强化训练（三）复合函数问题-人教A版（2019）高中数学必修第一册期末复习重点知识点

复合函数问题的解法

复合函数的定义：若y=/(")("eC,yeB)且"=g(H(xeA,“eC'dC)

则》=/(g(x》(xeA,xe5),叫函数yf(u)^u=g(x)的复合函数

复合函数的定义域：>=X>中的％的范围，即为“4月中g(%)的

范围，再解工即得结果。

复合函数的单调性：同增异减

简单说明：萄ut则中<式/<//<,/(.・.(1)为增函数

若fT,则胃无<2V件>//>,/(.,.(4)为减函数

苟"J,i/T,则中<式1〃<//>,，(；.(力)为减函数

若/1J,则中<4M力)为增函数

复合函数的值域：若要求丁的范围，则先求"的范围，再通过丁的

单调性求y的值域。

经典例题

选择题(共18小题)

1.若函数/a+D的定义域卜1，”，则函数/(元)的定义域为

A.[-1,l|B.[-2,I]C.|0,1|D.[-2,!]

2.已知函数/(%)的定义域为[!,I],则函数的定义域为

A.|1,16]B.(-co,1][3,+co)C.|],4|

D.|1,J|

3.若函数/(x)的定义域为[-1,!],则函数—=/^上？的定义域是

YIJC-L

A.|1,I]B.|1,4]C.|1,2]D.|1,1]

4.已知函数/(元)的定义域为口，4],则函数"2")的定义域为

A.|1,!]B.[2,H]C.1I,口D.R

5.函数y=(1)/R的单调递增区间是，

A.[1,+®)B.(-®,l|C.[«,!]D.[1,!|

6.已知函数在xe[2,3]上为减函数，贝h的取值范围是।

A.(1,2)B.(1,!|C.(1,3)D.(1,!：

7.函数的单调递增区间是

JT,兀

A.[2kyr-\——,-i-oc)(A:eZ)B.[k7i-\——,+oo)(^eZ)

44

C.[^7r+-^,2fc7r-i-^)(^^Z)D.kjr+^)(keZ)

8.函数在区间[。，」上是增函数，则实数。的取值范围是

A.Ii,-IB.(-,l|C.(0,1)D.(l,+oo)

]j

9.函数三的单调递增区间为

A.(-«,，B.I—,+8)C.：—,!!D.U，T

10.已知函数4在区间[加，％+•!]上是减函数，则9的取值范围为

2.

A.(-00,B.—,+00)C.(I,一D.1一，!|

11.函数~的单调递增区间是

A.(r^-5)B.(『恐C.(T9D.(l,+oo)

12.函数/3=kgi|4~小1|的单调减区间是

3

A.(-2,Q0母B.(-2,D|和(2,中»)

C.(-oo,-2j[O,!iD.(-oo,-2]和1，1)

13.已知函数则函数7Vx的值域是

A.(0,+oo)B.(l,+oo)C.|1,+CO)D.R

14.因数上UU1且吸力

A.[。，+00)B.[1,+8)C.RD.[!,+oo)

15.函数小。=一，的值域是

1-K/JV

A.RB.(-oo,l)C.(—oo，IID.|»,1：

16.函数y=——的值域为]

X+1+1

(-co,匕(-co,.

A.B.C.(0,D.(0,

11一

1-Y2

17.函数y二二y的值域是

2+%

A.(-1,B.(-1,1)C.(-00D.(-2,2)

18.函数宝的值域是，

A.|1,1|B.(-oo,1]C.[2,+oo)D.(0,+oo)

二.填空题(共2小题)

19.若函数为则/（x）的单调递增区间是.

2

20.函数三，在区间（2,3）上单调递减，则实数a的取值范围是

三.解答题（共6小题）

21.已知函数.M其中O<Z2<1.

（I）求函数/（X）的定义域；

（II）判断函数/（X）的奇偶性，并给予证明；

（III）利用复合函数的单调性，指出函数/（X）的单调性（不必证明）.

22.已知函数.

（1）求f（x）的定义域;

（2）解关于I的不等式次电力7（1）.

23.已知函数，aoC.

2”

（1）当CW时，求函数/（X）在区间［1,+8）上的值域；

（2）若函数/（x）在区间|1,+8）上是减函数，求。的取值范围.

24.已知函数.o#D.

（1）若函数/（无）的定义域为R，求实数I的取值范围；

（2）若a>L函数/（x）的定义域为D,且满足如下条件：存在，使得/（x）在

一,不上的值域为［2加，In］,那么就称函数/（%）为“双倍函数”，若函数

3s是“双倍函数”，求实数I的取值范围.

25.已知函数.

（1）已知j（1）=1,求函数/（x）的单调增区间；

（2）若函数/（x）的最小值是0,求实数°的值；

（3）若函数/（x）的值域为R,求实数。的取值范围.

26.已知函数

（1）当时，求函数/（X）的值域;

（2）若/（X）有最大值64,求实数0的值.

参考答案与试题解析

一.选择题(共18小题)

1.【解答】解：由函数/(X+D的定义域为卜1，II-即T剂L

则＜5诞门2,

所以函数/(X)的定义域为,

故选：C.

2.【解答】解：函数/(x)的定义域为［!,打，

即啜！t3,

所以函数的定义域为口，”.

故选：D.

3.【解答］解：由函数的定义域为卜1,!］,

令「闱.22,解得lv%,4,

所以函数《©上的定义域是U，4|.

故选：B.

