小题中、难档题专练9-双曲线-2021届高三三轮复习高考数学模拟考前15天必刷题

小题中、难档题专练9—双曲线一．单选题1．如图上半部分为一个油桃园．每年油桃成熟时，园主都需要雇佣人工采摘，并沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地处销售．路径1：先集中到处，再沿公路运送；路径2：先集中到处，再沿公路运送．园主在果园中画定了一条界线，使得从该界线上的点出发，按这两种路径运送油桃至处所走路程一样远．已知，，若这条界线是曲线的一部分，则曲线为A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过原点作斜率为的直线交的右支于点，若，则双曲线的离心率为A． B． C． D．3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点．若，则A．4 B．6 C．8 D．124．已知点是双曲线下支上的一点，，分别是双曲线的上、下焦点，是△的内心，且，则双曲线的离心率为A．2 B． C．3 D．5．已知过双曲线的右焦点，且与双曲线的渐近线平行的直线交双曲线于点，交双曲线的另一条渐近线于点，在同一象限内），满足，则该双曲线的离心率为A． B． C． D．26．设经过点的等轴双曲线的焦点为，，此双曲线上一点满足，则△的面积为A．4 B．8 C．12 D．167．设，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在点，使得，，则该双曲线的离心率为A． B． C． D．8．已知点是双曲线的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，△的面积为20，则下列说法正确的个数是①点的横坐标为；②△的周长为；③小于；④△的内切圆半径为．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．多选题9．已知双曲线的离心率等于，过的右焦点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若以为直径的圆过点为坐标原点），则下列说法正确的是A．双曲线的渐近线方程为 B．直线的倾斜角为 C．圆的面积等于 D．与的面积之比为10．已知为坐标原点，，分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，则下列结论正确的有A．若，则双曲线的离心率 B．若是面积为的正三角形，则 C．若为双曲线的右顶点，轴，则 D．若射线与双曲线的一条渐近线交于点，则11．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”，直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合，若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是A． B． C． D．12．若双曲线，，分别为左、右焦点，设点在双曲线上且在第一象限的动点，点为△的内心，点为△的重心，则下列说法正确的是A．双曲线的离心率为 B．点的运动轨迹为双曲线的一部分 C．若，，则 D．存在点，使得三．填空题13．已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线的半焦距，点是圆上一点，线段交双曲线的右支于点，且有，，则双曲线的离心率是．14．已知双曲线的左焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，与的另一条渐近线的交点为，若是线段的中点，则双曲线的离心率为．15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为左支上一点，为线段上一点，且，为线段的中点．若为坐标原点），则的渐近线方程为．16．已知双曲线的左、焦点分别为，，过作直线分别与双曲线及其一条渐近线交于，两点，且，若△是等腰三角形，且，则双曲线的离心率为．小题中、难档题专练9—双曲线答案1．解：设曲线上的点为，由题意可知，，可得，的轨迹满足双曲线的定义，所以则曲线为双曲线．故选：．2．解：由题意可知，易得△△，所以，可得．在△中，由余弦定理可得，解得．双曲线的离心率为：．故选：．3．解：双曲线的，根据双曲线的定义，得，，两式相加得，即，又，所以．故选：．4．解：如图，设圆与△的三边、、分别相切于点、、，连接、、，则，，，它们分别是△，，的高，设△的内切圆的半径为，，，，，，两边约去得：，，根据双曲线定义，得，又，，得．故选：．5．解：由，可得为的中点，由题意可得，联立，解得，联立，解得，，即，得，，得．故选：．6．解：设等轴双曲线方程为，将点代入可得，双曲线标准方程为，得，．，，又，，，即，，△的面积为，故选：．7．解：不妨设不妨设右支上点，则，又，联立解得：，，代入，得：，，，，，，故选：．8．解：设△的内心为，连接，，，双曲线中的，，，不妨设，，，由△的面积为20，可得，即，由，可得，故①正确；由，，且，，可得，，则，则，故③正确；由，则△的周长为，故②正确；设△的内切圆半径为，可得，可得，解得，故④不正确．故选：．9．解：由题意，，解得，双曲线方程为，双曲线的渐近线方程为，故正确；以为直径的圆过点，，又渐近线方程为，可得渐近线的倾斜角分别为，，则，，则直线的倾斜角为或，故错误；根据双曲线的对称性，不妨设的倾斜角为，由，，可得直线的方程为，分别与两条渐近线方程联立，解得，，，，此时，故圆的半径，其面积为，故正确；为与的公共边，与的面积之比等于，即与的面积之比为，故正确．故选：．10．解：对于，因为，所以的中垂线与双曲线有交点，即有，解得，故正确；对于，因为是面积为的正三角形，所以，在，，所以，故，故正确；对于，因为为双曲线的右顶点，则，又轴，则，所以，故错误；对于，由，所以，故正确．故选：．11．解：设直线的方程为，令，可得，设直线与轴的交点，双曲线的渐近线方程为，与直线联立，可得，，，，由三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，当，，依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为不成立；当，，依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为，，故正确；当，，依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为不成立；当，，依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为，，故正确；当，，依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为不成立；当，，依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为，，故正确．故选：．12．解：双曲线的，，，则，故正确；设，，△的内切圆与边切于，与边切于，与边切于，可得，，，由双曲线的定义可得，即有，又，解得，则的横坐标为，由与的横坐标相同，可得的横坐标为，可得在定直线上运动，故错误；由，且，解得，，，，，，同理可得，设直线，直线，解得，设△的内切圆的半径为，则，解得，即有，，，，由，则，，所以，，即有，故正确；设，，，则，，设△的内切圆的半径为，则，于是，可得，由，可得，即，又，解得．因此，解得，．即有点的坐标为．故正确．故选：．13．解：由，，可得，，由双曲线的定义可得，在直角三角形中，，在直角三角形中，，即为，则．故答案为：．14．解：双曲线的左焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，所以的方程为：，与联立，可得，，与的另一条渐近线的交点为，若是线段的中点，可得，，代入，可得：，，则双曲线的离心率为．故答案为：