高数一第一章函数与极限

高数一第一章函数与极限

教师信息岳洪（0）F527Tel:59925831E-mail:ye142@126.com理学院数学系第2页,共55页，2024年2月25日，星期天

为什么要学习高等数学？（1）学习先进的思想方法（2）训练自己的思维（3）为后续课程打基础（4）为进一步深造作准备第3页,共55页，2024年2月25日，星期天

如何学好高等数学?听课

—学习的中心环节(1)首先做好中学到大学的过渡（2）抓好四个环节：预习——听课——复习——作业①做好课堂笔记，记下例题。②紧跟教师思路不懂之处作记号。认识对象－辨识问题，归纳问题。学会类比－解题思路，挑选方案。第4页,共55页，2024年2月25日，星期天作业

—自我训练的重要一步要求：清洁工整、抄上题目、写出步骤。总评成绩：期终考试

80%平时测验、作业

20%第5页,共55页，2024年2月25日，星期天本学期内容第一章 函数与极限第二章 导数与微分第三章 微分中值定理与导数的应用第6页,共55页，2024年2月25日，星期天第一章函数与极限第7页,共55页，2024年2月25日，星期天

数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，辩证法进入了数学，微分和积分也就立刻成为必要的了。

第一、二节函数——恩格斯笛卡儿(法)（Descartes）（1596——1650）1637年出版的《方法论》的附录《几何》部分是他关于坐标几何和代数的思想第8页,共55页，2024年2月25日，星期天

一.区间与邻域——闭区间；数集(a,b)——开区间；[a,b),(a,b]—半开(半闭)区间有限区间数集[a,b]无限区间区间：第9页,共55页，2024年2月25日，星期天此区间称为点a的邻域,记为称为点a的去心邻域,δ

称为邻域半径。a称为邻域中心，若此邻域中不包含点a,即记为或x。。a.邻域：第10页,共55页，2024年2月25日，星期天

二、函数函数的定义1：两变量x,y,当一个变量x

在实数域的某个范围取一确定值时，另一个变量y

依照一定的法则（f），总有确定的数值与它对应则称y是x

的函数。x—自变量，y—因变量.（定义域D）（y的取值范围称为值域W）,

函数是数学分析这门学科研究的基本对象，是用来表达变量之间完全确定的依赖关系的一个数学概念。1.函数概念第11页,共55页，2024年2月25日，星期天函数的定义x—自变量，y—因变量.定义域D值域

第12页,共55页，2024年2月25日，星期天函数的自然定义域：自变量的最大取值范围例：=D=R=Z0xy-11构成函数的基本要素：定义域及对应法则函数的图象：所确定的平面点集。(一般为平面曲线)第13页,共55页，2024年2月25日，星期天函数的自然定义域：自变量的最大取值范围例：0xy构成函数的基本要素：定义域及对应法则函数的图象：所确定的平面点集。(一般为平面曲线)第14页,共55页，2024年2月25日，星期天第15页,共55页，2024年2月25日，星期天相等函数：判断下列函数是否为相等函数：必须对应关系与定义域都相等。例：①（常值函数）②③④定义域不同对应关系不同第16页,共55页，2024年2月25日，星期天单值函数与多值函数：这种对应关系称为单值对应。当自变量在D内任取一数值时，对应的函数值是唯一的一个，则函数称为单值函数，否则称为多值函数。为多值函数，为多值函数，其主值为单值函数，为其单值分支。第17页,共55页，2024年2月25日，星期天(1)绝对值函数(2)符号函数再介绍几种函数：0xysgnx=0xy1-1显然，.。。第18页,共55页，2024年2月25日，星期天(3)取整函数符号函数与取整函数都是微机中的标准表示不大于x的最大整数。如：[3.14][0.15](图象见书P.9图1—5)函数。把3.14159四舍五入取四位小数，可作[3.14159×104+0.5]÷104=3.1416=3,=-4,=0.第19页,共55页，2024年2月25日，星期天(4)狄里克利函数由此，还可构造出许多奇特的函数，如：它们符合函数的定义，但它们的图象却不是曲线段所能表示的。第20页,共55页，2024年2月25日，星期天函数的（显式）公式表示法（分段函数）若在自变量的不同范围内用不同的式子所表示的函数，如符号函数，绝对值函数等，0xy12又如第21页,共55页，2024年2月25日，星期天函数的隐式表示：——隐函数为函数的显式表示又如——显函数若写成：为函数的隐式表示若其中隐含第22页,共55页，2024年2月25日，星期天函数的参数表示：表示摆线（旋轮线）的一摆。引入参数来建立x,y

