第07讲正多边形（4类题型）

第07讲正多边形（4类题型）课程标准学习目标1.正多边形的相关概念；2.正多边形与圆；了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题。知识点01：正多边形与圆（一）正多边形及有关概念（1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。（2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。（3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。（4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。（5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。（6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。（二）正多边形的有关计算（1）正边形的每个内角都等于（2）正边形的每个中心角都等于（3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示，设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形的周长面积【即学即练1】1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为S，则纸片的剩余部分的面积为（

）A． B． C． D．S【答案】C【分析】如图所示可将正六边形分为6个全等的三角形，拼成的四边形由两个三角形组成，剩余部分由4个三角形组成，故此可求得剩余部分的面积．【详解】解：如图所示：将正六边形可分为6个全等的三角形，∵拼成的四边形的面积为S，∴每一个三角形的面积为，∵剩余部分可分割为4个三角形，∴剩余部分的面积为．故选C．【点睛】本题考查的是正多边形与圆的含义，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键．【即学即练2】2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，正六边形内接于，点是上的一点，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圆内接正多边形中心角及同弧所多对的圆周角是圆心角一半定理即可．【详解】如图，连接，，∵六边形是圆内接正六边形，∴，∴，故选：．【点睛】本题考查圆内接正多边形和圆周角定理，解此题的关键是熟练掌握圆内接正多边形中心角计算和圆周角定理角度计算．题型01求正多边形的中心角1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）正八边形的中心角等于（

）度A．36 B．45 C．60 D．72【答案】B【分析】直接用360度除以边数即可得到答案．【详解】解：，∴正八边形的中心角等于45度，故选B．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，熟知正n边形的中心角度数为是解题的关键．2．（2023·四川成都·模拟预测）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（

