个人数学思想心得

说明：这是我2008年11月到2010年6月做的一些教学笔记，虽然比较凌乱，却真实地记载了这

一年多来教学上的所思所想。平日的教学中多一点这样的思考，我认为是有益的。

1、多取一位近似值够不够？[2008-11-5]

在“近似数和有效数字”的学习中，我们经常面对以下的问题：计算3行+4痴（保留2位小

数），如果不完全借助于计算器，笔算的解决方法是，让计算过程比要求的结果多保留一位小

数，然后在最后一步再次近似，这样才能得到精确的结果.解法如下：

3M+4^6-3x2.236+4x2.449=16.504=16.50.

这种“比结果多保留一位”的做法是不是一定有效呢？且看一个例子.

例、计算1°也+96（保留1位小数）.

我们在计算过程中分别保留1位、2位、3位小数，各自得到33.8、34.17、34.264.按照上面

“多保留一位”的做法，10匹+9后々34.17々34.2,而事实上，1°行+9后=34.2667…M4.3,刚才

还是做错了！

一一般地，我们按照要求对实数取近似值时，可以使用计算器，计算器上总能显示足够多

的位数，就保证了我们需要的结果足够精确.如果没有计算器，那么不妨多保留几位.

2、"欲穷千里目，更上一层楼”？[2008-11-5]

苏科版八年级上册P.53给出的例3是一个勾股定理的应用问题，原题如下：

“欲穷千里目，更上一层楼.”说的是登得高看得远.如图，若观测点的高度为h,观测者视线

能达到的最远距离为d,贝必"屈，其中R是地球半径（通常取6400km）.小丽站在海边一块岩

石上，眼睛离海平面的高度h为20m,求此时d的值.

h

直接代入数据求值，dx72x0.02x6400=V256=16km.看来该问题很简单.

我们追问一下，为什么有这个公式同R呢？且为什么是心”呢？

重新画出右边的图形，就是人站立位置到他的“地平线”的距离，因此AC,半径OC,

利用勾股定理，（R+"）2=R2+"2,化简得1=2秋+",即+.

由于R=6400km,h=0.02km,2Rh+h'=2x6400x0.02+0.004=256+0.0004?看这最后两

个加数，0.0004相对于256很小，而,256.0004“16.0000125,因此在开平方时可以略去而不

致明显影响结果的精确性.当h相对于R很小时，近似公式可以给出很精确的结果.

谜团解开了，我们是否追问一下：要想真的看到千里远，必须登上多高呢？1000里=500km,

,d22

/h—___—____5_0_0____

代入d3hR,得至|j一2R-2x6400=19.53125kmu20km.世上大约不会出现20km高的大楼

吧？世界屋脊珠穆朗玛峰的高度也不过是8848m=8.848km,看来，登上珠峰也不能看到千里

远.

再假设一下，如果真的能站到这么高，一定能看到那么远吗？研究发现，人眼的分辨角

（即刚好能分辨开的两个物点对瞳孔中心的张角）正比于光波的波长，反比于瞳孔的直径.而

瞳孔直径是有限的，可以在1.4〜8毫米之间调节，因此，人眼不能看见很近的物体，也不能

分别很远的物体.在正常情况下，眼睛的分辨角约为3分，这相当于分辨在1公里远处相距为75

厘米的两个物点，那么要看清楚500km远的某个物体，那么这个物体的高度至少要有375米，

至少是一座不小的山丘了，这还没有考虑空气的可见度呢.

3、滑落的梯子[2008-11-6]

苏科版数学八年级上册P.47习题：长2.5米长的梯子靠在墙上，梯子底部离墙的底端1.5m,

求梯子顶端与地面的距离h.

用一次勾股定理可以知道h=2m.让我们追问一下：如果梯子顶端沿着墙壁下滑0.5米，则底

部向外滑动多少？计算一下，知道底部也向右滑动0.5m.

那么是不是上下段滑动的距离总是相等呢？答案是不一定，比如顶端向下滑动1.3m时，

h=0.7m,则底端距离墙壁2.4m,故底端向右滑动2.4-1.5=0.9m.

对这个问题还可以继续提问：把墙壁和地面看做坐标系的第一象限，梯子看做一条固定

长度的线段，那么梯子在滑落过程中每一时刻可以看做是一条曲线的切线，也就是说，梯子

的位置构成了某一曲线的包络，这条曲线是什么？

答案是：星形线在第一象限内的部分.中间的图形画出了整个的星形线，易见它关于x轴、

y轴以及一三、二四象限的角平分线对称.星形线可以看做一个小圆内切于一个大圆无滑动滚

动一周时，小圆上某点的轨迹，小圆半径是大圆半径的四分之一.星形线在任意点的切线夹在

坐标轴之间的部分等于大圆的半径R,因此如果让梯子沿着墙壁滑落，那么形成一簇直线，星

形线就是该直线簇的包络，右图显示了这一过程.

有些公共汽车的门比较特殊，它不是对开的两扇，而是两扇都由相同的两半用钱链相连.

开关门时，靠门轴的一半绕着门轴旋转，另一半的外端则沿着连接两个门轴的滑槽滑动，开

门时两扇合拢为半扇，关门时又伸展为一扇.这种门有一个好处：开关车门需要的空间很小，

因而在乘运高峰时可以多运乘客.由于车门的总宽度为2a,因此车门在滑动过程中任意位置的

包络线就是上面的星形线在第一象限内的一部分.根据对称性，半截车门活动的包络又是这段

星形线的下半部分.经过计算，这种车门活动范围只是普通车门的上.

