先化简，再求值：，其中．20．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为边AB上的中线，点E与点D关于直线AC对称，连接AE、CE．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）连接BE，若∠ABC＝30°，AC＝2，求BE的长．21．（8分）某天小丽去上学，到班级时发现数学课本还在家里，此时离上课时间还有25分钟，于是她立即步行回家取课本，同时，她妈妈从家里出发骑自行车以小丽步行速度的3倍给她数学课本，两人在途中相遇，相遇后小丽立即骑妈妈的自行车以和妈妈同样的速度赶回学校，下图中线段OA、AB分别表示小丽取课本、妈妈送课本的过程中，离学校的路程S（米）与所用时间t（分）之间的函数关系如图．（1）求点A的坐标（2）小丽能否在上课前赶到学校？说明理由．22．（10分）如图，已知四边形ABCD是正方形，点F是DC边上的动点（不与端点重合），点E在线段AF上，AD＝m2+1，AE＝2m，DE＝m2﹣1，M为线段BF的中点，点N在线段AF上（不与点F重合），且MN＝BF．（1）求证：BN⊥AF；（2）随着点F的运动，试猜想AB﹣AN的值是否是发生变化，若不变，请求出定值，若变化，请说明理由．23．（11分）材料阅读：古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》中提出：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝，这一公式称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出利用三角形三边a，b，c，求三角形面积的公式S＝，被称之为秦九韶公式．（1）海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．你同意这种说法吗？请利用以下数据验证两公式的一致性．如图①，在△ABC中，BC＝a＝7，AC＝b＝5，AB＝c＝6，求△ABC的面积．（2）在（1）的基础上，作∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O．过点O作OD⊥AB，OD的长为．24．（12分）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出一种你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的图形的名称；（2）如图1，若C（1，2），那么在图中所有格点中是标出一点D，使以CA、CB为勾股边的四边形ACBD是勾股四边形．并写出D点的坐标；（3）如图2，已知四边形ABCD，AB＝AD，∠DAB＝60°，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．25．（13分）在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD边上的点，则称四边形EFGH为四边形ABCD的内接四边形．（1）如图①，在▱ABCD中，AC、BD交于点O，四边形EFGH为▱ABCD的内接四边形，对角线EG、FH都经过点O．求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）如图②，用无刻度的直尺和圆规在▱ABCD中作出对角线最短的内接矩形EFGH；（不写作法，保留作图痕迹）（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若四边形EFGH为矩形ABCD的内接菱形，则AE的取值范围是．

2022-2023学年福建省厦门十一中八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共40分，每小题4分）在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的．1．（4分）下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．【解答】解：A．＝2，即被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B．是最简二次根式，故本选项符合题意；C．＝，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D．＝，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：B．2．（4分）如图，数轴上点B表示的数为1，AB⊥OB，且AB＝OB，以原点O为圆心，OA为半径画弧，交数轴正半轴于点C，则点C所表示的数为（）A． B．﹣ C．﹣1 D．1﹣【解答】解：如图，在Rt△AOB中，AB＝OB＝1，则OA＝＝＝．∵以O为圆心，以OA为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，∴OC＝OA＝，∴点C表示的实数是．故选：A．3．（4分）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）A．1，1，1 B．2，3，4 C．1，，2 D．，3，5【解答】解：A、∵12+12≠12，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵12+（）2＝22，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；D、∵（）2+32≠52，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：C．4．（4分）菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则它的面积是（）A．6cm2 B．12cm2 C．24cm2 D．48cm2【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，∴它的面积是：×6×8＝24（cm2）．故选：C．5．（4分）下列计算正确的是（）A．+＝ B．3﹣＝3 C．×＝ D．÷＝2【解答】解：A、与不是同类二次根式，故A不符合题意．B、原式＝2，故B不符合题意．C、原式＝，故C符合题意．D、原式＝，故D不符合题意．故选：C．6．（4分）菱形和矩形都具有的性质是（）A．对角线互相垂直 B．对角线长度相等 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分【解答】解：∵矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分，∴菱形和矩形都具有的性质为对角线互相平分，故选：D．