）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【分析】连接，先求出的度数，然后利用正多边形外角和等于，即可求出答案．【详解】解：连接，如图：根据题意，正六边形和正方形的中心都是点O，∴，，∴；∵是某正n边形的一个中心角，∴；故选：C．【点睛】本题考查了正多边形的性质，正多边形的外角和定理，解题的关键是掌握正多边形的性质，正确求出的度数．3．（2023·陕西西安·校考模拟预测）一个正多边形的中心角为，则从该正多边形的一个顶点出发共有条对角线．【答案】7【分析】利用正多边形的中心角的定义，即可求出这个多边形的边数，再根据边形从一个顶点出发可引出条对角线可求答案．【详解】解：，．故这个正多边形从一个顶点出发可以作的对角线条数是7．故答案为：7．【点睛】本题主要考查了正多边形的中心角的定义、多边形的对角线，熟练掌握边形从一个顶点出发可引出条对角线是本题的关键．4．（2023·江苏南京·九年级专题练习）如图，是的内接正三角形，是的内接正四边形的一边，连接，则是的内接正边形的一边．【答案】十二/12【分析】连接、、，求出，，从而求出，根据，得出答案即可．【详解】解：连接、、，如图所示：∵是的内接正三角形，∴，∵是的内接正四边形的一边，∴，∴，∵，∴是的内接正十二边形的一边．故答案为：十二．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，解题的关键是熟练掌握正多边形和圆的特点，求出．5．（2020·江苏盐城·统考中考真题）如图，点是正方形，的中心．（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点（异于点），使得（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作BC的垂直平分线即可求解；（2）根据题意证明即可求解．【详解】如图所示，点即为所求．连接由得：是正方形中心，在和中，．【点睛】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知正方形的性质、垂直平分线的作图及全等三角形的判定与性质．题型02已知正多边形的中心角求边数1．（2023·浙江·九年级假期作业）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得解．【详解】解：这个多边形的边数是，故选：C．【点睛】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键．2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【分析】根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，可得∠AOC=15°，然后根据边数n=360°÷中心角即可求得答案．【详解】解：连接OC，∵AB是⊙O内接正六边形的一边，∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵BC是⊙O内接正八边形的一边，∴∠BOC＝360°÷8＝45°，∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°∴n＝360°÷15°＝24．故选：C．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键．3．（2023·陕西西安·校考模拟预测）一个正多边形的中心角是，则过它的一个顶点有条对角线．【答案】5【分析】根据正多边形的中心角是，可求得是正几边形，然后利用过边形的一个顶点有对角线计算即可．【详解】解：设正多边形的边数为且正多边形的中心角是，，，过边形的一个顶点有条对角线，即条，故答案为：．【点睛】本题考查的是多边形的对角线、正多边形的中心角．解题的关键是要掌握过多边形的一个顶点有条对角线、正多边形的中心角都相等．4．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）已知一个正多边形的中心角为，边长为5，那么这个正多边形的周长等于．【答案】40【分析】利用正多边形的中心角求出正多边形的边数，最后根据正多边形的性质求出其周长．【详解】解：一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数为：，这个正多边形的周长为：．故答案为：40．【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，解题的关键在于知道中心角与边长的关系．5．（2023·浙江·九年级假期作业）【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则．【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积．【答案】【类比探究】四边形的面积=．【拓展应用】6【分析】类比探究：通过证明可得，则．拓展应用：通过证明可得，则．【详解】解：类比探究：如图2，∵为正方形的中心角，∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，∴．拓展应用：如图3，∵为正六边形EF的中心角，∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°，∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，∴．∵四边形面积为，∴正六边形的面积为6．【点睛】本题考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键．题型03正多边形与圆1．（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形的半径是，则这个正六边形的周长是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，正六边形的半径是，由正六边形的性质构造证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，即可得出答案．【详解】解：如图，连接，交点为，由正多边形的性质得，点为正六边形的中心点是正六边形的中心，正六边形的半径是，，，是等边三角形，，正六边形的周长为：，故选：C．【点睛】此题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；根据题意构造出是等边三角形是解题关键．2．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，正八边形内接于，为弧上的一点（点不与点，重合），则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接、、，根据正多边形和圆的知识求出正八边形的中心角的度数，根据圆周角定理求出的度数．【详解】解：连接、、，如图，∵八边形是正八边形，∴，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、圆周角定理的应用；熟练掌握中心角公式，由圆周角定理求出结果是解决问题的关键．3．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，一个正方形剪去四个角后形成一个边长为的正八边形，则这个正方形的边长为．【答案】【分析】如图，剪去部分为4个全等的等腰直角三角形，设直角边长为x，根据勾股定理构建方程，求得，进而得出正方形边长．【详解】解：如图，剪去部分为4个全等的等腰直角三角形，设直角边长为x，则，解得∴正方形的边长为：；故答案为：．【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，勾股定理，正多边形性质，掌握勾股定理是解题的关键．4．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）如图，正三角形与正五边形内接于，则的度数为．【答案】24【分析】设外接圆圆心为O，连接，根据正五边形、正三角形和外接圆的性质可知：平分，平分，可得，根据正五边形和正三角形的性质求出，，问题得解．【详解】解：设外接圆圆心为O，连接，根据正五边形、正三角形和外接圆的性质可知：平分，平分，∴，，∴，∵是等边三角形，∴，∵五边形是正五边形，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查正多边形与外接圆等知识，得出是解题关键．5．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点、、、都在上，，．(1)求的度数；(2)求的度数；【答案】(1)(2)【分析】（1）根据垂径定理得出，再利用圆周角定理得出的度数:（2）连接，根据圆内接四边形的性质便可求得结果．【详解】（1）∵点、、、都在上，∴，∵，∴，∴的度数为（2）连接，∵，∴，∴，∵，∴【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，垂径定理和圆周角定理等知识，熟练掌握和运用这些定理是解决问题的关键．题型04尺规作图—正多边形1．（2023春·九年级课时练习）如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；对于甲、乙两人的作法，可判断（