这里我们还可以提出一个问题：在下滑的过程中，何时梯子与墙壁夹成的三角形面积最

大？答案是：三角形为等腰直角三角形，还可以计算出最大面积与梯子长度之间的关系。

"2/3,、，2/3n2/3

星形线的直角坐标方程是x+y=R，其中R是外接圆的半径.参数方程是

x=Rcos'°,y=Rsin3°,夕是参数.小圆内切于大圆自由地滚动时，圆上任一点构成的轨迹

叫做大圆的内摆线(也叫做圆内螺线)，根据大小圆的半径的比例，可以得到不同形状的内摆

4、切出几个相似形？

问题：AABC的边AB上有一点D,过D作一条直线切割三角形，所得三角形与原三角形相

似，这样的截线有儿条?

答案可以分成两类：⑴比较容易想到的有2个：作DE〃BC,或DF〃AC,则

△ADEsaABCsaDBF.(2)不太容易想到的答案也有2个：过D作N1=N2=NC,则

△AHDs/^ABCsaGBD.如下图所示.

4

注意到该图形中N1=N2,因此，两条截线DG、DH关于AB的垂线DN对称.或者，我们也

可以把DG和DH看作是一组入射光线与反射光线，它们关于法线DN对称.

这两个答案是不是一直存在呢？注意到N1=N2=NC,因此当NC=90°时，DG与DH重合于

AB的垂线DN,这时，问题一共有3个答案，如下图所示.右图是特殊情形.

5、三角形的角平分线、中线和高线的位置关系

求证：三角形从同一顶点出发的角平分线位于中线与高线之间（三线合一的情形除外）.

证明：为了清晰起见，我们先考虑锐角三角形，如图，AD是高线，AE是角平分线，AF

是中线，并且AB>AC,因此NONB,cosC〈cosB.

BD_AB•cosB_ABcosB〉AB_BE〉〔_BF

则CDAC-cosCACcosCACCECF

以上式子表示E在F和D之间.

如果AABC是钝角三角形，且NA是钝角，证明过程同上；

如果AABC是钝角三角形，且NC是钝角，则BC边上的高线在形外，AB>AC,根据以上

证法，也有结论成立；

如果AABC是直角三角形，则D与C重合，同理亦有结论成立.

6、有关三阶幻方的两个问题

三阶幻方最早见于我国的“河图洛书”，然而理论化的研究则在杨辉的《详解九章算术》

中才有较多记载.直至近代，数学蓬勃发展，作为组合数学的一个分支，对幻方的系统研究已

经到了很高的水平.但是，它更多的用处是作为一个数学游戏被数学家或者数学爱好者们津津

乐道（比如金庸先生在《射雕英雄传》中就提到了这一问题），但是在现实生活中并没有广

泛的应用.我们这里介绍的是基于三阶幻方而构造的两个有趣的问题.

⑴、数十五游戏

桌子上放有标上数字1〜9的9张牌，二人对局游戏，轮流从中取牌，谁先取得3张牌的号码

之和等于15,谁就赢得该局.

图6

这个游戏其实是考你是否记得一个三阶幻方.事实上，每一个赢的组合都是幻方中的一

行、一列或一斜行.

因此这个问题也可以修改为划井游戏：在九宫格内放石子，谁最先摆成一行3个就赢.在

此意义上，划井游戏“同构”于一个三阶幻方.

在进行该游戏时，如果玩得正确就不会输.如果两个对手都玩得正确，则就是平局.当然，

如果双方都明白了游戏的诀窍所在，大约下次再也没人愿意玩啦.

(2)、谁是最优？

我们知道，围棋手共有九段，一般地，我们假设低段的棋手总是敌不过高段的棋手.

现在有3个围棋队，每队有3个选手，实力分别是：甲队(4,9,2)；乙队(3,5,7);丙队

(8,1,6).括号里的数字分别代表队员的段位，比如甲队选手分别是4段、9段、2段，等等.你

可以让这三队选手坐成3行，那么9人就构成了三阶幻方.

现在让这3个代表队进行单循环比赛，即每个队的每个选手都与其它队的每个选手下棋,

因此每2个队共需比赛9场.从三阶幻方可以看出来，甲队与乙队比赛，甲胜4局，乙胜5局，因

此乙队胜出，我们用乙》甲表示.类似地，乙队与丙队比赛，乙队胜4局，丙队胜5局，因此有

丙》乙.按照常理，3个人比个子高矮，A比B高，B比C高，显然有A比C高.我们如果把这种

传递关系应用到这里的围棋比赛上，就有闪》乙》甲，因此你立刻就得到“丙队强于甲队''的

结论.

别忙，我们还没有认真地比较丙队与甲队呢.现在来看一下，丙队(8,1,6)与甲队(4,9,

2)作战，丙队胜4局，而甲队胜5局，因此甲队强于丙队.与上面的结果恰好相反！

问题出在哪里呢？

正确的解释应该是：我们不能像比较高矮个子那样比较每队的成绩，常识引导我们在这里犯

了"想当然''的错误.具体点说，我们这里制定的围棋比赛的规则不能应用于真正的对局，否则

就会出现“人人都是赢家”的尴尬.这是不是有点像“剪刀、石头、布”的游戏？而我们借助于三

阶幻方举出该例子的目的是为了说明一个道理：社会科学中很多问题(比如选举问题)不能用

通常的方式去理解，它属于专门的数学分支，需要用到一些专门的理论(比如选举理论)去研

究，这就需要进一步学习了.

7、如何理解概率的稳定性？

随机事件发生的概率是一个客观值，它由事件本身决定，因此是精确的.比如抛掷一枚均

匀的硬币得到正面的概率为0.5,抛掷一个均匀的骰子，得到3点的概率为六分之一，等等.