7．（4分）如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝50mm，则两平行线l1和l2之间的距离是（）A．25 B．50 C．50 D．25【解答】解：如图，过点A作AC⊥l2于点C，∵直线l1∥l2，AC⊥l2，∴∠DAC＝90°，∵∠DAB＝135°，∴∠BAC＝∠DAB﹣∠DAC＝45°，∴∠ABC＝45°，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，2AC2＝502，∴AC＝25．∴两平行线l1和l2之间的距离为25．故选：D．8．（4分）如图、在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，﹣2），（1，2），点B在x轴上，则点B的横坐标是（）A．4 B．2 C．5 D．4【解答】解：连接AC，∵点A（4，﹣2），点C（1，2），∴AC＝＝5，∵四边形ABCO是矩形，∴OB＝AC＝5，∴点B的横坐标为5，故选：C．9．（4分）如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数，④S是h的函数．其中所有正确结论的序号是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【解答】解：由题意可知，对于注水量V的每一个数值，水面面积S都有唯一值与之对应，即S是V的函数，故①正确；对于水面面积S的每一个数值，注水量V的值不唯一，即V不是S的函数，故②错误；对于水面面积S的每一个数值，水面的高度h不唯一，即h不是S的函数，故③错误；对于水面的高度h的每一个数值，水面面积S有唯一值与之对应，即S是h的函数，故④正确．故正确的结论有①④．故选：B．10．（4分）如图，点E是正方形ABCD外一点，连接AE、BE和DE，过点A作AE垂线交DE于点P．若AE＝AP＝2，PB＝6．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为2；④S正方形ABCD＝32+4．则正确结论的个数是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AD＝AB，∵AE⊥AP，∴∠EAP＝90°，∴∠EAB+∠BAP＝∠DAP+∠BAP＝90°，∴∠EAB＝∠DAP，∵AE＝AP，∴△AEB≌△APD（SAS），故①正确；∵△AEB≌△APD，∴∠AEB＝∠APD，∴∠BEP+∠AEP＝∠PAE+∠AEP，∴∠BEP＝∠PAE＝90°，∴BE⊥ED，故②正确；∵△EAP是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝2，∵PB＝6，∴BE＝＝2，∴B到直线AE的距离小于2，故③错误；∵∠APE＝45°，∴∠AEB＝∠APD＝135°，∴∠AEH＝45°，∴△AEH是等腰直角三角形，∴AH＝HE＝AE＝，∴BH＝BE+EH＝2+，∴AB2＝AH2+BH2＝32+4，∴正方形ABCD的面积＝AB2＝32+4，故④正确．∴正确的是①②④．故选：C．二、填空题（本题共16分，每小题4分）11．（4分）函数y＝的自变量的取值范围是x≠1．【解答】解：由题意，得x﹣1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．12．（4分）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下面的方法测出A，B间的距离：先在AB外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝15米，由此他知道了A，B间的距离为30米．【解答】解：∵点D，E是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB＝2DE＝30，故答案为：30．13．（4分）如图，在▱ABCD中，∠A＝70°，DB＝DC，CE⊥BD于E，则∠BCE＝20°．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝70°，∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠BCD＝70°，∵CE⊥BD，∴∠CEB＝90°，∴∠BCE＝20°．故答案为：20°．14．（4分）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了9米．【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15（米），∵CD＝10（米），∴AD＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸边移动了9米，故答案为：9．15．（4分）数学活动课上，同学们按照如下步骤折纸，并动手将折纸过程画成如图所示．第1步：在一张宽为2cm的矩形纸片的一端MN，折出一个正方形MNCB，然后把纸片展平；第2步：把这个正方形MNCB对折，得到两个相等的矩形，折痕为AF，再把纸片展平；第3步：折出内侧矩形AFBC的对角线AB，并把AB折到如图中所示AD处；第4步：展平纸片，按照所得的点D折出DE，得到矩形BCDE．则矩形BCDE的面积为（2﹣2）cm2．【解答】解：如图，∵四边形MNCB是正方形，∴MN＝NC＝BC＝2cm，∠ACB＝90°，∵NA＝AC＝1cm，∴AB＝AD＝＝＝（cm），∴CD＝AD﹣AC＝（﹣1）cm，∴矩形BCDE的面积＝2×（﹣1）＝（2﹣2）cm2．故答案为：（2﹣2）cm2．16．（4分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，点E是CD的中点，点M是AC上一动点，则MD+ME的最小值是．【解答】解：连接BD，BE，BE与AC交点即为M点，过点E作EG⊥BC，交BC延长线于G，∵菱形ABCD，∴B与D关于AC对称，∴BM＝DM，∴MD+ME＝BM+ME＝BE，∵BC＝4，点E是CD的中点，∴CE＝2，∵∠ABC＝60°，∴∠ECG＝60°，在Rt△CEG中，CE＝2，∠ECG＝60°，∴CG＝1，EG＝，在Rt△BEG中，BG＝5，EG＝，∴BE＝2，故答案为2．三、解答题（本题共86分）17．（8分）计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）＝×＝＝＝×＝3×4＝12；（2）＝3﹣3+2﹣5＝﹣2﹣．18．