行列式按一行列展开

行列式按一行列展开例如一、余子式与代数余子式第2页,共39页，2024年2月25日，星期天在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．例如第3页,共39页，2024年2月25日，星期天第4页,共39页，2024年2月25日，星期天引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．证当位于第一行第一列时,即有又从而再证一般情形,此时第5页,共39页，2024年2月25日，星期天得第6页,共39页，2024年2月25日，星期天得第7页,共39页，2024年2月25日，星期天第8页,共39页，2024年2月25日，星期天中的余子式第9页,共39页，2024年2月25日，星期天故得于是有第10页,共39页，2024年2月25日，星期天定理4.1

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即或二、行列式按行（列）展开法则第11页,共39页，2024年2月25日，星期天下面我们对行的情形给出证明：证第12页,共39页，2024年2月25日，星期天第13页,共39页，2024年2月25日，星期天例1第14页,共39页，2024年2月25日，星期天第15页,共39页，2024年2月25日，星期天

证用数学归纳法例2证明范德蒙德(Vandermonde)行列式第16页,共39页，2024年2月25日，星期天第17页,共39页，2024年2月25日，星期天n-1阶范德蒙德行列式第18页,共39页，2024年2月25日，星期天推论

行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即或第19页,共39页，2024年2月25日，星期天证第20页,共39页，2024年2月25日，星期天同理相同第21页,共39页，2024年2月25日，星期天关于代数余子式的重要性质第22页,共39页，2024年2月25日，星期天例３计算行列式解按第一行展开，得第23页,共39页，2024年2月25日，星期天例４计算行列式解第24页,共39页，2024年2月25日，星期天第25页,共39页，2024年2月25日，星期天*拉普拉斯定理第26页,共39页，2024年2月25日，星期天第27页,共39页，2024年2月25日，星期天第28页,共39页，2024年2月25日，星期天定理4.1（拉普拉斯定理）设在行列式D中任意取定了k(1≤k<n)个行。由这k行元素所组成的一切k阶子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D。第29页,共39页，2024年2月25日，星期天例证明第30页,共39页，2024年2月25日，星期天证明按前k行展开根据拉普拉斯定理，去掉为零的项立即可得结论，这相对上一节的方法而言，明显简单得多。第31页,共39页，2024年2月25日，星期天例1计算5阶行列式第32页,共39页，2024年2月25日，星期天

所以D=12－6=6.解:对D的第1,3行用Laplace定理,在第1,3行中不为零的二阶子式分别是

它们各自对应的代数余子式是第33页,共39页，2024年2月25日，星期天例2计算2n阶行列式第34页,共39页，2024年2月25日，星期天解对的第n,n+1行应用Laplace定理（按第n,n+1

行展开）得第35页,共39页，2024年2月25日，星期天利用这个递推关系式有第36页,共39页，2024年2月25日，星期天定理4.2(对角块行列式乘法法则)

,则若若

三角块，则推论第37页,共3