当随机事件的概率不易直接计算时，需要通过实验的频率来估计概率.频率是一个实验

值，不同的人、甚至同一人在不同的时间做同一实验，事件发生的频率未必相同(甚至不同的

可能性很大)，但是，概率论的研究表明，不同的实验结果下面，所体现的频率的稳定性趋势

是一样的.我们可以用稳定时的频率作为概率的估计值.那么什么是频率的稳定性呢？

在一定条件下大量重复进行同一实验时，事件发生的频率呈现出“先波浪起伏，后风平浪

静”的趋势，随着实验次数的增加，频率会在某•个常数附近摆动，通常实验次数越多，摆动

幅度越小，这种性质称为频率的稳定性.而那个常数就是事件发生的概率.

因此，为了获得一个随机事件发生的概率，我们可以大量做实验，把稳定时的频率值作

为概率的近似值.历史上一些著名的统计学家做的抛硬币的实验有力地证实了这一点.

统计学家历次抛硬币的实验结果

实验者实验次数n正面朝上的次数m正面朝上的频率m/n相对误差

布丰404020480.50691.38%

德・摩根409220480.50050.1%

费勒1000049790.49790.42%

皮尔逊1200060190.50160.32%

皮尔逊24000120120.50050.1%

罗曼诺夫斯基80640396990.49231.54%

从以上表格中可以发现(1)在充分多次的实验下，频率确实可以很好地估计概率；(2)当实

验次数增加时，频率未必更加接近概率，甚至可能出现“反弹”，这是正常的.比如罗曼诺夫斯

基做了80640次实验，结果却不如德.摩根的4092次精确.

我们在学习概率的稳定性的时候，需要避免一些想当然的错误，比如说“求平均数因为

我们假设每次实验都是相互独立的，不同次的实验频率之间并无关系，因此频率的稳定性蕴

含了一点：稳定时的频率值并不依赖于前几次的频率值.求算术平均数的做法当然是错误的.

当实验此时越来越大时，实验的频率恰好等于预期的概率的可能性极小，更准确的说法是：

越来越小.比如，抛掷硬币时，出现正面的频率恰好是0.5的可能性随着N的增加而越来越小.

8、面积哪里去了？

上图经过分割以后，重新拼成下图，看似没有什么变化，但面积却少了一块，这是为什

么呢？

仔细观察图形，可以发现，上面两个“三角形''的斜边似乎都有点问题.用尺子量一下，发

现它们其实都不是直线段，上面的向三角形内部凹了点，下面的则向三角形外部突出一点.一

里一外，就造成了上下两幅图形的面积之差为L

如果这样就算找到问题的答案了，还不能算是清晰.比如一个问题是：你怎么知道一个向

里凹另一个外凸呢？

计算直线AB的斜率是3/8,直线BC的斜率是2/5,直线AC的斜率是5/13,斜率不相等表明

AB、BC、AC不是相同的直线，简言之：A、B、C不共线.直线的斜率越大表明直线的倾斜角

越大，因此BC的倾斜角〉AB的倾斜角，这就造成了折线ABC向三角形内部凹的结果；类似地,

下面的图形中，折线CAB向外凸出.二者拼在一起构成了一个平行四边形，其面积恰好是1,

这就是“丢失的面积”.

再看下面这个问题：边长为8的正方形按照左边的方法分割以后，重新拼接成右边的图形,

面积多了1个(由64“增加”到T65),为什么？

和上面问题的解法一样，我们在右图中计算一下直角梯形地斜腰AB和直角三角形的斜边

AC和BC的斜率，为此需要作出直角梯形的高线BD,于是，AD=2,BD=5,BE=3,CE=8,注意至

AD:BD=2:5,BE:CE=3:8,AF:FC=5:13,三者均不相等，表明A、B、C不共线.而且，右图的矩形

对角线AC的位置其实有一个很扁的平行四边形空隙——其面积正好是1,这就是多出来的1.

注意到图形中的数据：2、3、5、8、13,都是Fibonacci数(1,1,2,3,5,8,13,21,…)，上图的意

思是82=5x13-1,这是Fibonacci数列的一个重要性质彳="t.工川+(-1)'川的应用而已.

9、如何作出三角形的内接正方形？

问题：要想在三角形内作出一个内接矩形是很容易的，而且这样的矩形可以作出无数多

个，-一般情况下，这个矩形不会是正方形.那么，如何才能准确地作出一个内接正方形呢？

我们尝试沿着BC边先作一个任意的正方形—不管第4个顶点E是否在AC上，然后观察,

我们需要的正方形(阴影部分)与它有没有什么关系.

如果你还看不出来，不妨把连起来，你发现了什么？8、E、”正好共线！的确如此，

不管你任意作出的正方形OEPG在什么位置,它与将要作出的ZkABC的内接正方形"7町都是

位似的，位似中心就是点氏(思考一下，为什么？)

因此作法就有了：任意作出一个正方形OE尸G,再连接BE并延长交AC于点再以H为

顶点作出正方形小灯的其他顶点.

下面这种方法也很巧妙：如果要使得正方形的一边在BC边上，我们先以BC为边在aABC

的异侧作一个正方形BCDE,连接AE、DA交BC于G、F,那么正方形FGIH就是所求.利用相似

三角形可以证明这一点.

完成了这个问题，我们可以想到更多.

