广东省广州市新港中学高三数学文上学期期末试卷含解析

广东省广州市新港中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（理）展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为 A． B． C． D．参考答案：D2.已知等比数列的公比为正数，且，，则（

）A．

B．2

C．

D．参考答案：D3.（5分）设x∈R，则“x＜1”是“log（2x﹣1）＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．解：由log（2x﹣1）＞0得0＜2x﹣1＜1，解得＜x＜1，则“x＜1”是“log（2x﹣1）＞0”的必要不充分条件，故选：B【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．4.设是定义在上的周期为2的偶函数,当时,,则在区间内零点的个数为（）A．2013 B．2014 C．3020 D．3019参考答案：C5.若loga（3a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．a＜ B．＜a＜ C．a＞1 D．＜a＜或a＞1参考答案：D【考点】指、对数不等式的解法．【分析】先把0变成底数的对数，再讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于a的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果．【解答】解：∵loga（3a﹣1）＞0，∴loga（3a﹣1）＞loga1，当a＞1时，函数是一个增函数，不等式的解是a＞0，∴a＞1；当0＜a＜1时，函数是一个减函数，不等式的解是＜a＜，∴＜a＜综上可知a的取值是a＞1或＜a＜．故选D．6.在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，若向该矩形内随机投一点P，那么使得△ABP与△ADP的面积都不小于2的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】CF：几何概型．【分析】本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积不小于2，则三角形的高要h≥1，得到两个三角形的高即为P点到AB和AD的距离，得到对应区域，利用面积比求概率．【解答】，解：由题意知本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积不小于2，由于S△ABP=AB×h=2h，则三角形的高要h≥1，同样，P点到AD的距离要不小于，满足条件的P的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是整个矩形面积的（4﹣）（3﹣1）=，∴使得△ABP与△ADP的面积都不小于2的概率为：；故选D．【点评】本题给出几何概型，明确满足条件的区域，利用面积比求概率是关键．7.已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围为（

）A．

B．C．

D．参考答案：A8.F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是，则双曲线离心率（

）A．2 B． C．3 D．参考答案：C略9.如图，半径为2的⊙与直线相切于点，射线从出发绕点逆时针方向旋转到，旋转过程中，交⊙于点，设为，弓形的面积为，那么的图象大致是

参考答案：D10.函数在点处的切线方程是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式的解集是参考答案：（1，2）12.已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，A是最大角，若，则m的取值范围为________.参考答案：【分析】利用平面向量的运算，求得，由此求得的取值范围.【详解】设是中点，根据垂径定理可知，依题意，即，利用正弦定理化简得.由于，所以，即.由于是锐角三角形的最大角，故，故.【点睛】本小题主要考查平面向量加法、数量积运算，考查正弦定理，考查三角形的内角和定理等知识，综合性较强，属于中档题.13.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则

。参考答案：略14.在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为．参考答案：[1,2]【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r，对=p+q两边平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范围．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=，∴∠BOC=；设|=r，则O为△ABC外接圆圆心；

∵=p+q，∴==r2，即p2r2+q2r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（p+q）2=3pq+1；又M为劣弧AC上一动点，∴0≤p≤1，0≤q≤1，∴p+q≥2，∴pq≤=，∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1，解得1≤（p+q）2≤4，∴1≤p+q≤2；即p+q的取值范围是[1,2]．15.已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是．参考答案：[﹣3，﹣2]【考点】3F：函数单调性的性质．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】要使函数在R上为增函数，须有f（x）在（﹣∞，1]上递增，在（1，+∞）上递增，且，由此可得不等式组，解出即可．【解答】解：要使函数在R上为增函数，须有f（x）在（﹣∞，1]上递增，在（1，+∞）上递增，且，所以有，解得﹣3≤a≤﹣2，故a的取值范围为[﹣3，﹣2]．故答案为：[﹣3，﹣2]．16.甲每次解答一道几何体所用的时间在5至7分钟，乙每次解答一道几何体所用的时间在6至8分钟，现甲、乙各解同一道几何体，则乙比甲先解答完的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【分析】分别设出两个人解答一道几何题所用的时间为x，y，则5＜x＜7，6＜y＜8，甲、乙各解同一道几何题，则乙比甲先解答完的满足x＜y，因此求出满足条件的区域面积，利用面积比求概率．【解答】解：设两个人解答一道几何题所用的时间为分别为x，y，则5＜x＜7，6＜y＜8，对应区域的面积为4，甲、乙各解同一道几何题，则乙比甲先解答完的满足x＞y，对应区域面积=，由几何概型的个数得到所求概率为；故答案为：．17.已知，且，则