）A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对C．两人都不对 D．两人都对【答案】D【分析】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，乙的做法根据等边三角的内角是60°，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等【详解】甲：∵BF是中垂线

∴四边形OCDE是菱形

∴△OCD,△OED都是等边三角形，同理可得△OAB,△OAF也是等边三角形

∴∠BOC=∠EOF=60°∴△OBC,△OEF也是等边三角形∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形乙：∵AB=AO=BO=AF=OF∴△OAB,△OAF都是等边三角形，同理可得△OCD,△OED也是等边三角形

∴∠BOC=∠EOF=60°∴△OBC,△OEF也是等边三角形∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形故选D【点睛】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等2．（2023春·九年级课时练习）如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业：甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）．乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）．对于两人的作业，下列说法正确的是（

）A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对【答案】C【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知，六边形是正六边形，即甲同学的作业正确．由乙同学的作业可知．依次画弧可得．六边形为正六边形，即乙同学的作业正确．故选C【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键．3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下：①作出半径OF的中点H．②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G．③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E．已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝．（结果保留根号）【答案】【分析】连接AG，由作图可知，OA＝2，H为OF中点，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可．【详解】解：连接AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H为OF中点，∴OH=，在Rt△OAH中，由勾股定理∴AH＝，∵AH＝HG＝，∴OG＝GH﹣OH＝﹣1，在Rt△AOG中，由勾股定理得，∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2．故答案为：10﹣2．【点睛】本题考查尺规作圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧，掌握圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧的方法是解题关键．4．（2022·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A．（1）⊙的周长等于；（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明）．【答案】见解析【分析】（1）利用勾股定理可得答案；（2）延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求．【详解】（1）∵⊙的半径为：，∴⊙的周长，故答案为：（2）如图：∵，又∵，∴，∴．∵，

∴，∴．∵，∴．∵，∴．

∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴是矩形．∴，∴，∵，∴，

∴，∴．∵，∴，∵过圆心,，∴，∴，∴，∵，∴是等边三角形．故答案为：如图，延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求．【点睛】此题考查作图中的复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型．5．（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）作图题：(1)尺规作图：如图，已知线段．求作线段的垂直平分线l，交于点C；（要求：保留作图痕迹，不写作法）(2)已知六边形是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形的全部图形，并写出作法．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）分别以、为圆心，以任意长为半径，两圆相交于两点，连接此两点即可．（2）连接并延长到F，使得，连接BO并延长到E，使得，连接，，即可得出图形．【详解】（1）（2）解：连接并延长到F，使得，连接BO并延长到E，使得，连接，，，如图，六边形即为所求．【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，也考查了中心对称图形的性质，熟练掌握一般作图的步骤是解题的关键．A夯实基础1．（2023春·河北衡水·九年级校考阶段练习）如图，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形的周长最大的是图形（