(1)如何作出长：宽=2：1的矩形？

(2)在△ABC上作出一个内接使得OE—的三边分别与已知△PQR的三边分别平

行？(特殊地，如何作出一个内接正三角形？)

我们来完成(2).开始也要尝试，如图，我们先在AB、AC上取Di、E],使得D|E|〃PQ,再作

D|F1〃PR,E|F]〃QR,可以发现，点F1未必正好落在BC上，这是问题的难点。如果多试儿次可

以发现，这样的日都在由A出发的同一•条射线上，且△。闽KSAPQR,因此所有这样的

△。百片是以A为位似中心的一组位似三角形。根据位似图形的性质，对应点都在经过位似中

心的直线上，因此记AF|与BC的交点为F,从F作DF〃PR,EF〃QR,交点分别在AB、AC±,

则4DEF就是所求的三角形。

(3)△ABC的三边上都可以类似地作出一个内接正方形，计算一下，哪个正方形的面积最

大？

h-xh--=—ha2xS=-------

解答：如图，设5C=«,高4H=/z,内接正方形的边长是x,则xx,算出h+a=h+a,

其中S是三角形的面积.由公式可见，内接正方形的大小由三角形的边长以及该边上的高线长

度之和&+©决定.对于具体的三角形，我们可以通过计算比较，得出最大内接正方形是在哪条

边上.

2s2S=42S

因为人+«三2痴"=2后，因此“一/2+。局2,两边平方，则正方形的面积

S_

^<2,即三角形的内接正方形的面积最大值为三角形面积的一半，而这个值也是三角形内接

矩形面积的最大值.

10、完美正方形与完美矩形[2008-11-13]

如果可以把一个正方形分割为若干个大小不同的小正方形，那么这个正方形就叫做完美

正方形.如果把一个矩形分割为若干大小不同的正方形，这样的矩形叫做完美矩形.容易知道，

如果允许一些正方形相同，对应6,任意正方形都可以分解为若干个小正方形，下面给出了n=6、

7、8的情形，对应9,只要依次再把某一个正方形继续分割就行了.基于这一点，完美正方形存

在的意义就在于要求分割为大小不同的正方形.

24-夕“wvperfedsqiiare

11、解题研究1[2008-11-13]

△ABC中，AD是中线，分别以AB、BC为边向外作正方形，求证：FN=2AD.

B

解法：延长AD到G,使得DG=AD,则有平行四边形ABGC,再证明aABG乌ZXFAN(SAS),

因此FN=AG=2AD.

分析：根据结论，作出AAFN的中线A0,那么有4ABD乌△FAO,AANO^ACAD(SAS).

因此AAFN与aABC组成相等(分割以后重新组合).更基本的结论是：它们的面积相等，而这

一点可以由正弦定理立即得到.

动态地观察这两对三角形，它们可以分别绕两个正方形的中心P、Q旋转得到.而旋转图形

的对应线段夹角等于旋转角，因此ADJ_FN,很容易地就得到了这个结论.

我们看图形的构造，AABC的中线垂直于FN,反过来，AAFN的中线也垂直于BC,二者

是对称的。

通过几何画板，可以发现：OPDQ是一个正方形！不难证明如下：易知PO_LPD,且

PO=PD;QO±QD,且QO=QD,那么aPOQgZxPDQ,因此NPOQ=ZPDQ=90°,进而得到正方形.

另一种方法是连接CF、BN,证明AAFC四△ABN(SAS),得到CFJ_BN,再利用中位线定理,

PD1DQ,且PD=DQ,于是得到结论.参见右图.

下面这个问题与刚才分析的结果有点关系.

左图中的正方形面积分别是17、10、13.右图中DPQR为矩形，对照图中的数据，计算左

图中六边形ABCIGH的面积.

△DEF的边长分别是何，而，丽，根据右图其面积等于5.5,WABDC.AAEH.AGFI

的面积都等于4DEF的面积，因此总面积等于17+13+10+5.5x4=62.

△BDC的面积等于4DEF的面积，可借助于正弦定理，但学生如果没有学过，可以通过以

下方法获得理解：一个基本图形是，^ABC的中线吧三角形分成面积相等的两部分——利用

这个基本原理，我们只要把ABDC与4DEF旋转一下，拼在一起，就可获得这个基本图形.

12、解题研究2[2008-11-13]

四边形ABCD中，AB=CD,E、F分别是AD、BC中点，BA、FE、CD延长线分别交于G、

H,求证：ZBGF=ZCHF.

特殊地，当ABCD为等腰梯形时，结论显然成立.一般位置情形，连接AC,取中点I,连

11

-CD-AB

接EI、FI,利用中位线定理，有IE〃CD,IF〃AB,因此N3=N1,N4=N2,而EI=2=2=里

因此N3=N4,因此N1=N2.

解题研究3

⑴正方形ABCD中，NEAF=45°,求证：DE+BF=EF.

把4ADE围绕A旋转到△ABG,则可以证明△AFEgZ\AFG(SAS),不难得到结论.

变化：本题的结论与条件可以互换一下：

(2)正方形ABCD中，DE+BF=EF,求证：ZEAF=45°.

证明的方法依然如此，不过全等条件则是SSS.如果不使用旋转的语言，也可以延长FB到

G,使得BG=DE即可，效果等同于旋转.

在有些问题中，题目的条件比较含蓄：正方形的边长是1,4CEF的周长是2,简单的计

算可知，这等价于DE+BF=EF.

在以上两个问题中，4AFE与4AFG关于AF对称，因此可以把4AFG连着高AB一起翻折

过去，那么4AFE的高线AH对应地等于AB,顺便可以得至I」NBAF=NFAH,NDAE=NEAH.

把左边的图形简化，我们可以对右图形成问题：

(3)正方形ABCD中，DE+BF=EF,AHLEF于H,求证:AH=AB.

以上的过程实际上给出了问题(3)的解答.

该问题还有一个变形：正方形ABCD被两条与边平行的直线分割为4个小矩形，若矩形

PFCE的面积是矩形PQAR的2倍，求NEAF的大小.

