课题学习镶嵌课件

课题学习镶嵌课件第2页,共73页，2024年2月25日，星期天第3页,共73页，2024年2月25日，星期天第4页,共73页，2024年2月25日，星期天第5页,共73页，2024年2月25日，星期天第6页,共73页，2024年2月25日，星期天第7页,共73页，2024年2月25日，星期天这些图形拼成一个平面图案的共同特征是什么？第8页,共73页，2024年2月25日，星期天

用一些形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖，这就是平面图形的镶嵌．注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠第9页,共73页，2024年2月25日，星期天利用镶嵌可以得到一些绚丽多彩的图案第10页,共73页，2024年2月25日，星期天第11页,共73页，2024年2月25日，星期天第12页,共73页，2024年2月25日，星期天第13页,共73页，2024年2月25日，星期天请你帮忙：小明搬新家了,他的房间要自己设计,地板想用一种正多边形的瓷砖来镶嵌，商店有以下几种瓷砖出售，请帮小明选一种。第14页,共73页，2024年2月25日，星期天正六边形正八边形正十边形正十二边形正五边形正方形正三角形第15页,共73页，2024年2月25日，星期天做一做（1）用边长相同的正三角形能否镶嵌？结论：用边长相同的正三角形可以镶嵌第16页,共73页，2024年2月25日，星期天（2）用边长相同的正方形能否镶嵌？结论：用边长相同的正方形可以镶嵌第17页,共73页，2024年2月25日，星期天正五边形有重叠，所以不能够镶嵌。（3）用边长相同的正五边形能否镶嵌？第18页,共73页，2024年2月25日，星期天啊!拼不了啦,为什么呢?你能说说道理吗?123∠1+∠2+∠3=?第19页,共73页，2024年2月25日，星期天镶嵌平面图案需要的什么条件？拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360度123想一想第20页,共73页，2024年2月25日，星期天（4）用边长相同的正六边形能否镶嵌？结论：用边长相同的正六边形可以镶嵌第21页,共73页，2024年2月25日，星期天八边形有重叠，所以不能够镶嵌。第22页,共73页，2024年2月25日，星期天第23页,共73页，2024年2月25日，星期天6

60

0

90

0108

0

120

04334能镶嵌能镶嵌不能镶嵌有空隙能镶嵌60×6=360

0

090×4=360

0

0108°×3<360°108×4＞360

0

0120×3=360

0

0不能镶嵌有重叠实验结果正n边形拼图每个内角度数多边形个数结果

n=3

n=4

n=5

n=6规律:当正多边形的一个内角度数的整数倍是360°

时，这种正多边形就能镶嵌.第24页,共73页，2024年2月25日，星期天结论要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面，需使得拼接点处的各角之和360°．第25页,共73页，2024年2月25日，星期天思考:仅限于同一种正多边形镶嵌,还能找到能镶嵌的其他正多边形吗?第26页,共73页，2024年2月25日，星期天正六边形正八边形正十边形正十二边形正五边形“内角必须整除360度”

。144

。135

。150

。108

。120

。60

。90正六边形

。120第27页,共73页，2024年2月25日，星期天

要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以密铺，而其他的正多边形不可密铺．

思考第28页,共73页，2024年2月25日，星期天假设正多边形的边数为n,由K个正多边形恰好可以镶嵌时,则这些铺在一个顶点处的K个正多边形的K个内角和应等于而正n边形的每个内角的度数为,所以,可得方程整理,得K(n-2)=2n,所以因为K,n为正整数,故n只能等于3、4、6.360°,这说明只用一种正多边形镶嵌,正多边形只有三种选择:正三角形,正方形和正六边形.第29页,共73页，2024年2月25日，星期天仅用一种正多边形镶嵌，只有正三角形、正方形、正六边形能镶嵌成一个平面。结论：第30页,共73页，2024年2月25日，星期天

问题：小明的爸爸在装修过程中用一些边角余料切割成一些形状、大小完全相同的任意三角形，他用这些三角形能进行地板镶嵌吗？那么任意四边形能不能呢？第31页,共73页，2024年2月25日，星期天第32页,共73页，2024年2月25日，星期天第33页,共73页，2024年2月25日，星期天任意三角形和任意四边形可以进行平面镶嵌,但若想实现连续铺设，还应将相等的边重合在一起。结论第34页,共73页，2024年2月25日，星期天同一种任意的三角形、四边形可以镶嵌成一个平面。第35页,共73页，2024年2月25日，星期天问题用同一种平面图形如果不能密铺,用两种或者两种以上平面图形能不能密铺呢?第36页,共73页，2024年2月25日，星期天想一想如果选择边长相等的两种正多边形进行镶嵌,你又会选择哪两种呢?第37页,共73页，2024年2月25日，星期天解：设每个顶点周围有x个正三角形和y个正四边形,则:60°x+90°y=360°即:2x+3y=12又x、y是正整数,解得:x=3,y=2.即每个顶点处用正三角形的三个内角,正方形的两个内角进行拼接.第38页,共73页，2024年2月25日，星期天正三角形和正方形的平面镶嵌第39页,共73页，2024年2月25日，星期天1)正三角形与正方形镶嵌图案设计第40页,共73页，2024年2月25日，星期天2)正三角形与正六边形镶嵌图案设计第41页,共73页，2024年2月25日，星期天∴m+2n=6m=2n=2m=4n=1

