2022-2023学年北京市延庆区高二（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市延庆区高二(上)期末数学试卷

题号一二三总分

得分

一、单选题(本大题共10小题，共分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合4={x|x+1>0},集合B={x||x|22},贝！!()

A.AQBB.QVA={x\x<-1}

C.AVJB—{x\x>2}D.Ar\B-{x\x>2)

2.若复数z满足(l+3i)z=2+4i,贝收的虚部为()

A.B.-|iC.D.|

3.已知抛物线的焦点是F(-2,0),则抛物线的标准方程是()

A.y2=4xB.y2=—4xC.y2—8xD.y2——8x

4.已知6(0,—2),F2(0,2),动点P满足〔PF/—|P&I=2,则动点P的轨迹方程为()

A.%2-=1B.y2—y=1

C.X2-y=1(%>0)D.y2—y=l(y>o)

5.与圆Ci：/+y2=i和02：/+、2一8尤+12=0都外切的圆的圆心在()

A.一个椭圆上B.一条双曲线上C.一条抛物线上D.双曲线的一支上

6.已知直线/和双曲线C,那么“/与C只有一个公共点”是，与C相切”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2?

7.若双曲线的方程为5―登=1，则它的离心率与渐近线方程分别为()

916

54535354

A+艮C+D+

-y--X--3y---X-y--X

3344?443

8.己知抛物线必=4久和点4(5,3),F是抛物线的焦点，P是抛物线上一点，贝i」|P4|+|PF|的

最小值是()

A.5B.6C.7D.8

9.过抛物线必=4尤的焦点F的一条直线与此抛物线相交于4B两点，已知4(4,4),则线段48

的中点到抛物线准线的距离是()

10.已知点P在抛物线/=-6y上，且4(0,-2),则|P*的最小值为()

A.2B.V3C.3D.4

二、填空题(本大题共5小题，共分)

11.函数y=lg(3/+2%—1)的定义域为.

12.双曲线的一个焦点坐标是(-2,0),且双曲线经过点(2,四)，则双曲线的实轴长为,

标准方程为.

13.函数y=卜;'一1W"三°,的值域为.

14.已知△48C中，b=2,c=V3，B=30°,则s讥C=,a=.

15.已知双曲线最一r=l(a>0,6>0)的左右焦点分别为a(-c,0),F2(C,0)(C>0),P是

双曲线上的一点.给出下列四个结论：

①|P&|的最小值为c-a；

②若直线I的斜率与双曲线的渐近线的斜率相等，则直线/与双曲线只有一个公共点；

③点P到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为哗；

JC2

④若过B的直线与双曲线的左支相交于力，B两点，如果MF2I+\BF2\=2MBl，那么|力切=2a.

其中，所有正确结论的序号为.

三、解答题(本大题共6小题，共分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(本小题16.0分)

根据下列条件，求圆的标准方程：

(I)圆心在点4(2,—1),且过点B(-2,2)；

(11)过点。(0,0)和点。(0,2),半径为2；

(IH)E(l,2),尸(3,4)为直径的两个端点；

(W)圆心在直线/：2x+3y-8=0上，且过点P(l,0)和点Q(3,2).

17.(本小题14.0分)

如图，已知点2(2,1),圆C：x2+y2=4.

(I)求过点4的圆的切线方程；

(U)设过点4B的直线交圆C于。，E两点，求线段DE的长；

(HI)求经过圆C内一点B且被圆截得弦长最短的直线的方程.

18.(本小题13.0分)

如图，在棱长为4的正方体2BC0中，点M是BC的中点.

(I)求证：AB1〃平面CDDiG；

(H)求证：ABt1ArM-,

(HI)求二面角B-ArM-G的大小.

19.(本小题15.0分)

已知椭圆C的两个焦点分别是正式-1,0),6(1，。)，椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于2夜，

。为坐标原点，直线Ay=2x+m与椭圆C相交于4,B(不重合)两点.

(I)求椭圆C的标准方程；

(口)求小的取值范围；

(m)求|4B|的最大值.

20.(本小题15.0分)

已知椭圆C的焦点在%轴上，焦距为2企，离心率为苧，过点P(3,0)的直线I与椭圆C交于4B(

不重合)两点，坐标原点为。(0,0).

（I）求椭圆c的标准方程；

（H）若线段4B的中点的横坐标为1,求直线1的方程；

（川）若点。在以线段4B为直径的圆上，求直线I的方程.

21.（本小题12.0分）

对非空数集x,丫，定义x与丫的和集x+丫={%+叫％6乂、6门.对任意有限集4记⑷为集

合a中元素的个数.