设AR=a,BR=AAQ=x,QD=)Wb+b=x+y,且2ak刀，化简这两个式子将会产生DE+BF=EF,

这就转化为上面的问题.过程可参考《奥数教程》(华东师大，初二P.157页).

进一步地，可以证明，当E在AB上变动时;EH、FG的交点P是一个不动点.辅助线如图，

设正方形的边长为1,则0-加/+(1-〃)2=5+〃尸，化简为m+n+mn=l,根据

y_n4-x1+x_y-(1-zw)

△PMFs^GDF,1—〃？〃；根据△PNEs^HBE,1—〃加，解出x=l,y=2,因此

ANPM是边长为2AB的正方形.因此P为一个定点.

解题研究4[2008-11-14]

平行四边形ABCD中，AE、AF为垂线，H是4AEF的垂心，EF=p,AC=q，求AH的长.

证明：连FH并延长与AE交与点G,连EH.H为垂心，则FHLAE,即FG〃BC,又因为EH1AF,

则EH〃CF,故有平行四边形FCEH，因此FC=HE.

AHGHACFCHE

易知RtZ\AGHsRt/\FGEsRtaAFC,因此EFGE,EFGEGE,

AH2_GH2AC2HE2

则222~GE2

EF~GE(1),EF(2),

AC2AH2_HE2GH2_HE2-GH2GE2

2

(2)-(1)得EF2EF"GE2__GE2GE2=GE2

AC2AH2_q2AH2

2=1

222业-p2

g|JEFEF'L即PPAH=

上面的结果表明，AC、EF、AH可以作为一个直角三角形的三条边，但是它们并不在同

一个三角形里面，作LEJ_EF交AB于L,连接LF,可证ALEH为平行四边形（两组对边分别平行）,

因此AH=LE,只要证明RtALEF中，斜边LF=AC即可.这相当于证明AL=CF,或者证明ALCF为矩

形.

根据作图过程，A、L、E、F四点共圆，而A、E、C、F四点共圆，因此L、E、C、F四点

共圆（因为以上五点都共圆），因止匕NLCF=NLEF=90°,因止匕ALCF为矩形，即AC=LF.

解题研究6[2008-11-15]

两个正方形靠在一起，如何把它们分割、拼接成一个大的正方形？

在AD上截取AH=DG,连接BH、HF,则可以证明aBAH名△HGF（SAS）,以BH为边作正

方形BHFI即为所求.这里其实利用构图证明了勾股定理.

这个结论可以推广为：任意n个正方形可以拼成一个大的正方形.

我们再添加一些线条，得到上面的两幅图形，左边相当于赵爽的弦图，右边相当于加菲

尔德总统的“推倒一个火柴盒”，这两种勾股定理的证法在历史上都相当著名.

下面这个问题在“正方形''的学习中是一道典型的例题，可视为上面问题的变形.

正方形ABCD中，H是AD边上--点，G在AD延长线上HFJ_BH交NCDG的平分线于点F,

求证：BH=HF.

证明：在AB上截取AM=AH,则可以证明aBMH应△HDF(ASA),因此结论成立.有学生在

尝试中作FG_LAD延长线于G,然后努力证明△BAH^^HGF,却发现没有任何一组对应边相

等！从结果看，本题附带的结论是AH=DG但这个并不能直接得出.

本题的结论与H在AD上的位置无关，这一点对应于上面问题中两个正方形的大小没有特

殊要求，甚至可以相同.

解题研究712008-11-15]几何计数

问题：3x4的网格中有多少个矩形？多少个正方形？

对于比较小的网格，可以用简单的枚举法获得答案，但是如果问题变成mxn的网格呢？

枚举法就很不方便，需要寻找更好的办法.

观察右图，我们观察网格的上底边和左侧边，在上面任意各取一条线段，总能唯一地决

定某一个矩形网格，因此，图中所有的矩形都与上底边和左侧边上线段的组合一一对应，利

用乘法原理，对于3x4的网格，一共有(1+2+3/(1+2+3+4户6x10=60个矩形.

以上结论可以推广到mxn的情形，即在mxn的网格中，共有

mn{m+1)(〃+1)

(1+2+...+m)(1+2+...+n)=4

个矩形.

下面计算正方形的个数.先分类：lx]的正方形有mn个，2x2的正方形有(m-l)(n-l)个，3x3

的正方形有(m-2)(n-2)个，若mNn,则以上过程进行到nxn的正方形为止，共有

[m-(n-l)][n-(n-l)]=(m-n+l)个.简记为1=0.

解题研究7[2008-11-18]好数

设某个n位正整数的n个数字是1,2,n的一个排列，如果它的前k个数字所组成的整

数能被k整除，其中k=l,2,...»n,那么就称这个n位数为一个“好数”.例如，321就是一个“好

数”，因为1整除3,2整除32,3整除321.那么六位“好数”的个数有儿个？

分析：设为abed比则e=5力,e,7取自2,4,6.注意到3|。反，3\abcdef,因此尝试得出＜/止456

或654.因此b=2.a、c只能取1和3.如果d=4,则4不整除1234或3214,因此只能d=6,有2个答案：

123654和321654.

总结一下：1位“好数”(1)；2位“好数”(12)；,3位“好数”(123,321)；4位“好数”不存在；5位

“好数”不存在(只要考虑3、4位的数字不能被4整除)；6位“好数”：(123654,321654).

解题研究8[2008-11-191梯形的一个问题

如图，梯形ABCD中,AD〃BC,E是腰AB的中点，且DELCE.求证：(1)DC=AD+CB;(2)DE、

EC分别平分ND和NC.