）A．① B．② C．③ D．无法判定【答案】C【分析】根据圆内接多边形的周长小于圆周长，再利用逐步逼近法选择答案．【详解】解：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长越来越接近圆周长，故选：C．【点睛】此题主要考查了正多边形与圆，关键是知道圆内接多边形的周长小于圆周长．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，正六边形ABCDEF内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（）A． B．3 C．6 D．【答案】C【分析】如图所示，由正六边形ABCDEF内接于，可知是等边三角形，由的周长是，可得即可得出结果．【详解】解：如图所示：∵正六边形ABCDEF内接于，是等边三角形，∵的周长是，故选：【点睛】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，将正方形和正五边形的中心重合，按如图位置放置，连接、，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别求出以点为中心的正五边形和正方形的中心角即可．【详解】解：如图，连接，点是正五边形和正方形的中心，，，．故选：A．【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法是正确解答的前提．4．（2023春·九年级课时练习）如图是一个正八边形，则它（）A．只是轴对称图形 B．只是中心对称图形C．既是轴对称图形，也是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形【答案】C【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：正八边形既是轴对称图形，也是中心对称图形．故选：C．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．熟练掌握定义是解答本题的关键．5．（2023春·广东云浮·九年级校考期末）若圆的内接正六边形的边长为3，则该圆的半径为．【答案】【分析】证是等边三角形，利用等边三角形的性质即可解决．【详解】解：如图，在正六边形内，为中心，，是等边三角形，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的证明和性质的应用，圆内接正多边形，解题的关键是结合题意证明等边三角形．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图摆放着正五边形和正，其中点在同一直线上，，则的度数是．【答案】144°【分析】利用平行线的性质求出，可得结论．【详解】解：在正五边形中，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．7．（2023·福建泉州·统考模拟预测）刺绣是我国独特的民间传统手工艺品之一，至少有二三千年历史.如图是用红色纱线完成的正五角星刺绣作品，则图中的度数是度.【答案】126【分析】由正五角星得，,得到，由正五边形的中心角得,利用四边形内角和为即可得到的度数.【详解】解：如图，由正五角星得，,∴，∵,∴，故答案为：126【点睛】此题考查了正多边形的相关知识，数形结合和正确计算是解题的关键.8．（2023·吉林长春·校联考二模）如图，正六边形ABCDEF内接于．若的周长为，则该正六边形的边长是．【答案】6【分析】连接，易证是等边三角形，由等边三角形的性质可得⊙O的半径．【详解】解：连接，∵多边形是正六边形，的周长为∴，的半径∵，∴是等边三角形，∴，故答案为：6．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．9．（2023秋·全国·七年级随堂练习）如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？【答案】．【分析】根据扇形所占的百分比即可求出圆心角．【详解】∵周角是360°，∴，，．【点睛】此题考查了扇形所占的百分比和扇形圆心角之间的关系，解题的关键是熟练掌握扇形所占的百分比和扇形圆心角之间的关系．扇形的圆心角=360°×百分比．10．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半径．【答案】2cm【分析】利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，BD=CD，再利用锐角函数关系得出BO即可．【详解】过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，∵正三角形ABC内接于⊙O，∴点O即是三角形内心也是外心，∴∠OBD=30°，BD=CD=BC=AB=，∴cos30°===，解得：BO=2，即⊙O的半径为2cm．【点睛】考查了正多边形和圆，利用正多边形内外心的特殊关系得出∠OBD=30°，BD=CD是解题关键．B能力提升1．（2023秋·九年级课时练习）如图所示，某同学作了一个圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（）A．1 B．3 C． D．【答案】B【分析】如图，过A作于C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：如图，过A作于C，∵圆的内接正十二边形的圆心角为，，∴，∴，∴这个圆的内接正十二边形的面积为，故选：B．【点睛】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，含30度角的直角三角形性质，正确的作出辅助线是解题的关键．2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，是正八边形的外接圆，则下列结论：①；②的度数为；③．其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【详解】连接，，求出正八边形的中心角，得到，根据这条弧的度数等于它所对的圆心角的度数可得到②正确；由勾股定理求得，可得①正确；由于，可得，于是得到③正确．