.参考答案：

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数.（1）若曲线在处的切线为，求的值；（2）设，，证明：当时，的图象始终在的图象的下方；（3）当时，设，（为自然对数的底数），表示导函数，求证：对于曲线上的不同两点，，，存在唯一的，使直线的斜率等于．参考答案：【知识点】导数,导数应用B11

B12（1）（2）略(3)略解析：(1)，此时，又，所以曲线在点处的切线方程为，由题意得，，.

………3分（2）则在单调递减，且当时，即，当时，的图像始终在的图象的下方.

……………

7分（3）由题得，，，∵，∴，∴，即， ………9分设,则是关于的一次函数，故要在区间证明存在唯一性，只需证明在区间上满足.下面证明之：，，为了判断的符号，可以分别将看作自变量得到两个新函数，讨论他们的最值：，将看作自变量求导得，是的增函数，∵，∴；………..11分同理：，将看作自变量求导得，是的增函数，∵，∴；∴，

∴函数在内有零点，……………..13分又，函数在是增函数，∴函数在内有唯一零点，从而命题成立.

……14分【思路点拨】（1）由题意直接求解即可；（2）要证当时，的图象始终在的图象的下方，就是证明当时，；令，由导数易得在单调递减，且当时，即得证.（3），，∵，得，设,则是关于的一次函数，故要在区间证明存在唯一性，只需证明在区间上满足.19.在△ABC中，已知.（I）求的值；（II）若BC=10，D为AB的中点，求CD的长.参考答案：20.（本小题满分14分）在四棱锥中,平面,,底面是梯形,∥，（1）求证:平面平面;（2）设为棱上一点,,试确定的值使得二面角为60o.参考答案：（1）见解析；（2）

【知识点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．G5G11解析：（1）证明：∵平面，∴在梯形中，过点作作，在中，又在中，.……3分

.

………………5分.

…………6分

……………7分（2）法一：过点作∥交于点,过点作垂直于于点,连.……8分

由（1）可知平面,平面,,平面,，是二面角的平面角，

…10分

‖，

，由（1）知=,，又∥

……12分

，.…………………14分（2）法二：以为原点,所在直线为轴建立空间直角坐标系(如图)则.

令,则

.

…………………9分平面,是平面的法向量.………10分设平面的法向量为.则，即即.令,得

………12分二面角为,

∴解得,在棱上,为所求.……14分【思路点拨】（1）过点B作BH⊥CD于H，证明BC⊥BD．PD⊥BC，通过直线与平面垂直的判定定理证明BC⊥平面PBD，利用直线与平面垂直的性质定理证明平面PBC平面PBD；（2）以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面PBD的法向量．平面QBD的法向量，通过二面角结合数量积求解λ即可．21.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C：，直线：，直线：，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）写出曲线C的参数方程以及直线，的极坐标方程；（2）若直线与曲线C分别交于O，A两点，直线与曲线C分别交于O，B两点，求的面积.参考答案：（1）依题意，曲线：，故曲线的参数方程是（为参数），因为直线：，直线：，故，的极坐标方程为：，：.（2）易知曲线的极坐标方程为，把代入，得，所以，把代入，得，所以，所以22.(本小题满分12分)已知点，圆：，过的动直线与⊙交两点，线段中点为，为坐标原点。（1）求点的轨迹方程；（2）当时，求直线的方程以及△面积。参考答案