取CD中点F,分别使用直角三角形的斜边中线性质与梯形中位线性质，可以得出结论.

在梯形的前提下，E是腰AB的中点，现在列出3个结论：(1)DC=AD+CB；(2)DE、EC分别

平分ND和NC；(3)DE_LCE.我们可以选择其中2个作为条件，并且推导出第三个.

仅有梯形的前提，如果给出(3)DE，CE；(1)DC=AD+CB,右图可知，E不一定是AB中点,

从而(2)不一定成立.

注意到DE、EC是角平分线，因此让4ADE沿着DE翻折过去，则A落在CD上，对4BCE

同样操作，则A、B在CD上重合.让整个图形围绕F旋转180°,那么中间给出一个矩形，整个图

形给出了一个用平行四边形纸片折叠信封的方法.但是，用来折叠的平行四边形纸片不能太随

意，需要满足AB=折痕CD才可以.

解题研究9[2008-11-19]中点四边形问题

任意四边形的重点四边形是平行四边形，当对角线相等时，中点四边形是菱形；当对角

线互相垂直时，中点四边形是矩形；同时满足这两条，则是一个正方形.当四边形ABCD是凹

四边形时，结论依然成立.甚至，当ABCD是一个交叉的四边形时，结论仍然成立.

基于以上考虑，我们观察由四点构成的“完全六点形”——它由4个点ABCD和6条线(四条

边和两条对角线)组成.同时取出这6条线的中点，某四个点可以构成一个平行四边形，一共可

构成3个平行四边形.这一事实包含了凸四边形与凹四边形两种情况.

EG^-(BC+AD)

梯形的中位线性质EG〃BC且2.如果是一个交叉的“梯形”，相当于连接

EG=-(BC-AD)

梯形ADBC的对角线中点，那么2，一般的证明需要添加辅助线(比如延长AG

交BC于G).如果把AD、BC看做有向线段，那么以上结论可以统一起来.

也可以换一种眼光看待这个问题，固定BC,让AD在空间扭转180°,那么EL与LG在旋转

过程中长度保持不变(分别等于BC、LG的一半)，但是夹角从180°变化到0,关于EG的表达式

中，由“+”变成立刻有上面的结论成立.

课堂教学不仅要教会解题，也要教学眼光和思想.

解题研究10【2008-11-25］四边形的变身术

剪拼成平行四边形：连接两对对边中点，分成4个小的四边形，然后把DGIF、EBHI分别

围绕G、E旋转180°,把IHCF沿着向量CA平移即可.

剪拼成矩形：连接一对对边中点E、F,从另一对对边中点G、H分别向EF作垂线段GJ、

HI,如图适当平移或旋转即可.

变成平行四边形变成矩形变成三角形

变成三角形：连接一组邻边中点EF,在EF上任意取点P,H、I为另外两边中点，连接PH、

PL分成4个小的四边形，然后把DEPH、FBIP分别围绕E、F旋转180°,把PICH沿着向量CA

平移即可.

也可以用2个相同的四边形拼成一个平行四边形：让aABC沿着向量BD平移到△GDH,

则ACHG为平行四边形.

G

A

D

BC

解题研究11［2008-11-22］层出不穷

在图示的圆周上，有1,2两数，两数和为3,第1次在两个半圆的中点上写相邻两数的平

均数，这些平均数和为3；第2次在4个小圆弧的中点上都写相邻两数的平均数，这次写的平均

数和是6；第3次在8个小圆弧的中点上都写相邻两数的平均数，这次写的平均数和是12；……

如此写下去，直到写了第2007次为止，此时圆周上所有数的和为.

［《时代学习报》第三届数学文化节8年级第一试问题］

分析：利用圆周的对称性，每产生一个新的平均数A,必有某一段圆弧上也产生相同的A,

即平均数都是成对出现的.而第每一次所有新的平均数之和，总等于算出这些平均数之前圆周

上本来所有的数字之和，因此，第几次以后圆周上所有的数字之和为3-2"二当原始的数字不是

(1,2),而是他力)时，答案则为

解题研究1212008-12-3］不动点的几个例子

(1)见“解题研究3”

(2)过四边形ABCD的边AD、BC的延长线交点P作任意直线EF,且EP=PF,求证：不论EF的

长度与位置如何，线段AE、BF的中点连线恒过某一定点.

分析：只要取AB中点J,则PMJN是平行四边形(中点四边形)，因此MN的中点与PJ的中点

重合，而PJ不动，因此是一个固定的点.

这个问题也可以作为“中点四边形”的一个应用.

解题研究13【2008-12-5］它们都是45°

(l)4ABC中，NC=90°,M在BC上，月.BM=AC,N在AC上，月一AN=MC,AM与BN相交于点

P,求证：ZBPM=45°.

A

分析：平移AN到MG则有平行四边形ANMG因此AM=CG.再证明△BMGgACM(SAS),从

而获得ARGN为等腰直角三角形.命题获证！

(2)Rt^ABC中，NC=90°,AE=AC,BC=BD.求NDCE的度数.(45°)

解题研究14[2008-12-8]几个几何不等式

(1)在锐角三角形ABC中最大高线AH等于中线BM,求证：ZB<60°,

-AH

分析：作MP，BC,MQ，ABWJMP=22，因此NMBC=30°,而AH为最大的高线，

因此QM<MP,NABM<30°,ZB<60°.

(2)任何三角形三个内角平分线的乘积必小于三边的连乘积.

型

_______r=1

分析：借助于海伦公式，得至的=Jx)'z(x+y+Z)=®+y+z),因此内切圆半径1x+y+z.