【解答】解：连接，，如图所示：∵，∴，∴的度数为，故②正确；∵，，∴，∴，∵，∴，故①正确；∵，∴，∵，∴，故③正确；综上分析可知，正确的是①②③．故选：D．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握正多边形的中心角和边数的关系是解决问题的关键．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，正六边形的边长为2，现将它沿方向平移1个单位，得到正六边形，则阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，，过作于H，得到四边形是矩形，解直角三角形得到，，，求得，根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：如图，连接，，过作于H，则四边形是矩形，∵正六边形的边长为2，，，，，，∵将它沿方向平移1个单位，，∴阴影部分的面积，故选：B．【点睛】本题考查了正多边形与圆，矩形的判定和性质，平移的性质，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．4．（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形的半径是，则这个正六边形的周长是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，正六边形的半径是，由正六边形的性质构造证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，即可得出答案．【详解】解：如图，连接，交点为，由正多边形的性质得，点为正六边形的中心点是正六边形的中心，正六边形的半径是，，，是等边三角形，，正六边形的周长为：，故选：C．【点睛】此题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；根据题意构造出是等边三角形是解题关键．5．（2023·广东广州·校考一模）是的内接正六边形一边，点是优弧上的一点（点不与点，重合）且，与交于点，则的度数为．【答案】/度【分析】根据题意可求得，结合圆周角定理，可求得，结合平行线的性质和三角形外角的性质，即可求得答案．【详解】∵是的内接正六边形一边，∴．∴．∵，∴．∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查圆周角定理、正多边形与圆、平行线的性质、三角形的外角的性质，牢记圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）是解题的关键．6．（2023秋·九年级课时练习）如图，若的半径为1，则的内接正八边形的面积为．【答案】【分析】利用勾股定理求出正方形的边长，根据即可．【详解】解：连接，，，∵四边形是圆内接正四边形，，是圆的直径，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了圆内接正多边形，利用圆内接正多边形的性质求出正方形的边长是解题的关键．7．（2023春·吉林长春·七年级校考阶段练习）如图，直线与正六边形的边分别交于点G、H，若，则度．【答案】50【分析】根据n边形内角和，正多边形内角相等处理．【详解】解：正六边形的内角，四边形内角和为，∴．故答案为：50．【点睛】本题考查多边形的内角和公式，正多边形的性质，掌握多边形内角和公式是解题的关键．8．（2023春·山东菏泽·七年级统考期末）下列说法中正确的有（填所有正确结论的序号）．（1）直角三角形只有一条高；（2）边形共有条对角线；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）如果一个多边形的各边都相等，那么它是正多边形；（5）圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合；【答案】（3）（5）/（5）（3）【分析】根据圆的集合定义，正多边形的定义，多边形的定义等知识一一判断即可．【详解】解：（1）直角三角形有三条高，故不符合题意；（2）边形共有条对角线，故不符合题意；（3）半径相等的两个圆是等圆，故符合题意；（4）如果一个多边形的各边都相等，各角都相等，那么它是正多边形，故不符合题意；（5）圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，故符合题意．故答案为：（3）（5）．【点睛】本题考查圆的集合定义，正多边形的定义，多边形的定义等知识，解题的关键是掌握基本知识，属于中考常考题型．9．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，点，分别是正六边形的边，上的点，且，交于点．(1)求证：；(2)求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据正六边形的性质得到，，由三角形全等的判定定理即可证出；（2）由，得到，然后根据三角形的外角性质即可得到结果．【详解】（1）证明：∵在正六边形中，，，在与中，，∴；（2）解：由（1）知：，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了正多边形的计算及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地利用正六边形中相等的元素．10．（2023春·安徽安庆·八年级统考期末）我们学习了，多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题：(1)将如表的表格补充完整：正多边形边数______的度数________________________(2)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，，，，(2)不存在一个正边形，使其中的，理由见解析【分析】（1）根据正多边形的内角，内角和以及三角形内角和定理进行计算即可；（2）根据（1）中的计算方法得出，代入计算即可．【详解】（1）解：正三角形中的度数是正三角形的内角度数，即，正方形中的度数为，即，正五边形中的度数为，即，正六边形中的度数为，即，正边形中的度数为，即，当时，即，解得，故答案为：，，，，；（2）由（1）得，正边形中，当时，即，解得不是整数，所以不存在一个正边形，使其中的．