（I）若集合X={0,1,2},y={135,7,9},写出集合X+X与X+Y；

（口）若集合乂={/,久2,…，久1012}满足与<x2<•••<x1012,且|X+X\<2024,求|X+X\.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：•・・集合A={x\x+1>0]={x\x>-1},集合B={x||x|>2}=(x\x<-2或%>2],

:.CyA={x\x<—1},A\JB={x\x<—2或%>—1},AC\B={x\x>2],

故选：D.

先求出集合4B,再利用集合的基本运算求解即可.

本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：,・・(1+3i)z=2+43

「

••_~~2+4i_(2+4i)(l-3i)_14_2i_7~11..

l+3i(l+3i)(l-3i)1055

Z的虚部为—(，

故选：C.

利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数的概念得答案.

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的概念，是基础题.

3.【答案】D

【解析】解：••・抛物线的焦点是玖-2,0),

2=2,"P=4,

抛物线的标准方程是外=-8比，

故选：D.

先求出p=4,再求出抛物线的标准方程即可.

本题考查抛物线标准方程的求法，是基础题.

4.【答案】D

【解析】解：,••&((),一2),F2(0,2),动点P满足|P&|-IPF2I=2,

•••动点P的轨迹方程是双曲线真-'=l(a>0,b>0)的上支，

且a=1,ft2=4-1=3.

2

动点P的轨迹方程为y2-三=1.(y>0).

故选：D.

22

由双曲线的定义得动点P的轨迹方程是双曲维-£=l(a>0,6>0)的上支，且a=l,由此能

求出动点P的轨迹方程.

本题考查双曲线的定义及其方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

5.【答案】D

【解析】解：设动圆的圆心为M,半径为r,

圆G：/+/=1的圆心为圆的(0,0),半径为1,

圆。2：产+丫2一8x+12=0的圆心为。2(4,0),半径为2,

由题意可得，=1+r,|"。21=2+r,

则IMQI—|MCi|=(2+r)-(1+r)=1<|如Q|=4,

点M的轨迹是双曲线的一支上.

故选：D.

根据两圆的位置关系，以及双曲线的定义，即可求解.

本题主要考查两圆的位置关系，以及双曲线的定义，属于中档题.

6.【答案】B

【解析】解：若直线1与双曲线C只有一个公共点，则直线I与双曲线C相切或直线/与双曲线C的渐

近线平行，

若直线，与双曲线C相切，则直线I与双曲线C只有一个公共点，

所以〜与C只有一个公共点”是〜与C相切”的必要不充分条件.

故选：B.

由双曲线的性质可知，当直线/与双曲线C相切或直线/与双曲线C的渐近线平行时，直线/与双曲线

C只有一个公共点，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可.

本题主要考查了双曲线的性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

7.【答案】C

2?

【解析】解：,•・双曲线的方程为5—2=1,

916

b=4,c=A/9+16=5,

・,♦它的离心率为e=-=|,

a3

渐近线方程为y=±

故选：C.

利用双曲线的离心率、渐近线方程的定义直接求解.

本题考查双曲线的定义、离心率、渐近线方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

8.【答案】B

则根据抛物线的定义可知|PF|=\PD\,

\PA\+|PF|取得最小值,即求|P4|+|PD|取得最小，

当D,P,2三点共线时|P2|+|PD|最小，

由4点坐标为(5,3),抛物线y2=4x的准线方程为尤=-1,

此时|P4|+\PD\=\AD\=5-(-1)=6.

即|P*+|PF|的最小值为6.

故选：B.

根据题意画出图象，根据抛物线的定义可知|PF|=\PD\,\PA\+PF\=\PA\+\PD\,当O,P,4三

点共线时|P4|+|PD|最小，|4叫即为|P川+|PF|的最小值.

本题考查了抛物线的标准方程及其应用，考查了数形结合的思想方法，考查了计算能力，属于中

档题.

9.【答案】A

【解析】解：由题意得，焦点F(LO),

AB所在直线方程为4x—3y—4=0,

直线与抛物线联立俨2=y/n,

(4%—3y—4=0

得4/-17x+4=0,

由韦达定理得/+久2=%,4B中点横坐标为不

••・线段AB的中点到抛物线准线的距离是1+1=意.

OO

故选：A.

求得所在直线方程，利用韦达定理求得4B中点坐标，即可求解.

本题考查了抛物线的标准方程及其应用，考查了数形结合的思想方法，属于中档题.