卜(x+z)(x+77(x+z)(y+z)

因止匕AO=11,BD+DC=x+y,而BD:DC=(x+y):(x+z),算出CD=2x+y+z，因

2x+y+zA0_2jx(x+z)(x+y)(x+yTIJ

此AD=2(X+〉+Z)2x+y+z

根据对称性，其他两条角平分线为：

2Jy(y+z)(x+y)(x+y+z)2Jz(x+z)(z+y)(x+y+z)

x+2y+zx+y+2z

因此命题为：

2Jx(x+z)(x+y)(x+y+z)2Jy(y+z)(x+y)(x+y+z)2Jz(x+z)(z+y)(x+y+z)

2x+y+zx+2y+zx+y+2z

<(x+y)(y+z)(z+x),

相当于8(*+y+z)ylxyz(x+y+z)<(2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z)(

即8P而五<(p+x)(p+y)(p+z),这可以由平均值不等式得到.

(3)设P是4ABC内任一点，求证：NPAB,ZPBC,NPCA中到少有一个不超过30°.

先证明角元形式的塞瓦定理：P是平面上一点，则sinrsiny-sinz=sina-sin/7-sinc

BD4。4。AOBDsinxsinC

BD=sin%•CD=sina•

根据sinxsin8，得sin8，同理sinC,因止匕DCsin。sin8，类似

地得出CE:EA和AF:FB,再利用塞瓦定理即得结论。

对于本题，若a,瓦。都大于30°,则左边>1/8,此时0<x+y+z<90°,根据平均值不等式和Jensen

sinx+siny+sinz3.尤+y+z、3

不等式，sinx-siny-sinz<{3<Sm-3~<缶皿30°)3=1/8,矛盾！

(4)P是AABC内一点，求P^+P1+PC?的最小值。

这就是三角形的拉格朗日定理，参考单博主编：《数学名题词典》P.351.

解题研究15[2008-12-18]一次函数的决策问题

题(1)A市和B市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援C市1。台、D市8台。已知从A

市调运一台机器到C、D两市的费用分别是400元和800元，从B市调运一台机器到C、D两市的

费用分别是300元和500元。

(1)若B市运往C市x台机器，当18台机器全部运完后，求总运费y关于x的函数关系式。

(2)若要求总运费不超过9000元，问有几种调运方案？

(3)指出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？

分析：根据题意，B市运往C市x台，则B市运往D市(6-x)台，A市运往C(10-x)台，A运往

D(x+2)台，因止匕总费用y=400(10-x)+800(x+2)+300x+500(6-x尸200x+8600.

若200x+8600W9000,贝iJxg2,x=0』,2.一共3种方案。

根据一次函数的增减性，y随着x的增加而增加，因此当x=0时，费用最小，最低运费是8600

JLo

题(2)日照市是中国北方最大的对虾养殖产区，被国家农业部列为对虾养殖重点区域；贝

类产品西施舌是日照特产.沿海某养殖场计划今年养殖无公害标准化对虾和西施舌，由于受

养殖水面的制约，这两个品种的苗种的总投放量只有50吨.根据经验测算，这两个品种的种

苗每投放•吨的先期投资、养殖期间的投资以及产值如下表：(单位：千元/吨)

品种先期投资养殖期间投资产值

西施舌9330

对虾41020

养殖场受经济条件的影响，先期投资不超过360千元，养殖期间的投资不超过290千元.设

西施舌种苗的投放量为x吨

(1)求%的取值范围；

(2)设这两个品种产出后的总产值为y(千元)，试写出y与x之间的函数关系式，并求出当x

等于多少时，y有最大值？最大值是多少？

分析：本题考查学生一次函数、不等式组的综合运用，由不等式组确定一次函数自变量

的取值范围，根据一次函数的增减性确定y的最大值.

解：(1)设西施舌的投放量为x吨，则对虾的投放量为(50-x)吨，

+4(50-%)<360,fx<32,

<<

根据题意，得：［3x+10(50-x)"290.解之，得：［xN30..匕。M32.

(2)y=30x+20(50-x尸lOx+1000.V10>0,随x的增大而增大.

•••30三烂32,:•当x=32时，y最大=10x32+1000=1320.

所以当%=32时，y有最大值，且最大值是1320千元.

题(3)抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，

全部转移到具有较强抗震功能的A、B两仓库。已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A

库的容量为70吨，B库的容量为110吨。从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表(表中

“元/吨•千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币)：

(1)若甲库运往A库粮食%吨，请写出将粮食运往A、B两库的总运费)’(元)与x(吨)

的函数关系式.

(2)当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？

解题研究16【2008-12-23】一次函数模型

⑴华氏温度与摄氏温度之间的换算：/=1衣+32,其中，/是华氏温度，c是摄氏温度。

(2)鹅鹦是小型、短胖、浅褐色的鸟类，多在沼泽、多石的荒原或灌丛捕食昆虫。《庄子•逍

遥游》说“鹅鹦巢于深林，不过一枝”，旨在说明以天地万物之大，鹅鹦不过仅仅巢于一枝。

有人对它呼出的气体的温度T进行过测量，发现T与环境温度，之间存在近似的一次函数关系：

T=8.51+0.756f,其中12°骗30°。

(3)人们发现，蟋蟀鸣叫的次数与环境温度存在简单的-次函数关系。设蟋蟀15秒内鸣叫

次数为环境温度为华氏F,则F=a+40.这个式子很有趣，如此，我们可以利用蟋蟀在一定时

间内鸣叫的次数来计算环境温度。

解题研究1712008-12-26］勾股定理的问题

(l)RtZ\ABC中，NACB=90°,CD是AB边上的高，若AD=8,BD=2,求CD.