（8分）已知：如图，E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且∠1＝∠2．求证：AE＝CF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠DAE＝∠2，∴AE∥CF，∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF．19．（8分）先化简，再求值：，其中．【解答】解：原式＝÷＝•＝，当x＝﹣2时，原式＝＝．20．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为边AB上的中线，点E与点D关于直线AC对称，连接AE、CE．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）连接BE，若∠ABC＝30°，AC＝2，求BE的长．【解答】（1）证明：连接DE，DE交AC于O，∵点E与点D关于直线AC对称，∴AC是线段DE的垂直平分线，∴AE＝AD，CE＝CD，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AD＝AB，∴AE＝AD＝CD＝CE，∴四边形AECD是菱形；（2）解：过E作EM⊥BC，交BC的延长线于M，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4，∴AD＝AB＝2，由勾股定理得BC＝＝＝2，∵四边形AECD是菱形，AC＝2，∴OC＝AO＝1，AC⊥DE，∵EM⊥BC，∠ACB＝90°，∴∠M＝∠EOC＝∠ACM＝90°，∴EM＝CO＝1，OE＝MC，EC＝AD＝2，由勾股定理得：MC＝＝＝，∴BM＝BC+CM＝2+＝3，由勾股定理得：BE＝＝＝2．21．（8分）某天小丽去上学，到班级时发现数学课本还在家里，此时离上课时间还有25分钟，于是她立即步行回家取课本，同时，她妈妈从家里出发骑自行车以小丽步行速度的3倍给她数学课本，两人在途中相遇，相遇后小丽立即骑妈妈的自行车以和妈妈同样的速度赶回学校，下图中线段OA、AB分别表示小丽取课本、妈妈送课本的过程中，离学校的路程S（米）与所用时间t（分）之间的函数关系如图．（1）求点A的坐标（2）小丽能否在上课前赶到学校？说明理由．【解答】解：（1）从图象可以看出：小丽和妈妈从出发到相遇时花费了15分钟，设小丽步行的速度为x米/分，则妈妈骑车的速度为3x米/分，依题意得：15x+15×3x＝3600，解得：x＝60，∴两人相遇处离学校的距离为60×15＝900米，∴点B的坐标为（15，900）；（2）小丽能在上课前赶到学校，理由如下：∵小丽和妈妈相遇处离学校的距离为900米，∴小丽赶回学校需要的时间是＝5（分钟），∴小丽来去一共花的时间是15+5＝20（分钟），∵20＜25，∴小丽能在上课前赶到学校．22．（10分）如图，已知四边形ABCD是正方形，点F是DC边上的动点（不与端点重合），点E在线段AF上，AD＝m2+1，AE＝2m，DE＝m2﹣1，M为线段BF的中点，点N在线段AF上（不与点F重合），且MN＝BF．（1）求证：BN⊥AF；（2）随着点F的运动，试猜想AB﹣AN的值是否是发生变化，若不变，请求出定值，若变化，请说明理由．【解答】（1）证明：∵点M为BF的中点，∴，∵，∴MB＝MF＝MN，∴∠BFN＝∠MNF，∠FBN＝∠MNB，∴∠BFN+∠FBN＝∠MNF+∠MNB＝∠FNB，∵∠BFN+∠FBN+∠FNB＝180°，即：2∠FNB＝180°，∴∠FNB＝90°，即：BN⊥AF．（2）解：猜想AB﹣AN的值不发生变化，AB﹣AN＝2，理由如下：∵AD＝m2+1，AE＝2m，DE＝m2﹣1，∴AD2＝（m2+1）2＝m4+2m2+1，AE2＝（2m）2＝4m2，DE2＝（m2﹣1）2＝m4﹣2m2+1，∴AE2+DE2＝4m2+m4﹣2m2+1＝m4+2m2+1∴AE2+DE2＝AD2，∴△ADE为直角三角形，即：∠AED＝90°，由（1）可知：BN⊥AF，∴∠BNA＝90°，∴∠BNA＝∠AED＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝m2+1，∠BAD＝90°，∴∠DAE+∠BAN＝90°，又∠BNA＝90°，∴∠ABN+∠BAN＝90°，∴∠ABN＝∠DAE，在△ABN和△ADE中，，∴△ABN≌△ADE（AAS），∴AN＝DE＝m2﹣1，∴AB﹣AN＝m2+1﹣（m2﹣1）＝2，∴AB﹣AN的值不发生变化，值为2．23．（11分）材料阅读：古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》中提出：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝，这一公式称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出利用三角形三边a，b，c，求三角形面积的公式S＝，被称之为秦九韶公式．（1）海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．你同意这种说法吗？请利用以下数据验证两公式的一致性．如图①，在△ABC中，BC＝a＝7，AC＝b＝5，AB＝c＝6，求△ABC的面积．（2）在（1）的基础上，作∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O．过点O作OD⊥AB，OD的长为．【解答】解：（1）我同意这种说法．验证：利用海伦公式：P＝0.5（5+6+7）＝9．△ABC的面积的面积为：＝6；利用秦九韶公式：△ABC的面积的面积为＝6．∵＝6，海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．（2）∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴O为△ABC的内心，且O到三角形的三条边的距离相等，距离为OD的长，设为x，∴△ABC的面积等于：0.5×（5+6+7）x＝6，解得：x＝．所以OD的长为：．故填：．24．（12分）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出一种你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的图形的名称矩形或正方形；（2）如图1，若C（1，2），那么在图中所有格点中是标出一点D，使以CA、CB为勾股边的四边形ACBD是勾股四边形．并写出D点的坐标；（3）如图2，已知四边形ABCD，AB＝AD，∠DAB＝60°，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．【解答