的函数关系：表示：f：X→Y→如：表示上半圆周第23页,共55页，2024年2月25日，星期天xa圆上任一点所画出的曲线。关于旋轮线的动画演示一圆沿直线无滑动地滚动，第24页,共55页，2024年2月25日，星期天x来看动点的慢动作圆上任一点所画出的曲线。一圆沿直线无滑动地滚动，关于旋轮线的动画演示第25页,共55页，2024年2月25日，星期天2a2

a0yx

ax=a(t–sint)y=a(1–

cost)其几何意义如图示ta当

t

从02，x从02a即曲线走了一拱a观察动点的轨迹:第26页,共55页，2024年2月25日，星期天x=a(t–sint)y=a(1–

cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板旋轮线也叫摆线单摆第27页,共55页，2024年2月25日，星期天.将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板

旋轮线也叫摆线单摆x=a(t–sint)y=a(1–

cost)第28页,共55页，2024年2月25日，星期天.将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板

旋轮线也叫摆线单摆两个旋轮线形状的挡板,

使摆动周期与摆幅完全无关。在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。摆的运动轨迹也是一条旋轮线，第29页,共55页，2024年2月25日，星期天xyoa–a(圆内旋轮线)

一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。观察动点的运动星形线第30页,共55页，2024年2月25日，星期天xyoa–a观察动点的运动

星形线(圆内旋轮线)第31页,共55页，2024年2月25日，星期天xyoa–a0

2或.P

星形线(圆内旋轮线)第32页,共55页，2024年2月25日，星期天函数的极坐标表示第33页,共55页，2024年2月25日，星期天xyoaa一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。

心形线(圆外旋轮线)函数的极坐标表示观察动点的运动第34页,共55页，2024年2月25日，星期天xyoaa2a观察动点的运动

心形线(圆外旋轮线)函数的极坐标表示第35页,共55页，2024年2月25日，星期天xyo2ar=a(1+cos

)0

20

r2aP

r

心形线(圆外旋轮线)函数的极坐标表示第36页,共55页，2024年2月25日，星期天2ar=a(1+sin

)0

20

r2aP

r

心形线(圆外旋轮线)函数的极坐标表示xyoa第37页,共55页，2024年2月25日，星期天三、具有特殊性质的四类函数(1)奇偶性f(x)的定义域D关于原点对称，对任一若都有则称f(x)为偶函数；若都有则称f(x)为奇函数。偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。第38页,共55页，2024年2月25日，星期天例1：解：例2：解：（奇）第39页,共55页，2024年2月25日，星期天(2)有界性③有界。否则称f(x)

在D

上无界。设f(x)的定义域为D，若存在正数M，使对任一则称f(x)

在D

上有界，如：①=M，∴为D上的有界函数。②无界。oxy1第40页,共55页，2024年2月25日，星期天但不单调。(3)单调性统称f(x)为I

上的单调函数，I

为单调区间。设f(x)的定义域为D，区间对I

上任二点x1,x2,当x1<x2

时，若都有则称f(x)在I

上单调增加则称f(x)在I

上单调减少如：0xy第41页,共55页，2024年2月25日，星期天(4)周期性且指最小正周期。设f(x)的定义域为D，若存在数l(l≠0),使对任一个都有则f(x)为周期函数，l为f(x)的周期，y=sinx,y=cosx都是以2π为周期的周期函数。（函数的四则运算自复习）第42页,共55页，2024年2月25日，星期天四、函数的四则运算设f(x),g(x)的定义域为D1，D2,则定义两个函数的运算如下：第43页,共55页，2024年2月25日，星期天五、复合函数简称复合函数，记作其中u

称为中间变量。即u=φ(x)

的值域Z(φ)与y=f(u)的定义域D(f)的交集非空时为复合函数。设y

是u

的函数：y=f(u),而u

又是x

的函数：u=φ(x),且φ

(x)

的值域全部或部分包含在f(u)

的定义域内,则y

通过u成为x

的函数：由y=f(u),

u=φ(x)

复合而成，第44页,共55页，2024年2月25日，星期天例题讨论(1)1.讨论下列函数的复合情况：全部落入(2)部分落入(3)没有落入不能复合第45页,共55页，2024年2月25日，星期天2.把下列复合函数分解成简单函数：(1)(2)(3)(4)第46页,共55页，2024年2月25日，星期天课内练习1.下列函数能否复合成一个函数：