10.【答案】A

【解析】解：设点P的坐标为(x,y),点P在抛物线尤2=-6>上，

|P4|2=/+(、+2)2=y2_2y+4=(y—I)2+3,

•••y<0,y=0时|P2|取得最小值2.

故选：A.

根据两点间距离公式求得|P4|的函数，求函数的最小值即可.

本题考查抛物线的性质，是中档题.

11.【答案】(一8,-1)0(,+8)

【解析】解：根据题意，函数y=lg(3/+2%-1),贝Ij3%2+2%-1>0,则％<-1或汽>§,

则函数的定义域为(一8,-1)u(1,+oo),

故答案为：(-8,—l)U©,+8).

根据对数函数的定义可解.

本题考查对数函数的定义，属于基础题.

12.【答案】2五当—件=\

【解析】解：••・双曲线的一个焦点坐标是(一2,0),且双曲线经过点(2,a),

•••设双曲线的标准方程为真—£=l(a>0,b>0),

且c=2，2a=心+(鱼产_J(&)2=2V2>

・,・双曲线的实轴长为2a=2V2,

/72==4—2=2,

・••双曲线的标准方程为19=1.

=1

故答案为：2V2;Y-T-

设双曲线的标准方程为最一，=l(a>0,b>0),贝!k=2,2a=J42+(V2)2-J(V2)2=2A/2>

由此能求出双曲线的实轴长和双曲线的标准方程.

本题考查双曲线的定义、方程、实轴长、标准方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

13.【答案】［0,1］

'2

【解析】解：因为函数函数y=I**三°,

(PX,O<%<1

则当一IWKWO时，y=/，贝！］0<yWL

当0<xW1时,y=(1)*，则|wy<l，

则函数的值域为［0,1］,

故答案为：［0,1］.

根据事函数和指数函数的性质，可解分段函数的值域.

本题考查幕函数和指数函数的性质，属于基础题.

14.【答案】V33+V13

-42-

【解析】解：••・△ABC中，b=2,c=W，B=30°,

由正弦定理肃=焉得而。=学=学

由余弦定理接=a2+c2—2accosB,得标—3a—1=0,

・・「、八3+V13

•a>0,CL——--

故答案为：¥；3+V13.

42

由正弦定理求出siziC,再利用余弦定理求出a.

本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题.

15.【答案】①③

【解析】解：①，P是双曲线上的一点，・•.|Pf;|的最小值为c一a,.•.①正确，

②，若直线/的斜率与双曲线的渐近线的斜率相等，则直线［与双曲线只有一个公共点或无公共点，

②错误，

③，双曲线的渐近线方程为y=fiPbx+ay=0,设P(ni,n),

,・,。是双曲线上的一点，；.整-5=1,；.62?712-(12?12=£12匕2,

\bm+an\\bm—an\.b2m^—a2n2,.a2b2

则点p到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为『十I——I=.,.•.③正确,

加2+庐〃+庐

若过F1的直线与双曲线的左支相交于4B两点，贝+\BF2\=\AFr\+|BFt|+4a=

\AB\+4a=2\AB\,

\AB\=4a,④错误，

故答案为：①③.

利用双曲线的性质判断①，利用直线与双曲线的位置关系判断②，利用双曲线的渐近线方程和点

到线的距离公式判断③，利用双曲线的定义判断④.

本题考查双曲线的定义和性质，考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题.

16.【答案】解：(I)由题意得，r=\AB\=V(2+2)2+(-l-2)2=5,

•••圆的标准方程为(x-2)2+(y+I)2=25.

(II)设圆的标准方程为(久-a)2+(y-b)2=4,

•••点C(0,0)和点D(0,2)在圆上,

a=V3

，解得:

2-A,b=1'

・・・圆的标准方程为(％-V3)2+(y-l)2=4.

(HI)E(l,2),F(3,4)的中点坐标为(2,3),即圆心坐标为(2,3),

r=1|FF|=：XJ(1-3乃+(2-4尸=传

•••圆的标准方程为Q-2)2+(y—3)2=2.

(W)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,

2a+36-8=0fa-1

由题意得，卜1-a)2+b2=r2,解得：、b=2,

(3—a)2+(2-b)2-r2(r=2

•••圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4.

【解析】即为半径，求得圆的半径即可求解；

(口)设圆的标准方程为(久-。产+(y-b)2=4,利用待定系数法即可求解；

(m)F,F中点即为圆心，求得圆心坐标与半径即可求解；

(W)设圆的标准方程为。-a)2+(y-b)2=r2,利用待定系数法即可求解.

本题主要考查圆的标准方程的求解，是基础题.