【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质，多边形内角和的计算方法是正确解答的前提，得出是解决问题的关键．C综合素养1．（2023秋·九年级课时练习）如图，连接的内接正十二边形顶点得到，，若，则阴影部分的面积为（）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根据已知条件得到，求得，，得到，过作于，于，解直角三角形得到，，根据梯形的面积公式即可得到结论．【详解】解：如图所示，，，，，，过作于，于，，，，，，，，阴影部分的面积为．故选：B．【点睛】本题考查了正多边形与圆，梯形的面积的计算，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．2．（2023春·山东济宁·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正六边形的性质以及勾股定理求出，，进而确定点的坐标，再根据旋转分别得出旋转1次、2次、3次、4次、5次所对应点的坐标进而得出规律，由规律可得答案．【详解】解：在中，，，，点的坐标为，第1次顺时针旋转，点的对应点第四象限，其坐标为，，第2次顺时针旋转，点的对应点第三象限，其坐标为，第3次顺时针旋转，点的对应点第二象限，其坐标为，，第4次顺时针旋转，点的对应点第一象限，其坐标为，第5次顺时针旋转，点的对应点第四象限，其坐标为，，∴整个旋转过程是4次一个循环，且，∴第2023次顺时针旋转，点的对应点第二象限，其坐标为，，故选：B．【点睛】本题考查正多边形，旋转以及勾股定理，掌握正六边形的性质，得出旋转的规律是正确解答的前提．3．（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图，正六边形内接于半径为的中，连接，，，沿直线折叠，使得点与点重合，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正六边形的性质，折叠的性质以及圆的对称性可得出，再根据直角三角形的边角关系求出，进而求出，由图形中各个部分面积之间的关系可得，根据三角形的面积计算公式进行计算即可．【详解】解：如图，连接，交于点，则，由折叠可知，，在中，，，由题意可知，是等边三角形，阴影部分面积等于，连接，点为的内心，到三边的距离相等，，，故选：．【点睛】本题考查正多边形和圆，翻折的性质以及直角三角形的边角关系，掌握正六边形和圆的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．4．（2023春·河北邢台·九年级统考开学考试）如图所示正六边形的面积为6，点是边的中点，连接相交于，若四边形的面积记作，四边形的面积记作，则的值是（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】，根据正六边形的性质分别求出即可．【详解】解：连接，如图所示：由正六边形的对称性可知：∴是全等的等边三角形∴四边形是菱形同理，∵∴∵点是边的中点∴∵∴故选：B【点睛】本题考查了正六边形的性质．将所求面积与正六边形的面积建立联系是解题关键．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，正五边形内接于，点在弧上，则的度数为．【答案】/36度【分析】连接，，构造圆心角，利用正五边形的性质求得圆心角的度数，从而求得的度数．【详解】解：如图，连接，，∵正五边形内接于，∴，∴．故答案为：．【点睛】此题考查了正多边形与圆以及圆心角、圆周角的关系，解题的关键是掌握圆内接正五边形的性质以及圆周角与圆心角的关系．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图所示，在正五边形中，是的中点，点在线段上运动，连接，当的周长最小时，的度数为．【答案】【分析】根据对称的定义得出当点在同一条直线上时，的周长最小，由正五边形的性质可得，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质和三角形外角的定义进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，当点在同一条直线上时，的周长最小，

，五边形是正五边形，，，，是的中点，是正五边形的一条对称轴，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了正多边形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、三角形外角的定义、对称的性质，熟练掌握正多边形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、三角形外角的定义、对称的性质，是解题的关键．7．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，延长正五边形各边，使得，若，则的度数为．【答案】/36度【分析】根据正五边形的性质以及全等三角形的判定和性质，可求出正五边形的每个内角度数，再根据等腰三角形的性质得出是等腰三角形，并求出各个内角度数，由全等三角形的性质可求出答案．【详解】解：∵五边形是正五边形，∴，，又∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，同理可得，即五边形是正五边形，在中，，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形的圆，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，掌握正五边形的性质，三角形内角和定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提．8．（2023·河北沧州·模拟预测）某数学小组在一个半径为2的圆形场地上做探究实践活动．（1）如图1，小组将圆形场地分为12等份．机器人从一个点到另外一个点均是直线行走．①机器人从点走到点的路程为；②机器人从点到点走了两条不同的路线．路线1：；路线2：，路线1的长记为，路线2的长记为，则；（填“>”“<”或“=”）（2）如图2，机器人从出发，沿与