Aa

分析1：设CD=x,贝1」4°2=82+—,6。2=犬+2[而AC2+8C2=AB2,因此

2222

(8+X)+(X+2)=10\解出X=4.

该解法具有一般性，即若AD=a,BD=b,贝4类似可一得CD=J^。

-AB

分析2、作出斜边AB的中线CE,则CE=2=5,而ED=5-2=3,则CD=4.

CD2=CE2-DE2=[-(a+b)]1-[-(a-b)]2=ab-八

若AD=a,BD=b,则22,因此。=而。

分析3、学习了相似三角形之后。利用射影定理立即可得结论。

(2)直角三角形ABC中，直角边AC=8,BC=6,将BC沿着NB的平分线翻折，使C落在AB上的

点E处，求CD.

分析1、设CD=x，则DE=x,RtZ\DEA中，AD=8-x,AE=10-6=4,因此强一“二炉+4'解出

x=3.

分析2、用面积方法。设CD=x，则DE=x,考虑到5凶。+54180=52叱,即

6x+10x=6x8,因止匕x=3.

(3)4ABC中，AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12,求BC。

分析：本问题有2解，分别对应于aABC为对角三角形或锐角三角形。

一个类似的问题只是改变了个别数据，但是这种三角形不大好找，因为其边长都是整数。

在aABC中，AB=13,AC=15,高AD=12,求BC。

这里涉及一个问题：边长为整数的非直角三角形，且有一边的高线为整数(从而面积可能

为整数)。上面的问题给出了(7,15,20)一可以利用(3,4,5)设计出来，另一个同时给出了

(13,14,15)和(4,13,15)这两个答案，面积分别是84和24.

另外2个例子是(9,10,17),(10,17,21),边长为9或21的边上的高为整数8,画图可以验

证。

(4)RtZ\ABC中，NC=90°,D、E分别是BC、AC的中点，AD=15,BE=20,求AB.

分析：设CD=x,CE=y，则4/+*2=152,4*2+尸=2()2.相加得出5(5^^2)=625,因此/+X2=125,因

此ABZFb+xZAGOO,AB=1°6.

虽然可以求出X和y的值，但是没有这个必要。这个问题可以“改装”成如下的形式：①已

知直角三角形的两条直角边的中线，求斜边的中线。

②已知直角三角形的两条边的中线，求第三条边的中线。

但如果去掉“直角三角形''这个条件，以上问题不再有唯一解。事实上，根据三角形的帕

普斯(P叩pus)公式:AB2+AC2=2(AM2+BM2),其中BM为中线。该公式可以看作勾股定理的一个

2〃+2/—/

推广。可以据此根据三角形的边长计算三角形的中线AM?：4

由帕普斯公式，对于非直角三角形，因为缺少了*Ac的一个等量关系，因此已知两条

中线是不够确定三角形的第三条中线的，否则这相当于确定了三角形的三边。

解题研究1812008-12-26］拼图问题

下列图形可以适当剪拼之后变成一个正方形。

解法:

解题研究19【2008-12-26】勾股定理n问

(1)勾股定理的发现历史有多久？

答：据现有史料记载，最早发现勾股定理的是4000年前的古代巴比伦人。现在被美国哥

伦比亚大学图书馆收藏的一块编号为“普林顿322”的古巴比伦泥板上记载了15组勾股数，说明

当时的人们已经知道勾股定理。我国古代(约公元前1世纪)的算书《周髀算经》记载，公元前

一千多年中国古代就有“勾三股四弦五”之说，表明当时的中国人也知道了勾股定理。古希腊

数学家毕达哥拉斯研究过勾股定理，因此在西方勾股定理被叫做毕达哥拉斯定理。

(2)勾股定理的逆定理表明：如果下+七一,则三角形为直角三角形；如果办/忿2,能确定三

角形的形状吗？

答：首先假定C是最大边，如果。2+廿＞凡则三角形为锐角三角形；如果。2+.々2,则三角形

为钝角三角形。

(3)在直角三角形的三边上放置的正方形，如果换成另外一些几何图形，它们的面积之间

还存在等量关系吗？

答:因为小一力,两边同时乘以一个正数鼠等式网热/尸酎依然成立，这表明，只要保证

直角三角形的三边上的图形是相似图形，比如：半圆、相似三角形、相似多边形，等等，那

么依然有小的两个面积之和等于最大图形的面积，这一个性质经常用来设计一些有趣的问题

作为试题。

(4)勾股定理的证明有多少种？它们各有什么特点？

答：记载于欧儿里德的《儿何原本》的证明用到了全等三角形知识；最简单的证明则借

助于“射影定理”；中国的三国时期数学家赵爽使用“弦图”也很便捷；美国第20任总统加菲尔

德在担任参议员的时候发明了一种“推到一个火柴盒''的证法，为后来的总统生涯增加了传奇

色彩。众多的证明方法多使用了“面积方法”，即通过不同的角度把某个图形的面积计算两次,

得出一个等式，化简该等式的结果就是勾股定理。还有很多通过割补图形(出入相补术)的方

法来证明，都很巧妙。其中有很多数学家的精巧设计。

解题研究20[2008-12-27]中考新题汇编

⑴在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点.请你观察图中正方形

AIBIGDI、A2B2C2D2,A3B3c3D3,…，每个正方形四条边上的整点的个数，推算出正方形

AIOBIOGODIO四条边上的整点共有多少个？

(2)已知mN2,n”且m,n均为正整数，如果将初进行如下方式的“分解”，那么下列三个叙述:

①在2、的“分解”中最大的数是11；②在43的，，分解，，中最小的数是13；

③若疝的“分解”中最小的数是23,则m等于5.其