4.【解答］解：由函数/(x)的定义域为|1,口，

令啜心4,

解得（I到2,

所以函数〃2，）的定义域为N,11.

故选：A.

5.【解答】解：令t-,其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=L

则函数7N9在（-00，「上是减函数，

由外层函数y=（；）'是减函数，由复合函数的单调性可得，

函数y=的单调递增区间是（一①，

故选：B.

6.【解答］解：若函数在“目2,3）上为减函数，

则J1“解得：«e（l,!!.

16-3A...0

故选：B.

7.【解答］解：函数的单调递增，

可得tanx.1,解得工耳七|二幻3=+当收三^.

42

故选：D.

8.【解答】解：由题意可得，a>C且

令21KHVa则该函数是减函数，

要使函数在区间［。，1］上是增函数，

0<〃<

角军得0<a<—.

/⑴二1-2〃>02

实数。的取值范围是（LT.

故选：A.

9.【解答】解：由妄口匕笺得元*解得掇出2.

：,函数的定义域为口，”，

令其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为厂上，

2

且在II,I上单调递增，则原函数的单调递增区间为口，3,

故选：D.

10.［解答］解：由与占亡fC,得妄与才飞€,得1Vg4,

:,函数④的定义域为（1,4）,

2

令/一《则外层函数y=log1f是定义域内的减函数，

2

要使人共*在区间［加，〃计U上是减函数，

2

则内层函数给=亳员=在H，〃计1］上单调递增且恒大于0,

5_

则「”亍，解得1<明，L

,2

-m+5wi-4>0

--〃的取值范围为M'

故选：C.

11.【解答］解：由aC5解得或X>L

令岩田44,其图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为

则岩田田二在（--苫）上单调递减且恒大于0,

由复合函数的单调性可知，=/的单调递增区间是—.

故选：A.

12.【解答】解：函数有意义，贝U：|4-^|>0,解得：36,

函数丹的单调递增区间为(-2,H和(2,田)，单调递减区间为(yT)和［。，

函数y=log〃在定义域内单调递减，

3

结合复合函数单调性同增异减的法则可知函数的单调递减区间为(-2,和(2,y)，

故选：B.

13.【解答］解：设〃="，XRR,则“>C,

故函数y=屋在(0,+oo)上单调递增，

所以y>l,值域为(l,+oo),

故选：B.

14.［解答］解：

故函数/(%)的值域是口，+oo),

故选：B.

15.【解答］解：.O,

1+yfx..1

0<-E

1+

的值域是I。，」.

故选：D.

16.［解答］解：设/噂弓，

BPtE［―>+8）,

4

113

函数y=-.....转化为y=-（/…一），

x+x+1t4

根据反比例函数的性质，可得0<%上.

3

故选：C.

17.［解答］解：函数/，

八33

0<-----„一,

炉+22

1I

-1-T<y»—；

故选：A.

18•【解答】解：由民解得：争til,

Kcjg三,I〔，故ygO,I］,

故&gC，！］，

故选：A.

二.填空题（共2小题）

19.［解答］解：由三口得即

函数/(x)的定义域为(-6,2).

令王，该函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为

且在12,2)上单调递减，而函数y=log门是减函数，

2

「人怎的单调递增区间是［-2,

故答案为：12,1).

20.【解答】解：由题意，可得ci《且ci有，得且

令田>=^^三，则该函数为增函数，

要使函数三在区间(2,3)上单调递减，

则，cc八，解信一,,4V2.

［〃⑵=2〃-3...02

实数4的取值范围是匚「).

1

故答案为：［-1).

三.解答题(共6小题)

21•【解答】解：(I)根据题意，函数皂，

则有J,解可得

(1-I>0

故函数/(x)的定义域为(-1,1),

(II)根据题意，定义域(-1,1)关于原点对称

故函数/(为)是奇函数;

(ill)根据题意，］—f

-M---^C~t

2

设〃二-1--------,贝！J、=10^%

x-11

易知"7-----=<1H——>在区间(-1,1)上的增函数，

JC—Lx—\.

又O=Z2<1,y=kg"为减函数，

故/（x）是（-1,1）上的减函数.

22.【解答】解：（1）根据题意，函数3|,必有探>1,

当时，此时函数/（x）的定义域为（0,”），

当d=ia^l时，此时函数/（x）的定义域为（ro,0）,

则当。>1时，定义域为（0,小）

当O=ZJ?<1时，定义域为（—0,0）

（2）根据题意，不等式次©yy（1）,

X=1在定义域内，必有a>l

对于於在设/=cfT,则yTc&r,

当时，在区间（0,转）上，/=r£T为增函数，y=kg7r在区间（0,转）上为增函数，故

/⑶在（0,十◎上单调递增，

故f<^<f（1）的解集为（0,1），

故答案为：（0,1）.

23.【解答】解：（1）根据题意，时，_/3与茗8+^"々^,

又由X..1,则

X

则y,log；，

22

则函数/（X）的值域为（-8,-1；

（2）函数人设I=%+0—0,则y=logj,

3xXQ

若函数“X）在区间[I,+00）上是减函数，

贝卜=x+0—后在口，+00）为增函数且2>o恒成立，

X

即有L,解可得壬R,l,

[1+Q—j2>0

即。的取值范围为（VI-i,「.

24•【解答】解：（1）因为/（x）的定义域为R，所以恒成立,

所以恒成立，因为金工，所以0,0,

于是实数I的取值范围为（-8,H

（2）当0>1时，易知在定义域内为单调递增函数,

cmn.c2m

log/a™-2r）=2md-Lt-d

则需满足