17.【答案】解：(I)当斜率不存在时，%=2,与圆相切；

当斜率存在时，设斜率为殷切线方程为质-y-2k+l=0,

圆心(0,0)到切线的距离为丁丁-2,

解得士=—P

此时切线方程为3x+4y-10=0,

综上所述，过点4的圆的切线方程为％=2或3比+4y-10=0.

(口)由题意得，4B所在直线方程为％-y-1=0,

*'+(T)

(皿)由垂径定理可知，过点B且与。B垂直的直线被圆截得弦长最短,

OB的斜率为一2,

•••直线的斜率k=}

二直线方程为y+1=T（x—；）,BP3x—6y—5=0.

【解析】（I）当斜率不存在时久=2,满足题意，斜率存在时，设斜率为k,圆心到直线的距离为

半径，求得匕即可求得切线方程；

（□）求得力B所在直线方程，利用|DE|=2尸二手，即可求解；

（皿）由垂径定理可知，过点B且与。B垂直的直线被圆截得弦长最短，即可求解.

本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题.

18.【答案】（I）证明：连接G。，

因为AD=SiQ,所以四边形ADBiQ为平行四边形,

所以A8//C1。，

又AB】C平面CDDiQ,JDu平面。。久的，

所以481〃平面。。。1。「

（II）证明：在正方形4BB14中，

由正方体的性质知，8Ml平面43名久,

因为AB】u平面4B814,所以1AB1,

又=4遇、BMu平面&BM,

所以AB11平面&BM,

因为u平面&BM,所以力当1ArM.

（HI）解：设与CD1相交于点N,过点N作NP于点P,连接C/,则NC/N为二面角C—

为"-6的大小，

因为正方体的棱长为4,所以由勾股定理得，CrN=2V2，ArN=2V6.MN=2V3,41M=6,

所以41N2+MN2=21^2,即N4INM=90。，

所以「'=喀=迤簪=2奁，

A-yM6

在RtACiNP中，tanNGPN=鬻=翡=1,所以NC1PN=45°,

而二面角8—ArM—G与二面角C—A^M—6互补，

所以二面角8-4M-6的大小为135。.

【解析】（I）连接G。，先证四边形4DB1G为平行四边形，得4B//GD,再由线面平行的判定定

理，得证；

（II）由4B1141B,BM1AB「结合线面垂直的判定定理与性质定理，得证；

（IE）设与CD1相交于点N,过点N作NP1于点P,连接C】P,则NQPN为二面角C一4M-皂

的大小，结合勾股定理与三角函数，求得N&PN,再利用二面角B—&M—J与二面角C—4M-

G互补，得解.

本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理与性质定理

是解题的关键，考查空间立体感，推理论证能力和运算能力，属于中档题.

19.【答案】解：（1）由已知可设椭圆的标准方程为卷+，=1（。>6>0）,

所以2a=2V2,可得a=V2,因为c=1,所以b=Va2-c2=1,

2

所以椭圆C的标准方程为段+y2=1；

y=2%+m

（II）直线&y=2%+租与椭圆C的方程联立卜2

匕+>=1

2

消去y,整理得9久2+smx+2m—2=0,

由4=64m2—4x9x(2m2—2)>0,可得一3<m<3,

即m的取值范围是(一3,3)；

(HI)设B(x2,y2),

27n2_2

由(n)可得久i+%2=—%i%2=----------,

9

2=

则\AB|=Vl+2|%—xlV5xJ—4%I%2=V5x/—所8_小

t2v\olyx

浮噜当且仅的=。时等号成立,

所以|48|的最大值为蜉.

【解析】（I）根据题意可求得a,b,c的值，从而可得椭圆的标准方程;

（口）直线与椭圆方程联立，消去y,利用/>0即可求解小的取值范围；

（ni）利用根与系数的关系以及弦长公式即可求解的最大值.

本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆方程的综合，考查运算求解能力，属于中档题.

20.【答案】解：（1）由已知可设椭圆的标准方程为a+%=1（。＞力〉0），

所以2c=2迎，？=£=¥，解得a=2,c=V2,所以2=7a?-c?=

a2

所以椭圆C的标准方程为1+4=1;

42

（口）由题意可设直线［的方程为y=-3）,设4（久1，%）,8（%2，丫2），

贝监+&=2,yi+y2=-4fc,

两式相减可得号1+号=。,

1工工1+%2

所以力一及二

巧一力22丫1+丫2’

11

即fX+

c2--2-

所以直线/的方程为y=±-(x—3),即x—2y-3=0或x+2y-3=0.

(HI)由题意可设直线/的方程为y=k(x—3),设AO[,月)，B(x2,y2),