m·60+n·120=360。。。设在一个顶点周围有m个正三角形的角,n个正六边形的角，则有∵m,n为正整数∴解为第42页,共73页，2024年2月25日，星期天更多的两种正多边形的镶嵌正十二边形与正三角形的平面镶嵌正八边形与正方形的平面镶嵌正十边形与正五边形的平面镶嵌第43页,共73页，2024年2月25日，星期天4)正四边形与正八边形5)正三角形与正十二边形3)正五边形与正十边形图案设计第44页,共73页，2024年2月25日，星期天设在一个顶点周围有m个正五边形的角,n个正十边形的角，则有∴3m+4n=10m=2n=1m·108+n·144=360。。。∵m,n为正整数∴解为第45页,共73页，2024年2月25日，星期天∴2m+3n=8m=1n=2m·90+n·135=360。。。设在一个顶点周围有个m正四边形的角,n个正八边形的角，则有∵m,n为正整数∴解为第46页,共73页，2024年2月25日，星期天用三种正多边形镶嵌,哪些能镶嵌成一个平面？探究问题（三）第47页,共73页，2024年2月25日，星期天1、正六边形、正方形和正三角形的组合。第48页,共73页，2024年2月25日，星期天第49页,共73页，2024年2月25日，星期天2、正十二边形、正六边形和正方形的组合。

第50页,共73页，2024年2月25日，星期天归纳三种不同正多边形进行镶嵌：正三角形、正方形与正六边形，正方形、正六边形与正十二边形。正三角形、正方形与正六边形正方形、正六边形与正十二边形第51页,共73页，2024年2月25日，星期天这节课你有哪些收获?

当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成一个平面图形。正三角形与正方形正三角形正方形正六边形正三角形与正六边形正三角形与正十二边形正三角形、正方形与正六边形正方形、正六边形与正十二边形正五边形与正十边形正四边形与正八边形第52页,共73页，2024年2月25日，星期天

1、下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是(）A.三角形B.正方形C.任意四边形D.正八边形

2、用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在它的一个顶点周围的正方形的个数是（）A.3B.4C.5D.6

3、如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（）A.3B.4C.5D.6DBA练习第53页,共73页，2024年2月25日，星期天镶嵌图片欣赏：第54页,共73页，2024年2月25日，星期天镶嵌图片欣赏：第55页,共73页，2024年2月25日，星期天镶嵌图片欣赏：第56页,共73页，2024年2月25日，星期天镶嵌图片欣赏：第57页,共73页，2024年2月25日，星期天第58页,共73页，2024年2月25日，星期天第59页,共73页，2024年2月25日，星期天第60页,共73页，2024年2月25日，星期天第61页,共73页，2024年2月25日，星期天第62页,共73页，2024年2月25日，星期天镶嵌图案欣赏第63页,共73页，2024年2月25日，星期天第64页,共73页，2024年2月25日，星期天第65页,共73页，2024年2月25日，星期天第66页,共73页，2024年2月25日，星期天如果用三种不同的等边长正多边形镶嵌，要求：在每个顶点处，每种正多边形只能有一个。那么边数满足什么条件？解：设正多边形的边数分别为m、n、tm(m−2)180°n(n−2)180°t(t−2)180°++=360°3−2（++）=2m1t1n1m1++=n1t121第67页,共73页，2024年2月25日，星期天埃舍尔（M.C.ESCHER1898－1972）荷兰现代版画艺术家。他是一个将艺术与数学融合的画家，也因此享誉世界。

资料第68页,共73页，2024年2月25日，星期天镶嵌之父M.C.埃舍尔是荷兰的“图形艺术家”，着迷于各种镶嵌。许多数学家认为在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化。他的作品几乎无人能够企及，世人尊称他为“镶嵌之父”。

。无论这个问题从属于数学领域还是从属于艺术领域，它对于我仍然是一个未解的问题。

——M.C.埃舍尔第69页,共73页，2024年2月25日，星期天埃舍尔的作品欣赏第70页,共73页，2024年2月25日，星期天资料1：石子路镶嵌图案最多的图林在北京故官御花园内，有许多颜色不同的细石子砌成的各种美丽图案的花石子路，据统计全园花石子路上的图案约有900幅，可以说是中国拥有石子路镶嵌图案最多的图林了。这些石子路图案的组成，是把全园作为一个整体来考虑设计的，因此显得极为统一协调。但是每幅图案又有它的独立的面貌，内容各异，图案的内容有人物、风景、花卉、博古等，种类繁多。其中的“颐和春色”、“关黄对刀”、“鹤鹿同春”等图案，造型优美，动态活泼、构图别致，色彩分明，沿路观赏，美不胜收。第71页,共73页，2024年